Pincement sur le spectre et le volume en courbure de Ricci positive

PINCEMENT SUR LE SPECTRE ET LE VOLUME EN COURBURE DE RICCI POSITIVE

P

E

AUBRY

RÉSUMÉ. – Nous montrons qu’une variété riemannienne complète de dimensionn, de courbureRic n−1et dont la n-ième valeur propre est proche denest Gromov–Hausdorff proche de(Sⁿ,can) et difféomorphe àSⁿ. Ce résultat étend de manière optimale un résultat de P. Petersen [Invent. Math. 138 (1999) 1] (au passage nous comblons le trou annoncé par l’auteur dans l’erratum [Invent. Math. 155 (2004) 223]). Nous montrons également qu’une variété vérifiant l’inégalitéRicn−1et de volume proche de_#π^VolSn

1(M) est difféomorphe à un quotient isométriqueSⁿ/π1(M)et Gromov–Hausdorff proche de la métrique de courbure1. Ceci améliore des résultats de T. Colding [Invent. Math. 124 (1996) 175] et T. Yamaguchi [Math. Ann. 284 (1989) 423].

2005 Elsevier SAS

ABSTRACT. – We shall show that a complete Riemannian manifold of dimensionnwithRicn−1and itsn-st eigenvalue close tonis both Gromov–Hausdorff close and diffeomorphic to the standard sphere.

This extends, in an optimal way, a result of P. Petersen [Invent. Math. 138 (1999) 1] (as a by-product, we fill a gap stated in the erratum [Invent. Math. 155 (2004) 223]). We shall also show that a manifold with Ricn−1and volume close to _#π^VolSn

1(M) is both Gromov–Hausdorff close and diffeomorphic to a space formSⁿ/π1(M). This extends results of T. Colding [Invent. Math. 124 (1996) 175] and T. Yamaguchi [Math. Ann. 284 (1989) 423].

2005 Elsevier SAS

1. Introduction

Dans cet article,M désigne par défaut une variété riemannienne complète de dimensionn et de courbure de RicciRic(n−1). Dans l’ensemble de ces variétés, la sphèreSⁿ (munie de sa métrique canonique) est un point extrémal pour de nombreux invariants riemanniens. Des théorèmes de comparaison classiques dus à S. Myers, R. Bishop, A. Lichnerowicz, S. Cheng et M. Obata (voir par exemple [20]) astreignent les variétés de cet ensemble à vérifierDiamM DiamSⁿ=π(et doncMest compacte),π₁(M)est fini,VolM VolSⁿ,RadMRadSⁿ=π (oùRaddésigne le rayon couvrant, i.e. le rayon de la plus petite boule géodésique qui recouvre toute la variété),λ1(M)λ1(Sⁿ) =n (où 0 =λ0(M)< λ1(M)λ2(M)· · ·désigne le spectre du laplacien sur la variété, compté avec multiplicité). De plus, si l’égalité est réalisée dans une de ces inégalités, alors la variétéM est isométrique à la sphère canoniqueSⁿ (auquel cas,nest une valeur propre deM de multiplicitén+ 1).

Au vu de ces faits, il est naturel de rechercher les propriétés (topologiques, différen- tiables ou métriques) de Sⁿ qui sont conservées par les variétés riemanniennes de courbure

1Travaux en partie financés par la bourse FNRS Suisse n^o20-101469.

Ricn−1 pour lesquelles l’un des invariants riemanniens considérés plus haut prend une valeur suffisamment proche de sa valeur extrémale. Ce genre de problèmes de stabilité est doré- navant classique lorsqu’on suppose en plus que la courbure sectionnelle des variétés considérées reste minorée par une constante fixée. La recherche d’analogues à ces résultats lorsque seule la courbure de Ricci est supposée minorée est encouragée par le célèbre résultat de Gromov qui implique que l’ensemble des variétés riemanniennes complètes de courbure de Ricci minorée par(n−1)est précompact pour la distance de Gromov–Hausdorff (nous renvoyons le lecteur à [12,20] pour la définition et les propriétés usuelles de la distance de Gromov–Hausdorff sur l’ensemble des variétés riemanniennes complètes), et connaît un essort récent grâce aux travaux pionniers de G. Perelman [18], T. Colding et J. Cheeger [8,9,6,7].

Dans [8,9], Colding montre que les trois conditions suivantes sont équivalentes (toujours sous l’hypothèseRicn−1) :

(1) VolM est proche deVolSⁿ, (2) RadM est proche deπ,

(3) M est Gromov–Hausdorff proche de(Sⁿ,can).

P. Petersen a par la suite prouvé que la condition (2) est équivalente à ce que les n+ 1 premières valeurs propres (non nulles) du laplacien deM soient proches den(voir [16]). De plus, ces quatre conditions impliquent queM est difféomorphe àSⁿ, d’après le résultat suivant.

THÉORÈME(J. Cheeger et T. Colding [6]). – SoientKun réel fixé et(M_pⁿ, gp)p∈Nune suite de variétés riemanniennes complètes vérifiantRicgpKet qui converge au sens de Gromov–

Hausdorff vers une variété riemannienne(M_∞ⁿ, g)compacte (de même dimension). AlorsMpest difféomorphe àM_∞pourpassez grand.

Le but de cet article est de démontrer trois résultats de stabilité nouveaux. Le premier est une version optimisée (et quantitative) du résultat énoncé dans [16].

THÉORÈME 1. – Soit (Mⁿ, g) une variété riemannienne complète de courbure de Ricci minorée parn−1. Il existe des constantes(n)>0,β(n)>0 et C(n)>0 telles que si les npremières valeurs propres non nulles du laplacien deM sont inférieures àn+(n)alors la distance de Gromov–Hausdorff entreSⁿetM est majorée parC(n)(λn−n)^β(n)etM est donc difféomorphe àSⁿ.

Remarquons que nous ne demandons que le contrôle des npremières valeurs propres non nulles dans cet énoncé. De plus, dans notre schéma de preuve, une approximation de Hausdorff à valeur dansSⁿ est explicitement construite, ce qui rend calculable la valeur(n)à partir de laquelle elle existe.

Remarque. – Le théorème 1 est optimal en ce qui concerne la première conclusion, puisqu’on construit dans cet article une suite de métriquesg_ksurSⁿtelle queRic(g_k)n−1,λ_i(g_k)→n pour1in−1et telle que la suite(Sⁿ, g_k)tende (en distance de Gromov–Hausdorff) vers la demi-sphère de dimensionn−1munie de sa métrique canonique. En revanche, le problème de savoir à partir de quelle valeurk, l’hypothèseλ_k(M)n(1 +(n))implique que la variété Mⁿest difféomorphe àSⁿest encore un problème ouvert (il résulte du théorème 1 et de contre- exemples dus à M. Anderson [1] et Y. Otsu [15] que cette valeur est comprise entre2etn).

Notons que J. Bertrand démontre dans [4] que leskpremières valeurs propres non nulles de M sont proches densi et seulement s’il existe une partie deM Hausdorff proche deS^k−1. De ceci et du théorème 1 découle le corollaire suivant.

COROLLAIRE 2. – Il existe des constantes(n)>0,β(n)>0etC(n)>0telles que, siM contient une partieA qui, munie de la distance induite, est à distance de Gromov–Hausdorff

de(Sⁿ⁻¹,can)inférieure à(n), alorsM est difféomorphe àSⁿ etM est à distance de Gromov–Hausdorff deSⁿ inférieure àC(n)^β(n).

Remarque. – Ce corollaire est encore valable s’il existe une partie AdeM qui est Gromov–

Hausdorff proche du sous-ensemble {±e1, . . . ,±en} de Sⁿ (où (e1, . . . , en+1) est une base orthonormée deRⁿ⁺¹).

Avant d’énoncer les autres résultats principaux de cet article, rappelons que le volume d’une variétéM de courbureRicn−1est majoré parVolSⁿ/#π1(M), l’égalité étant atteinte si et seulement siπ1(M)est un sous-groupe (fini) deO(n+ 1)agissant librement surSⁿ et si la variété riemannienneM est l’espace quotient(Sⁿ,can)/π1(M)(résultat obtenu en appliquant au revêtement universel riemannien de(Mⁿ, g) les théorèmes de R. Bishop et de S. Cheng cités plus haut ; voir [20]). De même, siM est non orientable, alors son volume est majoré par Vol(Sⁿ,can)/2, l’égalité étant atteinte si et seulement si la dimensionnest paire etM=PⁿR.

Dans le cas oùM est de volume presque maximal, nous prouvons les deux résultats suivants (notons que le second améliore à la fois un résultat de T. Colding [8], qui ne traite que le cas où le volume deM est proche de celui deSⁿ, et un résultat de T. Yamaguchi [22] qui suppose de plus que la courbure sectionnelle deM est minorée par une constante−K²).

THÉORÈME 3. – Il existe des constantes(n)>0,β(n)>0 etC(n)>0 telles que, siM est non simplement-connexe et vérifieVolM ^Vol₂^Sn(1−(n)), alors la distance de Gromov–

Hausdorff entreM etPⁿ(R)est majorée par

C(n)

VolSⁿ

2 −VolM β(n)

et M est difféomorphe àPⁿ(R).

On remarquera que ce résultat s’applique au cas non-orientable et que, dans ce cas, la conclusion est quenest pair, M est difféomorphe àPⁿ(R)et Gromov–Hausdorff proche de Pⁿ(R). Dans le cas où le groupe fondamental est de cardinal quelconque, on a le résultat suivant.

THÉORÈME 4. – Soitk∈N^∗. Il existe des constantes (n, k)>0, β(n)>0 et C(n)>0 telles que siM vérifie :

VolM VolSⁿ k

1−(n, k)

et #π1(M)k,

alorsπ₁(M)est un sous-groupe (de cardinalk) deO(n+ 1)agissant librement surSⁿ, la dis- tance de Gromov–Hausdorff entre M et Sⁿ/π1(M) est majorée par C(n)[^Vol_k^Sn −VolM]^β(n)etM est difféomorphe à l’espace quotientSⁿ/π1(M).

En remarquant que tout quotient de la sphère canonique par un groupe d’isométries non trivial (agissant librement sur Sⁿ) est de diamètre majoré par ^π₂, on obtient, en courbure de Ricci minorée parn−1, le corollaire suivant.

COROLLAIRE 5. – Il existe des constantes(n)>0 etδ(n)>0 telles que si M vérifie les deux inégalités :

VolMVolSⁿ 2

1−δ(n)

et DiamMπ 2 +(n), alorsM est simplement connexe.

Dans [7], les auteurs démontrent que la fonctionnelleième valeur propre est continue pour la distance de Gromov–Hausdorff sur l’ensemble des variétés riemanniennes complètes de

dimensionn, de diamètre majoré parDet de courbure de Ricci minorée par−(n−1). Comme les espaces modèles (Sⁿ,can)/π₁(M) obtenus sous les hypothèses du théorème 4 sont en nombre fini, on en déduit l’amélioration suivante du théorème de Lichnerowicz.

COROLLAIRE 6. – Soient k2 et p des entiers et >0 un réel. Il existe une constante η(, n, k, p)>0telle que siM vérifie :

VolMVolSⁿ k

1−η(, n, k, p)

et #π1(M)k,

alorsλi(Mⁿ, g)(1−)λi((Sⁿ,can)/π1(M))2n(1−)pour toutip(voir [13] pour un calcul du spectre des variétés de courbure constante égale à1).

En particulier, on en déduit un énoncé équivalent au corollaire 5 où l’hypothèse sur le diamètre est remplacée par l’hypothèseλ12n(1−(n)).

Il découle des arguments utilisés dans la démonstration de notre théorème 4 une autre amélioration des théorèmes de Lichnerowicz et de Myers où le pincement requis sur le volume ne dépend pas de#π₁(M).

COROLLAIRE 7. – Il existe une constanteδ(n)>0telle que siMest non simplement connexe alors :

λ₁(M)n

#π₁(M) VolM VolSⁿ +δ(n)

,

DiamM

π−δ(n)

2−#π₁(M) VolM VolSⁿ

.

Remarque. – La démonstration de ce dernier corollaire est plus simple que celle du résultat de [7] utilisé pour le corollaire 6. Toutefois la conclusion est plus décevante car les bornes obtenues sont a priori très éloignées des valeurs réalisées par les espaces modèles du théorème 4. Les corollaires 6 et 7 améliorent l’inégalité de Lichnerowicz dans le cas de variétés de courbure de Ricci minorée parn−1, non simplement connexes et de volume presque maximal. On peut se demander si le pincement sur le volume est vraiment nécessaire pour qu’une telle amélioration de l’inégalité de Lichnerowicz ait lieu (il est troublant de constater que les seuls exemples connus de variétés de courbure de Ricci minorée parn−1et deλ1proche densont simplement connexes ; voir [1,15]).

PLAN DE L’ARTICLE : Dans la section 2 nous établissons les estimées analytiques sur les fonctions propres deM nécessaires à nos démonstrations, dans la section 3 nous nous plaçons dans le cas où M admet n+ 1 valeurs propres proches de n et, en suivant [11,16], nous construisons à l’aide de ces fonctions propres une approximation de HausdorffΦ deM dans Sⁿ de degré±1(nous prouvons ce dernier fait, qui manquait dans [16] ; voir l’erratum [17]).

Cependant, notre méthode de preuve s’appuiera sur des arguments différents de ceux proposés dans [11,16]. Dans la section 4, nous montrons qu’un sous-groupe fini d’isométries deM admet une action isométrique sur Sⁿ qui rendΦéquivariante et que, si la première action est libre, alors la seconde l’est aussi. Dans la section 5, nous donnons la preuve des théorèmes 3 et 4 et du corollaire 7. Pour cela, nous montrons que nos variétés sont Hausdorff proches d’un quotient de la sphère par un groupe fini d’isométries, mais pour pouvoir conclure, il faut toutefois montrer que ce quotient est une variété non singulière. Pour ce point délicat, T. Yamaguchi utilise dans [22] une hypothèse supplémentaire de minoration de la courbure sectionnelle, qui implique une minoration de la systole deM. Nous nous passons de cette hypothèse grâce au résultat de la section 4 (quant à la technique de T. Colding pour traiter le cas k= 0 du théorème 4, elle

utilise de manière essentielle le fait que l’espace modèle est dans ce cas de rayon couvrantπ; cette technique ne peut pas s’adapter trivialement pour démontrer le théorème 4). En section 6 nous prouvons le théorème 1 et décrivons en section 7 la famille de contre-exemples qui prouve l’optimalité du théorème 1.

2. Valeurs propres proches denet fonctions propres associées Fibré augmenté de E. Ruh [19]

Notons E→M le fibré vectoriel obtenu comme somme de Withney deT M et d’un fibré trivial en droite (on noteraE=T M⊕Re). Le produit scalaire et la connexion linéaire suivants munissentEd’une structure de fibré riemannien :

X+f e, Y +heE=g(X, Y) +f h D_Z^E(X+f e) =D^M_ZX+f Z+

df(Z)−g(Z, X) .e où on a notégla métrique deM etD^M sa connexion de Levi-Civita.

Remarque. – Le fibré normal de Sⁿ dans Rⁿ⁺¹ est un fibré trivial en droites dont la somme de Withney avecTSⁿ, munie de la métrique décrite plus haut n’est autre que le fibré trivial E=Sⁿ×(Rⁿ⁺¹,can). Rappelons que les fonctions propres deSⁿassociées à la valeur propren sont de la formef(x) =u, x_Rⁿ⁺¹, oùuest un vecteur quelconque deRⁿ⁺¹. Notonse(x) =x; alors la correspondancef → ∇f+f.e=udonne une identification naturelle entre l’espace des fonctions propres associées à la valeur proprendeSⁿ et les sections parallèles du fibréE. On va montrer dans la suite que cette correspondance se généralise à toutes les variétés de courbure de Ricci presque minorée parn−1: le laplacien deM sur les fonctions aura autant de valeurs propres proches de nque le laplacien brut ^E sur E aura de valeurs propres proches de 0 (proposition 10) et les sections deEde la forme∇f+f e, oùfest une fonction propre associée à une valeur propre proche den, seront presque «parallèles» (lemme 11). Inversement les fonctions de la formeS, eE, où lesS sont des sections propres associées à de petites valeurs propres seront presque des fonctions propres associées à des valeurs propres proches den.

Opérateursph

Dans la suite, on note π la projection orthogonale de E sur son sous-fibré T M et A la symétrie orthogonale d’hyperplanT M. On définit un champ d’endomorphismes symétriques sur Een posantRic(S) = Ric_M(π(S))−(n−1)π(S). On notera par la suitesph l’opérateur ^E+ Ric.

SectionsSf=∇f+f.e

Le lemme suivant sera fondamental pour relier les fonctions propres deMaux sections propres de^E.

LEMME 8. – Soitf:M →R telle quef =λf. On pose Sf =∇f +f.e, on a alors la relationsph(Sf) = (λ−n)A(Sf).

Preuve. – Un calcul direct donne :

^E(Sf)(x) =_M∇f− ∇f+nf.e− f.e,

oùM est le laplacien brut deT M. Enfin, l’opérateurM+ Ric_M n’est autre que l’opérateur de HodgeHsur les champs de vecteurs, qui commute avec∇, d’où la relation annoncée. 2 Correspondance fonctions/sections propres

Nous aurons besoin d’une minoration de la première valeur propre λ¹₁ du laplacien de Hodge sur les 1-formes de M. L’inégalité suivante découle d’une variante de la méthode de Lichnerowicz. Nous en donnons une preuve succincte.

LEMME 9. – SoitM vérifiantRicn−1; alorsλ¹₁(M)n(respectivement la première valeur propre du laplacien de Hodge, restreint aux 1-formes co-fermées est minorée par 2(n−1)).

Preuve. – Soitα∈Λ¹(M). En décomposant orthogonalement Dαen partie antisymétrique

dα

2 , partie symétrique sans trace et partie scalaire−^δα_ng, on obtient|Dα|^2|dα|₂² +^(δα)_n². En intégrant la formule de Bochner on obtient :

(α, α) = Dα ²₂+

M

Ric(α, α) dα ²₂

2 + δα ²₂

n + (n−1) α ²₂.

Sidα= 0, alors δα ²₂= (α, α)et donc(α, α)n α ². Siδα= 0, alors dα ²₂= (α, α) et donc(α, α)2(n−1) α ². 2

Nous en déduisons la proposition suivante, qui affirme que , ^E et sph ont le même nombre de petites valeurs propres.

PROPOSITION 10. – Il existe des constantes α(n)> α(n)>0 (explicitement calculables) telles que, siM est une variété complète vérifiantRicn−1, alors :

(i) λn+2(M)n+α(n)etλn+2(sph)λn+2(^E)α(n).

(ii) Pour tout entierk,0λk(^E)λk(sph)

λk(M)−n . Réciproquement, siλk(^E)α(n)alors

λk(M)n+ 200n²

λk

^E .

Preuve. – La première série d’inégalités annoncée en (ii) découle directement de la positivité du potentielRic, du lemme 8 et du principe du min–max.

Pour finir de démontrer (ii), notons(S_i)_1ikune familleL²-orthonormée de sections propres (associées auxkpremières valeurs propres) de^E. NotonsE l’espace vectoriel engendré par les sections (S_i)_1ik, muni du produit scalaireL² de E, et F= Ψ(E), où Ψ(S) =S, eE

(notons queFest engendré par les fonctionsfi=Si, eE). Nous allons conclure en appliquant le principe du min–max àF:

– Les fonctions deF sont d’intégrale nulle car^E est auto-adjoint,^Ee=n.e(lemme 8, avecf= 1),^E(Si) =λiSietλi=n, d’où_Vol¹_{M M}fi=_Vol¹_{M M}Si, e_E= 0.

– Ψest une application injective, et donc F est un espace de fonctions de dimension k : siS ∈Ker Ψ∩ E, alorsS =X ∈Γ(M) et D^ES ²2α(n) S ²2< S ²2. Or D^E_YX= D_Y^MX−g(X, Y)e, et donc D^ES ²₂= D^MX ²₂+ X ²₂ X ²₂= S ²₂.On en déduit queS= 0.

– Il ne reste plus qu’à montrer que le quotient de Rayleigh des fonctions deFest presque plus petit quen. Soit doncf∈ F \ {0}. Il existe doncα∈Λ¹(M)tel queS=α^#+f.e∈ E, ce qui donne :

D^Mα^#+fId_{T M}−(df−α).e²

2

=D^ES²

2λ_k ^E

S ²₂=λ_k ^E

α ²₂+ f ²₂ . Dont on déduit les deux inégalités suivantes :

D^Mα+f g²

2λk

^E

α ²₂+ f ²₂ , df−α ²₂λk

^E

α ²₂+ f ²₂ . La deuxième de ces inégalités donne l’inégalité :

df 2

f 2 − α 2

f 2

λk

^E

1 + α 2

f 2

.

On est donc ramené à montrer que le rapport α ²2/ f ²2est presque majoré parn. Or, en procédant comme dans la démonstration du lemme 9 :

dα ²₂

2 +

f−δα n

²

2

D^Mα+f g²

2λk

^E

α ²₂+ f ²₂ .

On en déduit :

(α, α) = dα ²₂+ δα ²₂ 5n²

λk

^E

α ²₂+ f ²₂ +

1 +

λk

^E n² f ²₂.

Enfin, d’après le lemme 9, on a(α, α)n α ²₂. En combinant les deux dernières inégalités, on obtient α ²₂(1 + 12n

λk(^E))n f ²₂,dès queα(n)_36n¹4, ce qui permet de conclure : (i) sera démontré pour l’opérateur ^E dans la section suivante. Pour les autres opérateurs, cela découle alors de (ii). 2

Remarque. – On pourrait renforcer l’analogie avec le cas de Sⁿ décrit précédemment en montrant que, si f est une combinaison linéaire des fonctions propres deM associées à des valeurs propres proches den, alorsS_f estL²-proche d’une combinaison linéaire des sections propres de^Eassociées à de petites valeurs propres (la réciproque est aussi vraie en remplaçant f→S_fparS→ S, eE).

Estimées sur les fonctions propres Soit(√

n+ 1.fi)1ikune familleL²-orthonormée de fonctions propres deMassociées à des valeurs propres0< λ1· · ·λkn+. On lui associe la familleL²-orthogonale(Si)1ik

de sections du fibréEdéfinies parSi=∇fi+fie. On obtient alors les estimées analytiques et géométriques suivantes.

LEMME 11. – Il existe des constantesα(n)>0etC(n)>0(explicitement calculables) telles que siM vérifieλ_kn+(avecα(n)), alors :

(i) k

i=1α_iS_{i ∞}(1 +C(n)√ ) k

i=1α_iS_{i 2}, pour tout(α_i)∈R^k.

(ii) Il existe un sous-ensemble M de M tel que : VolM (1 −C(n)^1/4) VolM

|S_i(x), S_j(x)E−δ_ij|C(n)^1/4pour toutx∈Met tout couple(i, j).

Remarque. – Si la famille(S_i)_1ikest une familleL²-orthonormée de sections propres d’un opérateur ^E + V à potentiel V positif associées à des valeurs propres

λ₁(^E+V)· · ·λ_k(^E+V)(avecα(n)), alors les propriétés (i) et (ii) sont encore valables (la preuve qui suit s’adapte facilement).

Preuve. – D’après le lemme 8, la famille de sections( n+1

λi+1S_i)estL²-orthonormée et vérifie sphSi= (λi−n)A(Si) pour tout indice ik. Soient Ek l’espace vectoriel engendré par (Si)1iketAp= supp_S∈Ek\{0} S p/ S 2, oùp∈]1,+∞].

SoitS∈Ek\ {0}; posonsu=

|S|²+²pour >0. Une technique à la Kato nous donne l’inégalité :

uu=1

2u²+|du|²=1

2|S|²+|DS, S E|²

|S|²+²

1

2|S|²+|DS|²=

^ES, S

EsphS, SE|sphS|u.

On en déduit que, pour tout réelp >1/2: d

u^p2

2= p² 2p−1

M

(uu)u^2p−2 p² 2p−1

sphS 2p u ^2p−1_2p .

En appliquant l’inégalité de Sobolev f ²2n

n−2C(n) df ²₂+ f ²₂donnée par [14] à la fonction u^pet en faisant tendrevers 0, on obtient :

S ^p2pn

n−2 C(n)p

√2p−1

sphS _2p S ^2p_2p⁻¹+ S ^p_2p

(cette inégalité reste valable en dimension2en remplaçantnpar4). OrEk est un espace stable parAsphetAest une isométrie, on a donc :

sphS 2p= AsphS 2pA2p AsphS 2A2p(λk−n). S 2. On en déduit l’inégalité A^2pn

n−2 (1 + √^C(n)p

2p−1(λ_k − n)^1/2)^1/pA_2p, et donc A_∞∞

j=0(1 +√^C(n)νj

2ν^j−1(λk−n)^1/2)^1/νj en posantν= _(nⁿ₋₂₎. Enfin, en utilisant la conca- vité de la fonctionlog, on obtientA_∞(1 +C(n)√

).

Nous allons maintenant prouver que l’inégalité (i) implique la propriété (ii). Posons M l’ensemble des pointsx∈M où :

Si(x) +Sj(x)²

E2

1−^1/4

, Si(x)−Sj(x)²

E2

1−^1/4 S_i(x)² ,

E1−^1/4 ∀i < j.

D’après (i) (et en posanth=

i<j|S_i+S_j|²_E+|S_i−S_j|²_E+

i2|S_i|²_E) : 2k²= 1

VolM

M

h= 1 VolM

M

h+ 1 VolM

M\M

h

VolM

VolM

i<j

S_i+S_j ²_∞+ S_i−S_j ²_∞+

i

2 S_i ²_∞

+

k²−1

1−VolM

VolM

1i<jkmax

Si+Sj 2

∞, Si−Sj 2

∞,2 Si 2

∞

+ 2

1−VolM VolM

1−^1/4 2k²

1 +C(n)√

VolM VolM

+ 2

k²−1

1 +C(n)√

+ 2

1−^1/4

1−VolM

VolM

.

On en déduit^Vol_Vol^M_M1−_1+C(n)^k2C(n)1/41/4 1−k²C(n)^1/4, pourα(k, n)assez petit. D’après (i), on a pour toutx∈Met touti=j:

Si(x), Sj(x)

E=

|Si(x) +Sj(x)|²− |Si(x)−Sj(x)|² 4

2(1 +C(n)√

)−2(1−^1/4)

4 C(n)^1/4.

De même,| Si(x) ²_E−1|C(n)^1/4. Supposonsk > n+ 1: en appliquant ce qui précède à la famille(Si)_1in+2, on obtient que|Si, Sj −δij|C(n)^1/4surM. Mais alors, il existe au moins un pointxdeM où la famille(Si(x))_1in+2est de rangn+ 2, ce qui est impossible carEest de rangn+ 1. On en déduit d’abord quekn+ 1(et donc le (i) de la proposition 10), puis la propriété (ii) annoncée. 2

3. Variétés admettantn+ 1petites valeurs propres

Dans cette section nous étudions les variétés complètes vérifiantRic(n−1)etλn+1n+ α(n). Fixons une famille(√

n+ 1.f_i)_1in+1L²-orthonormée de fonctions propres associées aux valeurs propresnλ₁· · ·λ_n+1n+et considérons l’application :

Φ :M→Sⁿ →Rⁿ⁺¹ (1)

x→ 1

(

jf_j(x)²)^1/2.

f1(x), . . . , fn+1(x) . Nous démontrons dans cette section la proposition suivante.

PROPOSITION 12. – Il existe des constantes α(n)>0 etC(n)>0 (explicitement calcu- lables) telles que siM est une variété complète qui vérifieRic(n−1)etλn+1n+(pour α(n)) ; alors :

VolM

1−C(n)^2(n+1)1 VolSⁿ

et l’applicationΦ est une approximation de Hausdorff à valeur dans Sⁿ de degré ±1. Plus précisément, pour tout couple de points(x, y)deM, on a :

d_Sⁿ

Φ(x),Φ(y)

−dM(x, y)C(n)

1 384(n+1)3.

Remarque. – Notre schéma de preuve est une adaptation de celui de P. Petersen dans [16] (voir aussi [2]). Toutefois, nous corrigeons l’erreur faite par P. Petersen sur le calcul du degré deΦ (voir l’erratum [17]) ce qui est indispensable pour notre démonstration des résultats annoncés en introduction. Pour la démonstration du fait queΦest une approximation de Hausdorff, nous

renvoyons à l’article [16] de P. Petersen (noter que d’après ce qui suit,Φ est surjective). On pourra regarder aussi [3], où la même propriété est démontrée sous des hypothèses de pincement intégral de la courbure de Ricci passant sousn−1et la forme du majorant de la distance de Gromov–Hausdorff est explicitement calculée.

Φest bien définie sous nos hypothèses Cela découle du lemme suivant.

LEMME 13. – Il existe des constantesα(n)>0etC(n)>0(explicitement calculables) telles que siλ_n+1n+(avecα(n)), on a : _n+1

i=1 f_i² −1 _∞C(n)^2(n+1)1 .

Preuve. – Soitx0un point quelconque deM. En appliquant le lemme 11 avecαi=fi(x0), on obtient :

_n+1

i=1

fi(x0)fi

2

+ _n+1

i=1

fi(x0)∇fi

2

1 +C(n)√ 2

n+1

i=1

fi(x0)Si

2

2

1 +C(n)√ ⁿ⁺¹

i=1

fi(x0)².

On en déduit que la fonction h = n+1

i=1 f_i² vérifie les inégalités h 1 = 1, h _∞(1 +C(n)√

) et dh _∞C(n). Le résultat annoncé découle alors d’un second lemme. 2

LEMME 14. – Soient (Mⁿ, g) compacte et vérifiant Ric0 et h:M →R une fonction lipschitzienne ; alors, pour tout point x deM, on a :

|h|(x) h _∞−2

DiamM dh _∞n/(n+1)

h _∞− h ₁1/(n+1)

.

Preuve. – On peut supposer h 1>0. Soitx∈M : h ₁= 1

VolM

B(x,η)

|h|+ 1 VolM

M\B(x,η)

|h|

VolB(x, η)

VolM h(x)+ dh _∞η +

1−VolB(x, η) VolM

h _∞.

On en déduit que h _∞ − h ₁ ^Vol_Vol^B(x,η)_M

h _∞ − |h(x)| − dh _∞η

. Posons η =

h∞−|h(x)|

2dh∞ >0. Le théorème de Bishop–Gromov donne alors :

h _∞− h 1 ( h _∞− |h(x)|)ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺¹ dh ⁿ_∞(DiamM)ⁿ. 2 Calcul dedΦ

Soitxun point deM; alorsdxΦest une application deTxM dansT_Φ(x)Sⁿ⊂Rⁿ⁺¹. On note

tdxΦl’application transposée dedxΦvu comme une application de(TxM, gx)dansRⁿ⁺¹muni de son produit scalaire canonique, qu’on notera·,·_Rⁿ⁺¹. Si(εi)1in+1est la base canonique

deRⁿ⁺¹alors

td_xΦ(ε_i) =∇fi−Φ_in+1

k=1Φ_k.∇fk

(

jf_j²)^1/2 =Si−Φi

_n+1

j=1ΦjSj

(

jf_j²)^1/2 , où on a posé

Φ_i= fi

(

jf_j²)^1/2

(T Mest vu comme un sous-fibré deE). En particulier, pourvdansT_Φ(x)Sⁿ(= Φ(x)^⊥), on a

td_xΦ(v) = _n+1

i=1 viSi

( f_j²)^1/2. Φest presque contractante

Les lemmes 11 et 13 nous donnent alors le résultat suivant.

LEMME 15. – SiM vérifieRicn−1et siλn+1n+(avecα(n)), alors dΦ _∞ 1 +C(n)^2(n+1)1 .

SiM est orientable, alorsdeg Φ =±1

Soientxun point deM et(Xi)une base orthonormée directe deTxM. Pour toutx∈M, on munitExde l’orientation induite parT M(i.e. telle que(Xi)1in+1= (X1, . . . , Xn, e)soit une base directe deEx). On noteLx:Rⁿ⁺¹→Exl’application définie parLx(v) =n+1

i=1 viSi(x) eth(x) = detL_x (le déterminant étant calculé relativement à des bases orthonormées directes des espaces de départ et d’arrivée). En calculanthdans une base orthonormée directe deRⁿ⁺¹ de la forme(e₁, . . . , e_n,Φ(x)), on obtient :

h(x) =

j

f_j²(x)

(n+1)/2

detdxΦ.

Commençons par estimer h ₂. On a h ²_∞(1 +C(n)√

)carh²(x)|Lx|²ⁿet d’après le lemme 11(i), on a :

Lx(v)²

E

1 +C(n)√

n+1

i=1

viSi

2

2

1 +C(n)√

v ²_Rⁿ⁺¹,

pour toutv∈Rⁿ⁺¹. Par ailleurs, pour tout couple(u, v)de vecteurs deRⁿ⁺¹, on a : ^tL_x◦L_x(u), v

Rⁿ⁺¹− u, v_Rⁿ⁺¹

=

ij

u_iv_j

S_i, S_jE−δ_ij

max

ij

Si, SjE−δij u _Rⁿ⁺¹ v _Rⁿ⁺¹

et donc, d’après le lemme 11(ii), ^tL_x◦L_x−Id_TΦ(x)Sⁿ C(n)^1/4, pour tout pointxdu sous- ensembleM, i.e.|h²(x)−1|C(p, n)^1/4surM. On obtient alors l’estimée :

1 VolM

M

h²−1

1 VolM

M

h²−1+

1−VolM

VolM

max 1,h²

∞−1

C(n)^1/4.

Pour obtenir le degré deΦ, c’est l’intégrale _Vol¹_{M M}hque l’on doit estimer. Nous allons utiliser l’inégalité de Poincaré pour montrer que la moyenne dehest proche de sa normeL². Pour cela, il faut montrer que la normeL²dedhest petite :

En prenant la base canonique de Rⁿ⁺¹ comme base orthonormée au départ, et une base orthonormée directe quelconque(X_i(x))deE_xà l’arrivée, on obtienth(x) = det(X_i, S_jE).

Soientxun point donné deM,X∈T_xM etγ_X la géodésique passant par xavec le vecteur vitesseX. On note(X_i) le repère transporté parallèlement le long de γ_X de (X_i(x)). Alors dxh(X) =X.(det(Xi, SjE)ij)est égal à :

n+1

j=1

det







X1, S1 . . . X1, D^E_XSj . . . X1, Sn+1

X_n+1, S₁ . . . X_n+1, D^E_XS_j . . . X_n+1, S_n+1





.

D’où|dxh(X)|C(n) maxi Si n

∞maxi|D_X^ESi(x)|E. Le lemme 11(i), donne donc : dh ²2= 1

VolM

M

|dh|²C(n) max

i

1

VolM D^ESi²(x)C(n), la dernière inégalité découle de la preuve du lemme 10(ii).

Or λ1 n et donc 0 h ²₂ −(_Vol¹_{M M}h)² C(n). On déduit donc de l’estimée précédente sur h ²₂que :

1−C(n)^1/4 1

VolM

M

h 2

1 +C(n)^1/4.

Pour conclure, on a degΦ VolSⁿ = _MdetdΦ = _M(

kf_k²)^−(n+1)/2h. Le lemme 13 et la majoration de h _∞ donnent alors ||deg Φ|^Vol_Vol^S_Mⁿ −1|C(n)^2(n+1)1 . Commedeg Φ est un entier et queVolM VolSⁿ,on obtientdeg Φ =±1etVolMVolSⁿ(1−C(n)^2(n+1)1 ).

Siλn+1(M)n+(n)alorsM est orientable

Si Mⁿ est non-orientable, on construit l’application Φ à partir des fonctions propres (fi)1in+1 et on note π:M→M le revêtement riemannien orientable de M. Soit Φ = Φ◦π:M→Sⁿ. On adeg₂Φ = deg ₂Φ deg₂π= 0(oùdeg₂désigne le degré modulo 2), et donc Φ est de degré orientable pair. Cependant,(Mⁿ,˜g)vérifie aussiRic(n−1)et les fonctions f˜i=fi◦πsont des fonctions propres de(Mⁿ,g)˜ associées aux mêmes valeurs propresλi. On en déduit que l’applicationΦ n’est autre que celle étudiée en e) associée à la variété(M , ˜g)et aux fonctions propresf˜i.Φdoit donc être de degré±1, ce qui est contradictoire.

4. Équivariance deΦ

Nous allons exhiber, sous les hypothèses de la section 3, un morphisme du groupeIsomM des isométries deM dans le groupeOn+1(R)des isométries deSⁿ pour lequel l’applicationΦ est équivariante.

Soientfune fonction propre (f=λf) etσune isométrie de la variétéM. Alors(f◦σ) = λ(f◦σ). En particulier, si on suppose que(√

n+ 1.f_i)_1ik est une base de l’espace de toutes les fonctions propres associées aux valeurs propres deM inférieures à un réelαdonné, alors il existe une matrice A^σ de Mk(R) telle que pour tout indice i, on ait fi◦σ=

jA^σ_ijfj. De plus, commeσpréserve le volume riemannien, on a _n+1^δij =_Vol¹_{M M}fi◦σ.fj◦σ dvg=

klA^σ_ikA^σ_jln+1^δkl . On en déduit queσ→A^σest un morphisme de groupe de IsomM à valeur dansOk(R).

Dans le cas particulier oùM vérifieRic(n−1)etλn+1n+, le choix d’une famille (√

n+ 1.f_i)_1in+1 L²-orthonormée de fonctions propres associées aux n+ 1 premières valeurs propres non nulles deM induit un morphisme de IsomM à valeurs dans O(n+ 1) (d’après le lemme 10(i)) tel queΦ(σ(x)) =A^σ(Φ(x))pour toute isométrieσ. L’outil central de la démonstration des théorèmes 3 et 4 est le lemme suivant.

LEMME 16. – SoientM une variété complète vérifiantRicn−1etλ_n+1n+(pour α(n)), et Φ :M →Sⁿ l’application définie dans la Section 3. On se donne de plusGun groupe fini d’isométries agissant librement surM. Le morphismeσ→A^σest alors injectif sur GetA(G)est un sous-groupe deOn+1(R)agissant librement surSⁿ. Enfin,Φpasse au quotient en uneC(n)

1

384(n+1)3-approximation de Hausdorff deM/GsurSⁿ/A(G).

Preuve. – Si σ∈KerA, alors la variété quotient de M par le groupe σ vérifie aussi Ricn−1etλ_n+1n+. Mais alorsM etM/σont des volumes presque égaux à celui de(Sⁿ,can)(d’après 12). Or le cardinal deσest égal au rapport de ces volumes (carσagit librement), et doncKerA={idG}.

Gest un groupe agissant par isométrie surM etSⁿ, etΦest une application équivariante pour ces deux actions.Φpasse donc au quotient en une application de la variété riemannienneM/G sur (l’orbifold)Sⁿ/G. Il est facile de montrer que Φétant uneC(n)^384(n+1)31 -approximation de Hausdorff de M sur Sⁿ (proposition 12), son quotient est aussi une C(n)^384(n+1)31 - approximation.

Pour montrer que G agit librement sur Sⁿ, commençons par remarquer que, d’après le théorème de J. Cheeger et T. Colding cité en introduction, on peut supposer que sous les hypothèses du lemme,Mⁿ=Sⁿ (remarquez que dans la suite on a juste besoin que M soit homéomorphe àSⁿ, et donc [18] suffit). On utilise alors le résultat suivant.

LEMME 17. – SoitGun groupe fini, soientαi:G×Sⁿ→Sⁿ,i= 1,2, deux actions sur la sphèreSⁿetΦ : (Sⁿ, α1)→(Sⁿ, α2)une application équivariante qui est de degré±1. Siα1est libre, alorsα₂est aussi libre.

Si α2 n’est pas libre, alors Gadmet un élément non trivial σ tel que α2(σ)fixe un point deSⁿ. Quitte à remplacerGparσ^l(pourlbien choisi), on peut se ramener au cas oùGest un groupe de cardinalppremier fixant un point deSⁿ par l’actionα2. NotonsMΦle cylindre de l’applicationΦ. Au couple(M_Φ,Sⁿ)est alors associée la suite longue exacte en cohomologie relative (à coefficients dansZ/pZ) suivante :

0→H⁰(M_Φ,Z/pZ)−→^Φ∗ H⁰

Sⁿ,Z/pZ

→H¹

M_Φ,Sⁿ;Z/pZ

→ · · ·

→Hⁿ

MΦ,Sⁿ;Z/pZ

→Hⁿ(MΦ,Z/pZ)−→^Φ∗ Hⁿ

Sⁿ,Z/pZ

→0.