Universit´e Paris 7 21 septembre 2011 Licence Math-Info (L3)
TD de Logique (Brice Minaud)
TD 2
Nombres entiers, induction et d´ebut du calcul propositionnel
Exercice1 : Soient A, B des ensembles, etf une application de A dansB. Soit N l’ensemble des entiers naturels tel qu’il a ´et´e d´efini en cours.
(1) Exprimer par une formule la proposition : “f est bijective deA dansB”.
(2) Exprimer par une formule, `a l’aide deN, la proposition : “l’ensemble A est fini”.
(3) Exprimer par une formule la proposition : “l’image def est infinie”.
Exercice2 :(Preuves par induction)
Montrer par induction surNles propri´et´es suivantes : (1) Tout ´el´ement d’un entier est un entier.
(2) Pour tout entiern, on an=S n+. (3) Sin∈Net m∈n,alorsm⊂n.
(4) Pour tout entiern, on an6∈n.
(5) Soientm, n∈Ntels quem⊂n. Alors on am∈noum=n.
(6) Soient m, n ∈ N, alors m ⊂ n ou bien m = n ou bien n ⊂ m (c’est `a dire la relation d’inclusion est un ordre total surN).
(7) Soitn∈Net f :n→n. Alors f est injective si et seulement sif est surjective.
Exercice3 :(D´efinitions par induction)
(1) D´efinir par induction la fonction qui `anassocie la valeur 0 sinest pair et 1 sinest impair.
(2) Montrer l’existence de l’ensemble des suites finies de 0 et 1 (c.`a.d. des fonctionsf :n → {0,1}o`unest un entier).
(3) D´efinir par induction la fonction qui `anassocie l’ensemble des suites finies de 0 et 1 avec exactementnalternances de 0 et de 1.
(4) D´efinir par induction la somme et le produit de deux entiers.
Exercice4 : Soit E un ensemble non vide muni d’une relation binaire R sym´etrique. On fixe a∈E. Montrer qu’il existe un plus petit sous-ensembleAcontenantaqui est clos pour la relation R(c’est-`a-dire ∀x∈A,∀y,(xRy∨yRx) =⇒ y∈A).
Indication : penser `a la d´emonstration de l’existence deNvue en cours ; il y a deux mani`eres.
Exercice5 :(Formules Propositionnelles)
Est-ce que les mots suivants sont des formules propositionnelles, sur l’ensemble de variables propo- sitionnellesP ={A, B, C, D, E, F, G, H} ?
F ⇒(G∧H) ((G⇔G)⇒G) (P⇒ ¬P)
(A∨B∨C) ¬(¬A) C
(¬C)⇔(¬B) ¬(A∧B) ((E∧B))
Exercice6 :(Th´eor`eme de Lecture Unique)
Montrer sans utiliser le Th´eor`eme de lecture unique que toutes les formules G, H satisfont les in´egalit´es suivantes :
(1) h[¬G]≤h[G] + 1;
(2) h[(GαH)]≤max{h[G], h[H]}+ 1 (α´etant un connecteur binaire arbitraire).
Montrer en utilisant le Th´eor`eme de lecture unique que toutes les formules G, H satisfont les propri´et´es suivantes :
(1) h[¬G] =h[G] + 1;
2
(2) h[(GαH)] = max{h[G], h[H]}+ 1 (α´etant un connecteur binaire arbitraire).
Exercice7 :(Induction sur les Formules)
Montrer par induction sur les formules que toutes les formulesGsatisfont la propri´et´e suivante :
• h[G]< lg[G].
Exercice8 :Pour chaque formule F du calcul propositionnel, on noteν[F], n[F], b[F], o[F] et f[F] le nombre d’occurences de variables propositionnelles, du symbole de n´egation, de symboles de connecteur binaire, de la parenth`ese ouvrante et de la parenth`ese fermante dansF.
• D´emontrer par induction que, pour toute formuleF,ν[F] =b[F] + 1.
Exercice9 : P est l’ensemble des variables propositionnelles. Montrer par induction sur les formules que:
(1) F ∈P ouF commence par¬ouF commence par (.
(2) F contient au moins une variable propositionnelle.
Exercice10 :(Tables de V´erit´e) Ecrire la table de v´erit´e des formules suivantes:
(A⇒B)∧A (A∨ ¬C)⇔B (A⇒B)∧(¬B∨A)
¬A(⇒ ¬B)∨(¬A⇔B) ((A∧B)∨ ¬C)⇒ ¬(B∨C)
Exercice11 :(Tautologies) Pour chacune des formules propositionnelles ci-dessous, d´eterminer si il s’agit d’une tautologie.
¬F ⇒ ¬F F ⇒(G⇒F) (F ⇒G)⇒F
F ⇒(G∧F) F⇒(G∨F) F∧(F ⇒G)
F∨(F⇒G) F∨ ¬¬(F ⇒ ¬F) (F∨ ¬G)∧(¬F∨G)
