Devoir Surveill´ e Terminal du 06/01/2014.

Universit´e Bordeaux I 2013-14 MA3002 Analyse 2

Devoir Surveill´ e Terminal du 06/01/2014.

Documents non-autoris´ es, dur´ ee: 3 h.

Par d´efaut, l’espace en question est R^d muni de la norme euclidienne.

Vos r´eponses doivent ˆetre justifi´ees (= d´emontr´ees ou bien valid´ees par un contre-exemple).

Exercice 1. ( Questions 3 et 4 de cet exercice sont ind´ependantes ) SoitO⊂R^d un domaine, etf :O→Rune fonction.

1. Donner la d´efinition d’une deriv´ee partielle defau pointx⁰∈O. L’existence de deriv´ees partielles au point implique-t-elle la diff´erentiabilit´e de la fonc- tion? Sa continuit´e? Justifiez avec une d´emonstration ou un contre- exemple le cas ´ech´eant.

2. Donner le crit`ere de l’appartenance de la fonction f `a la classe C¹ en termes de ses deriv´ees partielles.

3. Soit

g(x, y) =

( _3x√2+4y²

x²+y² , (x, y)6= (0,0), 0 , (x, y) = (0,0).

(a) Montrer queg est continue surR².

(b) La fonction g admet-t-elle les deriv´ees partielles en (0,0)? Est-elle diff´erentiable `a ce point?

4. Soit maintenant

h(x, y) =

( _4x√3+3y³

x²+y² , (x, y)6= (0,0), 0 , (x, y) = (0,0).

(a) Montrer quehest diff´erentiable surR²\{(0,0}et y calculer sa diff´erentielle.

(b) Montrer quehest diff´erentiable au point (0,0) et y calculer sa diff´erentielle.

(c) La fonctionhest-elle de classeC¹surR²\{(0,0}? SurR²tout entier?

(d) Enoncer le r´esultat du cours sur l’´egalit´e des deriv´ees partielles mixtes d’ordre sup´erieur ( = le th´eor`eme de Clairaut).

(e) Calculer les deriv´ees _∂x∂y^∂2h (x, y) et_∂y∂x^∂2h (x, y) pour (x, y)6= 0. Peut-on appliquer le r´esultat de la question (d) `a ces deriv´ees surR²\{(0,0)}?

Au point (0,0)?

Exercice 2. Soit

v(x, y) = (x²−2y²)e^x−y, u(x, y, z) =x³+y²+z²+ 6xy−4z.

1. Calculer les points critiques et y pr´eciser le comportement local (maximum local, minimum local, le point selle, etc.) de ces fonctions.

2.^∗ Les points extr´emaux du point pr´ec´edent sont-ils locaux ou globaux?

T.S.V.P.

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Exercice 3.( Equation d’ondes )

On dit qu’une fonction U = U(x, t) est une solution de l’equation (E) (voir ci-dessous) si la fonctionU est d´efinie et 2-fois diff´erentiable surR×R⁺, et, de plus,

∂²

∂t²U(x, t)− ∂²

∂x²U(x, t) = 0. (E)

1. SoitU1 et U2deux solutions de (E). Montrer que U1+U2 l’est aussi.

2. Soitf :R→Rune fonction de classeC². Montrer que la fonction U1(x, t) = 1

2(f(x−t) +f(x+t))

satisfait l’equation (E) ainsi que les conditions initialesU₁(x,0) = f(x),

∂

∂tU₁(x,0) = 0.

3. Soitg:R→Rune fonction de classeC¹. Montrer que la fonction U2(x, t) =1

2 Z x+t

x−t

g(s)ds

satisfait l’equation (E) ainsi que les conditions initiales U₂(x,0) = 0,

∂

∂tU₂(x,0) =g(x).

4. En utilisant deux questions pr´ec´edentes, construire une solution de (E) satisfaisant les conditions initialesU(x,0) =f(x), _∂t^∂U(x,0) =g(x).

Exercice 4. Soit Γ une courbe dansR³donn´ee par

x(t) =tsint, y(t) =tcost, z(t) =t, t∈[0, π].

Calculer sa longueur.

FIN

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