A1737. Fidèles au rendez-vous ***
Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de sommes1<2021 et de plus petit commun multiplep1tels ques1etp1sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termess1=p1?
Q2 Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de sommes2et de plus petit commun multiplep2tels ques2
etp2sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termess2=p2?
Solution de Claude Felloneau
Q1 La réponse est positive.
Les 30 entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 56, 60, 70, 80, 84, 105, 112, 140, 280 et 336 ont pour sommes1=1680 et pour plus petit commun multiplep1=16×3×5×7=1680.
Q2 La réponse est positive.
On cherches2sous la forme 2n×3.
Le nombre de diviseurs des2estd(s2)=2(n+1).
La somme des diviseurs des2estσ(s2)=4¡
2n+1−1¢ . On a
σ(s2)−s2=5×2n−4=3×2n+3×2n−1+¡
2n−1−4¢
=3×2n+3×2n−1+
n−2X
i=2
2i doncσ(s2)−s2est la somme den−1 diviseurs des2.
Ainsis2est la somme 2(n+1)−(n−1)=n+3 diviseurs des2: les entiers 1, 2, 2n−1, 2n, 3, 3×2, 3×22, ..., 3×2n−2dont le ppcm estp2=3×2n=s2.
Il suffit donc de prendren=2018.
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