indice de réfrcation

1

Cours d’optique géométrique

-

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Introduction.

Qu’est ce que l’optique?

L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à l’étude des phénomènes lumineux.

Domaine très large:

•Perception du monde qui nous entoure (formation des images).

•Instruments d’optiques (jumelles, télescope, microscope, ...).

•Propagation d’information via la lumière (fibre optique).

•Sources lumineuses (laser, lampe Sodium, ...).

•Détecteurs (Caméra IR, photodétecteur, matériaux SC).

Cours: Optique géométrique.

•Branche ancienne de l ’optique très utilisée en optique instrumentale.

•Formation des images à travers un système optique.

•Etude d ’instruments d’optique.

•L’étude d’un système optique bien connu : l’appareil photographique.

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3

Nature de la Lumière.

Qu’est ce que la lumière?

Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.

Au 17^ème siècle:

•Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton).

•Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens).

Du 17^ème au 19^ème siècle:

•Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell)

•Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière ( Hertz, Einstein) Au 20^ème siècle:

•Dualité onde-corpuscule comme les e- (Broglie, Heisenberg, Dirac)

Lumière = ondes et photons

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Caractéristiques de l’onde lumineuse.

Ondes: Son, Houle.

Caractéristiques:

•Amplitude.

•Fréquence ν. [s^-1]

•Vitesse C. [m.s^-1]

•Longueur d’onde λ: [m]

Photon associé:

•Énergie E : E=hνννν [j] où h est la constante de Plank h=6.626 10^-34J.s Caractéristiques de l’onde lumineuse:

•Onde sans support.

•Propagation dans le vide à la vitesse C.

•C = 299792456 m.s^-1 (3 10⁸ m.s^-1 ) Quelques repères

•7 fois le tour de la terre en 1s.

•Distance terre-soleil en ≈8min.

C CT

=

=

ν λ

C

Période T

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5

Ondes électromagnétiques.

•La lumière visible fait partie d'une grande famille de phénomènes de même nature: les ondes électromagnétiques.

•Variation d'un champ électrique et du champ magnétique, dans l’espace et dans le temps.

•La lumière naturelle est donc une superposition d’ondes électromagnétiques de différentes longueurs d’ondes (couleurs).

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Visible = Spectre de l’œil.

L'œil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur d'onde est comprise entre 0.380 µm et 0.780 µm.

Œil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière.

Ordre de grandeur de λλλλ

≈≈≈≈ 1µm vert rouge

bleu

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7

Interaction lumière-matière.

•Réflexion:

•Réfraction:

•Dispersion:

Une interaction lumière-matière conduisant à une déviation de la trajectoire de la lumière du même côté du corps d'où elle est venue.

Une interaction lumière-matière conduisant à une déviation de la trajectoire de la lumière au moment où elle traverse deux milieux

transparents.

Une interaction lumière-matière conduisant à la décomposition de la lumière blanche en ses différentes composantes.

Quand la lumière rencontre un milieu homogène, isotrope et transparent on peut observer:

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Indice de réfraction.

Interaction Lumière-Matière définie par 1 seule grandeur physique : vitesse de la lumière v dans le matériau.

Indice de réfraction:

Dispersion :

Exemple à T et P ambiante :

) , , ) (

, ,

( v T P

P C T

n λ = λ

Cauchy de

loi )

( ₂¹

λ ^A λ^B

n = +

Longueur d'onde en µm

0.486 (raie bleu de

l'hydrogène)

0.589 (raie D de

sodium)

0.656 (raie H de

l'hydrogène)

Eau 1.3371 1.3330 1.3311

n(verre) ≈≈≈≈ 1.5

1,5 1,505 1,51 1,515 1,52 1,525 1,53

0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8

lambda en µm

indice de réfrcation

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9

Rayons lumineux.

On peux également décrire la lumière par des rayons lumineux dans certain.

Notion intuitive:

Rayons lumineux:

•Pas de signification physique mais c’est un outil très intéressant pour décrire la propagation de lumière dans des conditions bien définies.

•On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse (milieux isotropes).

•Ils sont à la base du développement de l’optique géométrique.

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Description de la lumière.

Outil de description de la lumière: Ondes, Photons ou Rayons Lumineux selon le contexte considéré.

Description: elle dépend de la dimension DO des objets par rapport à λ :

DO>>λ _DO≈λ _DO<<λ

Description Rayon Onde Photon

Application Formation des images

Interférence - diffraction

Effet

photoélectrique Apparition 17^ème siècle 19^ème siècle 20^ème siècle

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11

Principe 1 de l’optique géométrique.

Notions utiles:

•Rayons lumineux (trajectoire de l’énergie lumineuse).

•Indice de réfraction n(λ).

Contexte:

•Objet grand devant λ (λ≈1µm), le cm.

•Milieux homogènes, transparents et isotropes.

1^er Principe : La lumière se propage en ligne droite.

Conséquences:

•Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire)

•Pas d’interaction entre les rayons lumineux.

Faisceaux lumineux :

•Faisceau conique convergent.

•Faisceau conique divergent.

•Faisceau cylindrique.

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Conséquences du principe 1.

1^er Principe : Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire) Eclipse solaire : La lune s'interpose entre le soleil et la terre.

Eclipse lunaire : La terre s'interpose entre la lune et le soleil.

Explication avec la propagation en ligne droite de la lumière

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13

Principe 2 de l’optique géométrique.

2^nd Principe : Loi de Snell (1621) - Descartes (1637)

•Comportement de la lumière à l’interface séparant 2 milieux homogènes, transparents et isotropes, d’indice de réfraction n₁ et n₂.

n₁ n₂

? ?

Deux phénomènes possibles: :

•Réflexion.

•Réfraction.

Attention une réfraction est toujours accompagnée d’une réflexion.

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Réflexion.

Réflexion : n₁ n₂

Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N à la surface séparant les milieux 1 et 2.

Réflexion:

•Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et dans le milieu 1.

•Le rayon réfléchi fait un angle i₂ avec la N, tel que: i₂=-i₁

•En valeur absolue: i₂=i₁ Surfaces réfléchissantes:

•Séparation entre 2 milieux d’indices différents.

•Surfaces métallisées (Lampe de poche, cadran analogique).

N i

i

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15

Réfraction.

Réfraction : n₁ n₂

Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N de la surface séparant les milieux 1 et 2.

Réfraction:

•Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et dans le milieu 2.

•Le rayon réfracté fait un angle i₂ avec N, tel que: n₁sin(i₁)= n₂sin(i₂)

•Si n₁> n₂ alorsi₂> i₁ sinus fonction croissante de 0 à π/2.

Rappel: n dépend de λ

•La réfraction dépend de λ ⇒décomposition de la lumière.

•Arc en ciel.

i

N

i

n₁> n₂

onde monochromatique

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Construction de rayons réfractés.

I i₁

?

n₁ H

n₂ I

i₁

i₂

n₁< n₂

Montrer que cette construction satisfait les relations de Snell-Descartes.

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17

Exemple de rayons réfractés.

n₁ H

n₂ I

i₁

i₂

n₁ H

n₂ I

i₁

i₂

n₁ H

n₂ I

i₁

i₂

n₁ H

n₂ I

i₁

i₂

Zone d’ombre

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Rayons réfractés: cas limites.

Rayon réfracté maximum.

•n₁< n₂ et Réflexion totale:

•n₁> n₂ et

•Application aux fibres optiques



 



= 

2 1 max

2 arcsin n i n



 



> 

1 2 totale

réflection

1 n

arcsin n i

n₁ n₂

n₁ n₂

i

N

i

n₁> n₂

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19

Bilan :Loi de Snell.

•Les rayons réfracté et réfléchi sont dans le plan d’incidence.

•Le rayon réfléchi fait un angle i_r avec la N, tel que: i_r=-i₁

•Le rayon réfracté fait un angle i₂’ avec la N, tel que: n1(λλλλ)sin(i₁)= n2(λλλλ)sin(i₂’)

•Quand n₁< n₂ : Rayon réfracté maximum i_2max = arcsin(n₂/ n₁).

•Quand n₁> n₂ : Réflexion totale pour i₁>i_r= arcsin(n₁/ n₂).

Principe du retour inverse de la lumière: La symétrie de ces relations nous montre que le chemin suivi par la lumière ne dépend pas du sens de propagation.

Remarque: Ces relations nous donnent des informations sur la direction de

propagation de la lumière mais pas sur la quantité d’énergie réfléchie ou réfractée.

n₁ n₂

i

i

’ i

n₁> n₂

La réfraction dépend de λλλλ

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Dispersion: l’arc en ciel.

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21

Principe 3 de l’optique géométrique.

3^èmé Principe : Formation des images à travers un système optique.

Système optique: un système optique est un ensemble de milieux homogènes, transparents et isotropes, ou réflecteurs. En pratique, les surfaces séparant ces milieux sont de forme géométrique simple.

Système optique centré: les surfaces de séparation entre les différents milieux sont des surfaces de révolution autour d’un même axe: Axe du système optique ou axe optique. Cette symétrie impose que les surfaces soient perpendiculaires à l’axe optique.

Point source A: 1 point d’où partent des rayons lumineux: un faisceau conique divergent.

n

n

n

n

n

A

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Image A’ du point A est le point de croisement des rayons émergeant du système optique. Le faisceau émergent est un faisceau conique de sommet A’.

2 cas possibles:

•Faisceau émergent convergent: image réelle.

•Faisceau émergent divergent: image virtuelle.

Image d’un point A.

n

n

n

n

n

A A’

n

n

n

n

n

A A’

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23

image réelle: on a de l’énergie au point A’. Toute l’énergie est concentrée au point A’. Intéressant pour réaliser une réaction photochimique telle que

l’impression d’une pellicule photographique.

image virtuelle: on n’a pas d ’énergie au point A’. Impossible d’avoir l’image sur un écran ou d’impressionner une pellicule photographique. Exemple le miroir.

Pas d’image nette: dans le cas où tous les rayons issus de A ne passent par un point A’ alors un point donne une multitude de points. On a une image floue ou pas d’image nette.

Image d’un point A.

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Miroir Plan.

Miroir plan: surface réfléchissante plane (surface métallisée).

Image d’un A:

• Image virtuelle.

• Tous les rayons passent par A’ et ceci quelque soit A.

• A et A ’ sont symétriques par construction.

• Système unique: c’est le seul système pour lequel tous les rayons passent par A’, et ceci quelque soit les rayons considérés et quelque soit l ’objet A considéré.

N i

i

A A’

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25

Dioptre Plan.

Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice n₁ et n₂. n₁ n₂

i

N

i

A

n₁< n₂

A’ H

I

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2

1 2 2

2 1

2 ' 1

1 2 2

2 1 2

1 2 1

1 2

1 2

1 2 2

' 1

2 '

1

i sin 1

i n sin

1 n

n AH n H

A : que déduit en

On

i n sin

1 n i

cos et i sin 1 i

cos , i n sin i n

sin Or

i cos

i cos i sin

i AH sin H

A : où d'

i tan H A IH et i tan AH IH

: a On

−



 



−

=



 



−

=

−

=

=

=

=

=

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Dioptre Plan.

On a :

• Image virtuelle.

• A’H=fct(i₁) donc A’ n’est pas unique mais dépend du rayon considéré.

• Image floue : tous les rayons qui passent par A ne passent pas par A’.

• Si i₁ petit : sin²(i)=0 alors A’H=AH n₂/n₁, on voit une image nette (dépend des détecteurs et plus précisément de leur résolution).

•Si i₁ petit : on voit alors une image nette (dépend des détecteurs et plus précisément de leur résolution).

i₁ petit : rayons peu inclinés (20° pour n=1.5) par rapport à l’axe optique.

n

1

n₂

i₁ N

i₂ A

n₁< n₂

A’ H

I

( ) ( )

1 2 2

2 1

2 ' 1

sin 1

n sin 1 n

n n

i i AH

H

A −



 



−

=

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27

i ₁ Petit: signification.

Dans le cas précédent : sin²(i₁)<<1 On tracé sin²(i₁) en fonction de i₁:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 10 20 30 40

i1 en °

sin(i1)^2

sin²(i₁)<<1 jusqu’à environ 20°. (facteur 10)

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Illustration: dioptre Plan.

Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice 1 et 1.33 (eau).

•On peut le verre: système équivalent à un dioptre plan.

•i₁ petit : A’H=AH n₂/n₁

•Image virtuelle.

•n₁ >n₂: La partie dans l’eau paraît plus proche.

n₁= 1.33

i

N

i

A

n₂=1 (air)

A’ H

I

n’= 1.5

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29

Lame à faces parallèles

Soit 3 milieux d’indice n₁, n₂ et n₃ séparés par deux dioptres plans distant de e.

n₁ n₂

i₁ n₁< n₂ < n₃

n₃

i₂

i₃

n₁ n₂

i₁

n₁< n₂ et n₃= n₁

n₃

i₂

i₃

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )^{i sin(i i )}

cos ) e

i i ( sin IJ IP

: IJP triangle le

dans a on on constructi Par

i cos IJ e

: IJH triangle le

dans a on on constructi Par

. décalage un

juste a on , 0 D : déviation

de pas a on , n n cas le Dans

n indice d'

ire intermédia milieu

du pas dépend

ne ) i i ( D déviation

la i sin n i sin n : Soit

i

sin n i sin n et i sin n i sin n : a On

2 1 2

2 1 2 3

1

2 1

3 3

3 1 1

3 3 2 2

2 2

1 1

−

=

−

=

=

∆

=

∆

=

=

−

=

=

=

=

H I

J

e P e

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Lame à faces parallèles

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. 0 alors

petit, i Si

n sin 1 n

sin 1 n

1 n ) ( sin

: que déduit en

On

n sin 1 n

cos et sin

1 cos

, n sin

sin n

cos cos ) ( ) sin ( sin )

( cos sin

) (

sin IP

1

1 2 2

2 1

1 2

2 1 1

1 2 2

2 1 2

1 2 1

1 2

1 2

2 1 2

1 2

1 2

2 1

=

∆























 



−

− −

=

∆



 



−

=

−

=

=



 



 −

=

−

=

−

=

=

∆

i i i

e

i i

i i

i i

Or

i i i i

e i i i

i e i IJ

n₁ n₂

i₁

n₁< n₂ et n₃= n₁

n₃

i₂

i₃ H I

J

P e

( )^{i sin(i i )}

cos IP e

. décalage un

juste a n O

0 D : déviation

de pas a on n n cas le Dans

2 1 2

3 1

−

=

=

∆

∆

=

=

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31

Conditions de Gauss.

Contexte: à part le miroir plan un système optique ne donne pas d’image nette sauf dans certaines conditions: les conditions de Gauss.

Images hors conditions de Gauss:

•Floues.

•Déformées.

•Distordues.

Image nette: dépend de la résolution du détecteur.

Condition de Gauss:

•Les rayons lumineux doivent être peu inclinés par rapport à l’axe optique.

•Les rayons lumineux doivent être peu écartés de l’axe optique.

•On dit que les rayons sont paraxiaux.

Dans la pratique: on limite les rayons lumineux avec un diaphragme.

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Conséquences des conditions de Gauss.

1. Linéarisation des relations de Snell:

n₁i₁= n₂i₂ loi de Kepler (vrai jusqu’à 20°) Utilisation i en radian.

2. L’image d’un point A est un point A’:

Deux rayons suffisent pour déterminer l’image d’un point.

3. Le système est aplanétique:

L’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane perpendiculaire à l’axe optique.

4. Existence d’une relation de conjugaison.

Relation qui lie la position de l’image à la position de l’objet.

Ces conséquences nous donnent les informations nécessaires pour déterminer l’image A’B’ d’un objet AB à travers un système optique centré.

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33

Image d’un objet dans les conditions de Gauss.

1. Le rayon 3 issu de A se propageant le long de l’axe optique n’est pas dévié.

car système est centré. Toutes les surfaces sont perpendiculaires à l’axe optique. On en déduit que A’ est sur l’axe optique.

2. Deux rayons 1 et 2 issus de B permettent de déterminer B’.

3. AB est perpendiculaire à l’axe optique donc A’B’ l’est aussi car le

système est aplanétique. On en déduit que A’ est la projection de B’ sur l’axe optique.

A’B’ est l’image de AB, image nette.

A

A’

B

B’

1

3 2

3

2 1

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Rayons sont paraxiaux : signification.

Condition de Gauss: i petit

•Linéarisation de l’optique géométrique.

• n₁sin(i₁) ≈ n₁ i₁ ⇒ Loi de Kepler: n₁i₁= n₂i₂ (i en Rad).

•Comparaison loi de Snell et de Kepler:

n₁=1 n₂=1.5

i

N

i

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

angle d'incidence

angle de réfraction

Kepler Snell

i<0.34rad ou i< 20°.

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35

Dioptre sphérique dans les conditions de Gauss.

Dioptre sphérique :

•Pas physique, mais essentiel pour réaliser des systèmes optiques (lentilles).

•2 Milieux homogènes, transparents et isotropes d’indice n₁et n₂ séparés par une surface sphérique de rayon R et de centre C.

•On travaille en notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation de la lumière.

C S Axe optique

n₁ n₂

Remarque :

•SC <0, SC=-R= r

•Comme le dioptre plan, il ne donne pas d’image nette hors condition de Gauss.

•4 cas possibles pour le dioptre sphérique.

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Image d’un point lumineux.

•n₁ < n₂ et SC<0: Dioptre divergent.

•n₁ > n₂ et SC<0: Dioptre convergent.

•n₁ < n₂ et SC>0: Dioptre convergent.

•n₁ > n₂ et SC>0: Dioptre divergent.

Soit un rayon incident parallèle à l ’axe optique.

•Quand il se rapproche de l’axe optique = convergent.

•Quand il s’écarte de l’axe optique = divergent.

Permet de réaliser des systèmes convergents :c’est intéressant pour la photographie.

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37

Relations fondamentales du dioptre sphérique.

C S

Axe optique

n₁ n₂

i₁

i₂

H I

A A’

Contexte:

•n₁ > n₂ et SC= r <0: Dioptre convergent.

•Condition de Gauss.

•Notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation de la lumière.

•Origine en S.

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Relation entre SA et SA’ dans les Conditions de Gauss.

( ) ( )

0

i

: soit 2 )

( 2 i

) ' (- : a on IH A' triangle le

Dans

1

i

: soit 2 i

: 2 a on AIH triangle le

Dans

0 i , 0 i , 0

, 0

, 0

: orientés angles

2 ' 2

1 1

2 1

'

=

− α

− ω π

= ω π −

−

− π π + + α

α

− ω

= π

= + ω π − π + + α

>

>

<

α

>

α

>

ω

C S

Axe optique

n₁ n₂

i₁

i₂

H I

A A’

α ω α ’

•n₁ > n₂ et SC= r <0

•Dioptre convergent.

•Notation algébrique.

• + →

• +

•Origine en S.

Calculs.

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39

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

: finalement obtient

on

HI par simplifie on

p HI p'

HI r

HI

: suivante relation

la donne nous

(4) associées

(7) et (6), (5),

7 SA' p'

avec p'

' HI soit S

A' HI H

A' ) HI t tan(

)

n(

ta

6 SA

p avec p soit HI

AS

HI AH

) HI t tan(

)

n(

ta

5 SC r

avec r soit HI

CS

HI CH

) HI t tan(

)

an(

t :

où D'

S.

avec confondu être

peut H

et petit sont

et ,

donc Gauss

de conditions les

dans est On

4

:

0

: donne (1)

relation la

à associé (3)

3

0

: donne kepler

de relation la

à associé (2)

1 2

1 2

' '

'

' 1

' 2 1

2

2 ' 1

1 2 ' 1

n n

n n

e e

e n n

n n soit

n n

n i n

+

−

=

−

−

=

−

≈

≈

=

≈

=

−

≈

≈

=

≈

=

−

≈

≈

=

≈

−

=

−

=

−

−

−

=

−

−

α α

α α

α α

α α

ω ω

ω ω

α α

ω α

α ω

α ω α

ω

α ω

Calculs.

( )

r 1 p 1 p'

1

1 2 1

2 n n n

n − = −

Relation de conjugaison du dioptre sphérique

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Points particuliers de l’axe optique.

C S

Axe optique

n₁ n₂

i₁

i₂

H I

A A’ oup SA,p SA ,r SC R

r V n n p n p n

' '

1 2 1

' 2

−

=

=

=

=

− =

=

−

( ) ( )

0 f' et 0 f et divergent est

dioptre le

que dit on 0 V Si

0 f' et 0 f et convergent est

dioptre le

que dit on 0 V Si

].

[m dioptrie en

mesure se

et dioptre du

vergence la

est V ou V f n

et V f n

. F image foyer

point image

focale distance

n f n

r p n

alors p

Si

F.

objet foyer point

objet focale

distance

n f n

r p n

alors p

Si

p avec augmente p

donc 0 p f et p f p

Vp n

p p n

1 2 -

1 '

' '

1 2 ' 2

1 2 ' 1

' '

' 1 ' 2

<

>

<

>

<

>

δ +

=

−

=

= ⇒ + −

=

∞

=

= ⇒

− −

=

∞

=

>

=

= +

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41

Autres formulations de la relation de conjugaison du dioptre sphérique.

C S

Axe optique

n₁ n₂

i₁

i₂

H I

A A’

( )

( )

( )(

)

: '

' '

' '

' '

'

soit ' '

' ' ' soit '

' '

:

' 1 :

' -

' V :

A' F' ' et FA

et

' '

, et

2 1 1

1 2

1 2 2

1 2

1 2

1 2 1

2 ' '

σσ σ

σ σ

σ

=

=

−

−

−

=

−

=

−

=

−

−

=

−

=

−

=

−

= −

=

−

= −

=

−

= +

=

=

− =

=

−

=

=

=

=

−

=

=

=

=

ff p

f p f où d

A F SA

SF p

f

FA SA

SF p

f

f p f n n p

p f

n p n p n

f p f n n p

p f

n p n p n

Newton de

Relation

p f p Descartes f' de

Relation

f n f

n r

n n p n p classique n Relation

SF f

SF f

R SC

r

SA p

SA p

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Utilisation de F et F’

Utilisation de F et F ’:

•Tous les rayons incidents parallèles à l’axe optique passent par F’

•Tous les rayons incidents qui passent par F’ sortent du dioptre parallèles à l ’axe optique.

•Si V>0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayons incidents et du coté des rayon réfractés.

•Si V<0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayon réfractés et du coté des rayons incidents.

C S

V>0

F F ’ C S

V<0

F ’ F

Remarque: le rayon qui passe par le centre C du dioptre n’est pas dévié.

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43

Grandissement du dioptre sphérique

( ) ( )

p p' f' f AB

' ncore: γ A'B

soit e p

p' n

n r

p r p' AB

' it que:γ A'B

On en dédu

p' n p n

pp' n

: r n on trouve r

n n p

n p D'après n

r p

r p' CA

CA' AB

' γ A'B

d'où:

CA AB '

CA ' (α A'B

a:

étrique on ction géom

par contru

AB ' rsale: γ A'B

ent tranve Grandissem

−

=

=

− =

= −

=

−

= −

= −

−

−

= −

=

=

=

=

=

2 1

1 2

1 2 1

2 1

2

'

) tan

A F F ’

B

A ’

B ’

C S

n₁ n₂

α α

R SC

r SA p

SA p

ou

f n f

n r

n n p n p n

−

=

=

=

=

−

=

=

− =

=

−

, ,

V '

' '

1 2

1 2 1

' 2

p p' f' f AB

' γ = A'B = −

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