Comment déterminer les éventuels extrema d’une fonction de deux variables ? En général les étapes sont détaillées dans un exercice classique, les voici dans l’ordre habituel :

1) On justifie rapidement que la fonction 𝑓 est de classe 𝐶 sur son ensemble de définition 𝑈 (c’est un ouvert normalement)

2) On calcule les deux dérivées partielles d’ordre 1 𝜕 (𝑓) et 𝜕 (𝑓).

3) On cherche le ou les points critiques en résolvant le système suivant :

∇(𝑓)(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝜕 (𝑓)(𝑥, 𝑦)

𝜕 (𝑓)(𝑥, 𝑦) = 0

0 ⇔ 𝜕 (𝑓)(𝑥, 𝑦) = 0

𝜕 (𝑓)(𝑥, 𝑦) = 0

Les couples solution de ce système sont les points critiques de la fonction.

Remarque importante : 𝑈 étant un ouvert, si 𝑓 admet un extremum M en (𝑥 ; 𝑦 ), alors ce couple (𝑥 ; 𝑦 ) est forcément un point critique de 𝑓.

On a donc l’implication :

𝑓 admet un extremum M en (𝑥 ; 𝑦 ) ∈ 𝑈 ⇒ (𝑥 ; 𝑦 ) est un point critique de 𝑓.

Cette implication a pour contraposée :

𝑓 n’a pas de point critique sur 𝑈 ⇒ 𝑓 n’admet pas d’extremum sur 𝑈.

Conséquence : si le système n’admet pas de solution, 𝑓 n’a pas de point critique et l’étude s’arrête à cette étape. Le calcul des dérivées partielles d’ordre 2 n’a donc pas d’intérêt.

4) On calcule les 4 dérivées partielles d’ordre 2 (ou plutôt 3 car deux d’entre elles sont égales d’après le théorème de Schwartz si les conditions sont remplies)

5) En chaque point critique obtenu à l’étape 3), on écrit la matrice hessienne puis on extrait les valeurs propres de chacune d’elles :

 Si les valeurs propres sont strictement positives, alors 𝑓 admet un minimum local en (𝑥 , 𝑦 ).

 Si les valeurs propres sont strictement négatives, alors 𝑓 admet un maximum local en (𝑥 , 𝑦 ).

 Si les valeurs propres sont non nulles et de signes contraires, alors 𝑓 n’admet pas d’extremum local en (𝑥 , 𝑦 ) : le point (𝑥 , 𝑦 ) est appelé point col ou point selle.

 Si l’une des valeurs propres est nulle, on ne peut rien conclure directement par l’étude de la matrice hessienne (voir point 7)

6) Il est possible que l’énoncé demande si la fonction 𝑓 admet un extremum global.

Plusieurs cas se présentent alors :

 Si 𝑓 admet un point critique mais qu’elle n’admet pas d’extremum local en ce point (la matrice hessienne a deux valeurs propres de signes contraires), alors 𝑓 n’admet pas non plus d’extremum global. C’est le cas de l’exercice 1 du sujet de concours EML 2014 (ex 2 du concours blanc du 25/03).

 Si 𝑓 admet un point critique et un extremum local en ce point, l’énoncé nous guide pour montrer que l’extremum est global : voir les exercices 2, 3 et 5 du TD8 ou encore l’ex 3 d’EDHEC 2015.

 Si 𝑓 admet un point critique et un extremum local en ce point, l’énoncé nous guide pour montrer que l’extremum n’est pas global.

Exemples :

- si 𝑓 admet le nombre −3 pour minimum local, il suffit de montrer qu’il existe au moins un couple (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑈 tel que 𝑓(𝑥 ; 𝑦) < −3.

- Si 𝑓 admet le nombre 4 pour maximum local, il suffit de montrer qu’il existe au moins un couple (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑈 tel que 𝑓(𝑥 ; 𝑦) > 4.

- Il existe un cas étudié dans l’ex 2 de l’épreuve EML 2015 où une étude de limite est menée.

7) Dans le cas où l’une des valeurs propres est nulle, l’énoncé nous guide : voir l’ex1 de l’épreuve EDHEC 2017.