MATHS Term INTEGRATION EXERCICES 1

MATHS Term INTEGRATION EXERCICES

1

1. FONCTIONS ET INTEGRALES, valeur moyenne

Exercice 1.1

Soit la fonction f d’expression ^{f x}

( )

^=x2. Calculer sa valeur moyenne m₁ sur l’intervalle [0 ; 1] et sa valeur moyenne m₂ sur l’intervalle [0 ; 2]. Illustrer graphiquement les résultats.

Exercice 1.2

Soit f la fonction définie sur

]

^{0 ; + ∞}

[

^{par f x}

( )

^{= − +x 2 ln}

(

^{x+ −1}

)

^ln

( )

^{x .}

1) a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.

b. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

2) a. Montrer que

(

^x+1

) (

^{ln x+ −1}

)

^xln

( )

^x est une primitive de ^ln

(

^{x+ −1}

)

^ln

( )

^{x .}

b. Calculer alors

∫

₀^{2f x}

( )

^.dx (on admettra que pour x=0, xlnx existe et vaut 0).

Exercice 1.3

Soit la fonction f d’expression ^{f x}

( )

^=2x−e0,5x.

x représente la quantité vendue, en tonnes, d’un produit ménager ; ^{f x}

( )

est le bénéfice unitaire (en k€/tonne) réalisé lors de la vente de x tonnes. La modélisation proposée par la fonction f est fiable pour des quantités allant de 0 à 4 tonnes.

1) Etudier sur ℝ les variations de la fonction f (signe de ^f′

( )

^x , tableau de variation).

2) Représenter graphiquement cette fonction, pour x ∈ [0 ; 4].

Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2. Tracer cette tangente.

3) Le bénéfice total, ^{B x}

( )

prévu pour la vente de x tonnes de produit, est donné par :

( )

₀^x

( )

^.d

( ) ( )

⁰

B x =

∫

f t t=F x −F , où F est une primitive de f.

a. Donner l’expression d’une primitive F de f.

b. Calculer le bénéfice total réalisé par la vente d’une tonne de produit. Commenter.

c. Calculer le bénéfice total réalisé par la vente de 4 tonnes de produit.

4) Déterminer le seuil de rentabilité de ce produit, c’est à dire la valeur de x à partir de laquelle ^{B x}

( )

^atteint

(puis dépasse) la valeur de 0 k€. Pour ce faire, on résoudra l’équation correspondante et on remplacera e0 ,5^x par 1+0,5x+0,15x², ce qui est une approximation relativement correcte lorsque x est compris entre 0 et 2.