Leçon 45 : Droites des milieux

Géométrie C2

\.

Leçon 45 : Droites des milieux

l. Activités Activité I

l.

^{ABC est}

^un

triangle. M est

le milieu

^du

A

^côté _[a-e]

N

^La

^{droite (MN)}

^{est parallèle}

^{à (nc)}

a. Trouver

^les projetés des

points M,B et

A sur la

droite (nc)

parallèlement à (BC).

b. Montrer que

N est le

milieu de [ec].

l.

^{ABC est un triangle,}

^M

^{et N sont les}

^milieux

^respectifs

[AB]

^et

[ec].

oo

/ -\* _a.

_Trouver les

projetés de[en]

^{et de M}

sur

la

droite

^t

(ac)

parallèlement à (BC).

D

H-

P b.

^{Montrer que}

^(vnri)

^//(BC).

2.

^{P est}

^le

milieu du

côté [gc].

a. Que ^peut-on

dire

des droites

(xp)et

^(AB)?

b.

Montrer que le quadrilatère

MNPB

^{est un} pqrallélogramme.

c.

CornPléter

:

BP

:...xBC

MN = -..:...x BC

2.

Essentiel

l. Droites

^{des milieux}

a.

Théorème

Théorème ^1:

- Dans

un

triangle, la

droite qui

^{passe par les}

milieux

de deux côtés ^est

farallèle

au

troisième

^côté.

- La

longueur

du segment qui

joint

ces deux

milieux

est égale à

la

moitié de

la longueur

^du troisième côté.

Activité

²

198

Géométrie C2

Exemple :

Dans le triangle

Ona:

ABC,I

est le

milieu

de

[an]F

^{J est le} milieu [eCJ,

(IJ)//(BC)

_et

u:1nc

.B

2

Théorème 2 ^:

- Dans un

triangle,

la droite qui passe par le

milieu d'un

_{côté et qui} est parallèle

à un second côté, _{coupe le} troisième _{côté en son} mirieu.

Exemple : ^.

_ Dans le

triangle

ABC,

I

^est le

milieu

de

[egl,

J est un point

de [ac]et (ff/(BC)

On a : J esr le

milieu [ec]

Exercice résolu I

ABC

est un

triangle.

M est un

point

_{du côté}

[gc].R

^{est le milieu du segment}

[AM]

.Laparallèle

_à

(nc)

passanr par R coupe les côrés

[an]

^et

[ac] ^{en s}

^{er T}

respectivement.

Montrer _{que S est Ie} milieu du segment

[an]

Solution ^I

ABC est

un

triangle,

M

un

point de [nc]

R milieu

de [av]

(sry/(BC)

Hypothèse

Conclusion Montrer que _{S est le}

milieu du

segment

[AB]'

- Dans le triangle

ArlM,

la droite

(sR)

passe par le

milieu

R du côté

[AMl

^et elle est parallèle à un second côté _[rranJ.

La seconde propriété _des milieux permet

d'affirmer

qu'alors _la

droite (sn)

passe par le

milieu

du troisième

côté

_[ABJ.

Donc, S est le

milieu

de

[en].

r99

r l.

2.

aJ.

Géométrie C2

Exercice résolu 2

ABC

est un triangle.

M

est un

point

du

côté[ee]. N

est un point

de [eC].

Les

droiter(lunr)

et

(nc)sont

parallèles.

Sachant que AM =2cm, ^AN =3cm et ^AB =8cm. Calculer la longueur NC.

Solution

Hypothèse

ABC

est un triangle

M

est un

point

de

[nn]

N

est un

point

_{de [nC]}

(rr,DI)

/l(BC)

C Conclusion Calculer la iongueur NC

- Dans le triangle ABC,

M

est

sur

_[anJ,

N

^est-sur

[ac]

^et (MN)/l(BC).

Donc les longueurs des côtés de

AMN

sont proportionnelles aux longueurs

des côtés correspondants de

ABC.

r

AMAB )

^*,

Or : '""

ANAC3AC

Donc

:

NC

:

AC

-

^AN

=12-3:9

^cm.

Exercices

Soit un triangle ARC clans lequel,

I

^est le

milieu

cltr côté

tABl,J

^est

le nrilieu

du côté

[nC] et BC:7cm.

a.

^Montrer que les droites

(U) et (nc)

sont parallèles-

b.

Calculer la longueur IJ.

ABCD

^est un parallélogramme de centre O. E est le symétrique de

P p*

^rapport

àc.

a.

Montrer que les droites

(oc) et

(En)sont parallèles-

b.

_Quelle ^est la nature du quadrilatère

ABEC

^?

c.

^{Caiculer la} longueur BE tel

que

AC =2cm.

ODE est un triangle. P est le symétrique de O par rapport à D. R est

le

symétrique de O par rapport ^{à E.}

a. Faire une

figure

;

b. _Que peut-on dire des droites

(pn)

^et

(on)-

200

4.

Géomérie _C2

\.

soit

un hiangle

ABC

dans lequel,

I,

^J et K sont les

milieux

respectift des côtés

[AB], [ec] et [ec].

a'

Sachant

que

AB

:4cm,

_{AC =3cm et BC}

=,cm,carcurer res longueurs IJ _, JK et KI.

b-

si

ABC _est

un

triangre isocèle, queile _{est ra} nature du

trianglelJK

_?

c.

Si ABC est

un

triangle équilatéral, _{quelle est la}

nature

du hiangle

IJK

?

d' si Æc

est

un

triangre rectangre en A, queile est

la

nature du triangre

IJK

?

Sur la figure ci-dessous, calculer :

-

Les

longueurs

_{O,C' et CD}

(figure l)

-

Les

longueurs

OC et C'D, (figu

re

2).

5.

,O'

figure

1

b.

Monter

que

(pe)

_//(DE)

c.

Calculer la

longueur

^pe.

frgure 2

6' oDE

est un

triangre

_tel que _DE

:

4 cm.p est re symétrique de

o

^par

rappoft

_{à D.}

Q

^{est le} symétrique de O par

rapport

à E.

a. Faire une

figure ;

^I

7

' ^sEC

^{est un triangre,} et A est le

milieu

dù segrnentfs4.

Par

A,

on mène

la

parailère _à

(sa);

cetre parailère

coupe

_{(ec)en B.}

Par

B,

on mène la parallère _à

(sc);

cene parallèle

coupe

(sË)en D.

a.

Montrer que

D

est le milieu

de[se].

b.

_Que dire des

droites

_{(,ro) et}

(rc).

201