Q₁ Démontrer que pour tout entier n ≥ 4, on sait trouver un entier k indépendant de n tel que 3ⁿ peut être représenté sous la forme 3ⁿ = ka² + b² avec a et b entiers distincts de même parité quand n est impair et de parités distinctes quand n est pair. [**]
Q₂ Démontrer que pour tout entier n ≥3, 2ⁿ peut être représenté sous la forme 2ⁿ = 7a² + b² avec a et b entiers impairs. [****]
Q1 :: Il y a plusieurs solutions : 3=2+1 et 32=2*22+1, donc 32p+1=2*(3p)2+(3p)2, qui ne convient pas car a=b, et 32p+2=2*(2*3p)2+(3p)2.
De plus, 34 =81=32+49=2*42+72 donc 32p+4=2*(4*3p)2+(7*3p)2 et
35=243=2*32+152=2*112+1, donc 32p+5=2*(3p+1)2+(5*3p+1)2=2*(11*3p)2+(3p)2.
Q2 : Alors, 2n+3=(7+1)(7a2+b2)=49a2+b2+7(a2+b2)=(7a+b)2+7(a-b)2=(7a-b)2+7(a+b)2, soit : 2n+1=7((a-b)/2)2+((7a+b)/2)2=7((a+b)/2)2+((7a-b)/2)2.
(a+b)/2 et (a-b)/2 sont de parités différentes (leur somme a est impaire) ; (a+b)/2 et (7a-b)/2 d’une part, (a-b)/2 et (7a+b)/2 d’autre part sont de même parité (leur somme 4a est paire) : un seul des deux couples (en valeurs absolues) donne une
solution en entiers positifs impairs au rang n+1 connaissant celle au rang n ; comme pour n=3 23=7*1+1, on obtient la suite des solutions, qui commence ainsi :
n 3 4 5 6 7 8 9 10
a b
1 1 1 3 1 5 7 3
1 3 5 1 11 9 13 31
Cette solution est unique : on peut en effet inverser le raisonnement de récurrence : deux solutions distinctes au rang n+1 donneraient deux solutions distinctes au rang n, etc... Comme la solution 23=7*1+1 est unique, on aboutit à une contradiction.
