Exercices étude de fonction terminale s

2éme Bac PC 2020/2021 etude-generale.com

Matiére : Mathématique Professeur : Yahya MATIOUI

Correction du devoir surveillé N 2 31/12/2020

Durée 1H Problème d’analyse

Soit f la fonction dé…nie par :

f(x) =x 2 p

x² 2x 1. Cherchons l’ensemble de dé…nition Df:

D_f = x2R= x² 2x 0 On résout l’inéquation suivante : x² 2x 0

x² 2x= 0 () x(x 2) = 0 () x= 0 ou x= 2 Le tableau de signe.

D_f = ] 1;0][[2;+1[ a) Calculons lim_{x ! 1}f(x):

x lim! 1f(x) = lim

x ! 1x 2 p

x² 2x= 1 1= 1 Car : lim_{x ! 1}x 2 = 1

lim_{x ! 1}p

x² 2x= +1

b) Etudions la branche in…nie de la courbe (C_f) au voisinage de 1:

Comme limx ! 1f(x) = 1, calculons maintenant limx ! 1 f(x) x :

x lim! 1

f(x)

x = lim

x ! 1

x 2 p

x² 2x x

= lim

x ! 11 2 x

px² 2x x

= lim

x ! 11 2 x

q

x²(1 _x²) x

= lim

x ! 11 2 x +

x q

1 ²_x x

= lim

x ! 11 2 x +

r 1 2

x = 2 Calculons ensuite : lim_{x ! 1}f(x) 2x

x lim! 1f(x) 2x = lim

x ! 1x 2 p

x² 2x 2x

= lim

x ! 1 x 2 p

x² 2x

= lim

x ! 1 (x+ 2 +p

x² 2x)

= lim

x ! 1 ((x+ 2 +p

x² 2x)(x+ 2 p

x² 2x) x+ 2 p

x² 2x )

= lim

x ! 1 ((x+ 2)² p

x² 2x² x+ 2 p

x² 2x )

= lim

x ! 1 (x²+ 4x+ 4 x²+ 2x x+ 2 p

x² 2x )

= lim

x ! 1 ( 6x+ 4

x+ 2 +x q

1 ²_x) )

= lim

x ! 1 ( x(6 + ⁴_x) x(1 + _x² +

q 1 _x²)

)

= lim

x ! 1

6 + ⁴_x 1 + _x² +

q 1 _x²

= 3

Ce qui signi…e que la courbe (C_f) admet une asymptote oblique d’équation y = 2x 3 au voisinage de 1:

On utilise la conjugué

x lim!+1f(x) = lim

x !+1x 2 p

x² 2x

= lim

x !+1

(x 2)² (x² 2x) x 2 +p

x² 2x

= lim

x !+1

x² 4x+ 4 x²+ 2x x 2 +p

x² 2x

= lim

x !+1

2x+ 4 x(1 _x² +

q 1 _x²)

= lim

x !+1

x( 2 + ⁴_x) x(1 _x² +

q 1 _x²)

= lim

x !+1

2 + ⁴_x 1 _x² +

q 1 _x²

= 1

La courbe (C_f) admet une asymptote horizontale d’équation y = 1 au voisinage de +1:

* Étudions la dérivabilité de la fonction f à droite de 2:

lim

x !2⁺

f(x) f(2)

x 2 = lim

x !2⁺

x 2 p

x² 2x 0 x 2

= lim

x !2⁺

x 2 x 2

px² 2x x 2

= lim

x !2⁺1 x(x 2)

(x 2)p

x² 2x

= lim

x !2⁺

1 x

px² 2x

= 1 2

0⁺ = 1 Donc, la fonction f n’est pas dérivable à droite de 2:

La courbe (C_f) admet une demi-tangente en point A(2;0) vers le bas.

* Étudions la dérivabilité de la fonction f à gauche de 0:

lim

x !0

f(x) f(0)

x 0 = lim

x !0

x 2 p

x² 2x+ 2 x

= lim

x !0

x p

x² 2x x

= lim

x !0 1

px² 2x x

= lim

x !0 1 + x

q 1 ²_x

x

= lim

x !0

1 + r

1 2

x = +1 Donc, la fonction f n’est pas dérivable à gauche de 0:

La courbe (C_f) admet une demi-tangente en point B(0; 2) vers le bas.

a) La fonction f est dérivable sur ] 1;0[[]2;+1[: En e¤et, la fonction f s’écrit sous la forme d’une di¤érence de deux fonctions u et v:

u(x) =x 2 et v(x) =p

x² 2x

u est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur ] 1;0[[]2;+1[: On pose la fonction h dé…nie par h:x7 !x² 2x:

h est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur ] 1;0[[]2;+1[, et pour tout x2] 1;0[[]2;+1[ on a

h(x) 0

Donc, la fonction v est dérivable sur ] 1;0[[]2;+1[: Ce qui signi…e que f est dérivable sur ] 1;0[[]2;+1[:

Calculons maintenant f⁰(x), pour tout x2] 1;0[[]2;+1[: f⁰(x) = (x 2 p

x² 2x)⁰

= 1 (x² 2x)⁰ 2p

x² 2x

= 1 2x 2

2p

x² 2x

= 1 x 1

px² 2x

=

px² 2x (x 1) p

* Pour tout x2] 1;0[:

x 0 =) x 1 1 0 =) x 1 0 =) (x 1) 0:

et on sait que pour tout x2] 1;0[; on a p

x² 2x 0: Donc px² 2x (x 1) 0

Ensuite on obtient p

x² 2x (x 1) px² 2x 0 c’est-à-dire que pour tout x2] 1;0[; on a

f⁰(x) 0

* Pour tout x2]2;+1[: On a

f⁰(x) =

px² 2x (x 1) px² 2x

=

px² 2x² (x 1)² px² 2x(p

x² 2x+ (x 1))

= (x² 2x (x² 2x+ 1)) px² 2x(p

x² 2x+ (x 1))

= 1

px² 2x(p

x² 2x+ (x 1))

comme x2 ]2;+1[, alors x 2 de plus x 1 0; et on sait que pour tout x2]2;+1[ on a p

x² 2x 0:

Donc p

x² 2x(p

x² 2x+ (x 1)) 0 Ce qui signi…e que

p 1

x² 2x(p

x² 2x+ (x 1)) 0 C’est-à-dire que pour tout x2]2;+1[

f⁰(x) 0 c) Tableau de variation de la fonction f.

On a pour tout x2]2;+1[; f⁰(x) 0: Ce qui signi…e que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [2;+1[:

D’autre part, on a pour tout x 2 ] 1;0[; f⁰(x) 0: Ce qui signi…e que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ] 1;0]:

2. On trace la courbe (C_f) dans un dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

La courbe (C_f) admet une asymptote oblique d’équation y = 2x 3 au voisinage de 1:

La courbe (Cf) admet une asymptote horizontale d’équation y = 1 au voisinage de +1:

La courbe (C_f) admet une demi-tangente en point A(2;0)vers le bas.

La courbe (C_f) admet une demi-tangente en point B(0; 2)vers le bas.

3. On considére la fonction g la restriction de la fonction f sur [2;+1[: g(x) =f(x) = x 2 p

x² 2x ; 8x2[2;+1[ a) Montrons que g admet une fonction réciproque dé…nie sur J:

* La continuité de g sur [2;+1[:

la fonction g s’écrit sous la forme d’une di¤érence de deux fonctions u et v:

u(x) =x 2 et v(x) =p

x² 2x

u est une fonction polynôme continue sur R et surtout sur [2;+1[: On pose la fonction h dé…nie par h:x7 !x² 2x:

* La fonction g est strictement décroissante sur [2;+1[:

On conclut que la fonction g admet une fonction réciproque dé…nie sur l’intervalle J =f(I) = f([2;+1[) = ]lim_{x !+1}f(x); f(2)] = ] 1;0]:

b) Calculons (g ¹)⁰(2 2p 2):

On a : g(4) = 2 2p

2 et g⁰(4)6= 0, alors g ¹ est dérivable en 2 2p

2 et on a (g ¹)⁰(2 2p

2) = 1

g⁰(g ¹(2 2p

2)) = 1

g⁰(4) , car g ¹(2 p 2) =4 etg⁰(4) =

p(4)² 2 4 (4 1)

p(4)² 2 4 = ^pp^{8 3}

8 ; donc on obtient (g ¹)⁰(2 2p

2) = 1

g⁰(4) = 1

pp8 3 8

= p8 p8 3 c) Cherchons la fonction réciproque g ¹:

y=g(x)

x2I () g ¹(y) = x y2J Soit y2] 1;0]:

y = g(x) () y=x 2 p

x² 2x () y x+ 2 = p

x² 2x () (y x+ 2)² = ( p

x² 2x)² () (y x)²+ 4(y x) + 4 =x² 2x () y² 2xy+x²+ 4y 4x+ 4 =x² 2x () y² 2xy+ 4y 2x+ 4 = 0

() x( 2y 2) = y² 4y 4 () x= y² 4y 4

2y 2 () x= y²+ 4y+ 4

2y+ 2 = (y+ 2)² 2y+ 2 Comme ^(y+2)_2y+2² 2: Alors

8x2] 1;0]; g ¹(x) = (x+ 2)² 2x+ 2

d) La courbe (C_g ¹)est la symétrie de la courbe (C_f)par rapport à la droite d’équation y=x:Voir la …gure de la question 3:

FIN

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