Pincement spectral en courbure de Ricci positive

Pincement spectral en courbure de Ricci positive

Jérôme Bertrand

Résumé.Dans cet article, nous démontrons que sur les variétés riemanniennes de dimensionn vérifiant Ric ≥(n−1)get pourkdans{1, . . . , n+1}, lak^evaleur propre du laplacien est proche densi et seulement si la variété contient une partie Gromov–Hausdorff proche de la sphère_S^k−1. Pourk=n+1, nous obtenons une nouvelle preuve des résultats de Petersen et Colding qui montrent que pour de telles variétés, la(n+1)^evaleur propre est proche densi et seulement si la variété est Gromov–Hausdorff proche de la sphère de dimensionn.

Abstract. We show that for n-dimensional manifolds with Ric ≥ (n−1)g and for k in {1, . . . , n+1}, the k-th eigenvalue for the Laplacian is close tonif and only if the mani- fold contains a subset which is Gromov–Hausdorff close to the sphere_S^k−1. Fork=n+1, this gives a new proof of results of Colding and Petersen which show that the(n+1)-th eigenvalue is close tonif and only if the manifold is Gromov–Hausdorff close to then-sphere.

Codes AMS (2000).53C20, 58J50.

Mots-clés.Géométrie riemannienne, pincement, distance de Gromov–Hausdorff.

Introduction

Dans cet article, nous considérons les variétés riemanniennes connexes, compactes (M, g)de dimensionndont la courbure de Ricci vérifie l’inégalité Ric≥(n−1)g.

On noteMnl’ensemble (des classes d’isométrie) de ces variétés. SurMn, la sphère canonique(Sⁿ, g_can)réalise l’extrémum de plusieurs invariants riemanniens.

Théorème 1([15], [3], [14], [5], [16]). Tout élément(M, g)deMnvérifie diam(M)≤π, vol(M)≤vol(Sⁿ), λ1(M)≥n,

où λ₁(M) désigne la première valeur propre (non nulle) du laplacien de (M, g) agissant sur les fonctions. De plus, dans chaque inégalité, l’égalité n’a lieu que si la variété(M, g)est isométrique à la sphère canonique.

L’objet de cet article est de caractériser les variétés appartenant àMndont le début du spectre est presque minimal (c’est-à-dire proche den). De nombreux auteurs se

sont intéressés à cette question de la presque égalité (aussi appelée pincement) pour des invariants riemanniens comme le volume ou le diamètre. Nous rappelons ci- dessous quelques-uns de ces résultats, qui ont plus particulièrement motivé ce travail.

Le premier d’entre eux est que la première valeur propre (non nulle) du laplacien d’un élément deMnest proche densi et seulement si le diamètre de cette variété est proche deπ(la condition nécessaire est due à S.Y. Cheng [5], la condition suffisante à C. Croke [8]). Plus précisément, l’équivalence est la suivante :

Théorème 2([5], [8]). Pour tout réel positifε, il existe un réel positifηtel que tout élément (M, g)deMn pour lequeldiam(M) > π −η (respectivementλ₁(M) <

n+η), vérifieλ₁(M) < n+ε (respectivementdiam(M) > π−ε).

Dans la suite, nous écrirons simplement « est proche de » pour ce type d’équiva- lence.

En 1996, T. Colding a démontré des résultats de pincement faisant intervenir la distance de Gromov–Hausdorff (nous renvoyons à [11] pour la définition de cette distance) :

Théorème 3([7], [6]). Pour tout élément(M, g)deMn, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) vol(M)est proche devol(Sⁿ), 2) rad(M)est proche deπ, 3)d_GH(M,Sⁿ)est proche de0,

oùrad(M)est le plus petit rayon d’une boule recouvrantMetd_GHdésigne la distance de Gromov–Hausdorff.

Par la suite, P. Petersen a obtenu une nouvelle condition équivalente faisant inter- venir le spectre du laplacien. Rappelons que sur la sphère canoniqueSⁿ, la première valeur propre non nullenest de multiplicitén+1.

Théorème 4([17]). Pour tout élément(M, g)deMn, les conditions suivantes sont équivalentes :

1) rad(M)est proche deπ, 2)λ_n+1(M)est proche den.

Pour énoncer le résultat principal de cet article, nous avons besoin de la définition suivante.

Définition 1. Soit(M, g)un élément deMn,kun entier positif etηun nombre réel positif ou nul. La variété(M, g)vérifie la propriété P_k(η)s’il existe k couples de points(x₁, y₁), . . . , (x_k, y_k)dansM², vérifiant pour toutidans{1, . . . , k},

d(x_i, y_i) > π−η,

et pour touti, jdistincts dans{1, . . . , k}, d(x_i, x_j)− π

2 < η.

Dans cet article, nous démontrons le

Théorème 5. Soitkdans{1, . . . , n+1}. Pour tout élément(M, g)deMn, les pro- priétés suivantes sont équivalentes :

1)λ_k(M)est proche den,

2)(M, g)vérifie la propriétéP_k(η)pourηproche de0,

3)(M, g)contient une partieA_ktelle qued_GH(A_k,S^k−1)est proche de0.

De plus, si la troisième propriété est satisfaite, la partieA_kvérifie également une propriété de « presque convexité ». Nous renvoyons à la proposition4.5pour plus de détails.

Lorsquek=1, l’énoncé du théorème 5 se ramène à celui du théorème 2. Lorsque k = n+1, notre démonstration fournit en particulier une nouvelle preuve de la propriété

λ_n+1(M)proche den, impliqued_GH(M,Sⁿ)proche de 0, (1) autrement dit, on peut prendreA_n+1=Mdans l’énoncé ci-dessus.

Sous les hypothèses du théorème 4, P. Petersen montre également que l’application = ^{(f1,...,fn+1)}

f₁²+···+f_n+1² est une approximation de Gromov–Hausdorff deM sur la sphère canonique, où les(f_i)_1≤i≤n+1sont les fonctions propres associées à(λ_i(M))_1≤i≤n+1 et normalisées par analogie avec le cas de la sphère. Une étape importante de la démonstration de P. Petersen de l’implication (1) est de prouver que l’application est surjective. Pour cela P. Petersen montre que le degré deest non nul¹. Dans notre cas, il n’y a pas de raison pour que la partieA_ksoit une variété de dimension k−1 et donc on ne peut pas appliquer un argument de degré. Nous utilisons à la place un lemme de ToponogovL²initialement introduit par T. Colding dans [7] mais contrairement à T. Colding nous ne fixons pas des conditions au bord pour l’équation différentielle sous-jacente mais des conditions initiales de Cauchy. Ceci nous permet d’obtenir une nouvelle preuve du résultat de C. Croke et même d’obtenir un lien précis entre la fonction propre et les points à distance presqueπ(voir la proposition 3.2). Le contrôle de la condition initiale sur la dérivée est une conséquence d’une estimation du gradient d’une fonction propre due à P. Li et S. T. Yau.

Cet article est organisé de la manière suivante. Dans la deuxième section, nous donnons les estimations sur les fonctions propres qui nous seront nécessaires pour

1P. Petersen a reconnu avoir commis une erreur dans sa démonstration de la surjectivité [18], la preuve du théorème 5 donne en particulier une preuve complète de la propriété (1).

démontrer le théorème 5, nous présentons également le lemme de Toponogov L² (lemme 1.6) et l’utilisation que nous allons en faire. Dans la troisième section, nous démontrons qu’un élément deMn vérifiant la propriétéP_k(η)pourη petit a néces- sairementk valeurs propres proches den. La quatrième section est consacrée à la réciproque. Dans la dernière partie nous montrons que la condition 1) implique la condition 3), ce qui termine la preuve du théorème 5 puisque la condition 3) implique clairement la condition 2).

1. Résultats préliminaires

Soitp≥1 un nombre réel ethappartenant àL^p(M). On note hL^p =

1 volM

M

h^pdx _p¹

.

On utilisera la définition usuelle pour la normeL^∞.

On noteraτ (ε), r(ε), η(ε), etc. . . de manière générique, toute quantité positive ne dépendant que deεet de la dimensionnde la variété, dont la limite quandεtend vers0est0.

Enfin, toute fonction propref de valeur propre proche densera normalisée par analogie avec le cas de la sphère, par

1 vol M

M

f²= 1

n+1. (2)

Les fonctions propres de(Sⁿ, g_can)associées à la valeur proprensont les fonctions cosd_x, avecxappartenant àSⁿetd_x la fonction distance au pointx. En particulier, elles vérifient

cos²d_x+ |∇cosd_x|² =1, (3)

1 vol(Sⁿ)

Sⁿcos²d_x = 1 n+1.

Sur une variété deMnadmettant des valeurs propres proches den, on a l’estimation suivante due à P. Li :

Proposition 1.1([13]). Soit(Mⁿ, g)une variété riemannienne compacte de dimen- sion ndont la courbure de Ricci vérifieRic ≥ (n−1)g. Soitf une combinaison linéaire de fonctions propres du laplacien sur(M, g)

f = k

i=1

a_if_i,

aveckun entier non nul etf_i=λ_if_ipour toutidans{1, . . . , k}. Supposons que pour toutidans{1, . . . , k},

λ_i ≤n+ε avecε >0, alors

f²+ |df|²L^∞≤(1+τ (ε))(n+ε+1)f²_L2,

où τ (ε) est une fonction croissante ne dépendant que de n et telle que lim_ε→0τ (ε)=0.

Remarque 1.2. En particulier sif est une fonction propre de valeur propre non nulle λ≤n+εet si _{vol M}¹

Mf²= _n+¹₁, on obtient pour toutxdansM, f²(x)+ |df|²(x)≤1+τ (ε),

donc comme _{vol M}¹

Mf²+ |df|² = ^λ+_n+1¹, on en déduit que (3) est « stable » pour la normeL¹:

1 vol M

M|f²+ |df|²−1| ≤τ (ε).

D’autre part, si l’on supposeε <1 alors il existe une constanteC(n)ne dépendant que de la dimensionndeM, telle que

f²+ |∇f|²L^∞ ≤C(n), (4)

nous utiliserons implicitement cette propriété par la suite.

La preuve de ce type d’inégalité est essentiellement classique, elle repose sur une inégalité de Sobolev et le procédé d’itération de Moser. Nous renvoyons à [10] et à [2, lemme 1.4] pour une démonstration dans ce cas particulier. Une conséquence de cette proposition est qu’un élément deMn admet au plusn+1 valeurs propres proches den.

Corollaire 1.3([10]). Il existe une constanteC(n) >0telle que pour tout élément (M, g)deMn,

λn+2(M)≥n+C(n).

Une autre propriété caractéristique des fonctions cosd_x sur la sphère(Sⁿ, gcan) est qu’elles sont solutions de l’équation

Hessf +f g_can=0.

Un résultat de M. Obata [16] montre que ce sont les seules solutions parmi les fonc- tions régulières définies sur un élément (M, g) de Mn. Cependant, à l’aide de la formule de Bochner, on montre (voir par exemple [7], page 178) la

Proposition 1.4. Il existe une constanteC(n)telle que tout élément(M, g)deMn

pour lequeln≤λ₁(M)≤n+ε,vérifie l’inégalité

Hessf +f gL² ≤C(n)ε¹²fL², oùf est une fonction propre associée àλ₁(M).

Remarque 1.5. Il existe des éléments deMn non homéomorphes à la sphère dont la première valeur propre est arbitrairement proche den(voir par exemple [1]). Un résultat de S. Gallot [9, lemme 3.1] implique alors qu’on ne peut espérer obtenir une estimation similaire de Hessf +f gen normeL^∞.

Le lemme suivant permet de déduire des informations géométriques de cette in- égalité sur le hessien.

Lemme 1.6([4, Theorem 2.11]). Soit(M, g)un élément deMn. Il existe des con- stantes, ne dépendant que de n, notéesC(n)etC(n), telles que pour˜ x₁etx₂appar- tenant àM,r₁, r₂des réels positifs(on noteB_i = B(x_i, r_i))et pour toute fonction continuehsurM, on a

1 vol(B1×B2)

B₁×B₂ γxy

h²

dxdy

≤C(n) 1

volB₁ + 1

volB_{2 M}h²(x) dx.

(5)

On obtient, en particulier, pourr1=r2=r 1

vol(B1×B₂)

B1×B2 γxy

h²

dxdy≤ C(n)˜ V (r)

1 vol(M)

M

h²(x) dx.

Remarque 1.7. La notation V (r) désigne le volume d’une boule géodésique de (Sⁿ, g_can)de rayonr. La notationB₁×B₂désigne en réalité le sous-ensemble de me- sure pleine de ce produit, constitué par les couples admettant une unique géodésique minimisante les reliant (notéeγ_xy). La seconde inégalité se déduit de la première en utilisant le théorème de Bishop–Gromov (nous renvoyons à [11] pour un énoncé).

En appliquant ce lemme à la fonction|Hessf +f g|oùf est la fonction propre associée àλ₁(M)normalisée par (2), dans le cas oùr₁ = r₂ = r et en remarquant que pour une géodésique paramétrée par longueur d’arc

|(f γ_xy) (t )+(f γ_xy)(t )|²≤ |Hessf +f g|²,

on déduit de la proposition 1.4

1 vol(B₁×B₂)

B₁×B₂

_d(x,y)

0 |(fγ_xy) (t )+(fγ_xy)(t )|²dt dxdy ≤C(n) ε V (r). (6) Par conséquent, pour des rayonsr(ε) convenables (i.e. tels que _{V (r(ε))}^ε soit petit), l’inégalité de Byenaimé–Tchebitchev implique l’existence de points x, ypour les- quelsf γ_xy vérifie presque la même équation différentielle que dans le cas de la sphère canonique. On peut ensuite par des méthodes classiques comparerf γ_xy à une solution correspondante sur la sphère en fixant des conditions au bord (comme l’a fait T. Colding dans [7]) à l’aide du lemme suivant.

Lemme 1.8. Soitv(t )etZ(t )deux fonctions définies sur[0, l]avecl < π. On suppose quel

0Z²(t )dt < ε²et quev est solution dev +v = Z avec|v(0)−a|< ηet

|v(l)−b|< η. Il existe une constante positiveCtelle que pour toutt dans[0, l],

|v(t )− ˜u_a,b(t )|< C

sin(l)(ε+η) et

|v(t )− ˜u_a,b(t )|< C

sin(l)(ε+η),

où u˜_a,b est la solution deu +u = 0 sur [0, l] vérifiant les conditions initiales u(0)=aetu(l)=b.

On peut également fixer des conditions de Cauchy.

Lemme 1.9. Soitv(t )etZ(t )deux fonctions définies sur[0, l]avecl ≤π. On suppose que_l

0Z²(t )dt < ε²et quev est solution dev +v = Z avec|v(0)−a|< ηet

|v(0)−b|< η. Il existe une constante positiveCtelle que pour toutt dans[0, l],

|v(t )−u_a,b(t )|< C(ε+η) et

|v(t )−u_a,b(t )|< C(ε+η),

où u_a,b est la solution de u +u = 0sur [0, l] vérifiant les conditions initiales u(0)=aetu(0)=b.

Pour contrôler les conditions initiales de l’équation différentielle dans le lemme 1.9, nous aurons besoin d’une estimation due à P. Li et S. T. Yau ([13], voir également [19], page 108) qui prouve que la norme du gradient d’une fonction propre sur un élément deMn, reste petite au voisinage des points réalisant les extréma de la fonction propre. Ce résultat ne peut découler directement d’une estimation sur le hessien de la fonction propre car on constate, en considérant des sphères rondes de rayon arbitrairement petit, que la normeL^∞ du hessien d’une fonction propre de norme 1, tend vers l’infini.

Proposition 1.10([13]). Soit(M, g)un élément deMnetf une fonction propre de valeur propre non nulleλ. Sous ces hypothèses, on a pour toutxdansM, l’estimation

|∇f|²(x)≤ 2λsup_Mf

sup_Mf −inf_Mf(sup_Mf −f (x))(f (x)−infMf ).

2. Variétés vérifiant la propriétéPk(η)

L’objet de cette partie est de démontrer le

Théorème 2.1. Soitkdans{2, . . . , n+1}. Il existe une fonctionτ (η)telle que, pour tout élément(M, g)deMnvérifiant la propriétéP_k(η), on a l’estimation

λ_k(M)≤n+τ (η).

La démonstration du théorème 2.1 repose en partie sur l’utilisation de fonctions cosd_p pourpappartenant àM et admettant un « presque antipode » (c’est-à-dire,p est tel que sup_x∈Md(p, x)est proche deπ). Nous étudions de telles fonctions dans le prochain paragraphe.

2.1. Propriétés des fonctions cosdp. Sur la sphère canonique, toute fonction (propre) cosd_p est une combinaison linéaire d’une base de fonctions propres as- sociées à la valeur propren. Précisément, si(x_i)_1≤i≤n+1 est une base orthonormée de l’espace euclidienRⁿ⁺¹alors pour tout élémentpdeSⁿ

cosd_p =

n+1

i=1

cosd(p, x_i)cosd_xi. (7)

En particulier sip appartient àS^k−1 (en identifiantS^k−1 à la partie deSⁿ dont les n−k +1 dernières coordonnées sont nulles), seuls les p premiers termes de la somme ci-dessus sont non tous nuls. Nous allons montrer que la propriété (7) sur les fonctions cosd_p est « stable » pour les pointspadmettant un presque antipode. Ce résultat améliore un lemme démontré par P. Petersen [17, lemme 4.3].

Lemme 2.2. Il existe une fonctionτ (t ) tendant vers0 avect, telle que pour tout nombre réel positifε, ηvérifiantη < εet pour tout élément(M, g)deMncontenant deux pointsp, qvérifiantd(p, q) > π−η, on a

cosd_p− k

i=1

a_i(p)f_i

L^∞ ≤τ η

ε

, (8)

oùk =max{i;λ_i(M)≤n+ε}est un entier non nul et où lesa_i(p)sont les coefficients de Fourier de la fonction cosd_p par rapport à une base orthogonale (f_i)_i≥0 de fonctions propres normalisées par (2), c’est-à-direa_i(p) = _volⁿ⁺_M¹

Mcosd_pf_i. De plus, les coefficientsa_i(p)vérifient pourεassez petit

k

i=1

a_i²(p)−1≤C(n)η ε.

Preuve. Soitpcomme dans l’énoncé. Dans la suite, on note(a_i)_i∈Nles coefficients de Fourier de cosdp. Une conséquence de la formule de la coaire et du théorème de Bishop–Gromov est le

Lemme 2.3. Il existe une constante C(n) telle que pour tout élément (M, g) de Mn,admettant deux pointspetq vérifiantd(p, q) > π−ηet pour toute fonction u: [0, π] →Rde classeC¹, on a

1 vol M

M

ud_pdv− 1 volSⁿ

Sⁿud_Sⁿ(p,·) dx

≤C(n)η _π

0 |u(r)|dr.

Remarque 2.4. On obtient en particulier que _vol(M)¹

Mcos²d_p est proche de _n+¹₁ sipadmet un presque antipode.

Nous renvoyons à [2] pour une démonstration. En appliquant le lemme 2.3 à u = cos²,u = sin²et u= cos puis en remarquant que les expressions ci-dessous sont nulles dans le cas de la sphère canonique, on obtient

∇cosd_p²_L2−ncosd_p²_L2≤C(n)η,

|a₀| =

√1+n vol(M)

M

cosd_p

≤C(n)η.

Par conséquent, les coefficients de Fourier de la fonction cosd_p vérifient +∞

i=1

λ_ia_i²f_i²_L2 ≤n

+∞

i=1

a_i²f_i²_L2+C(n)η.

C’est-à-dire, d’après la normalisation (2) des fonctions propres

+∞

i=1

λ_ia_i²≤n

+∞

i=1

a_i²+C (n)η.

Commeλ₁(M)≥n, on peut négliger leskpremiers termes, on obtient

+∞

i=k+1

(λ_i−n)a_i²≤C (n)η.

On en déduit par définition dek, cosd_p−

k i=1

a_if_i²

L²≤C (n)η

ε (9)

et comme _{vol M}¹

Mcos²d_pest proche de _n+¹₁, la formule de Parseval donne

k

i=1

a_i²−1≤C(n)η ε.

L’inégalité précédente montre en particulier que les coefficients(a_i)_1≤i≤k sont bornés. On déduit alors de l’hypothèse surλ_k(M)et de la proposition 1.1, l’existence d’une constanteD(n)telle que la fonctionh=cosd_p−k

i=1a_if_ivérifie hL^∞ ≤D(n)

et

dhL^∞≤D(n).

Or par l’inégalité de Cauchy–Schwartz, on déduit de (9) hL¹ ≤

C (n)η ε

¹₂ .

Soitx0tel que|h(x0)| = hL^∞etrun réel positif ; le théorème des accroissements finis donne

C (n)η

ε ¹₂

vol(M)≥

B(x0,r)|h(x)|dx ≥(hL^∞−D(n)r)vol(B(x0, r)).

En appliquant le théorème de Bishop–Gromov, on en déduit

C (n)η ε

¹₂

≥ V (r)

V (π )(hL^∞−D(n)r).

D’où le résultat en choisissantr = r_η

ε

convenable. Ce qui achève la preuve du

lemme 2.2. 2

2.2. Démonstration du théorème 2.1. Soit(M, g)un élément deMn vérifiant la propriétéP_k(η), en particulier(M, g)vérifie

diam(M)≥π−η.

Sous ces hypothèses, le résultat de S. Y. Cheng cité dans l’introduction montre que λ₁(M)est proche den. On déduit du lemme 2.3 une estimation explicite.

Lemme 2.5. Il existe une constanteC(n)telle que tout élément(M, g)deMnpour lequeldiam(M) > π−η, vérifie l’inégalité

λ₁(M)≤n+C(n)η.

Notons

ε=√

η et k_ε =max{k∈N;λ_k(M)≤n+ε}.

Par le lemme 2.5, pourηassez petit,k_ε est supérieur ou égal à 1. Notons(f_i)_1≤i≤kε une famille orthogonale de fonctions propres associées àλ_i(M) et normalisées par

1 vol M

Mf_i²= _n+¹₁. D’autre part, notons

F =Vect_L2(M){f₁, . . . , f_kε}

et P_F la projection orthogonale de L²(M) sur F. Par hypothèse sur (M, g), il existe(x₁, y₁), . . . , (x_k, y_k)appartenant àM² tels que pour touti, j distincts dans {1, . . . , k}, d(x_i, x_j)− π

2

≤η (10) et pour toutidans{1, . . . , k},

d(x_i, y_i)≥π−η.

Par conséquent, d’après le lemme 2.2 appliqué avecε= √ηetη, il existe une fonction τ (η)telle que, pour toutidans{1, . . . , k},

cosd_xi−P_F(cosd_xi)L^∞≤τ (η) (11) oùP_F(cosd_xi)=kε

j=1a_j(x_i)f_j vérifie pour touti

kε

j=1

a_j²(x_i)−1≤τ (η). (12) En particulier, pourηassez petit et pour touti,P_F(cosd_xi)n’est pas identiquement nul. Par conséquent si k_ε < k alors la famille (P_F(cos(dxi))^k_i=1 est liée. Notons (bi)i∈{1,...,k} avec _k

i=1b_i²=1, des coefficients tels que k

i=1

b_iP_F(cosd_xi)=0.

Alors (11) implique

k

i=1

b_icosd_xi − k

i=1

b_iP_F(cosd_xi)

L^∞ ≤k¹²τ (η).

C’est-à-dire,

k

i=1

b_icosd_xi

L^∞ ≤k¹²τ (η). (13)

Commek

i=1b²_i = 1, l’un des coefficientsb_i0 vérifie|b_i0| ≥ ^√1_k. Or l’estimation (13) appliquée au pointx =x_i0et l’hypothèse (10) implique

|b_i0| ≤τ (η)

ce qui est absurde pour η assez petit et donck_ε ≥ k, ce qui termine la preuve du théorème 2.1.

3. Valeurs propres proches den

L’objet de cette partie est de démontrer la réciproque du théorème 2.1.

Théorème 3.1. Il existe une fonctionτ (ε)telle que tout élément(M, g)deMnpour lequelλ_k(M)≤n+ε, vérifie la propriétéP_k(τ (ε)).

Ce résultat découle d’une « réciproque » du lemme 2.2.

Proposition 3.2. Il existe des fonctionsτ (ε) etψ (ε)telles que, pour tout élément (M, g)deMnet toute fonction propref surMde valeur propre non nulleλ≤n+ε, normalisée par _{vol M}¹

Mf² = _n+¹₁, on a l’estimation cosd_x−fL^∞ ≤τ (ε),

avecxdansMtel quef (x)=sup_Mf. De plus, siydansMvérifief (y)=inf_Mf alors

d(x, y) > π −ψ (ε).

Nous démontrons cette proposition dans le prochain paragraphe.

3.1. Fonctions propres associées à une « petite » valeur propre. La preuve de la proposition 3.2 est une conséquence du lemme 1.6. La première étape consiste à estimer la borne supérieure d’une telle fonction propre.

Lemme 3.3. Il existe une fonctionτ (ε)ne dépendant que den, telle que pour tout élément(M, g)deMnet toute fonction propref surM de valeur propre non nulle λ≤n+ε, normalisée par _{vol M}¹

Mf² = _n+¹₁, on a l’estimation

|sup

M

f −1| ≤τ (ε).

Preuve. Par la minoration de Lichnérowicz de la première valeur propre non nulle, λvérifie

n≤λ≤n+ε.

Par choix de la normalisation def, on a

1≤ 1

vol M

M

f²+ |df|²≤1+ ε

n+1. (14)

Donc d’après la proposition 1.1, il existe une fonctionτ (ε)telle quef vérifie pour toutxdansM

f²(x)+ |df|²(x)≤1+τ (ε).

Ainsi f² + |df|² est majorée par une quantité environ égale à sa moyenne, par conséquentf²+ |df|²estL¹-proche de sa moyenne :

1 vol M

M|1−f²(x)− |df|²(x)| ≤τ (ε).

Soitx vérifiantf (x)=sup_Mf. Un corollaire du théorème de Bishop–Gromov [11, remarque 2.8] implique l’existence deR(ε),τ (ε)ne dépendant que denet dex˜ vérifiantd(x,x)˜ ≤R(ε), tels que

|f²(x)˜ + |df|²(x)˜ −1| ≤τ(ε).

D’après la proposition 1.10,

|df|²(x)˜ ≤τ (ε) d’où

|f (x)˜ −1| ≤τ (ε),

ce qui permet de conclure pourf (x)puisque le gradient def est borné. 2 Preuve de la proposition3.2. De l’hypothèse sur la valeur propre, on déduit (propo- sition 1.4)

Hessf +f gL²≤τ (ε).

Fixons x comme dans l’énoncé et soit u dans M quelconque. En appliquant le lemme 1.6 aux boules B(x, r(ε)) et B(u, r(ε)) avec r(ε) convenable, on obtient l’existence d’une fonctionτ (ε)telle que pour toutudansM, il existeu,˜ x˜ dansM tels que :

– il existe une unique géodésique minimisanteγ reliantx˜ àu,˜ –d(u,u)˜ ≤r(ε),d(x,x)˜ ≤r(ε)et

d(x,˜u)˜

0 |(f γ ) (t )+(f γ )(t )|²dt ≤τ (ε). (15) Nous allons maintenant estimer les conditions initiales f γ (0)et(f γ )(0) afin d’appliquer le lemme 1.9. Par le lemme 3.3, on a

|sup

M

f −1| ≤τ2(ε).

Par conséquent, commex˜est proche dexet que le gradient def est borné, on en déduit l’existence d’une fonctionτ₃(ε)telle que

|(f γ )(0)−1| ≤τ₃(ε). (16)

D’autre part, par la proposition 1.10, il existe une fonctionτ4(ε)telle que|∇f|(x)˜ ≤ τ4(ε)d’où

|(f γ )(0)| ≤τ₄(ε). (17) Grâce à (15), (16) et (17), le lemme 1.9 appliqué àf γ et cos, implique l’existence d’une fonctionτ₅(ε)telle que pour toutt dans[0, d(x,˜ u)˜ ],

|(f γ )(t )−cos(t )| ≤τ₅(ε). (18)

|(f γ )(t )+sin(t )| ≤τ₅(ε). (19) En particulier,

|f (u)˜ −cos(d(x,˜ u))˜ | ≤τ₅(ε).

Donc par construction dex˜ etu˜ et comme le gradient def est borné, on en déduit l’existence d’une fonctionτ₆(ε)telle que

f −cosd(x,·)L^∞≤τ₆(ε).

Montrons maintenant la deuxième partie de l’énoncé. Soit y vérifiantf (y) = infMf et soitx˜ety˜ comme ci-dessus.

D’après (19)

|(f γ )(d(x,˜ y))˜ +sin(d(x,˜ y))˜ | ≤τ5(ε). (20)

Commey˜ est proche deyqui est un point réalisant le minimum def, on déduit de la proposition 1.10 apliquée ày˜ et de (20)

|sin(d(x,˜ y))˜ | ≤τ₇(ε).

La borne sur le gradient def et le lemme 3.3 excluent l’hypothèse qued(x,˜ y)˜ soit proche de 0 donc les pointsxetysont nécessairement à distance presqueπ. 2 3.2. Démonstration du théorème 3.1. Pour cela, on prouve un résultat un peu plus précis :

Proposition 3.4. Soitkdans{2, . . . , n+1}. Il existe une fonctionτ (ε)telle que pour tout élément(M, g)deMnvérifiantλ_k(M)≤n+ε, il existe(x₁, y₁), . . . , (x_k, y_k) dansM²tels que, pour toutidans{1, . . . , k},

|d(x_i, y_i)−π| ≤τ (ε), pour touti, j distincts dans{1, . . . , k}

d(x_i, x_j)− π 2

≤τ (ε), d(x_i, y_j)− π

2

≤τ (ε), d(y_i, y_j)− π

2

≤τ (ε).

De plus, ces points vérifientf_i(x_i)=sup_Mf_ietf_i(y_i)=infMf_iavec(f_i)_1≤i≤kune famille orthogonale de fonctions propres associées à(λ_i(M))_1≤i≤ket normalisées par(2).

Ces couples de points correspondent dans le cas modèle, aux couples formés dek vecteurs(e_i)_1≤i≤kde la base canonique deRⁿ⁺¹et deskvecteurs opposés(−e_i)_1≤i≤k. Preuve. Soit(x_i)_1≤i≤ket(y_i)_1≤i≤kdéfinis par

f_i(x_i)=sup

M

f_ietf_i(y_i)=inf

M f_i,

avec les fonctions(f_i)_1≤i≤k définies comme ci-dessus. D’après la proposition 3.2, pour toutidans{1, . . . , k}, on a

d(x_i, y_i) > π−ψ (ε). (21) Nous allons montrer l’existence d’une fonctionτ (ε), telle que pour touti, j comme dans l’énoncé, d(x_i, x_j)− π

2

≤τ (ε). (22)

Admettons provisoirement ce résultat, on en déduit les autres estimations à l’aide d’un lemme sur la fonction « excess », dû à K. Grove et P. Petersen.

Lemme 3.5([12]). Il existe une fonctionτ (ε)telle que pour tout élément(M, g)de Mnet pour toutp, qdansMvérifiant

d(p, q)≥π−ε, on a

ep,q(M)= sup

x∈M

(d(p, x)+d(q, x)−d(p, q))≤τ (ε).

D’après ce lemme et (21), il existe une fonction τ₂(ε) telle que pour tout i, j distincts dans{1, . . . , k},

|d(x_j, y_j)−d(x_i, x_j)−d(x_i, y_j)| ≤τ2(ε), donc par (21) et (22), il existe une fonctionτ₃(ε)telle que

d(x_i, y_j)− π 2

≤τ₃(ε).

On déduit de manière similaire l’estimation surd(y_i, y_j).

Démontrons maintenant l’estimation (22). Fixonsi, j distincts dans{1, . . . , k}. Notons

h=f_if_j+ df_i, df_j. Par hypothèse sur les fonctions(f_i)1≤i≤k,

1 vol M

M

h=0.

Calculons la différentielle deh.

dh=f_jdf_i+f_idf_j +Hessf_i(∇f_j,·)+Hessf_j(∇f_i,·), dh=(Hessf_i+f_ig)(∇f_j,·)+(Hessf_j +f_jg)(∇f_i,·).

Donc

|dh|²≤2

Hessf_i+f_ig²× ∇f_j²+ Hessf_j +f_jg²× ∇f_i² . Or par la proposition 1.4, il existe une fonction τ₄(ε) telle que pour tout s dans {1, . . . , k},

Hessf_s+f_sgL² ≤τ₄(ε).

Par (4), on en déduit l’existence d’une fonctionτ₅(ε)telle que 1

vol M

M|dh|²≤τ₅(ε).

En appliquant l’inégalité de Poincaré à la fonctionhde moyenne nulle, on obtient, puisqueλ₁(M)≥n, l’existence d’une fonctionτ₆(ε)telle que

1 vol M

M

h²≤τ₆(ε).

On déduit alors d’un corollaire du théorème de Bishop–Gromov [11, remarque 2.8], l’existence de fonctionsτ₇(ε)etR(ε)telles que pour toutx dansM, il existex˜ tel qued(x,x) < R(ε)˜ et

|h(x)˜ | ≤τ₇(ε).

Pourx=x_j, la proposition 1.10 implique l’existence d’une constanteC(n)telle que

|∇f_j|(x˜_j)≤C(n)R(ε)

puisquef_j(x_j)=sup_Mf_j. On en déduit qu’il existe une fonctionτ₈(ε)telle que

|h(x˜_j)−f_i(x˜_j)f_j(x˜_j)| ≤τ8(ε).

Mais, par la proposition 3.2

cosd_xj −f_jL^∞≤τ₉(ε), d’où

|f_j(x˜_j)−1| ≤C(n)R(ε)+τ₉(ε).

Par conséquent, il existe une fonctionτ₁₀(ε)telle que

|f_i(x˜_j)| ≤τ₁₀(ε).

On termine la preuve en appliquant de nouveau la proposition 3.2. 2

4. Proximité de Gromov–Hausdorff

Dans cette partie, nous montrons le

Théorème 4.1. Soitkdans{2, . . . , n+1}. Il existe une fonctionτ (ε)telle que tout élément(M, g)deMnvérifiantλ_k(M)≤n+ε, possède un sous-ensembleA⊂M presque convexe tel qued_GH(A, S^k−1)≤τ (ε).

Nous renvoyons à la proposition 4.5 pour la définition de la presque convexité.

Fixons k dans {2, . . . , n+ 1}. Notons F = (f₁, . . . , f_k) et = ^F

f₁²+···+f_k² où les fonctions (f_i)1≤i≤k sont les fonctions propres associées aux valeurs propres

(λ_i(M))_1≤i≤k et normalisées par (2). Sur la sphère canonique, les fonctions coor- données (qui forment une base de fonctions propres de valeur propren) fournissent un plongement isométrique d’une partie de(Sⁿ, g_can)surS^k−1⊂R^k:

{x∈Sⁿ;X²₁+ · · · +X_k²=1} −→ S^k−1

x −→ (X₁, . . . , X_k)(x).

Nous allons montrer que l’application restreinte à une partieA_k convenable est uneτ (ε)approximation de Gromov–Hausdorff, c’est-à-dire que pour toutXdans S^k−1, il existe y dans Ak tel que d_S^k−1(X, (y)) < τ (ε) et pour tout x, y dans A_k, |d(x, y)−d_S^k−1((x), (y))| < τ (ε) (d_S^k−1 désigne la distance induite par la métrique canonique). Nous montrerons que pour une fonctionη(ε)bien choisie, A_k= {x ∈M; |(f₁²+ · · · +f_k²)(x)−1|< η(ε)}convient.

Par choix de la partieA_ket par uniforme continuité de la fonction arccos, il suffit pour démontrer le théorème 4.1, de prouver l’existence d’une fonction τ (ε) pour laquelle la fonctionF vérifie les propriétés suivantes :

– une propriété de «τ (ε)-presque surjectivité » : pour toutXdansS^k−1, il existe xdansA_ktel que

F (x)−X_R^k ≤τ (ε), (23)

– une propriété de «τ (ε)-proximité métrique » : pour toutx, ydansA_k

|cosd(x, y)− F (x), F (y)_R^k| ≤τ (ε), (24) où., ._R^k désigne le produit scalaire euclidien dansR^ket._R^k la norme associée.

La démonstration de (23) fait l’objet du prochain paragraphe, nous en déduirons (24) dans le paragraphe suivant.

4.1. Démonstration de la « presque surjectivité ». Soit(M, g)un élément deMn, sun entier non nul etηun nombre réel positif. Soitf₁, . . . , f_sune famille orthogonale de fonctions propres surMassociées à(λ_i(M))_1≤i≤set normalisées par (2). On note

A^η_s = {x∈M; |f₁²(x)+ · · · +f_s²(x)−1|< η}.

Proposition 4.2. Soitkdans{1, . . . , n+1}. Il existe des fonctionsη(ε)etτ (ε)telles que pour tout élément(M, g)deMn pour lequelλ_k(M) ≤n+ε, l’ensembleA^η(ε)_k vérifie une propriété deτ (ε)-presque surjectivité.

Preuve. La preuve repose sur une récurrence finie. Lorsquek=1, la proposition 4.2 est une conséquence directe de la proposition 3.2. Fixonskdans{2, . . . , n+1}etm dans{1, . . . , k−1}. Dans la suite de la démonstration, on identifie{x ∈S^k−1;x = (a1, . . . , a_m,0, . . . ,0)}avecS^m−1. La preuve de la proposition est une conséquence du lemme suivant.

Lemme 4.3. Supposons qu’il existe des fonctionsη_m(ε)etψ_m(ε)telles que pour tout XdansS^m−1, il existexdansA^η_m^m(ε)tel que

(f₁, . . . , f_m)(x)−XR^m ≤ψ_m(ε)

alors il existe des fonctionsη_m+1(ε)etψ_m+1(ε)telles que pour toutXdansS^m, il existexdansA^η_m^m+1₊₁^(ε)tel que

(f1, . . . , f_m+1)(x)−X_R^m+1≤ψ_m+1(ε).

Démontrons le lemme 4.3. Commençons par remarquer que pour toute fonction η(ε), il existe une fonctionθ (ε)telle que pour toutsdans{1, . . . , k−1},

A^η(ε)_s ⊂A^{θ (ε)}_s+1, (25)

c’est-à-dire quef_s+1(A^η(ε)_s )est presque réduit à{0}. Ce résultat est une conséquence directe d’un lemme démontré par P. Petersen [17, lemme 3.3].

Lemme 4.4 ([17]). Il existe une fonction τ (ε) telle que pour tout élément(M, g) dansMnvérifiantλ_k(M)≤n+ε, on a pour toutxdansM

f₁²(x)+ · · · +f_k²(x)≤1+τ (ε),

où (f_i)1≤i≤k est une famille orthogonale de fonctions propres de M, de valeurs propres(λ_i(M))1≤i≤ket normalisées par _{vol M}¹

Mf_i² = _n+¹₁.

SoitY =(coss₁, . . . ,coss_m+1)dansS^m. Il faut distinguer les cas|sins_m+1|<

μ(ε)et|sins_m+1| ≥μ(ε), oùμ(ε)vérifie limε→0μ(ε)=0 et sera défini plus loin.

Supposons|sins_m+1| < μ(ε). Dans ce cas, comme d(x_i, x_m+1)est proche de

π

2 et d(x_i, y_m+1) est proche de ^π₂ pour tout i dans {1, . . . , m}, la proposition 3.2 implique l’existence d’une fonctionτ2(ε)telle que

(f₁, . . . , f_m+1)(α)−Y_R^m+1 ≤τ₂(ε), avecα =x_m+1sis_m+1est proche de 0 etα=y_m+1sinon.

On suppose maintenant que|sins_m+1| ≥μ(ε)et ques_m+1≤ ^π₂. Le cass_m+1> ^π₂ sera traité plus loin. On définit

X=

coss₁ sins_m+1

, . . . , coss_m sins_m+1

∈S^m−1. Par hypothèse de récurrence, il existex₀∈A^η_m^m(ε)telle que

(f1, . . . , f_m)(x0)−XR^m ≤ψ_m(ε). (26)