Subdivisions itératives d’arcs d’ellipses et d’hyperboles et application à la visualisation de cyclides de Dupin

Subdivisions itératives d’arcs d’ellipses et d’hyperboles et application à la visualisation de cyclides de Dupin

L. Garnier¹, L. Druoton^2,3, R. Langevin²

1LE2I, UMR CNRS 5158, Université de Bourgogne, faculté Mirande, 21000 Dijon

2IMB, UMR CNRS 5584, Université de Bourgogne, faculté Mirande, 21000 Dijon

3CEA, DAM, Valduc, F-21120 Is Sur Tille

<lgarnier, lucie.druoton, remi.Langevin>@u-bourgogne.fr

Résumé

Plusieurs méthodes de subdivision existent pour construire des arcs de paraboles ou de cercles dans le plan affine euclidien usuel. Il est possible de construire des arcs de cercles à la règle et au compas, en restant dans l’espace affine en utilisant trois points pondérés et sans utiliser le concept de géométrie projective. Cette construction s’appuie sur les propriétés des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. Cependant, lorsque la conique est un arc d’ellipse ou d’hyperbole, le calcul du poids est relativement compliqué. Comme l’équation de la conique estQ(x, y) =1, pour simplifier ce problème, nous munissons le plan affine de la forme bilinéaire symétrique définieQqui permet de manipuler la conique comme un cercle unitaire : les méthodes usuelles, connues dans le cas des cercles euclidiens, peuvent être alors adaptées. De plus, notre construction est régulière dans le sens où, à chaque étape, le point construit sur la conique appartient à la médiatrice principale du triangle isocèle pour notre pseudo-métrique. Se pose alors un problème lorsque les points extrémaux sont sur deux branches distinctes de l’hyperbole. Pour résoudre ce problème, nous utilisons le formalisme des points massiques et réalisons deux schémas de subdivision dont l’une des deux extrémités est un vecteur directeur de l’une des deux asymptotes, ces deux vecteurs étant opposés. De plus, à chaque étape, nous connaissons le point et la tangente à la conique en ce même point. Ces algorithmes sont adaptés ensuite pour visualiser un maillage 3D d’une cyclide de Dupin réalisant une jointure G¹entre deux surfaces canal dans l’espace des sphères.

Mots clés :coniques à centre, forme bilinéaire symétrique définie , subdivision, cyclide de Dupin, espace des sphères.

Several methods of subdivision exist to build parabola arcs or circle arcs in the usual Euclidean affine plane.

By using a compass and a ruler, it is possible to construct, from three weighted points, circles arcs in the affine space without projective considerations. This construction is based on rational quadratic Bézier curve properties. However, when the conic is an ellipse or a hyperbola, the weight computation is relatively hard. As the equation of a conic isQ(x, y) =1, one can use the pseudo-metric associed toQin the affine plane and then, the conic geometry is a Euclidean circle : the usual methods, used in the circle case, can be adapted. At each step, the computed point belongs to a principal perpendicular bissector of the control polyhedron, therefore, our construction is regular. Moreover, we can pass throught the point at infinity when the pointsP0andP2do not belong to the same branch of the hyperbola using massic points defined by J.C. Fiorot : we compute two subdivisions with two collinear director vectors of the same asymptote such as the direction of these vectors are opposite. Furthermore, at each step, we know the tangent lines to the conic at the computed vertex. Then, we fit our algorithms to compute some characteristic circles of a Dupin cyclide which blends two canal surfaces. To do that, we use the representation of a Dupin cyclide in the space of spheres.

Keywords : central conics, non-degenerate indefinite quadratic form, subdivision, Dupin cyclide, space of spheres.

c REFIG 2012, Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique.

1 Introduction

Dans les années 60, Pierre Bézier [Béz86] chez Renault et Paul de Casteljau [Cas85] chez Citroën ont défini les mêmes outils afin de résoudre les problèmes de modélisa- tion en CFAO dans leurs industries respectives. Leurs mo- dèles de courbes, polynomiales ou rationnelles, sont para- métrées à l’aide de polynômes de Bernstein. Lorsque ces derniers sont de degré 2, nous obtenons un arc de conique [Gar07, DP98, FJ89].

En s’appuyant sur les travaux de M. Barnsley [Bar88], R.

Goldman a montré, en 2004, la nature fractale des courbes de Bézier [Gol04], c’est-à-dire leurs auto-similarités, ce qui ouvre la voie à des constructions itératives de telles courbes.

Notre idée est d’utiliser les propriétés des courbes de Bé- zier quadratiques (polynomiales ou rationnelles) pour dé- velopper des algorithmes permettant de construire, dans le plan affine euclidien, des arcs de coniques propres, à centre. La représentation de coniques par des courbes de Bé- zier [Béz86, DP98, Lee87, Far93] est très connue en C.A.O.

En s’inspirant de l’algorithme de De Casteljau [Cas85], plusieurs auteurs ont définis des algorithmes itératifs pour construire des arcs de coniques [Béz86, DP98, Gar10, FJ89].

Contrairement à la plupart des travaux précédents traitant de la modélisation de coniques par des courbes de subdivision [MWW01, BCR07b], notre approche est géométrique : nous n’évaluons jamais les polynômes de Bernstein ; nous ne ré- solvons aucune équation ; nos algorithmes, inspirés de la mé- thode de De Casteljau [Cas85], permettent de construire les tangentes à la courbe limite et, lorsque cela a un sens, nous imposons que le point construit appartienne à la médiatrice du triangle isocèle, constitué des trois points de contrôle, is- sue du point intermédiaire. L’originalité de notre méthode consiste à choisir une forme quadratique permettant de voir la conique à centre comme un cercle. Pour modéliser un arc d’hyperbole non connexe dans le plan affine, nous utilisons les points massiques définis par M. Fiorot [FJ89].

La première pierre de l’édifice est la construction, à par- tir de trois points pondérés(P₀; 1),(P₁;ω)et(P₂; 1), d’arcs de cercles tout en restant dans l’espace affine [Gar10]. En- suite, il suffit de choisir la bonne (pseudo-)métrique dans le plan afin que notre conique à centre soit vue comme un cercle unitaire. A notre connaissance, c’est la première fois qu’une telle approche est utilisée pour construire des arcs de coniques à centre.

Nous adaptons ensuite les algorithmes développés afin de les appliquer aux représentations des cyclides de Dupin, in- ventées par P. Dupin en 1822 [Dup22], dans l’espace des sphères.

Comme une cyclide de Dupin est l’enveloppe de deux manières d’une famille à un paramètre de sphères, il est possible de la représenter dans l’espace des sphères [HJ03, Cec92, LO05, LO08, LW08]. La contribution d’une sphère de l’enveloppe à la cyclide de Dupin est un cercle appelé

cercle caractéristique. Dans l’espace affine usuel à trois di- mensions, ce dernier est l’intersection de deux sphères. Dans l’espace des sphères, les surfaces canal sont représentées par des courbes et les cyclides de Dupin sont représentées par des cercles pour une forme quadratique précise, mais nous pouvons aussi les tracer comme diverses coniques : cercle, hyperbole équilatère et parabole. Un cercle caractéristique d’une cyclide de Dupin est déterminé par un point de la co- nique associée et la tangente à la conique en ce point. Pour effectuer une jointure G¹entre deux surfaces canal à l’aide d’une cyclide de Dupin dans cet espace, il suffit d’effectuer une jointure G¹entre deux courbes par un arc de conique.

Nous montrons, dans cet article, comment nous construisons itérativement un morceau de cyclide de Dupin sans avoir à calculer ni ses paramètres ni ses bornes.

Des algorithmes de subdivisions, en utilisant des I.F.S.

non stationnaires, conduisant à des carreaux de cyclides de Dupin ont déjà été développés [GG11]. Dans l’article pré- cité, tout le travail se passe dans l’espace euclidien usuel à trois dimensions où les matrices de subdivisions sont diffi- ciles à obtenir. Notre approche, présentée ici, consiste à sub- diviser des cercles dans l’espace des sphères ce qui présente deux avantages : les matrices de subdivisions sont faciles à obtenir et les objets manipulés sont des courbes quadratiques qui sont beaucoup plus simples qu’une surface quartique.

Après un rappel concernant les courbes de Bézier, la construction itérative d’arcs de cercles dans le plan affine eu- clidien et les points massiques, nous définissons les formes bilinéaires permettant de considérer notre conique à centre comme un cercle. Dans la quatrième section, nous donnons les algorithmes permettant de mener à bien notre travail.

Dans la cinquième section, avant de conclure et de proposer quelques perspectives, nous adaptons nos algorithmes afin de pouvoir afficher certains cercles caractéristiques d’une cyclide de Dupin en utilisant sa représentation dans l’espace des sphères. Dans les annexes A et B, nous démontrons que les algorithmes 2 et 3 conduisent bien aux résultats souhai- tés. L’annexe C propose une linéarisation de l’algorithme 2.

L’annexe D présente une synthèse permettant de déterminer les types des cyclides de Dupin en utilisant leurs représenta- tions dans l’espace des sphères.

2 Préliminaires

Dans cet article,B0,B1 etB2 désignent les polynômes de Bernstein de degré 2, définis sur[0; 1]par :

B0(t) = (1−t)² B1(t) = 2t(1−t) B2(t) = t²

(1)

Le barycentre d’une famille de points pondérés (A_i, ω_i)_i∈Ivérifiant∑i∈Iω_i6=0, notébar

(A_i, ω_i)_i∈I est l’unique pointGdéfini par :

i∈I

∑

ω_i−−→GA_i=−→

0 (2)

Dans cet article, nous travaillerons très souvent dans des espaces affines non euclidiens c’est-à-dire que la forme qua- dratiqueQsur l’espace vectoriel associé sera définie mais non positive. L’espace affine hérite alors d’une (pseudo)- métrique : la propriété de l’inégalité triangulaire est perdue ; le carré de la (pseudo)-distance entre deux pointsAetB, no- téeQ−→

AB

, peut être négatif. Cependant, lorsque la forme quadratiqueQest définie positive (le produit scalaire de−→u et−→v est noté−→u• −→v), nous avons :

AB=−→

AB= r

Q−→

AB

= q−→

AB²= q−→

AB•−→

AB

Dans la suite de cet article, le terme pseudo sera souvent omis, mais il faut avoir à l’esprit que la quantitéQ−→

AB peut être négative. Etant donné que nous allons travailler avec une structure non euclidienne, nous commençons par donner la définition d’un cercle que nous utiliserons dans cet article :

Définition 1 : Cercle

SoitQune forme quadratique définie du plan−→ P etΩun point du plan affineP.

Cest un cercle de centreΩdans le planPs’il existe un réel ktel que :

C=n

M∈ P | Q−−→ΩM

=ko

(3)

Ici, quand nous parlerons de triangle isocèle ou d’orthogo- nalité, ce sera toujours en fonction de la forme quadratique utilisée (ou de la forme bilinéaire associée).

2.1 Courbe de Bézier de degré 2 dans le plan affineP Commençons par donner la définition d’une Courbe de Bézier Rationnelle Quadratique, notée CBRQ.

Définition 2 : CBRQ sous forme (quasi) standard

Soitωun réel non nul,P0,P1etP2trois points non alignés.

SoitOun point quelconque deP

La CBRQ, définie par les points de contrôle(P_i)_0≤i≤2 et le poidsωest l’ensemble des pointsM(t),tappartenant à l’intervalle[0; 1], vérifiant l’équation :

−−−−→

OM(t) =B0(t)−−→

OP0+ωB1(t)−−→

OP1+B2(t)−−→

OP2

B0(t) +ωB1(t) +B2(t) (4) avec la condition :

∀t∈[0; 1], B0(t) +ωB1(t) +B2(t)6=0 (5) Lorsque nous avonsω >0, la CBRQ est dite sous forme standard.

Lorsque le planPest muni de la forme quadratique eucli- dienne usuelle :

∀ −→u(x;y)∈−→

P,Q(−→u) =x²+y² (6) la valeur deω détermine la nature de l’arc de la conique propre obtenue [Gar07] :

⋆ si|ω|=1 alors la CBRQ est un arc de parabole,

⋆ si|ω|>1 alors la CBRQ est un arc d’hyperbole,

⋆ si 0<|ω|<1 alors la CBRQ est un arc d’ellipse.

⋆ si nous avons les deux conditions suivantes :

• le point P1 appartient à la médiatrice du segment [P0P2]c’est-à-dire :

Q−−−→

P0P1

=Q−−−→

P2P1

(7)

• le poids est calculé en utilisant la formule :

|ω|=cos−−−→\ P0P1,−−−→

P2P1

(8) alors la CBRQ est un arc de cercle.

Evidemment, la formule (7) implique que le triangle P0P1P2 est isocèle de sommet principalP1, figure 1, pro- priété que nous réutiliserons ultérieurement avec la forme quadratique adéquate.

Dans le paragraphe suivant, nous montrons comment il est possible de subdiviser de façon itérative un arc de cercle dans le plan affine euclidien.

2.2 Subdivision itérative d’arcs de cercles dans le plan euclidien

L’algorithme 1 permet, en s’inspirant de l’algorithme de de Casteljau appliqué à un arc de parabole, de construire de façon itérative un polygone approchant un arc de cercle dans un plan affine euclidien, figure 1.

Nous devons naturellement partir d’une situation favo- rable c’est-à-dire que nous avons les deux conditions sui- vantes :

• le point P1 appartient à la médiatrice du segment [P₀P2];

• le poids est calculé en utilisant la formule (8) que nous écrivons en utilisant le produit scalaire afin d’obtenir une formule analogue à celle que nous utiliserons dans l’algorithme 2.

La formule (10), illustrée par la figure 1, traduit la pro- priété :α1= ^α₂. Nous retrouvons, dans l’étape 2.d. de l’al- gorithme 1, la relation établie, lors de leurs études sur les courbes de subdivision, par G. Morin et al [MWW01] et C.

Beccari et al [BCR07a]. Notons que la droite(N₁N2)est la tangente au cercle au pointN3.

br

b b r

r b

α1

α₁ β1

α α

α

β

N3 N2

N1

P1

γ

P2

P0 I

Figure 1: Principe de la subdivision itérative d’un arc de cercle dans un plan affine euclidien, à partir de trois points pondérés (P0; 1),(P1;ω)et(P2; 1). La droite(N1N2)est la tangente au cercle au pointN3. Le triangle isocèleP0P1P2, de sommet principalP1est remplacé par deux triangles isocèlesP0N1N3, de sommet principalN1, d’une part etP2N2N3, de sommet principalN2, d’autre part. Nous avons la relationα=2α1.

Algorithme 1 : Subdivision itérative d’un arc de cercle dans un plan affine euclidien.

Entrée : SoitP0,P1etP2trois points non alignés dePtels queP0P1=P2P1etnun entier naturel non nul.

1. Calcul du poids : ω=

−−−→P0P1•−−−→P0P2

P0P1×P0P2

=

−−−→P0P1•−−−→P0P2

q−−−→

P0P12×−−−→

P0P22

(9) 2. Procédé itératif : Procédure FractCercle(P0,P1,P2,ω,n)

a. SoitN1=bar{(P0; 1);(P1;ω)}. b. SoitN2=bar{(P2; 1);(P1;ω)}. c. SoitN3le milieu du segment[N1N2].

d. Actualisation du poids : ω=

r1+ω

2 (10)

e. Sin6=0 alors FractCercle(P0,N1,N3,ω,n−1).

f. Sin6=0 alors FractCercle(N3,N2,P2,ω,n−1).

Sortie : un polygone approchant un arc de cercle d’extré- mitésP0etP2 et ayant pour tangentes(P₀P1)et(P₂P1).

Notons qu’à chaque étape de l’algorithme 1, le pointN3

construit appartient à la médiatrice du segment[P0P2]ce qui permet d’obtenir une construction régulière [Gar10].

Lorsque nous voulons représenter dans le plan affine une courbe de Bézier modélisant un demi-arc de cercle [Béc97], ou lorsque nous voulons utiliser des courbes de Bézier ra- tionnelles quadratiques, sans utiliser des concepts de géo- métrie projective^†, il est intéressant de pouvoir générali- ser la notion de barycentre en utilisant la théorie des points massiques [FJ89]. Il est alors possible de réprésenter une branche d’hyperbole à partir de deux vecteurs directeurs (un pour chaque asymptote) et d’un point de la branche considé- rée [Béc97].

2.3 Ensemble de points massiques 2.3.1 Définition

L’ensemble des vecteurs du plan vectoriel−→

Pet des points pondérés du plan affinePsont regroupés dans l’espacePe

†. En utilisant l’algorithme de De Casteljau sur des courbes de Bézier polynomiales dans l’espace projectif, nous perdons les pro- priétés euclidiennes de la conique étudiée.

[FJ89] défini par :

Pe= P ×^R∗

∪−→ P × {0}

(11) et il est possible d’identifier^‡Peà −→

E2=−→ P ⊕−→

R, figure 2.

L’idée est de considérer le plan affinePcomme un hyper- plan de−→

E2d’équationω=1 : la coordonnée supplémentaire représente le poids du point pondéré. Un point massique est soit un point pondéré du planP, soit un vecteur du plan vec- toriel−→

P à qui nous affectons un poids nul.

Rappelons que le barycentre d’une famille de points pon- dérés dont la somme des poids est nul n’est pas un point, mais le vecteur :

−

→u =

∑

i∈I

ω_i−−−→M A_i

qui est indépendant du pointM [Gou83, Lad03]. Il est donc naturel de regrouper dans un même espace les points pon- dérés dePet les vecteurs de−→

P, identifié à l’hyperplan de

−

→E2d’équationω=0. Nous pouvons ainsi généraliser la no- tion de barycentre aux familles des points pondérés dont la somme des poids est nulle.

Cela revient à établir une bijection entre Pe et −→ E2 sui- vie d’une projection sur P ou −→

P selon le cas. L’es- pacePeest plus avantageux qu’un espace projectif puisque nous pouvons garder notre structure euclidienne ou pseudo- euclidienne sur le plan affinePet sur le plan vectoriel−→

P. Afin de pouvoir manipuler les coordonnées des points ou des vecteurs, Fiorot et Jeannin définissent, sur l’espacePe, les additions, notées⊞, de la façon suivante :

• ω+µ=0=⇒(M;ω)⊞(N;µ) = ω−−→

N M; 0

• ω+µ6=0=⇒ (M;ω)⊞(N;µ) =

bar

(M;ω);(N;µ)

;ω+µ

• (−→u; 0)⊞(−→v; 0) = (−→u+−→v; 0)

• ω6=0=⇒(M;ω)⊞(−→u; 0) = T¹

ω

−

→u(M);ω où T^−→west la translation dePde vecteur−→w.

Sur l’espacePe, Fiorot et Jeannin définissent la multipli- cation par un scalaire, notée⊡, de la façon suivante :

• α6=0=⇒α⊡(M;ω) = (M;α ω)

• ω6=0=⇒0⊡(M;ω) =−→ 0 ; 0

• α⊡(−→u; 0) = (α−→u; 0)

‡. −→

E3désignera dans la suite de l’article l’espace vectoriel eucli- dien usuel où les vecteurs positions ont pour composantes(x;y;z).

Nous notons−→

E2 l’ensemble des vecteurs positions représentés par les triplets(x;y;ω)où(x;y)sont les coordonnées d’un vecteur po- sition du plan etωle poids de ce dernier.

2.3.2 Courbes de Bézier rationnelles de degré 2 dansPe Ce paragraphe est une généralisation du paragraphe 2.1 : il est alors possible de sortir de l’espace affinePen incluant les vecteurs de−→

P, les points de contrôles sont alors des points massiques (i.e. des points pondérés dePou des vec- teurs de−→

P), [FJ89].

Définition 3 : CBRQ dansPe

Soit(M0;ω0),(M1;ω1)et(M2;ω2)trois éléments dePe. SoitI(resp. ¯I) l’ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls (resp. nuls).

Soit la fonctionωfdéfinie sur[0; 1]par : ω_f(t) =

∑

i∈I

ω_i×B_i(t)

Un point massique(M;ω)ou(−→u; 0)appartient à la courbe de Bézier quadratique de points massiques de contrôle (M0;ω0),(M1;ω1)et(M2;ω2), s’il existe un réelt0de[0; 1]

tel que :

• siω_f(t0)6=0 alors, nous avons : −−→OM = −→u1+−→u2

ω = ω_f(t0) avec :













−

→u1 = 1 ω_f(t0)

∑

i∈I

ω_iB_i(t0)−−−→

OM_i

−

→u2 = 1 ω_f(t₀)

∑

i∈I¯

Bi(t₀)−→

Mi

• siω_f(t₀) =0 alors, nous avons :

−

→u =

∑

i∈I

ω_iB_i(t0)−−−→OM_i+

∑

i∈I¯

B_i(t0)−→M_i

En utilisant les additions et multiplications définies dans le cadre du formalisme des points massiques, dans le cas où (M;ω)et un point de la CBRQ vérifiantω6=0, nous aurions la notation suivante :

(M;ω) = 1 ω⊡

∑

B_i(t0)⊡(M_i;ω_i)

!

⊞ 1 ω⊡





∑

i∈I¯

B_i(t0)⊡−→M_i; 0



où

∑

Nous aurions une écriture analogue dans le cas où nous obtenons le point massique(−→u; 0).

Dans la suite de l’article, E3 désigne l’espace euclidien usuel de dimension 3, d’espace vectoriel associé−→

E3. Dans le paragraphe suivant, nous allons, à partir d’une el- lipse ou d’une hyperbole donnée, et d’un point, construire un

r r bb r

r

−

→E2=−→ P ⊕−→

R

OP× {1} (M; 1) = (x;y; 1)

Ω=−−→

O^−→_P× {0}

ω=1

ω=0

−

→P P

(B; 1) (A;−1)

−→

AB; 0 (ωM;ω) = (ωx;ωy;ω)∈−→

E2

(ωM;ω)∈−→

E2≃((x;y);ω)∈ P ×^R∗ (M; 1)∈−→

E2≃((x;y); 1)∈ P ×^R∗

−→

AB,0

= (bar{(A,−1),(B,1)}; 0)∈−→ E2≃−→

AB∈−→ P

Figure 2: EspacePedes points massiques réunissant les points pondérés du plan affinePd’équationω=1 et les vecteurs (muni d’un poids nul) du plan vectoriel−→

P d’équationω=0.

cône (quadratique) dont l’équation va permettre de manipu- ler la conique à centre précédente comme un cercle unitaire.

Les idées de cette méthode nous seront aussi utiles dans le paragraphe 5.3 pour représenter les cyclides de Dupin dans l’espace des sphères.

3 EspacesLCet−L→Cde dimension 3

Nous identifions le plan affine P muni du repère (Ω;−→ı;−→) avec l’hyperplan affine d’équation z = 1 de l’espace affine à trois dimensions^§ muni du repère O;−→ı;−→;−→

k

, orthonormé direct pour la structure eucli- dienne usuelle. Le plan vectoriel−→

P, associé au plan affine P, est l’hyperplan vectoriel d’équationz=0. Contrairement à la section 2.3, le plan affinePest un hyperplan d’un espace de dimension 3 muni d’une forme quadratique permettant de faire le lien entre la coniqueCet le cône, de sommetO, dont celle-ci est l’intersection avec le planP.

§. Cet espace sera notéLE(resp.LH) dans le cas de l’ellipse (resp. hyperbole). Les espaces−L→Eet−→LHsont les sous-espaces vecto- riels attachés aux espaces affines précédents.

Dans le cas d’une ellipseEd’équation : x²

a²+y²

b² −1=0 (12) dans le plan affineP, la forme quadratique engendrée dans

−→ LEest :

Q^E(−→u) =x² a²+y²

b² −z² (13) tandis que dans le cas d’une hyperboleHd’équation :

x² a²−y²

b² −1=0 (14) dans le plan affineP, la forme quadratique engendrée dans

−→ LHest :

Q^H(−→u) =x² a² −y²

b²−z² (15) L’espace−L→E(resp.−L→H) est muni d’une forme quadratique définie de signature(2; 1)(resp.(1; 2)). Cette forme quadra- tique est obtenue en deux temps :

• construction du cône en construisant les droites passant par chaque point de la courbe et le pointO;

• la forme quadratique est définie par l’équation du cône, dans l’espace de dimension 3, et pour cette forme qua- dratique, le cône est la sphère de centreOet de rayon nul.

Il est naturel d’associer à la forme quadriqueQ^E (resp.

Q^H) la forme bilinéaire symétrique définieL^E (resp.L^H).

Lorsque les propriétés sont les mêmes dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole, les espacesLEetLH(resp.−L→Eet−L→H) sont notésLC(resp.−L→C).

A partir de la forme quadratique définie, nous pouvons maintenant définir les sphères et cercles jouant un rôle im- portant dansLC, tableau 1.

Définition S0=n

M∈LC| Q^C−−→OM

=0o

(16)

C={M∈LC∩P}=⇒ Q^C−−→ΩM

=1 (17) Table 1: Sphères et cercles fondamentaux deLC. DansLC

(resp. avec un œil euclidien),S₀est une sphère de rayon nul (resp. un cône elliptique) tandis queCest un cercle unité (resp. une conique propre à centre)

La figure 3 montre la sphère de rayon nul, l’hyperplan affine et le cercle de rayon 1 lorsque la conique euclidienne est une ellipse.

Notons finalement que, si l’on restreint la forme bilinéaire L^C au plan vectoriel−→

P, la base(−→ı ;−→)est orthogonale, cependant nous avons :

L^E(−→ı ,−→ı) =Q^E(−→ı )>0 L^E(−→ ,−→) =Q^E(−→)>0 et :

L^H(−→ı ,−→ı) =Q^H(−→ı )>0 L^H(−→ ,−→) =Q^H(−→)<0 4 Subdivision itérative d’arc de cercles dansLC

Dans ce paragraphe, nous développons des méthodes per- mettant de subdiviser, de façon itérative, un arc de conique Cà centre en prenant la forme quadratique adéquate sur−L→C. Lorsque les points extrémaux de l’arc de cercle sont sur la même composante connexe deC, le principe est de transfor- mer un triangle isocèle pourL^Cen deux triangles isocèles (pourL^C). Cependant, lorsque le cercle a deux composantes connexes, nous pouvons être forcés d’utiliser des vecteurs c’est-à-dire des points massiques de masses nulles.

Dans le premier cas, nous nous donnons deux pointsP0et P2, non symétriques^¶par rapport au pointΩ, et nous calcu- lons le pointP1comme intersection des tangentes au cercle CenP0etP2. Dans le second cas, nous sommes obligés de réaliser deux subdivisions en prenant deux vecteurs direc- teurs de la même asymptote. Les extrémités de chaque arc sont alors deux points massiques, un de poids non nul (i.e.

un point pondéré deP) et l’autre de poids nul (i.e. un vecteur de−→

P).

4.1 Cas d’un arc connexe

Nous commençons par illustrer un algorithme de subdivi- sions itératives de cercles. Nous donnons une écriture matri- cielle en linéarisant cet algorithme dans l’annexe C.

Nous nous plaçons, dans ce premier temps, dans le cas où l’arc de conique est borné si nous le voyons sous son aspect euclidien. L’algorithme 2 permet de construire un arc de cercle dans le plan affinePdeLC. Si la condition de la formule (18) n’était pas vérifiée, le poids calculé, formule (20), aurait une valeur complexe : dans ce cas, nous utilisons l’algorithme 3.

Notons que la formule (20) est une généralisation de la formule (9) : seules les formes quadratiques (ou formes bili- néaires symétriques) définies sont différentes.

Nous rappelons que pour tout pointM(x;y)deC, nous avons :

Q^C−−→ΩM

=1 A partir des pointsP0 2;−√

3 etP2

√ 2; 1

, le calcul du pointP1est trivial puisque les tangentes enP0etP2sont L^C-orthogonales aux rayons et il suffit de résoudre le sys- tème donné par la formule (19).

De plus, nous avons l’égalité : Q^C−−−→

P0P1

=Q^C−−−→

P2P1

ce qui permet de déduire le fait que le triangleP0P1P2 est isocèle enP1pour la restriction àPde la pseudo-métrique induite par la forme bilinéaireL^C, figure 4. Dans la figure 4, les coordonnées deP1sont :

2+

3+√ 3

√ 2 2 −1

; 1+√

3+1 1−√ 2

¶. Dans le cas contraire, les tangentes ne se coupent pas dans le plan affine et il faudrait alors utiliser la notion de points massiques qui est plus lourde que l’utilisation de points pondérés. Pour utiliser ces derniers, il suffit d’introduire un pointP3sur le cercle de centre Ωet d’appliquer l’algorithme aux pointsP0etP3d’une part etP2

etP3d’autre part.

bb r

S₀

−

→ı

z=0 Ω(0; 0; 1)

P

−

→P

O(0,0,0)

z=1

C M

−

→k

−

→ C=n

M∈ P|Q^C−−→ΩM

=1o S₀=n

M∈LC|Q^C−−→

OM

=0 o

Comme tout point M de S0 vérifie QC

−−→

OM

=0, il est à une pseudo-distance nulle du sommet O du cône pour la forme quadratiqueQ^C.

Figure 3: Construction de l’espaceLC illustrée pour une ellipseC. La sphèreS0de rayon nul a pour centre le pointO. Le cercleC, de centreΩet de rayon 1, est obtenu comme section deS₀par le planP.

ce qui permet d’illustrer numériquement la propriété précé- dente :

Q^H−−−→P0P1

= 2+√

3

2√ 2−3

=Q^H−−−→P2P1

<0

Notons de plus que siI désigne le milieu du segment [P₀P2], alors la droite(IP₁)est laLC-médiatrice du triangle P0P1P2issue deP1, car nous avons :

LC

−−→

I P1,−−−→

P0P2

=0

Remarquons que dans le cas de l’ellipseE, nous pouvons prendre la valeur opposée de celle de la formule (20) dans l’algorithme 2 : nous obtenons alors l’autre partie de la co- nique, figure 5. La subdivision est identique (i.e. à chaque étape, les points construits sont les mêmes) à celle obtenue par L. Garnier en utilisant la règle et le compas dans [Gar10].

Notons que si les pointsP0etP2ne sont pas sur la même composante connexe du cercleH, alors le résultat de la for- mule (18) est négatif et le poids devient complexe. L’algo- rithme 2 fonctionne toujours, mais les points construits ap- partiennent à un cercle dans le complexifié de l’espace af- fine [Lad03]. Nous sommes obligés d’utiliser une autre piste afin de pouvoir représenter les points obtenus.

4.2 Cas de composantes non connexes

Dans ce paragraphe, nous traitons du cas où le cercleH a deux composantes connexes, figure 6. Le lemme 1 permet de démontrer que les asymptotes deHsont leurs propresL^H- orthogonales.

Lemme 1 : Soit−→

δ une droite vectorielle du plan engendrée par un vecteur non nul−→u vérifiantQ^H(−→u) =0.

Alors :

−

→δ^⊥LH =−→ δ

c’est-à-dire que l’orthogonal de−→δ pour la forme bilinéaire L^Hest−→

δ.

Dém : Soit−→u(a;b)i.e.Q^H(−→u) =0. Soit−→v(x;y). Nous avonsL^H(−→u;−→v) =0 ssi^ax_a2−^by_b2 =0 ssiy=_a^bx.

Si nous avons−→u(a;−b), la démonstration est analogue.

La formule (23) traduit le fait que le pointP1appartient à l’asymptote choisie et à la tangente au cercle Hau pointP0. L’algorithme 3 permet de construire de façon itérative un arc de cercle ayant pour extrémité un vecteur. Nous devons

+

b

b

b

b r r r

−

→ı

−

→

Q^H −→

=−1 Q^H −→ı

=1

Q^H−−→P0P1

= Q^H−−→P2P1

⇒P0P1P2estL^H-isocèle enP1

L^H−−→ΩP2,−−→

P2P1

=0 L^H−−→ΩP₀,−−→P₀P₁

=0 L^H−−→P₀P₂,−→IP₁

=0

P2

N2

I Ω

N1

N3

P0

P0 = 2;−√ 3

N3 ≃ (1,02;−0,22) I ≃ (1.71,−0,37) P2 = √

2; 1

N1 ≃ (1,13;−0,73)

Initialisation :

ω1≃1,667404861 Première itération :

ω₂≃1,15486035 P1

P1 ≃ (0,61;−0,13)

N2 ≃ (0,91; 0,29) ω1=

L^C−−→P0P1,−−→P0P2 r

Q^C−−→P₀P₁

× Q^C−−→P₀P₂ puisn≥1=⇒ωn+1=

r1+ωn

2

Figure 4: Exemple de subdivision itérative d’un arc de cercle dans le planPdeLH, à partir de trois points pondérés(P0; 1), (P1;ω)et(P2; 1),ω >1.

Le triangleP0P1P2,L^H-isocèle enP1, est remplacé par deux trianglesP0N1N3, d’une part, etN3N2P2, d’autre part,L^H- isocèles respectivement enN1etN2.

Dans le plan euclidien,Hest l’hyperbole équilatère d’équationx²−y²=1.

En rose : propriétés géométriques.

En jaune : valeurs lors du déroulement de l’algorithme.

En cyan : relation de récurrence.

Algorithme 2 : Subdivision itérative d’un arc de cercleC, de centreΩ, dans le plan d’équationz=1 deLC.

Entrée : SoitP0 etP2 deux points distincts deCetnun entier naturel non nul.

Condition 1 :Ωn’est pas le milieu de[P0P2].

Condition 2 : les pointsP0etP2sont sur la même compo- sante connexe :

Q^C−−−→

P0P1

× Q^C−−−→

P0P2

>0 (18)

1. Détermination du pointP1, intersection des tangentes àC enP0etP2, par :





 LC

−−→ΩP0,−−−→

P0P1

= 0

L^C−−→ΩP2,−−−→

P2P1

= 0

(19)

2. Calcul du poidsω: ω=

L^C−−−→

P0P1,−−−→

P0P2 r

Q^C−−−→

P0P1

× Q^C−−−→

P0P2

(20)

3. Procédure itérative FractCercle(P0,P1,P2,ω,n)

a. SoitN1=bar{(P0; 1);(P1;ω)}. b. SoitN2=bar{(P2; 1);(P1;ω)}. c. SoitN3le milieu du segment[N1N2].

d. ω= r1+ω

2 .

e. Sin6=0 alors FractCercle(P0,N1,N3,ω,n−1).

f. Sin6=0 alors FractCercle(N3,N2,P2,ω,n−1).

Sortie : un polygone approchant un arc de cercle, de centre Ω, d’extrémitésP0etP2et ayant pour tangentes les droites (P₀P1)et(P₂P1).

calculer le pointP1appartenant à l’asymptote∆et à la tan- gente àHenP0.

Dans le cadre de la géométrie euclidienne, une base or- thonormée(−→u;−→v)vérifie :

−

→u²=−→v²=1 et−→u• −→v =0 Dans notre cas, puisque nous avons :

Q^H−→ P2

=0=Q^H−→ P3

nous imposons, de façon naturelle, la condition suivante sur les vecteurs−P→2et−→P3:

L^H−→ P2,−→

P3

=1 (21)

Figure 5: Subdivision itérative d’une ellipse,|ω1|=¹₃. La subdivision est identique à celle obtenue par L. Garnier dans [Gar10].

Un pointAnotéA+(resp. A−) est obtenu avec ω1= ¹₃ (resp. ω1=−¹3). La notation des points est celle utilisée dans la théorie des I.F.S.

Figure 6: Cône obtenu lorsque la conique est une hyperbole H. Les directions vectorielles des asymptotes à l’hyperbole Hdans le plan d’équationz=1 sont deux génératrices de S₀.

Après avoir calculé la valeur du poids ω, nous pouvons itérer le processus en utilisant l’algorithme 3, qui généralise celui de De Casteljau en utilisant des points massiques. Afin d’établir une formule permettant de calculer directement la valeur du poids, formule (24), en fonction des données de départ, il suffit de déterminer, en fonction deω, les points N1,N2etN3à partir des points 2.a., 2.b. et 2.c. de l’algo- rithme 3. Nous imposons alors laL^H-orthogonalité entre les

Algorithme 3 : Subdivision itérative d’un arc de cercleH ayant une extrémité à l’infini.

Entrée : Deux points massiques du cercle H : (P0; 1), −P→2; 0

= ((λa;λb); 0)avecλ∈^R∗etnest un entier natu- rel non nul.

Condition : Les abscisses deP0et−→

P2sont de même signe.

Pré-calcul :−→ P3=

a 2λ;− b

2λ

; 0

1. Initialisation

a. Détermination du pointP1par :







L^H−−→ΩP0,−−−→

P0P1

= 0

L^H−−→ΩP1,−P→2

= 0

(23)

b. Calcul deωpar :

ω= 1

2 r

L^H−−→ΩP0,−→ P3

(24)

2. Procédure itérative

FractCercle2((P₀; 1),(P₁;ω),−→ P2; 0

,n) a. Soit(N₁; 1+ω) = (P₀; 1)⊞(P₁;ω).

b. Soit(N₂;ω) =−→ P2; 0

⊞(P₁;ω).

c. Soit(N3; 1+2ω) = (N1; 1+ω)⊞(N2;ω).

d. Calcul du poids : ω0=

L^H−−−→P0N1,−−−→P0N3 r

Q^H−−−→

P0N1

× Q^H−−−→

P0N3

(25)

e. Sin6=0 alors FractCercle(P0,N1,N3,ω0, n−1) f. Calcul du nouveau poids :

ω= ω

√1+2ω (26) g. Sin6=0 alors

FractCercle2((N3; 1),(N2;ω),−→ P2; 0

,n−1) Sortie : un polygone approchant un arc de cercleHd’extré- mitésP0et−P→2et ayant pour tangentes les droites(P0P1)et

P1;−→ P2

.

vecteurs−−→ΩN3et−−−→N3N1c’est-à-dire que la valeur du poids, formule (24), est la solution positive de l’équation :

L^H−−→ΩN3,−−−→

N3N1

=0 (22)

La figure 7 illustre l’algorithme 3 : l’hyperbole est équila- tère dans le plan euclidien, nous avonsa=b=1,−→

P2(1; 1)

et−→ P3

1 2;−¹₂

. Ces deux vecteurs forment une base du plan.

Du point de vue euclidien, ces deux vecteurs sont orthogo- naux. Pour la forme quadratiqueQ^H, chacun de ces vecteurs est orthogonal à lui-même et le produit de l’un avec l’autre donne 1. En revanche, les deux vecteurs−→ı et−→ forment une base du plan et sont orthogonaux entre eux pour les deux formes quadratiques.

La figure 8 montre l’influence du vecteur−P→2: plus la va- leur absolue deλest grande, plus la subdivision est espa- cée sur l’asymptote. Nous avons choisi de prendre−→

P2

1 4;¹₄ (resp.−P→2(−1;−1)), comme vecteur directeur de la première bissectrice∆pour la branche des points d’abscisses positives (resp. négatives).

5 Application à la visualisation des cyclides de Dupin Dans ce paragraphe, nous ne rappelons que l’essentiel pour la compréhension de cet article. Pour plus de détails, les lecteurs peuvent se reporter à [DGL⁺11].

L’espace−−→L_4,1est l’espace vectoriel réel de dimension 5, de base canonique(−→e_i)_i∈[[0,4]]muni de la forme de Lorentz :

L4,1: −−→L_4,1× −−→L_4,1 −→ ^R (−→u;−→v) 7−→ −x0y0+

∑

x_iy_i (27) où −→u(x₀;. . .;x4) et −→v(y₀;. . .;y4). La signature de la forme bilinéaire, symétrique, définieL4,1 est(4; 1). Nous notonsQ4,1la forme quadratique associée àL4,1, i.e. :

Q4,1(−→u) =L4,1(−→u ,−→u) (28) L’espaceL_4,1est l’espace affine, d’espace vectoriel asso- cié−−→L_4,1, et d’origineOde coordonnées(0; 0; 0; 0; 0).

Les espacesL_4,1et−−→L_4,1sont inspirés de l’espace-temps

−−→L_3,1 de la relativité restreinte. Ce dernier est muni de la forme quadratique de signature(3; 1)définie par :

QM(−→u) =x²+y²+z²−c²t²

où(x;y;z)sont les composantes spatiales de−→u,tla com- posante temporelle de−→u etcla célérité de la lumière c’est- à-dire la vitesse de propagation des photons constituant les ondes électromagnétiques. L’ensemble des vecteurs qui an- nulent cette forme quadratique définissent le cône de lumière C_l, de sommet O. Nous pouvons distinguer trois types de vecteurs, tableau 2, ainsi que trois types de 2-plans, vecto- riels ou affines , tableau 3.

Selon que l’autre pointM(x;y;z;t)est à l’intérieur (i.e.

QM

−−→

OM

<0) ou non du cône de lumière, nous aurons les distinctions suivantes :

• à l’intérieur du cône de lumière, l’observateurOpeut influencer d’une façon ou d’une autre ce qui se passera dans le futur (si test positif) en ce point M ou être influencé par une action passée (sitest négatif) ;

1 2 3 4

−1

1 2 3 4 5

r rb r

b

b

N3

N2

N1

P1

∆

P0

Ω

−→ P2

−

→P3

N1≃(1,7; 1,4)

−→ P2:(1; 1)

−

→ı

P0=√ 2; 1

N2≃(4,61; 4,61) P1=

1+√ 2; 1+√

2

N3≃(2,41; 2,20)

−

→ ω1= 1

2 r

L^H−−→ΩP₀,−→P₃puisn≥1=⇒ωn+1= ωn

√1+2ωn

Poids deP1:ω1= 1 2

q

−2+2√

2≃0,4550898601

Poids deN₂:ω₂≃0,3292759755 L^H−−→ΩP₁,−→P₂

=0 car∆^⊥LH =∆

L^H−−→ΩP₀,−−→P₀P₁

=0

a=b=λ=1

−

→P2(λa;λb)

−

→P₃ a

2λ;− b 2λ

L^H−→P₂,−→P₃

=1 Q^H−→P₂

=0=Q^H−→P₃

−−−→P₁N₂= 1 ω₁

−

→P₂

Figure 7: Exemple de subdivision itérative d’un arc de cercle dans le planPdeLfH, à partir de trois points massiques(P0; 1), (P1;ω)et(−P→2; 0).

Le pointP1est déterminé comme intersection de la droite∆avec la tangente au cercle enP0.

Les pointsN1,N2etN3sont construits en utilisant la théorie des points massiques. Le pointN2 appartient à la droite∆. Le triplet

P0;P1;−P→2

est remplacé par le triangleP0N1N3, isocèle de sommet principal N1(c’est-à-dire que nous avons N1N3=N1P0), et le triplet

N3;N2;−P→2

.

Pour subdiviser le triangleP0N1N3, nous utilisons l’algorithme 2.

Pour subdiviser le triplet

N3;N2;−→ P2

, nous utilisons l’algorithme 3.

Dans le plan euclidien,Hest l’hyperbole équilatère d’équationx²−y²=1.

En rose : propriétés géométriques.

En jaune : valeurs lors du déroulement de l’algorithme.

En cyan : relation de récurrence.

Figure 8: Influence du vecteur−→

P2sur la subdivision itérative du cercleHde la figure 7, algorithme 3.

Plus la valeur deλest grande en valeur absolue, plus les points sont espacés sur l’asymptote.

Les pointsN3sont sur le cercle, les pointsN2sont sur l’asymptote.

Branche de droite :λ= ¹₄d’où−→ P2

₁

4;¹₄ et−→

P3(2;−2).

Branche de gauche :λ=−1 d’où−→

P2(−1;−1)et−→ P3

−¹₂;¹₂ .

Nous avons mis les coordonnées des pointsN1,N2etN3ainsi que la valeur de l’itération correspondante.

Type Condition dans−−→L_3,1 Condition dans−−→L_4,1 Espace QM(−→v)>0 Q4,1(−→v)>0 Lumière QM(−→v) =0 Q4,1(−→v) =0 Temps QM(−→v)<0 Q4,1(−→v)<0 Table 2: Les trois types de vecteurs−→v de−−→L_3,1et−−→L_4,1définis par la comparaison de la forme quadratique à 0.

Type 2-Plan

Espace Tous les vecteurs sont de type espace Temps Au moins un vecteur de type temps Lumière Plan parallèle à un hyperplan tangent àC_l Table 3: Différents types de 2-plans de−−→L_4,1et deL_4,1.

• sur le cône de lumière, l’observateurOpeut influencer d’une façon ou d’une autre ce qui se passera dans le futur (sitest positif) en ce pointM ou être influencé par une action passée (sitest négatif) à la condition que le signal se déplace à la vitesse de la lumière ;

• hors du cône de lumière, Il ne peut y avoir aucune in- teraction entre l’observateur et le point considéré car cela impliquerait la possibilité pour une information de voyager à une vitesse supérieure àc.

Dans l’espaceL_4,1, trois quadriques jouent un rôle fonda- mental, tableau 4. Nous allons expliquer leur rôle dans les deux sections suivantes.

Définition C_l=n

M∈L_4,1| Q4,1

−−→

OM

=0o (29) Λ⁴=n

M∈L_4,1| Q4,1

−−→

OM

=1o (30) P=C_l∩H(Hhyperplan affine de type lumière) Table 4: Quadriques fondamentales deL_4,1. Le paraboloïde P, figure 9 est isométrique à l’espace euclidien à trois dimen- sionsE3. L’espaceΛ⁴est l’espace permettant de représen- ter les sphères orientées et les plans orientés deE3. Pour la structure de Lorentz (resp. euclidienne),Λ⁴, figures 18, 19 et 20, est la sphère unitaire de centreO(resp. un hyperboloïde à une nappe) tandis queC_l, figure 9, est la sphère de rayon nul (resp. un cône de révolution).

5.1 Plongement de l’espace euclidienE3dans le cône de lumièreC_l

Afin de pouvoir manipuler les mêmes objets dansE3 et dans l’espace des sphères, nous devons construire un modèle

deE3dansL_4,1. De plus, cette construction nous permet de ramener l’équation d’une sphère à une équation linéaire.

Le cône de lumière, pour la métrique induite par la forme quadratiqueQ4,1, est la sphère de centreOet rayon 0. Le lemme 2, illustré par les figures 9 et 10, permet de définir une isométrie entreE3et une quadrique de dimension 3 contenue dansC_l. Le vecteur−→n2permet de définir l’origine deE3dans H ∩C_ltandis que le vecteur−n→1représente le point à l’infini deE3[DFM07, DFGL12] : la direction de ce vecteur est la direction asymptotique du paraboloïdeP.

Lemme 2 :

SoitHl’hyperplan d’équation :x0−x4=1.

Le paraboloïde P=C_l∩ H, muni de la métrique obtenue comme restriction deQ4,1 àHest isométrique à l’espace euclidienE3.

Dém : L’idée de la démonstration est contenue dans les fi- gures 9 et 10. L’hyperplan affineHest parallèle à l’hyper- plan (vectoriel)−→

Htangent au cône de lumière le long de la génératice engendrée par le vecteur−→n1

₁

2,0,0,0,0,¹₂ . En effet, cet hyperplan vectoriel−→

Hest l’ensemble des vecteurs

−

→u vérifiant :

L4,1(−→n1,−→u) =0

Sur la figure 9, nous avons indiqué les vecteurs −n→1 et

−

→n2

₁

2,0,0,0,0,−¹₂ .

La restriction deQ4,1àHest dégénérée (de rang 3), mais positive. IdentifionsE3avec le sous-espace, inclus dansH, d’équations :







x0 = 1 2 x4 = −1

2

La projection, parallèlement au vecteur lumière−n→1, du pa- raboloïdeP, inclus dansH, surE3, est une isométrie. Re- marquons queE3 est tangent àPau point de coordonnées 1

2,0,0,0,0,−¹2

.

Le paraboloïde Pétant isométrique à l’espace euclidien E3, à un pointM(x;y;z)deE3, nous faisons correspondre le vecteur−→m, de type lumière, de−−→L_4,1:

−

→m













x²+y²+z²+1 2 x y z x²+y²+z²−1

2













(31)

Figure 9: Construction du paraboloïdePisométrique à l’es- pace affine euclidien usuelE3.

−→

n1,−→n2,−→H, etHsont de type lumière. L’hyperplan−→H est tan- gent àC_l. Toute direction lumière−→n2, distincte de−n→1, permet d’obtenir un point deE3via le paraboloïdeP.

Figure 10: Construction du paraboloïde P isométrique à l’espace affine euclidien usuelE3.

L’ hyperplanHest de type lumière, la forme quadratique est dégénérée et les directions en bleu annulent la forme de Lo- rentz.

De plus, à tout vecteur−→mde−−→L_4,1, de type lumière, non co- linéaire au vecteur−n→1, correspond le pointm(x0;x;y;z;x4) du paraboloïde tel que les deux vecteurs −→m et−−→Omsoient colinéaires (toute droite vectorielle de type lumière, non pa- rallèle à l’hyperplanHcoupe le paraboloïdeP). Ainsi, nous avons la condition suivante :

x0−x4 = 1

x²+y²+z²+1−2x0 = 0 (32) Enfin, le vecteur lumière−→m définit le pointM(x;y;z)de E3.

Avant de détailler l’espace des sphères, nous devons dé- finir la notion de sphères orientées dansE3. Une sphèreS de centreΩet de rayonr, strictement positif, admet deux orientations. Une manière de les définir et de considérerS soit comme le bord d’une bouleB(Ω, r)de centreΩet de rayonrsoit comme le bord du complémentaireE3−B(Ω, r) de cette boule. En tout pointMdeS, la sphère orientéeS⁺ (resp.S⁻), de rayonρ=r(resp.ρ=−r) est définie par le fait que les vecteurs−−→ΩMet le vecteur unitaire−→

N à la sphère enM sont de même sens (resp. de sens contraire). En ré- sumé, nous avons :

−−→ΩM=ρ−→

N (33)

5.2 L’espace des sphèresΛ⁴

Soitnun entier compris entre 1 et 4. Une sous-variété, de dimensionn deL_4,1 est unen-surface sans point sin- gulier. Il est possible de généraliser, aux sous-variétésV, le tableau 3 en remplaçant le terme 2-plan par espace tangent à la sous-variété au pointM. Lorsque l’espace tangent, noté T_MV, est de même type en tout les points deV, il est pos- sible de distinguer les sous-variétés deL_4,1. Comme l’avait déjà compris Darboux, l’espace des sphères orientées deE3

(les plans affines ne sont que des sphères particulières) est représenté par la quadriqueΛ⁴ incluse dansL_4,1, formule (30). Cette sphère unitaire de centreOest une sous-variété de type(3; 1)deL_4,1. En effet, en tout pointσde la sphère Λ⁴, l’hyperplan tangent àΛ⁴enσ, notéσ^⊥, est l’ensemble des pointsMvérifiant l’équation :

L4,1

−→

Oσ,−−→

σM

=0 (34)

Cet hyperplan est de type temps puique la signature de la res- triction deQ4,1à cet hyperplan est(3,1). La formule (34), équivalente à :

L4,1

−→

Oσ,−−→

OM

=1 (35)

traduit le fait que le vecteur −→Oσet le gradient à l’hyper- plan tangentTσΛ⁴ en un point σ d’une sphère sont coli- néaires, formule (33), dansE3. Il suffit d’utiliser les relations de Chasles et :

L4,1

−→Oσ,−→σO

=−1

Des courbes tracées surΛ⁴peuvent donc aussi avoir un type. Nous nous intéresserons aux courbes de type espace, c’est-à-dire celles dont, en chaque point, le vecteur tangent est de type espace. Remarquons aussi queΛ⁴contient beau- coup de droites affines de type lumière. En effet, pour tout point σ deΛ⁴, l’intersection entre Λ⁴ et σ^⊥ est un cône de dimension 3 dont toutes les génératrices sont de type lu- mière.

La correspondance entre les points deΛ⁴et les sphères de E3s’obtient en utilisant l’orthogonalité pourL4,1: siσest