Q₁ Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s₁ < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s₁ et p₁ sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s₁ = p₁ ?
Q₂ Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme s₂ et de plus petit commun multiple p₂ tels que s₂ et p₂ sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s₂ = p₂ ?
Q1 : En d’autres termes p1 est un nombre abondant ayant strictement plus de trente diviseurs, la somme de 30 d’entre eux étant égale à s1=p1. Le nombre inférieur à 2021 ayant le plus grand nombre de diviseurs est 24*3*5*7=1680, qui en a 5*2*2*2=40 de somme 31*4*6*8=5952. Par tâtonnement, il est facile de trouver que : 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 56, 60, 70, 80, 84, 105, 112, 120, 168, 210 et 240 au nombre de 30, ont pour somme et pour ppcm 1680.
Q2 : Montrons plus généralement que pout tout n≥3, on peut trouver un entier m(n) tel que parmi les diviseurs de m(n), n d’entre eux ont pour somme et pgcd m(n). Montrons par récurrence que l’on peut prendre m(n)=3*2n-2 : pour n=3, on peut prendre m(3)=6, puisque 1+2+3=pgcd(1, 2, 3)=6. De même pour n=4, 1+3+8+12=pgcd(1, 3, 8, 12)=24=m(4).
En multipliant tout par 2, on obtient 2+6+16+24=pgcd(2, 6, 16, 24) ; puis on substitue les termes 1, 3, 4 aux termes 2, 6 sans changer la somme ni le pgcd :
donc 1+3+4+16+24=pgcd(1, 3, 4, 16, 24)=48=m(5)
Il ne reste plus qu’à renouveler le procédé jusqu’à obtenir la valeur de n désirée
