MEDIAN * MÉDIANE * MEDIANA

(1)

**MEDIAN * MÉDIANE * MEDIANA**

Jean-Louis AYME ¹

Résumé. Nous présentons un théorème accompagné d'applications ainsi qu'une généralisation de celui-ci, suivie d'une application.

I. MÉDIANE PAR DEUX CERCLES ADJOINTS

VISION

Figure :

A

B C

U

2 1

Traits : ABC un triangle

1 le cercle passant par A et tangent à (BC) en B, 2 un cercle passant par A, C

et U le second point d'intersection de 1 et 2.

Donné : 2 est tangent à (BC) en C si, et seulement si,

(AU) est la A-médiane de ABC.

VISUALISATION NÉCESSAIRE

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), 2013 ; [email protected]

(2)

A

B C

U

U' 1

2

3

• Notons 3 le cercle circonscrit au triangle BCU

et U' le second point d'intersection de (AU) avec 3.

• Les cercles 1 et 3, les points de base U et B, les moniennes (ABU') et (BBC),

conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'ensuit que (AB) // (U'C).

• Les cercles 2 et 3, les points de base U et C, les moniennes (ABU') et (CCB),

conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'ensuit que (AC) // (U'B).

• Le quadrilatère ABU'C ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est un parallélogramme ; en conséquence, ses diagonales [AU'] et [BC] se coupent en leur milieu.

• Conclusion : (AU) est la A-médiane de ABC.

Scolie : 1 et 2 sont deux cercles adjoints relativement à la A-médiane de ABC.

Énoncé traditionnel ²: la corde commune à deux cercles sécants passe par le milieu de leur tangente commune.

2 Porismes d'Euclide

(3)

VISUALISATION SUFFISANTE

A

B C

U

2 1

• Raisonnons par l'absurde en affirmant que 2 n'est pas tangent à (BC) en C.

• Notons 2' le cercle tangent à (BC) en C

et U' le second point d'intersection de 1 et 2'.

• D'après la visualisation nécessaire, (AU') est la A-médiane de ABC ;

en conséquence, (AU') = (AU) ;

il s'ensuit que U' et U sont confondus ;

• Sachant que par trois points passe un et un seul cercle, 2' et 2 sont confondus ;

en conséquence, 2 est tangent à (BC) en C, ce qui est contradictoire.

• Conclusion : 2 est tangent à (BC) en C.

(4)

II. APPLICATIONS

1. Un exercice de préparation aux O.I.M.

VISION

Figure :

A

B A' C

K J

P 1

2

Traits : ABC un triangle,

J, K les milieux de [CA], [AB], A' le pied de la A-hauteur de ABC,

1, 2 les cercles circonscrits aux triangles AKJ, BA'K et P le second point d'intersection de 1 et 2.

Donné : (A'P) passe par le milieu de [JK].

VISUALISATION

A

B A' C

K J

P

3 1

2

• Notons 3 le cercle circonscrit au triangle CJA'.

• D'après Miquel "Le théorème du pivot" (Cf. Annexe 1), 1, 2 et 3 sont concourants en P.

(5)

• D'après Thalès "La droite des milieux", (JK) // (BC).

• Les triangles A'AB et A'CA étant rectangles en A', (1) le triangle KBA' est K-isocèle

(2) le triangle JA'C est J-isocèle.

• D'après "La tangente au sommet" (Cf. Annexe 2),

(JK) est la tangente commune extérieure à 2 et 3, resp. en K et J.

• Conclusion : d'après I., (A'P) passe par le milieu de [JK].

2. Milieu d'un segment

VISION

Figure :

A

B D C

F E

I J

1

D le pied de la A-bissectrice de ABC,

1 le cercle passant par A et tangent à [BC] en D,

E, F, I les seconds points d'intersection de 1 resp. avec [AC], [AB], [BE]

et J le point d'intersection de (AI) et (BC).

Donné : J est le milieu de [BD].

VISUALISATION

A

B D C

F E

I J

1

2

(6)

• Les angles égaux <FAD et <DAE interceptent les cordes égales [DE] et [DF] ; en conséquence, le triangle DEF est D-isocèle.

• D'après "La tangente au sommet" (Cf. Annexe 2), (FE) // (BC).

• Le cercle 1, les points de base A et I, les moniennes naissantes (FAB) et (EIB), les parallèles (FE) et (BC), conduisent au théorème 1" de Reim ;

en conséquence, le cercle passant par A, I et B est tangent à (BC) en B.

• D'après I., (AI) est la A-médiane du triangle ABD.

• Conclusion : J est le milieu de [BD].

3. Un problème de Sharygin ³

VISION

Figure :

A

D C

B 1

L

K

I

Traits : 1 un cercle, A un point de 1, Ta la tangente à 1 en A, B un point de Ta, I le milieu de [AB], [CD] une corde de 1

et K, L les seconds points d'intersection resp. de (BC), (BD) avec 1.

Donné : (CD) est parallèle à Ta si, et seulement si, (LK) passe par I.

3 Sharygin I., Problème II 181, Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986)

(7)

A

D C

B 1

L

K

2

• Le cercle 1, les points de base K et L, les moniennes naissantes (CKB) et (DLB), les parallèles (CD) et (AB), conduisent au théorème 1" de Reim ;

en conséquence, le cercle passant par K, L et B est tangent à (AB) en B.

• D'après I., (LK) est la L-médiane du triangle LAB.

• Conclusion : (LK) passe par le milieu de [AB].

A B

I K C

L

D

P 1

• Notons Q le point tel que APBL soit un parallélogramme.

• AQPD étant un parallélogramme, L, K, I et P sont alignés.

• Le cercle 1, les points de base A et K, les moniennes naissantes (AAB) et (LKP), les parallèles (AL) et (BP), conduisent au théorème 0" de Reim ;

en conséquence, A, K, B et P sont cocycliques.

• Notons 2 ce cercle.

(8)

• Le cercle 1, les points de base A et K, les moniennes naissantes (DAA) et (LKP), les parallèles (DL) et (AP), conduisent au théorème 3" de Reim ;

en conséquence, 2 est tangent à (AD) en A.

• Les cercles 1 et 2, les points de base A et K, les moniennes (DAA) et (CKB), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (DC) // (AB).

• Conclusion : (CD) est parallèle à Ta.

4. Deux perpendiculaires

VISION

Figure :

B C

A

I

K J

L

Traits : ABC un triangle A-isocèle, I le milieu de [BC],

K le pied de la perpendiculaire abaissée de I sur (CA), J un point de [IK]

et L le point d'intersection de (AJ) et (BK).

Donné : J est le milieu de [IK] si, et seulement si, (AJ) et (BK) sont perpendiculaires.

B C

A

I

K

J M

• Notons M le milieu de [KC].

(9)

• D'après Thalès "La droite des milieux" appliquée au triangle KIC, (JM) // (IC) ; la A-médiane (AI) étant aussi la A-hauteur de ABC, (BIC) ⊥ (AI) ;

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (JM) ⊥ (AI).

• J étant l'orthocentre du triangle AIM, (AJ) ⊥ (IM) ; d'après Thalès "La droite des milieux" appliquée au triangle CKB, (IM) // (BK) ;

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (AJ) ⊥ (BK).

• Conclusion : (AJ) et (BK) sont perpendiculaires.

B C

A

I

K J

N

L

1 2

• Notons N le milieu de [AB].

• D'après Thalès "La droite des milieux" appliquée au triangle BCA, (IN) // (AC) ;

par hypothèse, (AC) ⊥ (IK) ;

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (IN) ⊥ (IK).

• Notons 1 le cercle de diamètre [AB] ; il passe par L et est tangent à (IK) en I ; et 2 le cercle de diamètre [AK] ; il passe par L et est tangent à (IK) en K.

• D'après I., la cévienne (ALJ) est la A-médiane du triangle AIK.

• Conclusion : J est le milieu de [IK].

5. Milieu du segment

VISION

Figure :

(10)

A B C D

E

F K

1

Traits : 1 un cercle,

A, B deux points diamétraux de 1, C un point de 1,

D le milieu de l'arc AC ne contenant pas B,

E le pied de la perpendiculaire abaissée de D sur (BC), F le second point d'intersection de (AE) avec 1 et K le point d'intersection de (BF) et (DE).

Donné : K est le milieu de [DE].

VISUALISATION

A B

C D

E

F K

1

2

• Notons 2 le cercle de diamètre [BE] ; il passe par F.

• Par définition, 2 est tangent à (DE) en E.

• D'après I., (BF) passe par le milieu de [DE].

(11)

• Conclusion : K est le milieu de [DE].

6. 41-ième O.I.M. Taejon CORÉE 2000

VISION

Figure :

M

N A

B C

D E

P

Q 1

2 T

Mn

Traits : 1, 2 deux cercles sécants,

M, N les points d'intersection de 1 et 2,

T la tangente commune à 1 et 2 telle que M en soit le plus proche, A, B les points de contact de T avec 1 et 2,

Mm la monienne passant par M, parallèle à T,

C, D les seconds points d'intersection de Mmavec 1 et 2,

et E, P, Q les points d'intersection de (CA) et (DB), (AN) et (CD), (BN) et (CD).

Donné : le triangle EPQ est E-isocèle.

VISUALISATION

M

N A

B C

D E

P

Q I

J

1 3 2 Mn

T

(12)

•••• D'après "Une monienne brisée" (Cf. Annexe 4), A, N, B et E sont cocycliques.

•••• Notons 3 ce cercle.

•••• D'après I., (NM) est la N-médiane du triangle NBA.

•••• Notons I le point d'intersection de (NM) et (AB) et J le second point d'intersection de (NM) avec 3.

•••• Conclusion partielle : d'après "Le trapèze complet" (Cf. Annexe 3)

appliqué au trapèze APQB, M est le milieu de [PQ].

M

N A

B C

D E

P

Q I

J

1 3 2

T

Mn

• Les cercles 1 et 3 conduisent au théorème 3 et 0 de Reim ; il s'ensuit que (AM) // (BJ) et (MC) // (EJ).

• Les cercles 2 et 3 conduisent au théorème 3 et 0 de Reim ; il s'ensuit que (BM) // (AJ) et (MD) // (EJ) ; en conséquences, le quadrilatère AMBJ est un parallélogramme et (EJ) // Mm ;

par hypothèse, Mm // (AB) ;

par transitivité de la relation //, (EJ) // (AB).

• D'après "Un trapèze isocèle" (Cf. Annexe 5), le trapèze ABEJ est isocèle ;

en conséquences, AE = BJ = AM et BE = AJ = BM ;

d'après le théorème de la médiatrice, (EM) ⊥ (AB) ;

par hypothèse, (AN) // (PQ) ;

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (EM) ⊥ (PQ).

• Conclusion : (EM) étant la E-hauteur et médiane du triangle EPQ, EPQ est E-isocèle.

7. Un cercle tangent⁴

VISION

Figure :

4 11th Asian Pacific Mathematical Olympiad (mars 1999) problem 2

(13)

A B Q

P

C

R 1

2 3

T Tp

P, Q les points d'intersection de 1et 2, T la tangente sud, commune à 1et 2, A, B les points de contact de T resp. avec 1, 2, Tp la tangente à 1 en P,

C le second point d'intersection de Tp avec 2, R le point d'intersection de (BC) avec Tp et 3 le cercle circonscrit au triangle PRQ.

Donné : 3 est tangent à (BC) en R.

VISUALISATION

A B

Q

P

C

R

I J 1

2

4

3

• Notons I le point d'intersection de (PQ) et [AB], 4 le cercle circonscrit au triangle ABQ

et J le second point d'intersection de (PQ) avec 4.

• D'après le théorème de l'angle inscrit, <QBC = <QPC ; d'après le théorème de la tangente, <QPC = <QAP ; par transitivité de la relation =, <QBC = <QAR ;

en conséquence, 4 passe par R.

• D'après I., I est le milieu de [AB] ;

d'après "Milieu d'une monienne" (Cf. Annexe 6), I est le milieu de [PJ] ;

(14)

en conséquences, (1) AJBP est un parallélogramme

(2) (PR) // (JB).

• Les cercles 3 et 4, les points de base Q et R, la monienne (PQJ), les parallèles (PR) et (JB),

conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, la monienne (RRB) est tangente à 3 en R.

• Conclusion : 3 est tangent à (BC) en R.

Scolies : (1) mutatis mutandis nous montrerions que, 3 est tangent à (BP) en P (2) BP = BR.

(3) une autre formulation ⁵

A B

Q

P

C

1

2 R

P, Q les points d'intersection de 1et 2, T la tangente sud, commune à 1et 2, A, B les points de contact de T resp. avec 1, 2, Tp la tangente à 1 en P,

C le second point d'intersection de Tp avec 2 et R le point de [BC] tel que BR = BP.

Donné : A, B, Q et R sont cocycliques.

5 Vietnam TST (2000)

(15)

8. 26-ième O.M. RUSSIE 2000 ⁶

VISION

Figure :

A

B A' C

M E

N 1

3

2

Traits : ABC un triangle, A' le milieu de [BC],

E un point de la A-médiane de ABC,

1 le cercle tangent à (BC) en B, passant par E, M le second point d'intersection de (AB) avec 1, 2 le cercle tangent à (BC) en C, passant par E, N le second point d'intersection de (AC) avec 2 et 3 le cercle circonscrit au triangle AMN.

Donné : 3 est tangent à 1 et à 2.

VISUALISATION

6 Problème 15

(16)

A

B A' C

E

M N

1 F 4

2

• Notons F le second point d'intersection de 1 et 2.

• D'après I., F est sur la E-médiane du triangle EBC i.e. sur (EA').

• D'après l'axiome d'incidence Ia, F est sur la A-médiane du triangle EBC i.e. sur (AA').

• D'après Monge "Le théorème des trois cordes" (Cf. Annexe 7), B, C, N et M sont cocycliques.

• Notons 4 ce cercle.

A

B A' C

E M

N 1

F 4

3

2

• Notons Ta la tangente à 3 en A.

• Les cercles 4 et 3, les points de base M et N, les moniennes (BMA) et (CNA),

conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'ensuit que (BC) // Ta.

• Les cercles 1 et 3, le point de base M, la monienne (BMA), les parallèles (BC) et Ta,

conduisent au théorème 8' de Reim ; en conséquence, 1 et 3 sont tangents en M.

(17)

• Mutatis mutandis, nous montrerions que 2 et 3 sont tangents en N.

• Conclusion : 3 est tangent à 1 et à 2.

Scolie : les tangentes en M et N ⁷

A

B A' C

E M

N 1

F 3

2

• Notons Tm la tangente à 1 en M et Tn la tangente à 2 en N.

• Conclusion : d'après Monge "Le théorème des trois cordes" (Cf. Annexe 7) appliqué à 1, 2 et 3, Tm et Tn se coupent sur (AA').

7 Chypre M.O. (2007)

(18)

9. Un cercle tangent à une droite ⁸

VISION

Figure :

A E

F

M C

D

B 1

2

3

Traits : ABCD un quadrilatère cyclique, 1 le cercle circonscrit à ABCD,

E, F, M les points d'intersection de (AD) et (BC), (AB) et (CD), (AC) et (EF), et 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles AEC, ACF.

Donné : si, 2 est tangent à (EF) en E alors, 3 est tangent à (EF) en F.

VISUALISATION

8 USAMO (2003) problème 4

(19)

A E F

M C

D

B 1

2 3

• Notons Te la tangente à 2 en E et Tf la tangente à 3 en F.

• Scolie : Te = (BMF).

• Les cercles 2 et 1, les points de base A et C, les moniennes (EAB) et (ECD),

conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'ensuit que Te // (BD).

• Les cercles 1 et 3, les points de base C et A, les moniennes (BCF) et (DAF),

conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'ensuit que (BD) // Tf ;

par transitivité de la relation //, Te // Tf ;

d'après le postulat d'Euclide, Tf = (BMF).

• Conclusion : 3 est tangent à (EF) en F.

Commentaire : cet énoncé est équivalent à celui proposé lors des Olympiades des États-unis en 2003.

(20)

III. UNE GÉNÉRALISATION

VISION

Figure :

A

B C

M

I J

1

2

1 un cercle passant par A et B,

I le second point d'intersection de (BC) avec 1,

J un point de (BC) situé de la même façon que I par rapport à [BC], 2 le cercle passant par A, J, C

et M le second point d'intersection de 1 et 2.

Donné : (AM) est la A-médiane de ABC si, et seulement si, BI = CJ.

(21)

A

B C

M

I J

U 1

2 4

3

• Notons 3 le cercle passant par A et tangent à (BC) en B, 4 le cercle passant par A et tangent à (BC) en C et U le second point d'intersection de 3 et 4.

• D'après I., (AU) est la A-médiane de ABC ;

en conséquence, (AU) = (AM) ;

il s'ensuit que A, U et M sont alignés.

• Les cercles 1 et 3, les points de base B et A, les moniennes (IBB) et (MAU),

conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'ensuit que (IM) // (BU).

• Les cercles 2 et 4, les points de base C et A, les moniennes (JCC) et (MAU),

conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'ensuit que (JM) // (CU).

A

B C

M

I J

U

X Y

1 2 4

3

• Notons X, Y les points d'intersection de la parallèle à (BC), passant par M, resp. avec (BU), (CU).

(22)

• D'après "Le trapèze complet" (Cf. Annexe 3), M est le milieu de [XY] ou encore MX = MY.

• Par définition, les quadrilatères BIMX et CJMY ayant leurs opposés parallèles, sont des parallélogrammes ;

en conséquences, BI = MX et MY = CJ.

• Conclusion : par transitivité de la relation =, BI = CJ.

A

B C

M

I A' J M'

J' 1

2

5

• Raisonnons par l'absurde en affirmant que (AM) n'est pas la A-médiane de ABC.

• Notons A' le milieu de [BC],

M' le second point d'intersection de (AA') avec 1, 5 le cercle passant par les points A, C, M' et J' le second point d'intersection de [BC] avec 5.

• Scolie : (AM') est la A-médiane de ABC.

• Par hypothèse, CJ = BI ;

d'après la visualisation nécessaire, BI = CJ' ; par transitivité de la relation =, CJ = CJ' ;

en conséquences, (1) J et J' sont confondus (2) M et M' sont confondus

(3) (AM) est la A-médiane de ABC, ce qui est contradictoire.

• Conclusion : (AM) est la A-médiane de ABC.

Scolies : (1) les points situés sur le support d'un segment, à égale distance du point milieu de celui ci, ont été appelés "points isotomiques relativement à ce segment" par de Gohierre de Longchamps.

(2) Étymologiquement, "isotomique" veut dire "qui partagent la même section".

(23)

IV. APPLICATION

UN MILIEU SUR LE TRIANGLE ORTHIQUE ⁹

VISION

Figure :

A

B A' C

B'

D

P

Q 0

Traits : ABC un triangle acutangle,

A', B' les pieds des A, B-hauteurs de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC,

D un point de 0

et P, Q les points d'intersection de (AA') et (BD), (BB') et (AD).

Donné : le milieu de [PQ] est sur (A'B').

VISUALISATION

9 ARO (2005) 10-6 / 9.7

(24)

A

B A' C

B' H

D

P

Q

0 M

1 2

• Notons H l'orthocentre de ABC.

• Scolie : le quadrilatère HA'CB' est cyclique.

• Notons 1 le cercle circonscrit à HA'CB'.

• Nous avons : <QDP = < ADB ;

d'après le théorème de l'angle inscrit, <ADB = <ACB ; d'après le théorème "Angles à côtés perpendiculaires", <ACB = <BHA' ;

nous avons : <BHA' = < BHP ;

par transitivité de la relation =, <QDP = <BHP ; en conséquence, le quadrilatère HPDQ est cyclique.

• Notons 2 le cercle circonscrit à HPDQ.

• D'après Miquel "Le théorème du pivot" (Cf. Annexe 1)

appliqué au triangle QAB' avec D sur (QA), C sur (AB') et H sur (QB'), 0, 1 et 2 sont concourants.

• Notons M ce point de concours.

A

B A' C

B' H

D

P

Q

0 M

1 2

A"

X

P'

(25)

• Notons A" le second point d'intersection de (AH) avec 0, X le second point d'intersection de (MA') avec 2 et P' le point d'intersection de (QX) et (AH).

• Les cercles 1 et 2, les points de base H et M, les moniennes (B'HQ) et (A'MX),

conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'ensuit que (B'A') // (QX).

• D'après Carnot "Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté" (Cf. Annexe 8), A' est le milieu de [HA"] i.e (MA') est la M-médiane du triangle MHA".

A

B A' C

B' H

D

P

Q

0 M

1 2

A"

X

P'

3

• Notons 3 le cercle passant par X, P' et A".

• D'après Miquel "Le théorème du pivot" (Cf. Annexe 1)

appliqué au triangle P'QA avec X sur (P'Q), D sur (QA) et A' sur (P'A), 0, 2 et 3 sont concourants en M.

• D'après III., P' et P sont deux points isotomiques de [HA"] i.e. A' est le milieu de [PP'].

• Conclusion : d'après Thalès "La droite des milieux" appliqué au triangle PP'Q, le milieu de [PQ] est sur (A'B').

(26)

ANNEXE

1. Le théorème du pivot ¹⁰

A

B I C

J K

P

1 2 3

Traits : 1, 2, 3 trois cercles sécants deux à deux, K, P les points d'intersection de 1 et 2, I l'un des points d'intersection de 2 et 3, J l'un des points d'intersection de 3 et 1,

A un point de 1,

B le second point d'intersection de la monienne (AK) avec 2 et C le second point d'intersection de la monienne (BI) avec 3.

Donné : (CJA) est une monienne de 3 et 1 si, et seulement si, 3 passe par P.

2. La tangente au sommet

B C

A

O

0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0

et Ta la tangente à 0 en A.

Donné : ABC est isocèle en A si, et seulement si, Ta est parallèle à la base (BC).

3. Le trapèze complet

10 Miquel, Théorèmes de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville vol. 1, 3 (1838) 485-487

(27)

D C

A B

L K

J

I

Traits : ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AB], J le milieu de [CD],

K le point d'intersection des droites latérales (AD) et (BC), et L le point d'intersection des diagonales (AC) et (BD).

Donné : ABCD est un trapèze de bases (AB) et (CD) si, et seulement si, I, J, K et L sont alignés.

4. Une monienne brisée

A

B I

M J

N

K 1

2

D

Traits : 1, 2 deux cercles sécants

A, B les points d'intersection de 1et 2, D une monienne passant par B,

M, N les points d'intersection de D resp. avec 1, 2,

I, J deux points resp. de 1, 2 tels que (IAJ) soit une monienne brisée en A et K le point d'intersection de (IM) et (JN).

Donné : I, A, J et K sont cocycliques.

(28)

5. Un trapèze isocèle

A B

D C

Traits : ABCD un trapèze de grande base [AB] et de petite base [CD]

Donné : ABCD est cyclique si, et seulement si, ABCD est isocèle.

6. Milieu d'une monienne ¹¹

P A

B

I P' Q'

Q 1

2

A, B les points d'intersection de 1 et 2, Ma une monienne passant par A,

P, P' les seconds points d'intersection de Ma resp. avec 1 et 2, I le milieu de [PP'],

Mb la monienne (BI)

et Q, Q' les seconds points d'intersection de Mb resp. avec 1 et 2.

Donné : I est le milieu de [QQ'].

Commentaire : ce résultat reste vraie dans les cas de tangence des droites.

11 A Collection of Problems in High School Mathematics, Peking (1981)

(29)

7. Le théorème des trois cordes ¹²

F

E A

B

I

D

C 1

2

A, B les points d'intersection de 1et 2,

C, D deux points de 2,

E, F deux points de 1

et I le point d'intersection des droites (AB) et (CD).

Donné : les points C, D, E et F sont cocycliques si, et seulement si,

les droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes en I.

8. Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté ¹³ A

B C

H

H' A'

0

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre du triangle,

A' le pied de la hauteur de ABC en A, 0 le cercle circonscrit à ABC

et H' le pied de la hauteur de ABC en A sur 0.

12 Monge, d'après Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, I (1822) 40

13 Carnot, n° 142, De la corrélation des figures géométriques (1801) 101

(30)

Donné : A' est le milieu de [HH'].