1 Théorème d’inversion locale

Leçon 214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en ana- lyse et en géométrie.

1 Théorème d’inversion locale

Définition 1. SoientUetV deux ouverts deRⁿ. On dit que f :U→V est un C^k–difféomorphisme sif est C^k,f est bijective etf⁻¹est C^k.

Exemple 2.

1. DansR²,U =R^∗₊×]−π,π[ etV =R²\ {(x,y)∈R²|x60}. L’appli- cation g :U →V définie parg(r,θ)=(rcosθ,rsinθ) est un C^∞– difféomorphisme.

2. La fonction f :R→Rdéfinie par f(x)=x³est dérivable, bijective mais n’est pas un difféomorphisme.

Théorème 3(inversion locale). Soient U un ouvert deRⁿet f :U→Rⁿde classeC¹. Soit a∈U tel quedf(a)est inversible, alors il existe V un voisi- nage ouvert de a dansRⁿet W un voisinage ouvert de f(a)dansRⁿtels que f_|V :V →W soit unC¹–difféomorphisme. De plus,df⁻¹¡

f(x)¢

=df(x)⁻¹. Remarque4. On peut remplacer C¹par C^k.

Corollaire 5. Soient U un ouvert deRⁿet f :U→Rⁿde classeC¹. On sup- pose que pour tout x∈U ,df(x)est inversible. Alors f est une application ouverte : pour toutΩouvert de U , f(Ω)est un ouvert deRⁿ.

Exemple 6. L’hypothèse C¹est nécessaire : f(x)=x+x²sin(^π_x) prolongée par 0 en 0 ; alorsf est dérivable surR,f⁰(0)6=0 maisf n’est inversible sur aucun voisinage de 0.

Application 7. Soit f :Rⁿ→Rⁿ de classe C¹ telle que pour toutx∈Rⁿ, df(x) est une isométrie. Alorsf est une isométrie affine.

Exemple 8. SurC^∗,f(z)=z²est un difféomorphisme local en tout point mais n’est pas un difféomorphisme global (pas injective).

Théorème 9(inversion globale). Soit U un ouvert deRⁿ et soit f :U → Rⁿ de classeC¹. On suppose que f est injective sur U et que pour tout x∈U ,df(x)est inversible. Alors f(U)est un ouvert deRⁿ et f est unC¹– difféomorphisme global de U sur f(U).

2 Le cas holomorphe

Théorème 10. Soient U un ouvert deCet f :U →Cune fonction holo- morphe. Soit z0∈U tel que f⁰(z0)6=0, alors il existe V un voisinage de z0

dans U et W un voisinage de f(z0)dans Ctels que f_|V :V →W soit un biholomorphisme.

Proposition 11. Soient U un ouvert connexe deCet f :U→Cholomorphe non constante. Alors f est une application ouverte.

Corollaire 12(D’Alembert–Gauss). Soit P ∈C[X]non constant. Alors la fonction z7→P(z)admet un zéro dansC.

Théorème 13. Soient U un ouvert deCet f :U →Cune fonction holo- morphe. Si f est injective sur U , alors f est un biholomorphisme de U sur

f(U).

3 Théorème des fonctions implicites et théorème du rang constant

Théorème 14(fonctions implicites). Soient U un ouvert deRⁿ×R^m et f : U →R^m de classeC¹. Soient(a,b)∈U et c = f(a,b). On suppose que la différentielle de y7→ f(a,y)est inversible au point b. Alors il existe V un 1

voisinage ouvert de a dansRⁿ, W un voisinage ouvert de b dansR^m etϕ: V →W de classeC¹telle que :

∀x∈V,∀y∈W, f(x,y)=c ⇐⇒ y=ϕ(x)

Exemple 15. SoitP₀∈Rn[X] etx₀∈Rune racine simple deP₀. Alors il existeV un voisinage ouvert de P0 dansRn[X], W un voisinage de x0

dansRetϕ:V →W de classe C^∞ tels que pour tousx∈W etP ∈U, x=ϕ(P) ⇐⇒P(x)=0.

Définition 16. SoientUun ouvert deRⁿetf :U→R^m de classe C¹. Soit a∈U, alors :

1. si df(a) est surjective, on dit quef est unesubmersionena(en par- ticulier,n>^m).

2. si df(a) est injective, on dit que f est uneimmersionena(en parti- culier,n6^m).

Proposition 17. Soient U un ouvert deRⁿet f :U→R^m de classeC¹. Soit a∈U , alors :

1. si f est une submersion en a, il existeϕun difféomorphisme local au voisinage de a tel que f =π◦ϕoùπest la projection canonique de RⁿsurR^m.[faire un schéma]

2. si f est un immersion en a, il existeψun difféomorphisme local au voisinage de f(a)tel que f =ψ⁻¹◦j où j est l’injection canonique de RⁿdansR^m.[faire un schéma]

Théorème 18(rang constant). Soient U un ouvert de Rⁿ et f :U →R^m de classeC¹. On suppose que pour tout x∈U , la différentielledf(x)est de rang constant r . Si a∈U , alors il existe ϕun difféomorphisme local au voisinage de a etψun difféomorphisme local au voisinage de f(a)tel que f =ψ⁻¹◦g◦ϕoù g est l’application linéaire g(u1, . . . ,ur,u_r+1, . . . ,un)= (u1, . . . ,ur, 0, . . . , 0).

4 Sous-variétés de R

Définition 19. SoitM une partie deRⁿ. Soientm∈M etd∈N^∗, on dit queMest lisse enmde dimensionds’il existeϕun C¹–difféomorphisme d’un voisinage ouvertV demdansRⁿsur le voisinageϕ(V) de 0 dansRⁿ qui transformeMen un s.e.v. de dimensiond:

ϕ(M∩V)=F∩ϕ(V)

avecFun s.e.v. deRⁿde dimensiond. On dit queMest une sous-variété deRⁿde dimensiondsiMest lisse de dimensionden tout point.

Définition 20. SoientM une partie deRⁿetm∈M. Un vecteurv deRⁿ est dit tangent enm àM s’il existe un chemin dérivableγ:I →M oùI intervalle ouvert contenant 0 tel queγ(0)=metγ⁰(0)=v.

Proposition 21. Si M est lisse en m de dimension d , alors l’ensemble de ses vecteurs tangents en m est un s.e.v. deRⁿde dimension d appelé espace vectoriel tangent à M en m. On le noteTmM .

Théorème 22(sous-variétés). Soient M une partie deRⁿ, m∈M et d∈N^∗. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. M est lisse en m de dimension d .

2. Il existe un voisinage ouvert U de m dansRⁿ et f :U →R^n−d une submersion en a telle que :

x∈M∩U ⇐⇒x∈U et f(x)=0 L’espace tangent en m est alorsT_mM=ker df(m).

3. Il existe un voisinage ouvert U de m dansRⁿ, un voisinage ouvertΩ de0dansR^d etϕ:Ω→Rⁿ une immersion en0telle queϕsoit un homéomorphisme deΩsur U∩M etϕ(0)=a.

L’espace tangent en m est alorsTmM=Im dϕ(0).

2

Exemple 23. DansRⁿ, on définitSⁿ⁻¹={x∈Rⁿ|x₁²+ · · · +x_n²=1}. Alors Sⁿ⁻¹est une sous-variété deRⁿde dimensionn−1. L’espace vectoriel tan- gent en un pointx∈Sⁿ⁻¹est alorsx^⊥.

Exemple 24. On se place dansMn(R).

1. SL_n(R) est une sous-variété deMn(R) de dimensionn²−1. Son es- pace tangent en l’identité est l’ensemble des matrices de trace nulle.

2. On(R) est une sous-variétés deMn(R) de dimensionⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ . Son es- pace tangent en l’identité est l’ensemble des matrices antisymé- triques.

Théorème 25(Extrema liés). Soit U un ouvert deRⁿet soient f,g1, . . . ,gp

des fonctions de classeC¹de U dansR. On considère l’ensemble : M={x∈U|g1(x)= · · · =gp(x)=0}

Soit m∈M , on suppose quedg1(m), . . . , dgp(m) sont linéairement indé- pendantes. Si m est un extremum local de f sur M , alors il existe des réels λ1, . . . ,λptels quedf(m)=λ1dg₁(m)+ · · · +λpdg_p(m).

Application 26 (théorème spectral). Soit u un endomorphisme symé- trique d’un espace euclidien. Alors il existe une base orthonormée de vec- teurs propres pouru.

5 Lemme de Morse

Proposition 27. Soit A₀une matrice symétrique inversible. Alors il existe une applicationϕ:A7→M=ϕ(A)de classeC¹définie sur un voisinage V de A0dansSn(R)et à valeurs dansGLn(R)telle que :

∀A∈V, A=^tM A0M

Lemme 28(Morse). Soit U un ouvert deRⁿ contenant0et soit f :U→R de classeC³. On suppose que0est un point critique non dégénéré de f : df(0)=0etd²f(0)est une forme quadratique non dégénérée, de signature (p,n−p). Alors il existeϕunC¹–difféomorphisme entre deux voisinage de 0dansRⁿtel queϕ(0)=0et :

f(x)−f(0)=ϕ1(x)²+ · · · +ϕp(x)²−ϕp+1(x)²− · · · −ϕn(x)²

Application 29. SoitS={(x,y,z)∈R³|z=f(x,y)} oùf est de classe C³ au voisinage dea∈R². On suppose que d²f(a) est non dégénérée. Posons δ(h)=f(a+h)−¡

f(a)+df(a).h¢

la différence d’altitude entreSet son plan affine tangent ena.

— Si d²f(a) est de signature (2, 0), alorsδ(h)>0 pour touth6=0 dans un voisinage de 0. AinsiSest au-dessus deP dans un voisinage de

¡a,f(a)¢ .

— Si d²f(a) est de signature (0, 2), alorsδ(h)<0 pour touth6=0 dans un voisinage de 0. AinsiSest en-dessous deP dans un voisinage de

¡a,f(a)¢ .

— Si d²f(a) est de signature (1, 1), alorsδ(h)=u(h)²−v(h)² au voi- sinage de 0 et S traverse son plan tangent ena selon une courbe admettant un point double en¡

a,f(a)¢ .

Développements

1. Théorème des extrema liés.[25]

2. Lemme de Morse.[28]

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Références

— AVEZ,Calcul différentiel.

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— GOURDON,Les maths en tête.

— ROUVIÈRE,Petit guide de calcul différentiel.

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