N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Correspondance
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 3 (1864), p. 379-383
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CORRESPONDANCE.
Un professeur nous communique une solution de la question proposée, cette année, au concours des Lycées de Paris, pour les classes de mathématiques spéciales.
Cette solution offre une application remarquable de la méthode qui consiste à exprimer chacune des deux coor- données variables d'un point en fonction d'une nouvelle variable indépendante. Pour mettre en évidence l'utilité de cette méthode, la question proposée a été on ne peut mieux choisie.
En voici d'abord l'énoncé :
Une parabole étant donnée, on mène par le pied de sa directrice une sécante rectiligne quelconque, et par les deux points d'intersection on fait passer une parabole égale à la première et dont Taxe soit perpendiculaire à celui de la parabole donnée : trouver le lieu géométrique du sommet de la parabole mobile.
En prenant pour axes de coordonnées la directrice et Taxe de la parabole fixe, et nommant ip le paramètre;
a, G les coordonnées du sommet de la parabole mobile;
m le coefficient angulaire de la sécante : les coordonnées x, y des points communs à ces trois lignes seront liées entre elles par les relations
(O r2—2
(2) (i_,).
( 3 ) y = mx.
(*) Par les deux points d'intersection de la sécante et de la parabole donnée, on ppiit faire passer deux paraboles satisfaisant au\ conditions do
Eliminant )
(4)
(5)
, il vient
(.r — a^
( 38o )
-z
PL-
)2— 2 / W ê -
2/ ~ ° ' - tnx) = o.
Les équations (4) et (5) devant admettre les mêmes racines ont nécessairement leurs coefficients proportion- nels, donc
m' = P = P2
i a—pm a2— i p 6
C'est au moyen de ces dernières relations, qui donnent facilement les valeurs des coordonnées a, ë, en fonction de la variable indépendante m, que notre correspondant détermine la forme du lieu cherché, par la séparation de ses différentes branches qui ont pour asymptotes les pa- raboles
O, OL'J— ip&— ap = o,
et en faisant connaître toutes les particularités que p r é - sente chacune de ces branches.
La même solution est aussi déduite de l'équation du lieu, qu'on obtient en éliminant l'indéterminée m entre les relations (4) et (5). Cette équation est
On y satisfait en posant
( " '' OL2 2 p O = A />2,
(8) y: — ?.p?> —Px = £L, y/A
quelle que soit la valeur attribuée à 1.
Teuonce. L'équation
se rapporte a l'une de ces deux courbes; pour l'autre, il faudrait écrire
( {Ç>—j) = o .
( 3 8 . ) D'où
Les équations (7) et (8) montrent que les paraboles a2 — ip% — o, a2 — 2 /? 6 — pa. = o,
sont asymptotes à la courbe, et les valeurs (9), (10) de y, o, déterminent ses différents points.
RÉPONSE A UN ABONNÉ, AU SUJET DE CETTE PROPOSITION QUE *.
Si, dans le premier membre de ï équation f ' [x,y) = o d'une conique, on remplace les coordonnées cou- rantes x,y9 par les coordonnées a, 6 d'un point non situé sur la courbe y le résultat f(a, 6) de la substitution et le discriminant A de Véquation proposée auront le même signe, ou des signes contraires, suivant que le point [a, 6) sera intérieur ou extérieur à la courbe.
En représentant la conique par l'équation
(1 ) a.r2 -f- a'y7 -h 1 b"xy -f- 2 b'.r -\-iby -j- a" = o,
le discriminant est
aa'a» -f- 2 bb'b" — ab* — a'b">— a"b"\
Dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, les coor- données a, ë du centre ont les valeurs finies
a'b' — bb" ab — b'b"
b"* — aa' ' b"2 — aar
La substitution de ces valeurs dans le premier membre
( 3 82 ) de l'équation (i) donne
[a'b' —bb")b' +.(ab—b'b")b b»*-aa'
ou
On a donc
'(*>*) = ïïh*-
Quand la conique est une ellipse, le centre est un point intérieur, et, de plus, la différence aa!— bfn est positive.
La relation (2) montre que ƒ (a, 6) et A ont, alors, le même signe, ce qui aura lieu, aussi, pour tout autre point inté- rieur, puisque/'(a, 6) ne changera pas de signe.
Si l'équation (1) représente une hyperbole, on aura an' — £ " * < o ,
et par suite
niais, dans ce cas, le centre est un point extérieur 5 donc, la proposition est démontrée pour Tellipse et l'hyperbole.
Lorsque l'équation (1) appartient à une parabole, on a aa' — b"7 = o,
et les coefiicients a, a' ont nécessairement le même signe;
on peut les supposer tous deux positifs.
Le discriminant se réduit à
*hb'b" —sab2— a'b'*.
Et, parce que
b" = ± W on a
(3) \=-{by/â
( 383 )
D'autre part, l'équation (1) prend la forme (4) (xs/à±y s/Vf -+- 2 £'* -{- 2b"y 4- a"=o.
La droite représentée par
2 b'x H- 2 b "y ~f- a" = O
touche la parabole au point de rencontre de cette courbe et du diamètre
.v \fâ dzjr sja' = o.
Tout autre point de la tangente est extérieur à la courbe -, la substitution de ses coordonnées, «, c, à j , y, donne (5) /(a,6) = (av/«±êv/^)2;
donc ƒ (a, S) et A ont des signes contraires. Et, par con- séquent, la proposition énoncée convient aussi à la pa- rabole. G.
