ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 7 3 février 2017
Exercice I.
Partie A.
On considère les matrices J =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
etM =
3 4
1 8
1 8 1 8
3 4
1 8 1 8
1 8
3 4
.
1. Calculer J2.
2. Pourk≥1, démontrer queJk= 3k−1J. 3. Exprimer M en fonction deI =I3 etJ.
4. Montrer, en utilisant la formule du binôme, que ∀n∈N, Mn= 5
8 n
I −1 3J
+1
3J. Partie B.
Une action évolue de la manière suivante : elle peut monter, baisser, ou rester stable.
D'un jour n ∈ N donné à un jour n+ 1, l'action conserve la même évolution avec probabilité 3 4, et change d'évolution avec probabilité 1
8 pour chacune des deux autres évolutions.
Le premier jour d'observation (jour 0), l'action est en hausse.
On considère les évènements :
Hn={l'action est en hausse le jour n}
Bn={l'action est en baisse le jour n}
Sn={l'action est stable le jour n}
On pose an=P(Hn), bn=P(Bn) et cn=P(Sn).
1. Exprimer an+1 en fonction de an,bn etcn, pour n∈N. (on utilisera la formule des probabilités totales)
2. Trouver une matriceM telle que ∀n∈N,
an+1
bn+1 cn+1
=M
an
bn cn
.
3. Montrer que ∀n∈N,
an
bn cn
=Mn
a0
b0 c0
4. En déduire alorsan,bn etcn en fonction den. 5. Déterminer les limites des trois suitesa,betc. 6. Interpréter le résultat précédent.
Exercice II. (réservé CB1>8)
Soitf :A−→B et g:B −→C deux applications.
1. Montrer que si g◦f est surjective, alors gest surjective.
2. Montrer que si g◦f est injective, alorsf est injective.
1/2
Compétences travaillées (par ordre d'importance à chaque question) : Exercice I.
Partie A.
1. T 2. T,C 3. T,A 4. T Partie B.
1. M,T,C 2. T 3. T,C 4. T 5. T,A 6. I
Exercice II.
R,A,(C)
2
