R2
oùv est une vitesse etRune longueur. Que penser de la justesse de l’expression dea? Réponse
La dimension d’une accélération est[L][T]−2, la dimension de v2
R2 est[T]−2.an’est ainsi pas homogène à une accélération donc l’expression proposée est nécessairement fausse.
Application 4
2 Les unités
2.1 Qu’est-ce qu’une unité ?
Les grandeurs ou propriétés physiques peuvent être quantifiées c’est-à-dire qu’on peut leur associer un nombre. Ce nombre s’établit par comparaison avec un étalon. L’unité est une façon d’exprimer ce nombre.
Exemple : On peut quantifier une vitesse en km.h−1 ou en m.s−1. 90 km·h−1 et 25 m·s−1 corres-pondent à la même valeur de la vitesse mais exprimée avec deux unités différentes.
2.2 Le Système International d’unités (S.I.)
A chaque dimension fondamentale on associe une unité : le mètre m, le kilogramme kg, la seconde s, l’ampère A, le kelvin K, la mole mol et la candela cd. Ces sept unités sont les unités de bases du système international d’unités (S.I.).
Grandeur de base Dimension Unité S.I. associée Symbole de l’unité
Longueur L mètre m
Figure1 – Les sept dimensions fondamentales
On peut construire des unités dérivées par produit de puissance des unités de base. L’ensemble des unités obtenues constitue le système international d’unité (S.I.).
Exemple :L’unité de vitesse dérivée des unités de base est le m·s−1 c’est donc l’unité de vitesse S.I.
En revanche, lekm·h−1 est une unité usuelle de vitesse mais n’appartient pas au S.I. puisque lekmet l’heure hne sont pas des unités de base du S.I.
R Tout calcul réalisé à partir de données numériques prises en unités S.I. donne un résultat en unité S.I. Il est recommandé de procéder de la sorte.
R On donne un nom particulier à certaines unités dérivées, par exemple le newton Npour la force, le joule Jpour l’énergie,. . .
2.3 Les étalons de mesure
Toute quantification1 d’une grandeur se fait par comparaison avec une grandeur de référence : l’étalon2.
1. Quantifier signifie mesurer.
2. Ces étalons ont beaucoup changé au cours de l’histoire des sciences.
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2.3.1 Quelques étalons anciens et actuels
Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international du kilogramme (IPK).
Étalon de masse - Ancienne définition du kilogramme
Le prototype international du kilogramme est un cylindre en platine irridié conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) depuis 1889 (fig.2).
Figure 2 – L’IPK (International Prototype of the Kilogramm), le précédent étalon de masse est un cylindre de platine conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) à Sèvre.
La seconde s est la durée correspondant 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium133Cs.
Étalon de durée – Définition de la seconde
C’est sur cet étalon que repose le principe des horloges les plus précises au monde (résolution de l’ordre de 10−16s) : les horloges atomiques (fig.3).
Le mètremest la distance parcourue par la lumière dans le vide en 299 792 4581 s.
Étalon de longueur – Définition du mètre
Cette définition revient à fixer la célérité de la lumière : c = 299 792 458 m·s−1. La définition du mètre résulte alors de celle de la seconde.
2.3.2 Tous les étalons modernes
MPSI – 2021-2022 – JdA D.Malka Dimensions et unités
Figure3 – Une horloge atomique
— La seconde, symbole s, est l’unité de temps du SI. Elle est définie en fixant la valeur numérique de la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé à 9 192 631 770 lorsqu’elle est exprimée en Hz, unité égale à s−1.
— Le mètre, symbole m, est l’unité de longueur du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la célérité de la lumière dans le vide, c, à 299 792 458 lorsqu’elle est exprimée en m/s, la seconde étant définie en fonction de∆νCs.
— Le kilogramme, symbole kg, est l’unité de masse du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la constante de Planck,h, à 6,626 070 15×10−34lorsqu’elle est exprimée enJ.s, unité égale à kg·m2·s−1, le mètre et la seconde étant définis en fonction decet ∆νCs.
— L’ampère, symbole A, est l’unité de courant électrique du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire,e, à 1,602 176 634×10−19 lorsqu’elle est exprimée en C, unité égale à A·s, la seconde étant définie en fonction de∆νCs.
— Le kelvin, symbole K, est l’unité de température thermodynamique du SI. Il est défini en fixant la valeur numérique de la constante de Boltzmann,k, à 1,380 649×10−23lorsqu’elle est exprimée en J·K−1, unité égale à kg·m2·s−2·K−1, le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction deh,cet∆νCs.
— La mole, symbole mol, est l’unité de quantité de matière du SI. Une mole contient exactement
6,022 140 76×1023 entités élémentaires. Ce nombre, appelé « nombre d’Avogadro », correspond à la valeur numérique de la constante d’Avogadro, NA, lorsqu’elle est exprimée en mol−1. La quantité de matière, symbole n, d’un système est une représentation du nombre d’entités élémentaires spécifiées.
Une entité élémentaire peut être un atome, une molécule, un ion, un électron, ou toute autre particule ou groupement spécifié de particules.
— La candela, symbole cd, est l’unité du SI d’intensité lumineuse dans une direction donnée. Elle est définie en fixant la valeur numérique de l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540×1012Hz,Kcd, à 683 lorsqu’elle est exprimée en lm·W−1, unité égale à cd·sr·W−1, ou cd·sr·kg−1·m−2·s3, le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction deh,c et∆νCs. Ces définitions des unités sont certes plus abstraites mais permettent de définir des étalons immuables dans le temps (en supposant que les constantes soient vraiment des constantes !).
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Sur le web
Site du BIPM (tout sur les étalons de mesure, les unités. . .) :http://www.bipm.org/.