TD L2 AES

(1)

TD L2 AES, méthodes quantitatives

Ex 1 : Résoudre les systèmes suivants en utilisant substitution, combinaison ou méthode de Cramer

a) {_{−𝑥 + 2𝑦 = −1 e) {}2𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑦 + 3𝑧 = −1𝑥 + 2𝑦 = 7 5𝑥 + 𝑧 = 2 b) {_{−3𝑥 + 2𝑦 = 1 f) {}−𝑥 + 7𝑦 = 2 −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 2𝑥 + 7𝑦 = 20 𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 = 23 c) {_{35𝑥 − 10𝑦 = 5 g) {}7𝑥 − 2𝑦 = 0,5 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑥 − 𝑧 = 3 𝑤 + 𝑥 = −1 𝑤 + 𝑦 + 𝑧 = −4 d) {−7𝑥 + 2𝑦 = −0,5_{35𝑥 − 10𝑦 = 2,5}

Ex 2 : effectuer les calculs suivants 𝐴 + 𝐵, 𝐴 × 𝐵, 𝐵 × 𝐴, (𝐴 + 𝐵) × 𝐶, 𝐶 × (𝐴 + 𝐵), (𝐴 + 𝐵)2_{, 3. 𝐴 + 𝐶, 𝐶 − 2. 𝐵}

lorsque cela est possible, pour les matrices suivantes a) 𝐴 = [ 1_{−2 −4 0}2 0] , 𝐵 = [4 2 −1 0 −1 5 ] , 𝐶 = [2 11 2] b) 𝐴 = [ 10 51 −1 −1 ] , 𝐵 = [−4 0₁ ₁] , 𝐶 = [ 5 1 0 0 −7 0,5] c) 𝐴 = [0,5 1_{1,5 2}] , 𝐵 = [_{−0,5 1] , 𝐶 = [}−1 0 2 −3₁ ₂ ] d) 𝐴 = [−1 04 0 21 −1 1 −3 ] , 𝐵 = [04 −0,5 20 5 0 1 1 ] , 𝐶 = 𝐼₃

Ex 3 : Calculer 𝑀1,2 le (1,2)𝑒𝑚𝑒 mineur, puis 𝐶1,2 le (1,2)𝑒𝑚𝑒 cofacteur, puis 𝑀3,3 le (3,3)𝑒𝑚𝑒 mineur, puis 𝐶3,3 le

(3,3)𝑒𝑚𝑒_{cofacteur des matrices suivantes, lorsque cela est possible}

a) 𝐴 = [2 1_{1 2}] e) 𝐸 = [ 2 0 −2 0 0 1 3 1₂ 0 1 1₂ −1 −4 5 −1 0 ] b) 𝐵 = [−4 0₁ ₁] f) 𝐹 = [ 0 −1 −2 −3 1 0 −1 −2 2 1 0 −1 3 2 1 0 ] c) 𝐶 = [−1 04 0 21 −1 1 −3] g) 𝐺 = [ 1 0 2 0 −2 0 0 2 1 2 0 −1 0 0 −2 2 −1 0 −1 0 −1 0 1 0 0 ]

(2)

d) 𝐷 = [1 2 −1 32 1 0 0 0 ] h) 𝐻 = [ 1 0 2 1 12 0 4 0 1 1 2 0 0 −1 0 0 1 0 0 −2 0 0 −3 1 0 3]

Ex 4 : Calculer la transposée des matrices suivantes a) 𝐴 = [2 −3 7 0,1] b) 𝐵 = [ 2 7 1 0,4 −4 0,3] c) 𝐶 = [−1 04 0 21 −1 1 −3 ] d) 𝐷 = [1 2 −1 32 1 0 0 0]

Ex 5 : Calculer l’inverse des matrices suivantes lorsqu’il existe (commencer par calculer le déterminant, puis donner la comatrice, et enfin la matrice inverse)

a) 𝐴 = [2] b) 𝐵 = [0_{1 −1}3 ] e) 𝐸 = [ 1 0 0 3 2 0 9 1₃ −4] c) 𝐶 = [ 1_{−3 2}1] f) 𝐹 = [3 70 2 01 1 0 −1] d) 𝐷 = [4 −2_{1 −}1 2 ] g) 𝐺 = [2 4 −11 1 0 5 7 −1 ]

Ex 6 : Donner le gradient des fonctions suivantes 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 𝑦2_{+ 𝑒}𝑥−𝑦_{, (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}2

2) 𝑔(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥𝑦) − 𝑥2_{+ 3𝑦 + 81, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0}

3) ℎ(𝑥, 𝑦) =_𝑥𝑦1 − 𝑥12𝑦 + ln (𝑥 − 𝑦) pour 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑥 > 𝑦

4) 𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑥𝑦−1_{+ 𝑥}2_{− 4𝑦 + 25}

Ex 7 : Pour les fonctions suivantes

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3_{+ 3𝑥𝑦}2_{− 15𝑥 − 12𝑦}

𝑔(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥𝑦 − 𝑥2_{𝑦 − 𝑥𝑦}2

𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑥3_{− 3𝑥(1 + 𝑦}2₎

𝑗(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 − 𝑥3_{− 𝑦}3

(3)

1) Donner le gradient et la matrice Hessienne 2) Trouver les points critiques

3) Déterminer la nature de ces points critiques (maximum, minimum, point col) lorsque cela est possible.

Ex 8 : Calculer à l’aide de primitives, l’intégrale des fonctions suivantes

𝑎) ∫ (𝑥4 2_{− 3𝑥 − 1)} 0 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑒1 3𝑥_𝑑𝑥 −∞ 𝑐) ∫ (4𝑥 − 𝑒10 −𝑥_)𝑑𝑥 0 𝑑) ∫ (5 − 12𝑥 + 𝑥1 5₎ 0 𝑑𝑥 𝑒) ∫ (3 − 2𝑒2 −3𝑥_{+ 𝑥}2_)𝑑𝑥 −2 𝑓) ∫ 3𝑥2_𝑒𝑥3 𝑑𝑥 1 −∞ 𝑔) ∫ (𝑥 + 1)𝑒12𝑥2+𝑥_𝑑𝑥 2 0 ℎ) ∫ _𝑥₂2𝑥 − 1_{− 𝑥 + 4}𝑑𝑥 5 1 𝑖) ∫ _{1 + 5𝑥}3 𝑑𝑥 4 2 𝑗) ∫ _{𝑥 + 2}1 𝑑𝑥 0 −1

Ex 9 : 1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tels que

1 (3𝑥 + 1)(𝑥 + 2)= 𝑎 3𝑥 + 1+ 𝑏 𝑥 + 2 2) En déduire ∫ 1 (3𝑥 + 1)(𝑥 + 2)𝑑𝑥 1 0

Ex 10 : 1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tels que

1 (𝑥 + 5)(2𝑥 − 1)= 𝑎 𝑥 + 5+ 𝑏 2𝑥 − 1 2) En déduire ∫ 1 (𝑥 + 5)(2𝑥 − 1)𝑑𝑥 2 1

Ex 11 : Grâce à une intégration par parties calculer les intégrales suivantes

𝑎) ∫ (𝑥 + 1)𝑒2 −𝑥_𝑑𝑥 0 𝑏) ∫ (−2𝑥 + 1)𝑒1 2𝑥_𝑑𝑥 0 𝑐) ∫ 𝑥𝑒1 −3𝑥_𝑑𝑥 −2 𝑑) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥2 1 𝑒) ∫ (𝑥0 2_{− 5𝑥 + 1)𝑒}4𝑥_𝑑𝑥 −1