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Dimensions et unités

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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La physique définit des grandeurs mesurables (ex : la masse m, la vi- tessev, la durée ∆t, l’énergie cinétique Ec. . .) et établit des relations mathématiques entre ces grandeurs (ex :Ec=1

2mv2). La mesure d’une grandeur consiste en la comparaison avec une autre grandeur. Deux gran- deurs qui peuvent être comparées ont même dimension. On définit ainsi sept dimensions fondamentales desquelles dérivent une infinité d’autres dimensions par composition. La grandeur de référence servant à réaliser une mesure est appelé étalon. Les étalons de mesure sont choisis arbitrai- rement bien que certaines propriétés, comme la stabilité dans le temps, soient recherchées. Le choix d’un étalon définit une unité de mesure.

Ainsi, jusqu’en 2018, l’unité de massekilogrammeétait définie comme la masse d’un cylindre de platine conservé au BIPM : l’IPK. Dire alors que la masse d’un corps valait 60 kg, c’était dire que la masse de ce corps était soixante fois plus grande que celle de l’IPK. À partir du choix stan- dardisé de sept étalons de mesure correspondant aux sept dimensions fondamentales, on définit un système international d’unités qui sert de référence pour le monde entier.

D.Malka Physique MPSI Lycée Jeanne d’Albret 2021-2022

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Dimensions et unités

Cours 0

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1.1 Que caractérise la dimension d’une grandeur physique ? . . . 1

1.2 Dimensions fondamentales . . . 1

1.3 Équations dimensionnelles . . . 2

1.4 Intérêt de l’analyse dimensionnelle . . . 2

2 Les unités 3 2.1 Qu’est-ce qu’une unité ? . . . 3

2.2 Le Système International d’unités (S.I.) . . . 3

2.3 Les étalons de mesure . . . 3

2.3.1 Quelques étalons anciens et actuels . . . 4

2.3.2 Tous les étalons modernes . . . 4

Table des figures

1 Les sept dimensions fondamentales . . . 3

2 L’IPK (International Prototype of the Kilogramm), le précédent étalon de masse est un cylindre de platine conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) à Sèvre. . . 4

3 Une horloge atomique . . . 5

— Connaître les sept dimensions fondamentales et les unités du système international associées.

— Écrire une équation aux dimensions pour contrôler l’homogénéité d’une expression.

— Écrire une équation aux dimensions pour déterminer la dimension d’une grandeur.

Connaissances et capacités exigibles

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MPSI – 2021-2022 – JdA D.Malka Dimensions et unités

1 Dimension d’une grandeur physique

1.1 Que caractérise la dimension d’une grandeur physique ?

On peut comparer la longueur d’une pièce à sa hauteur mais on ne peut pas comparer la hauteur de cette pièce à sa durée d’occupation. La longueur de la pièce et sa hauteur ont la dimension d’unelongueur, la durée d’occupation de la pièce a la dimension d’un temps. Deux grandeurs comparables ont même dimension, deux grandeurs physiques incomparables ont des dimensions différentes.

On admet que chaque grandeur physique mesurable est caractérisée par sadimension. Seules des grandeurs physiques de même dimension peuvent être comparées. Deux grandeurs physiques de même dimension sont diteshomogènes.

Dimension d’une grandeur physique

Exemple :le temps, la longueur, la vitesse et l’énergie sont des exemples de dimensions.

Si deux grandeurs physique sont de même nature, par exemple l’énergie potentielle et l’énergie cinétique, elles ont nécessairement même dimension (sur l’exemple la dimension d’uneénergie).

On lance un ballon de basket vers le panier. Classer par dimensions les grandeurs physiques suivantes :

— la masse du ballon,

— le diamètre du ballon,

— le poids du ballon,

— la vitesse de lancer du ballon,

— le volume du ballon,

— la quantité d’air dans le ballon,

— la circonférence de l’ar- ceau du panier,

— la hauteur du panier,

— les frottements de l’air sur le ballon.

Réponse Sont homogènes :

— à une masse : la masse du ballon ;

— à une longueur : le diamètre du ballon, la circonférence de l’arceau du panier, la hauteur du panier ;

— à une force : le poids du ballon, les frottements de l’air sur le ballon ;

— à une vitesse : la vitesse de lancer du ballon ;

— à un volume : le volume du ballon ;

— à une quantité de matière : la quantité d’air dans le ballon.

Application 1

1.2 Dimensions fondamentales

Les grandeurs physiques sont liés par des équations. Il en résulte que les dimensions aussi. On peut alors les organiser selon un système de sept dimensions fondamentales ou grandeurs de base, choisies conventionnellement, à partir desquelles dérive tout autre dimension.

— la longueur L

— la masse M

— le temps T

— l’intensité électrique I

— la température Θ

— la quantité de matière N

— l’intensité lumineuse J Dimensions fondamentales

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Lesgrandeurs dérivées se déduisent par produit de puissance des grandeurs de base.

Exemple : Une vitesse v est une longueur l divisée par un temps t. Dimensionnellement, on écrit : [v] =L.T−1.

R Un nombre pur, comme 2,π,2021. . ., a la la dimension 1. On dit aussi qu’il est sans dimension.

R Le rapport de deux grandeurs de même dimension est sans dimension.

R Une quantité de matière est un nombre pur et n’a donc pas de dimension.

R Les arguments des fonctions ln, exp et des fonctions définies à partir de ln ouexp (cosh,sinh, cos,. . .) doivent être adimensionnés.

1.3 Équations dimensionnelles

A=B ⇒[A] = [B]: deux grandeurs égales sont nécessairement de même dimension.

A+B=C+D⇒[A] = [B] = [C] = [D] : les termes d’une équation sont nécessairement de même dimension.

C = A.B ⇒[C] = [A][B] : la dimension d’un produit de facteurs est le produit des dimensions de chaque facteur.

— [Aα] = [A]α.

Équations aux dimensions

Déterminer la dimension d’une vitesse v en fonction des dimensions de base. Donner alors l’unité S.I. de vitesse. Faire de même pour une concentration molairec.

Réponse

[v] =L·T−1, unité légale m·s−1;[c] =L−3, unité légale mol·m−3. Application 2

Déduire la dimension d’un angle de sa définition mathématique.

Réponse

Un angle θ est le rapport de la longueurl d’un arc de cercle divisé par le rayon R de ce cercle :θ = Rl. On en déduit qu’un angle est sans dimension : [θ] = L

L =1.

Application 3

1.4 Intérêt de l’analyse dimensionnelle

Il faut procéder systématiquement à l’analyse dimensionnelle des grandeurs physiques et des équations intervenant dans un problèmea.

a. Que ces grandeurs ou ces équations soient fournies par l’énoncé ou obtenues par calcul.

Faire de l’analyse dimensionnelle !

Cela permet, entre autres, de :

— de comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les équations et expressions litté- rales,

— détecter des erreurs de calcul,

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Après une série de calculs, un étudiant aboutit à l’expression suivante pour l’accélérationad’un mobile :

a= v

2

R2

v est une vitesse etRune longueur. Que penser de la justesse de l’expression dea? Réponse

La dimension d’une accélération est[L][T]−2, la dimension de v2

R2 est[T]−2.an’est ainsi pas homogène à une accélération donc l’expression proposée est nécessairement fausse.

Application 4

2 Les unités

2.1 Qu’est-ce qu’une unité ?

Les grandeurs ou propriétés physiques peuvent être quantifiées c’est-à-dire qu’on peut leur associer un nombre. Ce nombre s’établit par comparaison avec un étalon. L’unité est une façon d’exprimer ce nombre.

Exemple : On peut quantifier une vitesse en km.h−1 ou en m.s−1. 90 km·h−1 et 25 m·s−1 corres- pondent à la même valeur de la vitesse mais exprimée avec deux unités différentes.

2.2 Le Système International d’unités (S.I.)

A chaque dimension fondamentale on associe une unité : le mètre m, le kilogramme kg, la seconde s, l’ampère A, le kelvin K, la mole mol et la candela cd. Ces sept unités sont les unités de bases du système international d’unités (S.I.).

Grandeur de base Dimension Unité S.I. associée Symbole de l’unité

Longueur L mètre m

Masse M kilogramme kg

Temps T seconde s

Intensité électrique I Ampère A

Température θ Kelvin K

Quantité de matière N mole mol

Intensité lumineuse J candela cd

Figure1 – Les sept dimensions fondamentales

On peut construire des unités dérivées par produit de puissance des unités de base. L’ensemble des unités obtenues constitue le système international d’unité (S.I.).

Exemple :L’unité de vitesse dérivée des unités de base est le m·s−1 c’est donc l’unité de vitesse S.I.

En revanche, lekm·h−1 est une unité usuelle de vitesse mais n’appartient pas au S.I. puisque lekmet l’heure hne sont pas des unités de base du S.I.

R Tout calcul réalisé à partir de données numériques prises en unités S.I. donne un résultat en unité S.I. Il est recommandé de procéder de la sorte.

R On donne un nom particulier à certaines unités dérivées, par exemple le newton Npour la force, le joule Jpour l’énergie,. . .

2.3 Les étalons de mesure

Toute quantification1 d’une grandeur se fait par comparaison avec une grandeur de référence : l’étalon2.

1. Quantifier signifie mesurer.

2. Ces étalons ont beaucoup changé au cours de l’histoire des sciences.

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2.3.1 Quelques étalons anciens et actuels

Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international du kilogramme (IPK).

Étalon de masse - Ancienne définition du kilogramme

Le prototype international du kilogramme est un cylindre en platine irridié conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) depuis 1889 (fig.2).

Figure 2 – L’IPK (International Prototype of the Kilogramm), le précédent étalon de masse est un cylindre de platine conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) à Sèvre.

La seconde s est la durée correspondant 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium133Cs.

Étalon de durée – Définition de la seconde

C’est sur cet étalon que repose le principe des horloges les plus précises au monde (résolution de l’ordre de 10−16s) : les horloges atomiques (fig.3).

Le mètremest la distance parcourue par la lumière dans le vide en 299 792 4581 s.

Étalon de longueur – Définition du mètre

Cette définition revient à fixer la célérité de la lumière : c = 299 792 458 m·s−1. La définition du mètre résulte alors de celle de la seconde.

2.3.2 Tous les étalons modernes

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Figure3 – Une horloge atomique

La seconde, symbole s, est l’unité de temps du SI. Elle est définie en fixant la valeur numérique de la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé à 9 192 631 770 lorsqu’elle est exprimée en Hz, unité égale à s−1.

Le mètre, symbole m, est l’unité de longueur du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la célérité de la lumière dans le vide, c, à 299 792 458 lorsqu’elle est exprimée en m/s, la seconde étant définie en fonction de∆νCs.

Le kilogramme, symbole kg, est l’unité de masse du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la constante de Planck,h, à 6,626 070 15×10−34lorsqu’elle est exprimée enJ.s, unité égale à kg·m2·s−1, le mètre et la seconde étant définis en fonction decet ∆νCs.

L’ampère, symbole A, est l’unité de courant électrique du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire,e, à 1,602 176 634×10−19 lorsqu’elle est exprimée en C, unité égale à A·s, la seconde étant définie en fonction de∆νCs.

Le kelvin, symbole K, est l’unité de température thermodynamique du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la constante de Boltzmann,k, à 1,380 649×10−23lorsqu’elle est exprimée en J·K−1, unité égale à kg·m2·s−2·K−1, le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction deh,cet∆νCs.

La mole, symbole mol, est l’unité de quantité de matière du SI. Une mole contient exactement

6,022 140 76×1023 entités élémentaires. Ce nombre, appelé « nombre d’Avogadro », correspond à la valeur numérique de la constante d’Avogadro, NA, lorsqu’elle est exprimée en mol−1. La quantité de matière, symbole n, d’un système est une représentation du nombre d’entités élémentaires spécifiées.

Une entité élémentaire peut être un atome, une molécule, un ion, un électron, ou toute autre particule ou groupement spécifié de particules.

La candela, symbole cd, est l’unité du SI d’intensité lumineuse dans une direction donnée. Elle est définie en fixant la valeur numérique de l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540×1012Hz,Kcd, à 683 lorsqu’elle est exprimée en lm·W−1, unité égale à cd·sr·W−1, ou cd·sr·kg−1·m−2·s3, le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction deh,c et∆νCs. Ces définitions des unités sont certes plus abstraites mais permettent de définir des étalons immuables dans le temps (en supposant que les constantes soient vraiment des constantes !).

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Sur le web

Site du BIPM (tout sur les étalons de mesure, les unités. . .) :http://www.bipm.org/.

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