Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales composés de cyclides

N

M ^AURICE F ^OUCHÉ

Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales composés de cyclides

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 12 (1912), p. 49-80

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[OÎ6p]

SUR LES

SYSTÈMES DE SURFACES TRIPLEMENT ORTHOGONALES COMPOSÉS DE CYCLIDES.

Par M. MAURICE FOUCHÉ, Répétiteur à l'École Polytechnique.

1. Introduction. — Vers la fin de 1908, M. Dar- J3011X a publié dans les Comptes rendus de l'Acadé- mie des Sciences plusieurs Notes relatives à l'étude des systèmes de surfaces triplement orthogonales qu'il appelle réversibles. Ce sont ceux pour lesquels le mouvement relatif du trièdre des axes de coordonnées par rapport au trièdre des trois normales engendre un nouveau système orthogonal dont les axes ainsi dépla- cés sont les trois normales. Les surfaces qui constituent ce svstème sont des cyclides de Dupin.

Je me suis proposé d'étudier la même question par les procédés de la géométrie pure, et je suis parvenu à retrouver parce moyen, et sans aucun calcul, un grand nombre des résultats obtenus par M. Darboux. J'ai fait la discussion des différentes formes que peut affecter le système réversible et j'ai démontré que tons les sys- tèmes orthogonaux composés exclusivement de cyclides dérivent par inversion d'un système réversible. J'ai ajouté quelques remarques sur ces systèmes.

J'emploie la méthode Darboux-Gombescure qui con- siste, comme on le sait, à partager le problème en deux parties. On étudie d'abord le mouvement à trois paramètres, autour d'un sommet fixe, d'un trièdre tri-

Ann. de Mathémat., 4e série, t. XII. (Février 1912.) 4

rectangle dont les arêtes sont parallèles aux normales aux trois surfaces et ensuite on cherche à déterminer la translation de ce trièdre de manière que, daos la variation de chacun des trois paramètres, le sommet engendre une des surfaces du système.

2. Les lignes de courbure dC un système réversible sont planes. — Soit Oxyz le trièdre mobile dont les arêtes O#, Oy, Oz sont respectivement parallèles aux normales aux surfaces obtenues en laissant constant l'un des paramètres p, p4, p2, et OXYZ le trièdre fixe formé par les trois axes de coordonnées. Le dé- placement de Oxyz dépend de neuf rotations dont chacune est la composante, suivant Tune des arêtes du trièdre mobile, de la rotation de ce trièdre déterminée par la variation d'un seul des paramètres p, pi, p2. On connaît les conditions nécessaires et suffisantes pour que le déplacement du trièdre appartienne à un sys- tème triple orthogonal. Elles sont au nombre de trois.

Il faut et il suffit que trois rotations soient nulles, sa- voir la rotation autour de Ox quand p varie seule, la rotation autour de Oy quand p4 varie seule et la rota- tion autour de Oz quand p2 varie seule. La première de ces conditions exprime que quand p varie seule, le trièdre mobile Oxyz tourne autour d'un axe situé dans le plan Oyz. Le mouvement du trièdre mobile est donc défini par le roulement du plan Oyz sur un cône fixe.

Le mouvement inverse, c'est-à-dire le mouvement relatif du trièdre des axes de coordonnées OXYZ par rapport au trièdre Oxyz, sera donc défini par le rou- lement de ce cône devenu mobile sur le plan Oyz rendu fixe. Mais, pour que ce mouvement inverse en- gendrât un nouveau système orthogonal, il faudrait que

le cône se réduisît à un plan, ce qui est impossible. Il ne peut se réduire qu'à une droite, et alors l'axe de ro- tation est un axe permanent situé dans le plan Oyz.

Donc pour que le système soit réversible, il faut et il suffit que quand p varie seule, la rotation du trièdre se fasse autour d'un axe permanent situé à la fois dans le plan Oyz et dans le plan OYZ et que, quand p4

ou p2 varie seule, deux autres conditions analogues soient vérifiées.

On en déduit immédiatement que les lignes de cour- bure de chacune des surfaces du système sont planes.

En effet, laissons p2 constante et faisons varier p et p<.

Nous obtiendrons une surface du système dont la nor- male sera parallèle à Oz et dont la représentation sphé- rique des lignes de courbure sera fournie par le dépla- cement du point C de Taxe Os qui se trouve à une distance de l'origine égale à l'unité de longueur. La ligne de courbure qui correspond à la variation de p seule aura donc pour représentation sphérique la ligne décrite par C quand p varie seule. Mais puisqu'alors la rotation se fait autour d'un axe permanent, le point C décrira un cercle de la sphère. Or, les tangentes aux différents points d'une ligne de courbure sont paral- lèles aux tangentes aux points correspondants de sa représentation sphérique. Donc toutes ces tangentes sont dans un même plan et la ligne de courbure consi- dérée est bien plane. Il en est évidemment de même de toutes les autres lignes de courbure obtenues en fai- sant varier seule soit p, p4 ou p2.

3. Détermination de la représentation sphérique du système orthogonal. — On voit de plus que la re- présentation sphérique de chaque surface du système se compose d'un réseau de cercles orthogonaux. Or on

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sait qu'un pareil réseau tracé sur une sphère est formé des cercles dont les plans passent par l'une ou l'autre de deux droites conjuguées par rapport à la sphère.

Soit OABC Tune des positions du tétraèdre mobile, A, B, C étant à une distance de l'origine égale à l'unité de longueur. Nous venons de voir que si p varie seule, ce tétraèdre tourne autour d'un axe permanent qui est l'intersection des plans OBC et OYZ. Donc le point C décrit un petit cercle dont le plan est perpendiculaire à cet axe et par conséquent parallèle au plan OAX et, -en particulier, à la droite fixe OX. Si maintenant nous faisons varier pl7 le plan de ce cercle se déplacera en passant par une droite fixe (D) ; puisqu'il reste parallèle à OX, il faut que la droite (D) soit parallèle à OX. De même quand p, varie seule le point G décrit un cercle dont le plan est parallèle à OY, et quand ensuite on fait varier p< le plan de ce cercle tourne autour d'une droite (D') parallèle à OY. Enfin, puisque les droites (D) et (D') doivent être conjuguées, il faut que leur perpendiculaire commune passe par le centre de la sphère; celle-ci est donc l'axe OZ. On voit alors que la représentation sphérique de tout le système doit être telle que si l'une des trois variables reste constante, le point correspondant du tétraèdre mobile décrive un réseau orthogonal formé de cercles dont les plans pas- seront par deux droites conjuguées perpendiculaires à l'axe de coordonnées correspondant. Il reste à voir si une pareille représentation sphérique est possible.

Soit OABC une position particulière du tétraèdre mobile. Par A, je mène dans le plan tangent à la sphère les droites AQ et AR respectivement parallèles à OB et OC ; de même par B les droites BP' et CR/ respecti- vement parallèles à OA et OC, et enfin par C les droites CP' et CQ" respectivement parallèles à OA

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et OB. Par AQ je fais passer un plan parallèle à OYr

lequel rencontre l'axe OX en G et coupe le plan OXY suivant une droite (E) parallèle à OY. Je prends sur OX le point G| conjugué de G par rapport à la sphère et par G, je mène la droite (F) parallèle à OZ. Les deux droites (E) et (F) sont conjuguées. Les plans pas- sant par A et par chacune des deux droites (E) et (F) doivent donc couper la sphère suivant deux cercles orthogonaux; donc ils coupent le plan langent en A suivant deux droites perpendiculaires, et puisque le premier passe par AQ le second passe par AR. Si alors j'avais mené par AR un plan parallèle à OZ, ce plan,, identique au plan passant par A et (F), aurait coupé OX au point G4 conjugué de G. De même les plans paral- lèles à OX et à OZ menés par BP⁷ et CQ' détermine- ront sur OY les deux points conjugués H et H{ par lesquels passeront les deux droites conjuguées (D') et (F') parallèles à OX et OZ. Enfin les plans menés par CP' et CQV parallèlement à OX et OY détermineront sur OZ les points conjugués K et Kl7 par lesquels passeront les deux droites conjuguées (Dv) et (Ef/) res- pectivement parallèles à OX et à OY.

Désignons par OU, OV, OW les intersections res- pectives des trois plans OBC, OCA, OAB avec les plans de coordonnées OYZ, OZX, OXY. OU est per- pendiculaire à la fois à OA et à OX ; OV à OB et à O Y ; O W à O C e t à O Z .

La position du trièdre OABC dépend de trois para- mètres. A chacune de ses positions correspondent trois couples de points conjugués, un sur chacun des axes.

Supposons qu'on fixe les points K et K,. On définira ainsi sur la sphère le réseau des cercles orthogonaux dont les plans passent respectivement par (D") et (E")r

réseau décrit par le point C. Les tangentes à deux de

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ces cercles, en l'un de leurs points d'intersection, ren- contreront respectivement les droites (D*) et (E*⁷), et le trièdre formé par le rayon de la sphère OC et les paral- lèles menées du centre à ces deux tangentes sera l'une des positions du trièdre précédent; mais l'ensemble de ces nouvelles positions ne dépend plus que de deux paramètres. Si l'on déplace le point C sur celui de ces deux cercles dont le plan passe par (D;/), la rotation se fera autour de l'axe OU qui est perpendiculaire au plan de ce cercle puisqu'il est perpendiculaire d'une part à la tangente de ce cercle parallèle à OA et d'autre part à OX parallèle à (D"). Si on le déplace sur l'autre cercle, la rotation se fera autour do OV. Si alors on veut passer d'une position à une autre infiniment voi- sine, mais quelconque dans l'ensemble à deux para- mètres, il faudra faire tourner le trièdre autour d'un axe situé dans le plan OUV.

Supposons maintenant qu'on fixe les points H et H<.

On aura un nouvel ensemble de positions du trièdre et l'on passera de l'une à l'autre infiniment voisine par une rotation autour d'un a\e situé dans le plan OUW.

Si alors on fixe à la fois les points H, H4 et les points K. et Ki le trièdre ne pourra plus que tourner autour de l'axe OU, si les trois droites OU, OV, OW ne sont pas dans un même plan, ce qu'on peut toujours supposer puisque le trièdre initial est absolument quelconque, si toutefois la position du trièdre mobile dépend bien, comme nous l'avons supposé, de trois variables indépendantes.

Le trièdre tournant autour de OU, les points G et Gi se déplaceront nécessairement sur OX. En effet, on peut amener le trièdre à une position infiniment voisine quelconque dans l'ensemble à trois para- mètres en le faisant tourner successivement autour

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de OU, OV et OW. La première rotation laisse fixes les points H, H,, K et K<. Les deux: autres laissent fixes les points G et G<. Donc, si G et G4 restaient fixes pendant la rotation autour de OU, ils resteraient immobiles pour tout déplacement du Irièdre, même pour un déplacement fini (jue l'on peut toujours consi- dérer comme une suite de déplacements infiniment petits. Mais alors il arriverait que, quelle que fût la valeur de p, le point A décrirait toujours le même ré- seau sphérique, et la position du trièdre ne dépendrait que de deux paramètres.

Ainsi quand le Irièdre tourne autour de OU, sa po- sition est fonction de celle des deux points conjugués G et G4 et si Ton considère l'ensemble de toutes les positions possibles du trièdre mobile, cette position est une fonction de trois variables p, pt, p2 servant à fixer l'une la position des points conjugués G etG⁴, l'autre celle de H et HM et la troisième celle de K. et K4. Quand l'une de ces trois variables varie seule, le trièdre tourne autour de l'une des trois droites OU, OV, OW conformément aux conditions de notre pro- blème, et ainsi se trouve constituée la représentation sphérique du système orthogonal.

4. Cas o à r ensemble des positions du trièdre mo- bile ne dépend que de deux paramètres. — Examinons maintenant le cas où les trois droites OU, OV, OW sont dans un même plan (T). La droite OU, intersec- tion des plans OBG et OYZ, est perpendiculaire à la fois à OA et à OX. Donc, le plan OAX est perpendi- culaire au plan (T). Il en est de même des plans OBY et OCZ. Alors ces trois plans passeront par une même droite OS perpendiculaire au plan (T). La position du trièdre est déterminée par celle de la droite OS, et,

comme celle-ci a une direction arbitraire, l'ensemble des positions du trièdre satisfaisant à la condition indi- quée, dépend de deux paramètres, comme cela résulte d'ailleurs de la discussion précédente. Laissons fixes les points K et K⁴ : nous aurons encore sur la sphère un réseau de cercles orthogonaux que décrira le point C.

Les plans de ces cercles passeront l'un par la droite (D") parallèle à OX et l'autre par la droite (E") paral- lèle à OY. Le premier contient de plus la tangente au cercle, laquelle est parallèle à OA, et l'autre la tangente au second cercle, parallèle à OB. Donc le premier plan est parallèle au plan OAX et l'autre au plan OBY.

L'intersection CI des plans des deux cercles est donc parallèle à OS et par conséquent aussi au plan OCZ qui contient OS. Mais le plan OCZ passe par le point C.

Donc la droite CI est dans ce plan-là et rencontre l'axe OZ. Mais le plan d'un des deux cercles ren- contre OZ en K et l'autre en K,. Il faut donc que les deux points K et K⁴ coïncident, et comme ils sont con- jugués, ils ne peuvent se confondre qu'en l'un des points Z, où Taxe OZ rencontre la sphère, et les deux droites (D") et (Ev) sont en ce point-là tangentes à la sphère.

De même les points G et G{ se confondent en l'un des points d'intersection X, de la sphère avec l'axe OX, et les points H et H, en l'un des points d'intersec- tion Y, de la sphère avec OY. Les trois variables p, p^M p² ne peuvent plus servir à fixer la position de ces points devenus tous immobiles. Si on laisse p² inva- riable, on aura sur la sphère le réseau des cercles orthogonaux dont les plans passent par l'une ou l'autre des tangentes à la sphère en Z<, parallèles à OX ou à OY. Si l'on fait varier p2 ce réseau reste le même, mais les cercles correspondant à une même valeur de p ou

p⁴ sont modifiés. Il en résulte que toutes les surfaces d'une même famille ont la même représentation sphé- riqiie, et même que toutes les surfaces des trois familles ont des représentations sphériques égales, mais diffé- rant par leur position sur la sphère. Au reste, une pa- reille représentation sphérique d'un système orthogo- nal existe bien, puisque c'est celle du système formé par les sphères tangentes à l'origine à l'un ou à l'autre des trois plans de coordonnées. Nous verrons plus loin que la même représentation sphérique appartient aussi à des systèmes composés de cyclides particu- lières.

Enfin il ne faut pas omettre le cas particulièrement simple où la position du trièdre mobile ne dépend que des variables p et p< et reste la même quand on fait varier p2.

o. Les surfaces formant le système orthogonal réversible ont toutes leurs lignes de courbure circu- laires. — Passons maintenant à l'étude des surfaces composant le système orthogonal réversible. Il résulte déjà de la représentation sphérique trouvée que les lignes de courbure sont toutes planes. Nous allons dé- montrer que de plus elles sont circulaires. Soit M un point quelconque par où passent trois surfaces ortho- gonales. Lorsque p varie seule, le trièdre des trois nor- males Mxvz tourne autour d'un axe MT de direction invariable, situé dans le plan TAyz^ et subit en même temps un mouvement de translation dont la direction est constamment celle de Mx perpendiculaire à l'axe de rotation. Ces deux mouvements se composent en une simple rotation autour d'un axe parallèle au premier et situé aussi dans le plan Myz perpendiculaire à la trans- lation. Donc le lieu des axes instantanés dans le trièdre

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mobile est le plan Myz, et le mouvement résulte du roulement de ce plan sur un cylindre fixe. Le mou- vement inverse est donc défini par le roulement de ce cylindre sur un plan fixe. Si le système est réversible, ce cylindre devrait être un plan, ce qui est impossible;

le mouvement doit donc se faire autour d'un axe perma- nent et la trajectoire du point M est un cercle. Comme il en est évidemment de même dans la variation de p ou de p2 toutes les lignes de courbure du système sont des cercles. La condition est manifestement suffisante.

Les seules surfaces dont toutes les lignes de courbure sont circulaires sont les cvclides de Dupin ou les sur- faces qui en dérivent par dégénérescence, telles que la sphère, le plan, les cônes et les cylindres de révolution, si l'on considère les droites comme des cercles de rayon infini. Donc, en laissant de côté les systèmes banaux, on peut conclure que : tous les systèmes orthogonaux réversibles sont composés de cyclides.

6. Les cyclides, enveloppes de sphères. — Avant d'expliquer comment on peut construire le système orthogonal, je crois utile de rappeler les principales propriétés des cyclides, quoique ces surfaces aient déjà été l'objet de nombreux travaux de la part de plusieurs géomètres. J'en ai fait, moi-même, autrefois une étude sommaire en les considérant comme enveloppe d'une sphère qui reste tangente à trois sphères fixes {Nou- velles Annales de Mathématiques, juin, août et octobre 1892). Ici, je me propose d'en faire dériver les principales propriétés du seul fait que toutes les lignes de courbure sont circulaires. D'abord, une pareille surface existe bien, car on en obtient une en faisant l'inversion d'un cône de révolution par rap- port à un point quelconque de l'espace. Nous savons

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déjà que la représentation sphérique des lignes de cour- bure se compose de cercles orthogonaux dont les plans passent par l'une ou l'autre de deux droites conjuguées.

Ces droites conjuguées peuvent couper leur perpen- diculaire commune en deux points distincts, ou bien êlre tangentes au même point de la sphère. Mais il y a des remarques générales qui s'appliquent aux deux cas.

Le plan d'une ligne de courbure circulaire coupe la surface sous un angle constant. On peut donc faire passer par chaque cercle de courbure une sphère cir- conscrite à la surface. La surface est l'enveloppe de toutes celles de ces sphères qui passent par les lignes de courbure d'une même famille. Comme il y a deux familles de lignes de courbure, la cyclide est l'enve- loppe commune de deux familles de sphères. 11 en ré- sulte que deux sphères appartenant à deux familles difFérentes sont tangentes au point de la cyclide par où passent les deux lignes de courbure correspondantes, et que chaque sphère d'une famille est tangente à toutes les sphères de l'autre. 11 faut trois sphères pour définir une famille de sphères qui leur soient tangentes ; mais il faut de plus choisir parmi les centres de simili- tude de ces trois sphères, trois de ces centres en ligne droite, de manière que les points de contact de la sphère mobile avec deux des sphères fixes soient anti- homologues par rapport à l'un des centres. Comme il y a quatre axes de similitude, il y a quatre familles de sphères tangentes à trois sphères données. Il faut se bor- ner à l'une d'elles. Considérons comme positif un con- tact intérieur et comme négatif un conlact extérieur.

Si Ton envisage toutes les sphères tangentes à deux sphères fixes, les points de contact étant antihomo- logues par rapport au centre de similitude S, les deux

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contacts seront de même espèce ou d'espèces différentes suivant que le point S sera le centre de similitude di- rect ou inverse. En d'autres termes le produit des deux contacts reste le même quand on ne change pas le centre de similitude. Donc, dans le cas de notre famille de sphères tangentes à trois sphères fixes, les produits des contacts deux à deux restent invariables, c'est-à- dire qu'un des contacts ne peut changer d'espèce sans que les deux autres en changent aussi. Finalement, la cyclide est l'enveloppe des sphères tangentes à trois sphères fixes, les trois contacts restant de même espèce, ou changeant d espèce en même temps.

7. Points coniques, plans circonscrits, plans de symétrie. — Les trois sphères fixes se coupent en deux poinls réels ou imaginaires qui sont les sphères de rayon nul de la première Camille, et qui par consé- quent doivent se trouver sur toutes les sphères de la deuxième famille, à laquelle appartiennent les trois sphères fixes. De plus, parmi les sphères de la pre- mière famille figurent deux plans réels ou imaginaires qui sont langents aux trois sphères primitives. Toutes les sphères de la seconde famille doivent être tangentes à ces deux plans. Alors en considérant la surface comme l'enveloppe des sphères de la seconde famille, on voit que la cyclide est l'enveloppe des sphères qui passent par deux points fixes et qui sont tangentes à un plan fixe. Ces sphères sont par suite également tangentes au plan symétrique du premier par rapport au plan perpendiculaire à la droite des deux points fixes en son milieu.

Les caractéristiques de ces sphères sont des cercles de la cyclide qui passent par les denx points fixes et qui doivent toucher chacun des deux plans fixes sur

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le cercle de la cjclide qui se trouve dans ce plan.

Donc : La cyclide est le lieu des cercles qui passent par deux points fixes et qui sont tangents à deux plans fixes symétriques par rapport au plan per- pendiculaire à la droite des deux points fixes, en son milieu. Il est bien entendu que, dans certains cas particuliers, les deux points fixes peuvent se con- fondre ainsi que les deux plans fixes.

Les points fixes sont des points coniques de la cy- clide, les plans fixes des plans circonscrits. Comme chaque famille de sphères contient deux sphères de rayon nul et deux plans, la cyclide admet quatre points coniques et quatre plans circonscrits réels ou imagi- naires, distincts ou confondus. Nous appellerons axe radical d'une cyclide chacune des droites qui joignent les deux points coniques d'une même famille. Parmi les sphères de l'autre famille qui passent toutes par ces deux points se trouvent les deux plans circonscrits de celte famille-là, d'où il suit que chacun des deux axes radicaux est la droite d'intersection des deux plans cir- conscrits d'une même famille. Ils sont perpendiculaires entre eux et parallèles aux deux droites fixes par où passent les plans des cercles de la représentation sphé- rique.

On en déduit immédiatement que la cyclide admet deux plans de symétrie dont chacun passe par l'un des axes radicaux et est perpendiculaire à l'autre au milieu de la distance des deux points coniques situés sur cet autre. Chacun de ces plans contient les centres de toutes les sphères qui passent par les points coniques qu'il ne contient pas.

8. La cyclide est une surface anallagmatique. — Cône des tangentes au point conique. — Lieu des

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centres des sphères d'une même famille. — L'inver- sion transforme la cjclide en une autre cjclide puisque les lignes de courbure circulaires se transforment en d'autres cercles. Si le pôle d'inversion est sur l'un des axes radicaux, et le module convenablement choisi, toutes les sphères passant par les points coniques situés sur cet axe se transforment en elles-mêmes et la cjclide se reproduit. C'est une surface anallagma- tique. Si le pôle d'inversion est à l'un des points co- niques, toutes les sphères qui passent par ce point se transforment en des plans qui passent par le point transformé de l'autre point conique situé sur le même axe radical, et comme tous ces plans doivent être tan- gents à une sphère de l'autre familie, ils enveloppent un cône de révolution qui est la transformée de la c j - clide. Ce cône devient un cjlindre si les deux points coniques se confondent. De là résulte que : le cône des tangentes en chaque point conique est de révo- lution, puisque les cercles passant par les points coni- ques se sont transformés dans les génératrices du cône, lesquelles font un angle constant avec l'axe radical.

Cette proposition résulte aussi de ce fait que le cône circonscrit le long d'un cercle de courbure est de ré- volution. A la limite, ce cône devient le cône des tan- gentes. Il résulte encore de ce qui précède que toute cjclide est la figure inverse d'un cône ou d'un cjlindre de révolution.

Coupons une cyclide par un de ses plans de sjmé- trie (P). Les sphères ajant leur centre dans ce plan sont coupées suivant des grands cercles (C). Considé- rons trois de ces grands cercles. Il existe dans le plan (P) deux cercles (co) et (co) tangents à ces trois-là avec les conditions de contact imposées. Ce sont les

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grands cercles de deux sphères tangentes aux trois sphères ayant pour grands cercles les cercles (G) choi- sis. Elles font donc partie de Ta seconde famille et doi- vent être tangentes à toutes les sphères de la première famille. Donc tous les cercles (C) sont tangents aux cercles (<o) et (<o') et le lieu de leur centre, c'est-à-dire le lieu des centres des sphères de la première famille, est une conique admettant pour foyers les centres des cercles (w) et (G/). On en déduit que :

La cyclide est Venveloppe des sphères qui ont leur centre dans un plan fixe et qui sont tangentes à deux cercles fixes tracés dans ce plan, toujours avec les mêmes restrictions relatives à l'espèce des contacts.

Tl reste entendu que l'un des cercles peut se réduire à une droite ou à un point.

De plus, les deux coniques qui constituent chacune le lieu des centres des sphères d'une des deux familles, sont focales l'une de l'autre. En effet, chaque sphère S de Tune des familles touche toutes celles de l'autre famille en des points qui sont sur le cerclç le long du- quel la sphère (S) touche son enveloppe. Les droites qui joignent le centre de la sphère (S) aux centres de toutes les sphères de l'autre famille passent par les points de contact et forment un cône de révolution.

Le lieu des centres de (S) est donc le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une conique, lieu des centres des sphères de l'autre famille, c'est-à- dire la focale de cette conique.

9. Cyclide du quatrième ordre. Elle admet deux plans circonscrits réels et deux imaginaires. — Re- portons-nous à la représentation sphérique formée des cercles dont les plans passent parles droites (Dv) et(E") et supposons que ces deux droites coupent leur per-

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pendiculaire commune en deux points distincts. Cha- que plan circonscrit à la cyciide doit correspondre à un plan tangent à la sphère puisqu'en tous les points de contact les normales sont parallèles. Or des deux droites conjuguées (D") el (E"), Tune coupe la sphère et l'autre lui est extérieure. Donc on peut mener à la sphère par ces droites deux plans tangents réels et deux autres imaginaires. D'autre part, si la direction d'un plan circonscrit est réelle, ce plan est aussi réel puisqu'il doit passer par l'un des axes radicaux de la surface, lesquels sont réels l'un et l'autre. Donc, parmi les quatre plans circonscrits à la cyclide, il y en a tou- jours deux réels et deux imaginaires.

10. Différentes formes des cyclides du quatrième ordre. — Nous pouvons maintenant passer en revue les différentes formes que peut affecter une cyclide.

D'abord, si l'une des droites (D") ou (E^f/) est rejetée à l'infini, l'autre passe par le centre de la sphère, la re- présentation*sphérique se compose de méridiens et de parallèles, et la surface est un tore.

Dans le cas général, soient (P) et (Q) les deux plans circonscrits réels qui se coupent suivant Taxe radical (R). L'autre axe radical (ï) est perpendiculaire à (R).

Supposons qu'il ne coupe pas (R). Il coupe (P) et (Q) en deux poinls A et B. Si les points coniques situés sur (T) sont A etB, la cyclide se réduit à la sphère tan- gente à (P) et à (Q) en A et en B. Si les points coniques étaient en dehors du segment AB, toutes les sphères tangentes à (P) et à (Q) seraient imaginaires, et la cy- clide elle-même imaginaire. Supposons-les donc entre A et B. Le lieu des points de contact de (P) avec les sphères dont la cyclide est l'enveloppe est un cercle de centre A. Tant que le rayon p de ce cercle est suffisam-

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ment petit, les sphères tangentes à (P) coupent la droite AB en deux points réels et la cyclide a la forme d'un tore à points coniques réels que l'on aurait déformé en le comprimant d'un côté. Quand le rayon p grandit, les points A et B se rapprochent, et avant que le cercle de rayon p soit devenu tangent à l'axe radical (R), ces deux points coniques se réunissent au milieu de AB.

Alors la cyclide est l'analogue du tore engendré par un cercle tournant autour d'une de ses tangentes.

Le rayon p grandissant encore, mais restant plus petit que la distance de A à l'axe radical (R), les points coniques deviennent imaginaires et la cyclide a la forme d'un anneau plus épais d'un côté que de l'autre.

Quand le cercle de centre A est devenu tangent à l'axe radical (R), la diminution de l'épaisseur de l'anneau est devenue telle qu'au point de contact celte épaisseur est réduite à zéro. La cyclide a la forme d'un fuseau à filer qu'on aurait courbé sur son axe jusqu'à ce que les deux pointes se rejoignent.

Si enfin le cercle de centre A coupe l'axe radical (R) les points coniques apparaissent dans la famille des sphères admettant cet axe radical, et la cyclide a la forme de deux fuseaux à filer recourbés l'un et l'autre de manière à se joindre par leurs pointes.

Il peut encore arriver que les deux axes radicaux se coupent en un point sur lequel viendront alors se con- fondre les points A et B. Le cercle de centre A est com- posé de deux parties égales séparées par l'axe radi- cal (R) ; les deux fuseaux recourbés sont égaux, et la cyclide admet un troisième plan de symétrie qui est le plan des droites (R) et(T).

H. Généralités sur les cyclides du troisième ordre.

— Les surfaces que nous venons d'étudier sont du

Aan. de Mathémat., 4e série, t. XII. (Février 1912.) 5

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quatrième ordre, puisque les plans passant par un des axes radicaux les coupent suivant deux cercles.Exami- nons maintenant le cas où la représentation sphérique se compose de cercles dont les plans passent par l'une ou l'autre de deux droites (D) et (E) rectangulaires et tangentes en un même point de la sphère. Alors les çleux plans circonscrits d'une même famille se confon- dent comme les deux plans tangents à la sphère menés par la droite (D). Il y a dans chaque famille un plan circonscrit et ces deux plans sont parallèles. Les deux axes radicaux (R) et (T), respectivement parallèles à (D) et à (E), sont deux droites perpendiculaires entre elles et situées chacune dans l'un des plans circonscrits, par exemple (R) dans (P), et (T) dans (Q). Les sphères (S) coupent Taxe radical (R) en deux points A et B et sont tangenlcs au plan (Q). Le lieu de leurs points de contact est l'intersection de ce plan avec le plan per- pendiculaire à (R) au milieu de AB. Parmi ces sphères il y en a deux de rayon nul dont les centres sont néces- sairement sur le lieu des points de contact. Il en ré- sulte que ce lieu n'est autre que Taxe radical (T). Ainsi chacun des deux plans circonscrits touche la cyclide le long d'un axe radical. Les plans de symétrie sont ceux qui passent par l'un des axes radicaux et qui sont per- pendiculaires à l'autre.

Soit MN (fig. i ) la perpendiculaire commune aux deux axes radicaux, M sur (R) et N sur (T). Parmi toutes les sphères (S) admettant l'axe radical (T), il y en a une qui a son centre co sur MN et qui passe en M où elle est tangente à (R). Elle coupe suivant un grand cercle le plan (V) passant par MN et par (T) que nous avons pris pour plan de la figure. Les sphères (S) sont alors celles qui ont leur centre dans le plan (V) et qui sont tangentes à la fois à la droite (T) et au cercle (to),

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le contact avec ce cercle restant de même espèce tant que la sphère reste d'un même côté du plan circonscrit passant par (T) et changeant d'espèce quand la sphère

Fig. i.

passe de l'autre côté du plan. Elles doivent comprendre comme cas limite le plan perpendiculaire à (V) passant par(R). Le lieu de leurs centres est une parabole ayant pour foyer to et pour directrice une parallèle à (T). Le lieu des centres des sphères de l'autre famille est la parabole focale de celle-là.

Soit une de ces sphères de la famille (S). Elle touche le cercle (o>) et la droite (T) en deux points G et D qui d'après une propriété élémentaire sont alignés sur le point M. La sphère considérée touche donc la cyclide suivant le cercle de diamètre CD situé dans le plan perpendiculaire à (V), plan qui contient bien, comme cela doit être, l'axe radical (R) dont le pied est en M. La cyclide est donc le lieu de ces cercles CD obtenus en faisant pivoter une droite autour de M. Les surfaces ainsi obtenues sont du troisième ordre. Cha- cune d'elles est complètement définie par une droite (T) et un cercle (<o) situé dans un même plan, avec l'indi-

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cation de celle des deux extrémités du diamètre de (c*>) perpendiculaire à (T) qui doit jouer le rôle de centre de pivotement.

12. Différentes formes de cyclides du troisième ordre. — Supposons d'abord que le cercle (to) ne coupe pas la droite (T) et qu'on prenne pour centre de pivotement le point du cercle le plus éloigné de la droite (T) {fig* i). La surface est alors tout entière comprise entre les deux plans circonscrits passant par M et N. Elle a la forme d'une sorte de double trompe ayant sa partie la plus étroite le long du cercle de diamètre EN compris dans le plan perpendiculaire à (T) entre (co) et (T), et s'évasant des deux cotés indé- finiment. On peut encore la considérer comme engen- drée par les cercles de l'autre famille qui sont dans les plans passant par (T). Le point M sera remplacé parN, le cercle (o>) par le cercle de diamètre EN dans le plan perpendiculaire à (V) et la droite (T) par la droite (R).

On lui trouve ainsi la forme d'une double trompe ayant sa partie la plus étroite le long du cercle (w) et s'évasant indéfiniment de chaque côté du plan (V). Cette surface contient les deux droites (T) et (R).

Si le cercle (w) est tangent à la droite (T), la double trompe se rétrécit dans sa partie la plus étroite jusqu'à présenter un point conique au point N. Mais si l'on considère les cercles de la même famille que (a)), on verra qu'ils sont tous tangents à la droite (T) au point N. Le cône des tangentes au point conique se réduit à cette droite. Ce cas est le même que celui où le cercle (w) se réduirait à un point.

Si le cercle (<o) coupe la droite (T) en deux points A etB (Jig. 2), la surface comprendra deux trompes par- tant des points coniques A et B et une sorte de fuseau

recourbé à l'intérieur de la sphère (o>) de l'autre côté de (T).

Supposons maintenant que le cercle (co) ne coupant pas la droite (T), on ait pris pour pied de la droite (R)

Fig. 2.

le point le plus rapproché de (T), soit E {fig. i ). Alors si l'on considère les cercles de l'autre famille, il faudra remplacer le cercle (co) par le cercle de diamètre MN dans le plan perpendiculaire à (V). Comme celui-ci coupe l'axe radical (R) dont le pied est en E, la cyclide aura la forme du cas précédent, et la discusssion est épuisée.

Enfin, si les deux, plans circonscrits se confondent la cyclide se réduit à une sphère accompagnée du plan des deux axes radicaux, comme on le voit sur la figure i en rapprochant indéfiniment le point M du point N.

13. Sections planes des cyclides. — II convient d'ajouter quelques mots sur les sections planes des cy- clides. Toutes les sphères d'une même famille étant cir-

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consentes à la surface coupent le plan sécant (P) sui- vant des cercles tangents à la section plane. Ces courbes sont donc l'enveloppe commune de deux familles de cercles. Soit A le point où l'un des axes ra- dicaux de lacyclide coupe le plan sécant (P). Ce point a la même puissance par rapport à tous les cercles cor- respondants situés dans le plan (P). Si l'on prend ce point A pour pôle d'inversion avec sa puissance pour module, les cercles demeureront inaltérés, et leur enveloppe ne sera pas changée. Comme il y a deux axes radicaux, les sections planes des ejelides sont des courbes doublement anallagmatiques.

La ejelide étant un lieu de cercles contient le cercle de l'infini. Dans les ejelides du quatrième ordre ce cercle est une ligne double de la surface parce que chaque plan passant par l'un des axes radicaux contient deux cercles de courbure qui se coupent aux deux poinls eveliques de ce plan. Donc toutes les sections planes admettent pour points doubles les points cy- cliques du plan sécant. Dans les evelides du troisième ordre, le cercle de l'infini est une ligne simple de la surface puisque chaque plan passant par l'un des axes radicaux ne contient qu'un cercle de courbure ; mais le plan de l'infini coupe en plus la surface suivant une droite située dans les plans parallèles aux plans cir- conscrits. Donc la section faite par le plan (P) admet pour asymptotes deux droites isotropes du plan (P) et une parallèle à l'intersection de (P) avec l'un des plans circonscrits. Les points A etB, où le plan sécant coupe les deux axes radicaux, font partie de la sec- tion ; en ces points la tangente est située dans le plan circonscrit correspondant, et par suite parallèle à l'asymptote.

Revenons au cas général : si le plan sécant est tan-

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gent en M à la surface, le point M est un point double de l'intersection qui présente ainsi avec les poinis cy- cliques trois points doubles. La section est donc uni- cursale. Cette conclusion subsiste dans le cas des cy- clides du troisième ordre. Si enfin le plan est bilangent à la cyclide, on trouve quatre poinis doubles sur la section. Celle-ci doit donc se décomposer en deux co- niques qui sont forcément des cercles puisqu'elles passent l'une et l'autre par les points cycliques. Enfin, Tinversion montre que de même toule sphère bitan- gente à une cyclide la coupe suivant deux cercles. Le reste de l'intersection est le cercle de l'infini compté comme ligne double. En particulier, toute sphère pas- sant par les deux points coniques coupe Ja cyclide suivant deux cercles.

En ce qui concerne les cycîides du troisième ordre, remarquons que les plans parallèles aux plans circons- crits coupent la surface suivant une droite à l'infini et une conique; celle-ci, quand elle est réelle, est toujours une hyperbole si la cyclide n'a pas de points coniques réels (fig* i ). Si les points coniques sont réels, la sec- lion est une hyperbole si le plan sécant passe entre M et N (fig* 2), une ellipse si le plan sécant est de l'autre côté de la droite (T). Si le plan sécant passe par le point E, le centre de la conique étant justement le point E, celle-ci se réduit à deux droites qui sont réelles dans le cas de la figure 1 et imaginaires dans le cas de la figure 2. Nous allons voir qu'en dehors des axes radicaux, des droites isotropes et de la droite de l'infini dans le plan parallèle aux deux axes radicaux, ces deux droites sont les seules qui se trouvent sur la surface. Si en eflet la cyclide contient une droite (D) elle contiendra aussi la droite (D') symétrique de (D) par rapport au plan (V) de la figure 1. Alors le plan (W)

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des deux droites (D) et (D') coupera la cyclide suivant une troisième droite qui devra contenir les points cy- cliques du plan (W). Ce sera donc la droite de l'infini.

Mais la surface ne contient pas d'autre droite à l'infini que celle qui est dans le plan parallèle aux deux axes radicaux. Donc le plan (W) est parallèle à ces deux axes radicaux, et les deux droites (D) et (D') sont bien celles dont nous venons de parler. Les plans bitangents à la cyclide sont ceux qui passent par l'une ou l'autre de ces droites. Ils coupent la cyclide suivant un cercle en outre de cette droite. Enfin une sphère bitangente coupe la cyclide suivant deux cercles ; le reste de l'in- lerseclion est le cercle de l'infini.

J4. Le système orthogonal. — Symétrie par rap- port à trois plans rectangulaires. — Arrivons main- tenant à la construction du système triplement ortho- gonal réversible. Je ne m'occuperai que des systèmes réels. Considérons d'abord les systèmes composés de cyclides du quatrième ordre, c'est-à-dire ceux qui cor- respondent au cas général de la représentation sphé- rique. Nous savons déjà par les propriétés de cette re- présentation sphérique que chaque cyclide du système a ses deux axes radicaux parallèles à deux des axes de coordonnées et par conséquent ses deux plans de symétrie parallèles à deux plans de coordonnées.

Soient (X) l'un des plans de symétrie d'une cyclide et (C) un des cercles de courbure de cette cyclide dont le plan perpendiculaire à (X) peut n'être supposé paral- lèle à aucun plan de coordonnées. Par (C) passe une cyclide de la deuxième famille dont un des plans de symétrie doit passer par Taxe du cercle (C), axe situé dans le plan (X). Par hypothèse, cet axe n'est parallèle à aucun plan de coordonnées autre que celui qui est

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parallèle à (X). Donc le plan de symétrie de la seconde cyclide est aussi (X). Il en sera de même pour toutes les autres cyclides de la seconde famille.

On verra de même que le deuxième plan de symétrie de la première cyclide sera aussi un plan de symétrie commun à toutes les cyclides de la troisième famille.

On en déduit aisément que :

Les plans de symétrie de toutes les cyclides se ré- duisent à trois plans rectangulaires. Toutes les cy- clides d'une même famille sont symétriques par rapport à deux de ces trois plans fixes. Chacun de ces trois plans est un plan de symétrie commun à toutes les cyclides de deux familles.

Prenons ces trois plans pour plans de coordonnées.

Puisqu'il existe deux familles de surfaces symétriques par rapport au plan OXY, l'ensemble de tout le sys- tème doit être symétrique par rapport à ce plan et comme les surfaces de la troisième famille ne l'ad- mettent pas pour plan de symétrie, il faut que ces surfaces soient deux à deux symétriques par rapport à ce plan-là.

15. Les douze tores dont six réels et six imagi- naires. — La représentation sphérique de l'une des cyclides se compose des cercles dont les plans passent par les deux droites rectangulaire (D'f) et (Ev). Si l'une de ces droites est rejetée à l'infini, la cyclide corres- pondante est un tore. A chaque position des droites (D") et (E") correspondent deux cyclides égales et sy- métriques par rapport au plan OXY; comme chacune des deux droites (D") et (E") peut être rejetée à l'infini, chaque famille comprend quatre tores deux à deux sy-

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métriques par rapport à l'un des pians de coordonnées.

Nous allons voir que de ces quatre tores, deux sont réels et deux imaginaires.

Considérons une cyclide symétrique par rapport au plan OXY et supposons que celui des deux axes radi- caux (R) par où passent les deux plans circonscrits réels soit dans ce plan OXY et parallèle à OY. Ces deux plans touchent la cyclide suivant des cercles par chacun desquels passe une cyclide de la deuxième famille. Mais cette deuxième cyclide doit être normale au plan (P) circonscrit à la première. Donc la sphère qui passe par le cercle situé dans le plan (P), et qui est circonscrite à la deuxième cyclidedoit avoir son centre dans le plan (P), et le cercle considéré est un grand cercle de cette sphère. Or, si l'on se reporte à la génération des cyclides expliquée aux nos 7 et 8, on verra que pour qu'une sphère louche la cyclide suivant un grand cercle, il faut que le plan de ce grand cercle soit un plan de symétrie de la cyclide. Donc le plan (P) est un plan de symétrie de la deuxième cyclide, et comme il n'est parallèle à aucun des plans de coordon- nées, il faut que cette deuxième cyclide soit un tore engendré par la rotation du cercle situé dans le plan (P) autour d'une droite située dans le même plan et parallèle à l'un des axes de coordonnées, c'est-à-dire autour d'une droite parallèle à (R), parallèle elle-même à OY. De plus, cet axe du tore devant se trouver dans un des plans de coordonnées sera l'intersection du plan circonscrit (P) avec le plan OYZ. L'autre plan circonscrit (Q) donne naissance à un deuxième tore symétrique du premier par rapport au plan OXY.

Ainsi, le lieu des cercles de contact des plans cir- conscrits aux cyclides d'une même famille se com- pose de deux tores symétriques dont ces cercles sont

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les méridiennes, d'où il suit que tous ces cercles sont égaux.

Les plans circonscrits imaginaires à la première cy- clide donneront naissance de la même manière à deux tores imaginaires appartenant à la troisième famille de cyclides, d'où il résulte bien que chaque famille de cy- clides admet deux tores réels et deux imaginaires.

16. Construction du système orthogonal. — Dès lors, la construction du système orthogonal ne présente plus aucune difficulté. Considérons deux tores égaux ayant leurs centres C et G' sur l'axe OZ, leurs axes parallèles à OY, et symétriques par rapport à l'origine.

Joignons C et C' à un point A de l'axe OX. Faisons passer par A une parallèle (R) à l'axe OY et considé- rons les deux plans (P) et (P') passant par (R) et C et (7, lesquels coupent les tores suivant les cercles BD et B' D'. Une cyclide de la seconde famille sera l'enve-

F

Hj i G/ C

ig. 3.

z

J\

R

V rv

loppe des sphères touchant les deux plans P et P' sur les cercles BD et BrD' ( fig. 3, où l'on n'a représenté

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qu'un seul des deux tores projeté sur le plan OXZ). La seconde famille est formée de toutes les cyclides qu'on obtient de cette manière en faisant faire un tour com- plet au rayon CBD. Parmi elles figurent les deux tores qu'on obtient en rejetant A à l'infini. Ceux-ci sont symétriques par rapport au plan OZY et admettent pour cercles stationnaires les deux cercles de diamètre EF et E T ' ou bien GH, G'H', dont les plans sont pa- rallèles au plan OXY.

Le troisième couple de tores s'obtient en faisant tourner chacun des cercles stationnaires du premier tore autour de la trace de son plan sur le plan OXY, trace qui est parallèle à OX, et les deux autres familles de cyclides dérivent de ces deux couples de tores comme la seconde famille dérivait des deux tores pri- mitifs.

17. Le système ainsi défini est bien orthogonal.

11 reste à vérifier que les cyclides ainsi obtenues se cou- pent bien à angle droit.

La cyclide considérée d'abord et admettant pour plan de symétrie les plans OXZ et OXY coupait, sui- vant le cercle BD, le tore (C) dont l'axe est parallèle à OY. Menons dans le plan OXZ les tangentes en B et en D aux cercles de rayons CB et CD, lesquelles coupent Taxe OX respectivement en I et en J, et de ces deux points comme centres, traçons les cercles de rayon IB et JD. Ils appartiennent à la cyclide considérée et se coupent en deux points L et \J qui sont deux points coniques de cette cyclide. Par cette droite LL' passe un plan parallèle à OYZ qui coupe la cyclide suivant deux cercles (S) et (S'). Chacun de ces cercles coupe à angle droit le cercle BD en un point qui se projette au milieu K de BD et qui est par conséquent sur le cercle

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slationnaire du tore (C). Déplus, les points de rencontre du cercle (S) avec les cercles BD et B'D' sont les extré- mités d'un diamètre de (S) puisqu'en ces points les tan- gentes à (S) situées dans les plans (P) et (Q) sont pa- rallèles à OY. Donc le cercle (S) qui a pour axe la pa- rallèle à OX située à l'intersection du plan OXY avec le plan slationnaire du tore (C) est un parallèle du tore ayant pour axe cette même parallèle à OX, tore appar- tenant à la troisième famille.

De plus, la cyclide coupe ce tore à angle droit. En effet, l'angle des deux surfaces est le même tout le long du cercle d'intersection qui est une ligne de cour- bure commune et, au point qui se projette en R, le plan langent à la cyclide est Je plan (P) qui est bien normal au deuxième tore, puisqu'il est normal au cercle stationnaire du premier, lequel est une méri- dienne du second.

De même, le cercle (S') est un parallèle du deuxième tore de la troisième famille.

11 résulte de là que chacune des cyclides définie comme il a été expliqué, coupe orlhogonalementchacun des tores d'une famille à laquelle elle n'appartient pas suivant une méridienne, et chacun des tores de la troisième famille suivant un parallèle. Soient mainte*

nant deux cyclides appartenant à deux familles diffé- rentes. Elles couperont l'un des tores de la troisième famille, l'une suivant une méridienne, l'autre suivant un parallèle. Au point M où se coupent les deux cercles, les trois surfaces sont orthogonales puisque chacune des cyclides coupe le tore à angle droit et que les deux courbes d'intersection sont elles-mêmes rectangulaires.

Il reste à prouver qu'elles se coupent suivant un cercle.

Pour fixer les idées, supposons que le tore ait son

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axe parallèle à OY et son centre sur OZ, comme dans la figure 3. Il admet pour plans de symétrie les plans OYZ et OZX et appartient à la famille dont les axes radicaux sont parallèles à OY et à OX. La cyclide qui le coupe suivant une méridienne a l'un de ses axes ra- dicaux parallèles à OY et situé dans le plan OXY, et l'autre parallèle à OZ et situé dans le plan OYZ. La cyclide qui le coupe suivant un parallèle est symétrique par rapport aux plans OYZ et OXY. L'un de ses axes radicaux est parallèle à OX et situé dans le plan OXY, l'autre parallèle à OZ et situé dans le plan OXZ. La première cyclide coupe le tore suivant un cercle dont le plan passe par l'axe radical parallèle à OX (projeté en A sur la figure 3). Donc le second cercle de la cy- clide passant par le point M est dans un plan qui con- tient Taxe radical parallèle à OZ. Son centre est donc dans le plan OXY. De même l'autre cyciide coupe le tore suivant un parallèle dont le plan parallèle à OXZ coupe le plan OXY suivant une parallèle à OX qui est l'un des axes radicaux de la cyclide. Donc le second cercle de cette cyclide passant en M est dans un plan qui contient l'axe radical parallèle à OZ. Son centre est donc aussi dans le plan OXY. Ainsi les deux cer- cles doivent être tangents à la normale en M au tore, situés dans le plan parallèle à OZ passant par cette nor- male et enfin avoir leurs centres dans le plan OXY.

Donc ils coïncident et les deux cyclides se coupent sui- vant un cercle qui est une ligne de courbure commune aux deux surfaces. Comme celles-ci sont orthogonales au point M, elles le sont tout le long du cercle d'inter- section.

18. Lieu des points doubles. — Sections par les plans de coordonnées. — L'ensemble de tout le sys-

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tème est symétrique par rapport aux trois plans de coordonnées, car les cyclides d'une même famille sont symétriques chacune par rapport à deux de ces plans et deux à deux par rapport au troisième. Parmi toutes les cyclides d'une même famille figure le plan par rap- port auquel elles sont symétriques deux à deux. Par exemple, sur la figure 3, la cyclide définie par le cercle BD se réduit au plan OYZ si le rayon OBD vient coïncider avec Taxe OZ.

Une cyclide symétrique par rapport au plan OXY coupe ce plan suivant deux cercles qui se coupent en deux points G et G' qui sont des points coniques de cette cyclide. Par chacun de ces cercles doit passer une cyclide de la deuxième famille, mais celle-là est juste- ment réduite au plan OXY. Les points G et G' sont des cercles de rayon nul de la famille de lignes de courbure autre que celle des deux cercles précédents.

Ils doivent donc être aussi des cercles de rayon nuls de la troisième famille de cyclides, d'où il suit que les deux familles de cyclides symétriques par rapport au même plan de coordonnées ont dans ce plan-là le même lieu de leurs points coniques. D'autre part une cyclide de la deuxième famille doit couper la première cyclide considérée suivant un cercle appartenant à la même famille que les deux cercles situés dans le plan OXY; mais tous ces cercles passent par les points G et G¹. Donc toutes les cyclides de la deuxième famille passent par les points G et G' et par consé- quent par le lieu des points coniques de toutes les cyclides des deux autres familles. Réciproquement tout point de l'intersection de l'une des cyclides delà deuxième famille avec le plan OXY se trouve sur un cercle de courbure commun à celte cyclide et à l'une de celles de la première famille, c'est donc l'un des

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points G ou G' par où passent tous les cercles de la famille considérée sur la cyclide de la première famille.

Donc : Toutes les cyclides dune même famille coupent le plan de coordonnées par rapport auquel elles ne sont pas symétriques suivant une même courbe qui est le lieu des points coniques des cyclides des deux autres familles situés dans ce plan-là.

Il existe trois de ces courbes, une dans chacun des plans de coordonnées. Comme chaque famille com- prend deux tores, ces courbes font partie des courbes du quatrième ordre relativement simples qui résultent de la section d'un tore par un plan parallèle à Taxe;

elles sont symétriques par rapport aux deux axes de coordonnées situées dans leur plan.

M. Darboux a fait remarquer que chacune de ces courbes est une focale des deux autres parce qne tout point conique d'une cyclide étant une sphère de rayon nul circonscrite à la cyclide est un foyer de toute sec- tion plane de cette surface. (A suivre.)