A20330. Forcément composé ?
Soienta, b, c des entiers dont la somme est paire.
Montrer quea3+b3+c3−3abcn’est pas un nombre premier.
Solution
Supposons d’abord les trois entiers distincts. Dans l’identité
a3+b3+c3−3abc= ((b−c)2+ (c−a)2+ (a−b)2)(a+b+c)/2, le premier facteur est pair et vaut au moins 6 car une différence est la somme des deux autres. Si la sommea+b+cest paire, l’expression est produit de plusieurs facteurs.
Si deux des entiers sont égaux, par exemple b = a, le troisième est pair c= 2det l’expression = 2(a+d)(a−2d)2 est produit de plusieurs facteurs, ou nulle sia=b=c= 2d.
Remarques.
Plusieurs lecteurs ont trouvé cette solution inutilement compliquée ; établir que la valeur de l’expression est un entier pair leur suffisait pour conclure.
Il faut néanmoins vérifier que cette valeur ne se réduit pas à 2 : l’argument de parité serait le même poura3+b3+c3−25abc, mais serait pris en défaut par le triplet (a, b, c) = (1,2,7).
La factorisation (a+b+c)((a+b+c)2−3(bc+ca+ab)) conduit Gérard Chevée à observer que l’expression est multiple de 9 quand a+b+c est multiple de 3.
