D206 - L'étoile porte-bonheur [** à la main]
Dans cette étoile à treize branches, trois droites ou plus ne sont jamais concourantes.
Déterminez la somme des angles (marqués en rouge) des treize sommets et justifiez votre réponse.
Solution par Patrick Gordon
En partant de l'arête noire, pour fixer les idées, on tourne vers la rouge dans le sens
trigonométrique (idem), etc. et on termine par la bleue puis retour à la noire. On a parcouru ainsi un nombre entier k de fois .
Une mesure visuelle sur la figure indique que k = 1.
Bien que l'énoncé ne le demande pas, on peut se demander comment varie k avec le nombre n de sommets.
À l'évidence, pour n = 3 et n = 4 (il n'y a pas d' "étoile"), k = 2.
Pour n = 5, on peut tracer une étoile avec k = 1.
Pour n = 6, on peut tracer un polygone croisé (mais pas étoilé) avec k = 2.
On peut conjecturer que, pour tout n impair, on peut tracer une étoile avec k = 1.
Naturellement, pour n donné, on peut tracer des polygones plus ou moins croisés avec k variable selon la forme.
