Travail dans la poulie mobile (voir t. XVI, p. 344) ; d'après M. Buch

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Travail dans la poulie mobile (voir t.

XVI, p. 344) ; d’après M. Buch

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 18

(1859), p. 363-365

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TRAVAIL DANS LA POULIE MOBILE

(voir t XVI, p SU),

D'APRÈS M. BUCH.

Note. Beaucoup de fautes typographiques défigurant cet excellent article, nous jugeons utile de le reproduire;

nous conservons la même figure.

1. Notations, CL = angle de la puissance P et de la verticale Q ;

w = angle du chemin élémentaire O(V et de la verticale ; s = le chemin élémentaire O O ' ; H'O = chemin élémentaire de la résis-

tance = S COS Où.

Donc

Q. H' O = Q s cos w = trav. elem de Q ;

la différence des deux chemins FA-4-arc AB H- BE et FA'-i-arcA'B'-f-B'Eest

FA — FA'-4- arc AB — arc A' B'4~ BE — B' E ; l'arc GK est égal à l'arc AB-, donc cette dernière différence est égale à

FA — FÀ'+ arc GK — arc A'B'-h BE — B' E = / m ai h

arc GR — arc A'B' = arc GA'-h arc B'K, donc cette différence devient

FA — FA'4- aie GA'H- arc B'K + BE — B' E =. / Soit C la projection orthogonale àc A' sur FA, FA et

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FA' étant infiniment rapprochas, car le mouvement est élémentaire; on a

FA' = FC et FA — FA' = AC, et, par la même raison,

BE — B'E = BD, où D est la projection de B' sur EB.

Soit M la projection de G sur FA ; la tangente en G est parallèle à F A , et cette tangente coïncide avec l'arc élé- mentaire A'G; donc

arc GA'= CM, et FA — FA'-f- arc GA' = AC -4- CM = AM.

On démontre de même que

BE — B' E 4- arc B' K = BD + DN = BN, où N est la projection de K sur EB.

Ainsi, la différence de ci-dessus devient AM + BJN^/,

où AM est la projection du chemin élémentaire OO' sur FA. AM et O O ' faisant avec la verticale des angles a e t w , l'inclinaison de AM sur O O ' est a -h w ; donc

AM = OO' cos (a 4- w) = s co;>(a •+- w), et, de même,

BJN =i OO' cos (a — w) = s cos (a — o> ) ; donc

AM + BN = 2 s cos a cos w = /.

Le travail élémentaire de P est donc P / = 2 P cos a. v cos w : oi réquation d'équilibie donne

Q = ?. P cos a ;

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( 365 ) donc

P/ = Qcosa,

c'est-à-dire le travail élémenlaire de P est égal au travail élémentaire de Q. c. Q. F. D.

On voit que la même démonstration aurait lieu, si la poulie était une courbe quelconque, et si le déplacement était infiniment petit.