remercier tous les fidèles de site RapideWay.org.

(1)

(2)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 1

Remerciement :

Nous vous présentons ce manuel dans sa première partie, qui comprend des séries des examens de l’année précédente, accompagné par des modèles de solutions rédigées d'une façon simple et bien détaillée.

Ce support sera utile pour les étudiants de 1er année universitaire pour les filières de physique, chimie et mathématique de faculté des sciences, de sciences et technique ou de classe préparatoire aux grandes écoles.

Il contient à la fois mécanique de point, thermodynamique, chimie générale, l'analyse et l'algèbre.

C’est avec un réel plaisir que nous avons effectué ce modeste travail pour que les étudiants : puissent avoir une idée préconçue sur le niveau et le degré de difficulté des examens. Puissent bien assimiler leurs cours. Puissent avoir des supports conçus afin de bien se préparer aux examens, et d’avoir de bonnes notes par la suite.

Nous conseillons les étudiants de bien assimiler leurs cours de chaque matière et aussi de bien travailler les séries de travaux dirigés avant d'aborder la résolution des examens dont le but de bien comprendre les concepts et pour que vous puissiez reconnaitre votre niveau.

Nos remerciements et notre gratitude s’adressent à tous les collègues qui ont participé à la rédaction de tous les documents, merci pour leurs bénédiction efforts, merci à : AARICHE Mohamed Chakib, AQRIM Rahma, AITSAID Abdennacer, AGHOUTANE Bilal, BEN ABOU Mustapha, BELLHAMAMA Loubna, BICHER Mona, CHAFAI Abdelilah, DAMIR Abdelilah, HARRATI Youssef, HYHY Yassine, ELADRAOUI Elalami, ELBAHI Ilham, ELFERNANE Abderrazzak, ELGUAMRANI Yassine, EL HAFFAD Imane ELMOTIAA Ismail, ERRABOULI Marouane , EZZOUHIR Younes, LEGHFOUR Zakaria, LEMSAOUI Younes, SAKTINE Jalal Eddine, TAZROURATE Mohcine, ZAGMOUZI Amina, ZAGMOUZI Soumaya et d'autres qu’on n'a pas mentionné leurs noms merci

Nous tenons à remercier tous les amis qui ont contribué de loin ou de proche

avec leurs encouragement pour la sortie de ce modeste effort sans oublier de

remercier tous les fidèles de site RapideWay.org.

(3)

Très important :

Si vous souhaitez nous écrire, On

vous

propose les adresses suivantes : Notre adresse électronique : rapideway@gmail.com.

Notre site web www.rapideway.org

Notre page Facebook. www.facebook.com/rapideway

En particulier, nous remercions chaleureusement tous ceux d'entre vous qui prennent la peine de nous signaler les petites erreurs qu'ils trouvent dans nos documents.

Nous autorisons quiconque le souhait à placer sur son site un lien vers nos documents, mais on n'autorise personne à les héberger directement. On interdit par ailleurs toute utilisation commerciale de nos documents toute modification ou reproduction sans notre accord.

(4)

Sommaire :

Remerciement : 1

Très important : 2

Sommaire : 3

Mécanique du point matériel : 6

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 6

Exercice 1 : 6

Exercice 2 : 6

Exercice 3 : 6

Corrigés Contrôle N :1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM: 8

Exercice 1 : 8

Exercice 2 : 8

Exercice 2 : 9

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: 12

Exercice1 12

Exercice 2 12

Corrigé du contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: 14

Exercice 1 : 14

Exercice 2 : 14

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM 18

Exercice :1 18

Exercice :2 18

Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM : 20

Exercice : 1 20

Exercice : 2 22

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 24

Exercices 1 : 24

Exercice 2 : 24

Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM 26

Exercices 1 : 26

Exercice 2 : 28

Thermodynamique : 31

(5)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 4 Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 31

Questions de cours : 31

Exercice 1 : 31

Exercice 2: 31

Corrigé de contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 33

Question de cours 33

Exercice 1 33

Exercice 2 : 35

Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM: 38

Questions de cours 38

Exercice : 38

Corrigé du contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM: 40

Question Cours : 40

Exercice 2 : 40

Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM: 44

Question de cours : 44

Problème : 44

Corrigé du contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM: 45

Question de Cours : 45

Problème : 46

Algèbre 1 : 50

Contrôle N : 1 Algèbre Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 50

Exercices 1 : 50

Exercice 2 : 50

Exercices 3 : 50

Corrigé de Contrôle N : 1 Algèbre Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 51

Exercices 1 : 51

Exercices 2 : 52

Exercices 3 : 53

Chimie générale 1 : 54

Contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC 2007-2008 FSSM : 54

Problème I 54

Problème II : 54

Corrigé du contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC 2007-2008 FSSM : 56

(6)

Problème I : 56

Problème II 58

Contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC/SMA 2008-2009 FSSM : 62

Exercice 1 : 62

Exercice 2 : 62

Exercice 3 : 63

Corrigé du contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC/SMA 2008-2009 FSSM : 64

Exercice 1 : 64

Exercice 2 : 64

Exercice 3 : 66

Série des exercices de l’atomistique en Chimie générale 69

Exercice 1 69

Exercice 2 69

Exercice 3 69

Exercice 4 70

Corrigé de la série des exercices de l’atomistique en Chimie générale 71

Exercice 1 71

Exercice 2 73

(7)

Mécanique du point matériel :

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM :

Exercice 1 :

On considère un point matériel M se déplaçant dans un référentiel muni de la base ⃗ ⃗ ⃗⃗ Les coordonnées du point M dans R sont données par :

, (t étant le temps).

a) Donner l’équation de la trajectoire de M dans R .En déduire sa nature ; b) Calculer la vitesse ⃗⃗⃗ et l’accélération ⃗ du point M.

Exercice 2 :

On considère une courbe (C) sur laquelle se déplace un point matériel M d’abscisse curviligne s(t).La vitesse du point M dans R(O,xyz) est ⃗⃗⃗ de module

. On défini la base locale(ou base de Frenet) ( ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗).telle que ⃗⃗⃗ ⃗.

a) Que désigne les vecteurs ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗.

b) Montrer que l’accélération du point M est donnée par :

⃗

⃗ ⃗⃗ ; r étant le rayon de courbure de la trajectoire (C) au point M.

c) Exprimer r en fonction de ⃗⃗⃗ ⃗ . Exercice 3 :

On considère la base ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) attachée à un référentiel absolu R(O,xyz) et la base ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗) lié à un référentiel R1(O,x1y1z1).Un point M est assujetti à se déplacer sur un tige(T1). La tige (T1) est solidaire en O1 avec une tige (T) en rotation autour de l’axe (Oz) d’angle (t) , (voir figure). La tige (T1) est située dans le plan vertical ( ⃗⃗ ⃗⃗). Le point O1 est repéré par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ et le point M est repéré sur la tige (T1) par

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ).Le vecteur ⃗⃗ fait un angle α constant avec le vecteur ⃗⃗

N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

I. Etude de la cinématique de M par calcul direct : a) Vérifier que la vitesse de rotation ⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗.

b) Exprimer ⃗⃗ en fonction de ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗ et l’angle α.

c) Donner l’expression du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d) Déterminer la vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗ . e) Déterminer l’accélération absolue de M, ⃗ .

II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement

(8)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 7 x1

Z

X

y (T1)

y1

O1

O

𝑒⃗_𝜌 𝑒⃗_𝜑

𝑖⃗

𝑗⃗

𝑘⃗⃗

𝛼 𝑢⃗⃗

(T)

Figure 𝜑 M

a) Déterminer la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗ . b) Déterminer la vitesse d’entrainement de M, ⃗⃗⃗ . c) En déduire la vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗ . d) Déterminer l’accélération relative de M, ⃗ . e) Déterminer l’accélération d’entrainement de M , ⃗ . f) Déterminer l’accélération de Coriolis de M , ⃗ . g) En déduire l’accélération absolue de M, ⃗⃗ .

(9)

−

𝑡→±∞lim 𝑦 𝑡 ∞ 𝑦^′ 𝑡 → 𝑥 𝑡 −

𝑛⃗⃗ 𝑏⃗⃗

𝜏⃗

𝑉⃗⃗

𝑀

Corrigés Contrôle N :1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM:

Exercice 1 :

a) Soit un point matériel M de coordonnées

et z(t)=0 (3).

L’équitation de la trajectoire de M dans R − on remplace dans l’équitation – .

Donc la trajectoire décrit par le point M est un Parabole.

b) Calculons : la vitesse ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | [ ⃗⃗ ( ) ⃗]

| ⃗ ⃗

Alors : ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ^⃗

| ^⃗

| ^⃗⃗⃗

| L’accélération ⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗

| ⃗ ⃗

| ⃗ ⃗⃗ ⃗ Exercice 2 :

a) ⃗⃗ : Vecteur unitaire tangent en M, elle a le même sens du mouvement.

⃗⃗ : Vecteur unitaire à ⃗ dirigé vers le centre de courbure.

⃗⃗ : Vecteur unitaire au plan qui contient les deux vecteurs ⃗ et ⃗⃗ . b) Montrons que ⃗ ⃗ ⃗⃗ (avec r le rayon de courbure).

On a ⃗⃗⃗ ⃗⃗ l ⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗ ^⃗⃗| ⃗⃗

| ⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗ ⁄ ⃗⃗

( ⃗⃗

⃗⃗ |

) ⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗

| ⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗ ( ) ⃗⃗

⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗ ⃗⃗

c) R en fonction de ⃗⃗⃗ et ⃗

⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ⁄ ⃗ ( | ⃗) ( ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗‖ )

‖ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ⁄ ‖

(10)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 9 ⃗

⃗

⃗⃗ρ

⃗⃗φ

φ φ

⃗⃗_ρ= φ ⃗ i φ ⃗ ⃗⃗φ i φ ⃗ φ ⃗ φ

| φ

φ φ

−𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜑̇

⃗⃗ρ

⃗⃗

α

Exercice 2 :

R(O,x,y,z) ⃗ ⃗ ⃗⃗) Référentiel absolu et R1(O,x1y1z1). ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗) Référentiel relatif.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗̂ ⃗⃗̂ . )

⃗

| ^⃗| ^⃗⃗⃗| ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) ^⃗⃗|

⃗⃗

|

⃗⃗⃗

|

( ⃗ ⃗ ⃗⃗)

Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗(

I. Etude de la cinématique de M par calcul direct

a) La vitesse de rotation ⃗⃗⃗ ⁄ En effet : ^⃗⃗| ^⃗⃗

|

⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗

⃗ i ⃗

| ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗

⃗ i ⃗

| ̇ − i ⃗ ⃗ ̇ ⃗⃗

⃗ i ⃗

| ̇ ⃗⃗ ⃗⃗

l ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗

b) L’expression de ⃗⃗ en fonction de ⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗⃗ α ⃗⃗ ⃗⃗ i ⃗⃗⃗

c) L’expression de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ i ⃗⃗⃗) Alors : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

a) La vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗

On a : ⃗⃗⃗ ⁄ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| ⁽⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

| ⁽ ^⃗⃗ ^{⃗⃗⃗⃗)}| ⃗⃗⃗ i

⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗

| ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(11)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 10 b) L’accélération absolue de M :

⃗⃗ ^⃗⃗⃗ | ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| ^{( ̇}⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗)

|

| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ (− ⃗⃗⃗⃗⃗) ( ̈ ̇ ) − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗

| − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗ Donc : ⃗⃗ {

̈ − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

̈ ̇ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement

a) la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | l^′ i i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| ( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⁄ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗ ) b) vitesse d’entrainement de M ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁽^{⃗⃗⃗⃗⃗)}| ̇ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗)

⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

c) La vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗ ) ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗

d) L’accélération relative de M, ⃗ ⁄

[ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ) ] ⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄

| [ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗ )]

| ⃗⃗

e) L’accélération d’entrainement de M , ⃗

A B C

(12)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 11 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ [ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| ( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗) [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| [ ̈ − ̇ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̇ ̇ ̈] ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ⃗⃗) ( ( ⃗⃗ i ⃗⃗⃗)) ^⃗⃗⃗ ^⁄

| ^{( ̇}^⃗⃗⃗)

| ̈ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ⃗⃗) ( ( ⃗⃗ )) ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⁄ [ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ( ̇ ⃗⃗) [( ̇ ⃗⃗) ( ( ⃗⃗ i ⃗⃗⃗))]

( ̇ ⃗⃗) [ ̇ ⃗⃗ ]

− ̇ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗

⃗⃗ [ ̈ − ̇ [ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( ) ̇ ̇ ] ⃗⃗⃗⃗⃗

f) L’accélération de Coriolis : ⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ l i l i ⃗⃗ ( ̇ ⃗⃗) [ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗ )] ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

g) L’accélération absolue de M, ⃗ ⁄ ⃗⃗ ⁄ ⃗⃗ ⁄ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ [ ̈ − ̇ [ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( ) ̇ ̇ ] ⃗⃗⃗⃗⃗

̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

D’où : ⃗⃗ ⁄ {

[ ̈ − ̇ [ ]]

̈( ) ̇ ̇

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

Il ne faut pas beaucoup d'esprit pour ce qu'on soit mais il en faut infiniment pour enseigner ce qu'on ignore

Montesquieu

(13)

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM:

Toute les bases considérées sont orthonormées directes Exercice1

Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) sont données en fonction du temps par : − −

Dans un deuxième référentiel ( , ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗), elles ont pour expression :

(t)= +t=2 (t)=-2 +5 (t)=3 -7

1) Déterminer les expressions des vitesses ⃗⃗ ⁄ et ⃗⃗ ⁄ 2) Exprimer la vitesse ⃗⃗⃗ ⁄ en fonction de la vitesse ⃗⃗⃗ ⁄ 3) Exprimer l’accélération ⃗⃗( ⁄ ) en fonction de l’accélération ⃗⃗( ⁄ )

4) Quelle est la nature du mouvement du référentiel par rapport au référentiel ? 5) Supposons galiléen. est-il aussi galiléen ? Justifier votre réponse.

Exercice 2

Soient R( ⃗ ⃗ ⃗⃗)un référentiel fixe et ( ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗) un référentiel mobile tel que : ⃗⃗ ⁄ =at ⃗⃗⃗ où a est une constante positive.

Soit ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗) un deuxième référentiel, lié à une particule mobile M (point matériel) et tel que :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=l ⃗⃗⃗⃗ où l est une constante positive et l’angle ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗)= (voir figure)

Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) A. Considérer ( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗) comme référentiel absolu et ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) comme référentiel

relatif

1) Quelle est la nature de la trajectoire de M dans ? (sans faire de calcul) 2) Déterminer l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗( ⁄ )

3) déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗⃗ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗ . En déduire la vitesse absolue ⃗⃗⃗ .

4) Quelle est la nature du mouvement de par rapport à R ?

5) Déterminer l’expression des vecteurs accélérations relatives ⃗ ⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M).En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗

B. Considérer R( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗)comme référentiel absolu et ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) comme référentiel relatif

1) Donner l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗ ⁄ .En déduire le vecteur rotation

⃗⃗⃗ ⁄

2) Déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗ ⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗ . En déduire la vitesse absolue ⃗⃗ ⁄

(14)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 13 3) Déterminer l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗ ⁄ , d’entrainement

⃗⃗⃗⃗(M) et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M)

4) Comparer les expressions de la vitesse absolue ⃗⃗(M/R) déterminé dans les équations A-3 et B-2

5) Comparer les expressions de l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) déterminées dans les equation A-5 et B-3

𝐽⃗

𝑘⃗⃗ 𝑖⃗

𝑖⃗

𝑗⃗

𝑒⃗_𝜑 𝑒⃗_𝜌

𝑂 𝑂

𝑀

(15)

Corrigé du contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM:

Exercice 1 :

Soit{

− −

;{

− − 1) Les expressions des vitesses ⃗⃗ ⁄ et ⃗⃗ ⁄ L’expression de la vitesse ⃗⃗(M/ )

⃗⃗(M/ ) =

⁄ (( − ⃗ − ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗(M/ ) =(2t -4) ⃗ -8 ⃗ +6t ⃗⃗

L’expression de ⃗⃗(M/ )

⃗⃗(M/ ) =^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | = ⃗⃗⃗( ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗)

| ⃗ − ⃗ ⃗⃗

2) ⃗⃗⃗(M/ ) en fonction de la vitesse ⃗⃗(M/ )

On a ⃗⃗(M/ ) = (2t -4) ⃗ -8 ⃗ +6t ⃗⃗=(2t +1) ⃗ -5 ⃗-8 ⃗ +6t ⃗⃗ ⃗⃗(M/ ) = ⃗⃗(M/ ) -5 ⃗ 3) ⃗ (M/ ) en fonction de ⃗ (M/ )

⃗ (M/ ) = ^⃗⃗⃗^⁄ / = ( ⃗⃗(M / )-5 ⃗) ⃗ (M/ ) = ⃗ (M/ ) + ⃗⃗ (^⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗^⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗ (M/ )= ⃗(M/ ) Où bien : On a ⃗⃗(M/ ) = (2t -4 ) ⃗ – 8 ⃗ +6 t ⃗⃗ et ⃗⃗(M/ ) = ( 2t + 1) ⃗ -8

⃗ + 6t ⃗⃗

⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄

| = 2 ⃗ – 24 ⃗ + 6 ⃗⃗ et ⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄

| = 2 ⃗ – 24 ⃗ + 6 ⃗⃗

Finalement ⃗(M/ ) = ⃗(M/ )

4) La nature du mouvement du par rapport à On a ⃗⃗⃗ ⁄ = ⃗⃗ translation ⃗⃗( ⁄ - ⃗⃗( ⁄ = -5 ⃗ Rectiligne ⃗(M/ ) = ⃗(M/ ) Uniform est en translation rectiligne uniforme

5) Si est galiléen alors est aussi galiléen

6) Car est en translation réctiligne uniforme par rapport à . Exercice 2 :

R (O, ⃗ ⃗ ⃗⃗ Référentiel fixe ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Référentiel mobile ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Référentiel

lié à M.

⃗⃗ ( = at ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ avec: et ( ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ) = (t) A. R (O, ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ référentiel absolu et ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ relatif.

(16)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 15 𝜑

𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑖⃗

𝜑

𝑗⃗

𝑖⃗

𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑒⃗⃗⃗⃗⃗ − i 𝜑𝑖⃗ 𝜑𝑗⃗_𝜑 𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗ 𝜑 𝑖⃗ i 𝜑𝑗⃗

La nature de la trajectoire de M dans ⃗⃗⃗⃗⃗

On a ║ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗║ = l = cste Donc dans la trajectoire de M est circulaire de centre 1) l’expression du ⃗⃗⃗ ⁄ )

Le référentiel ne fait aucune rotation par rapport à R alors : ⃗⃗⃗ ⁄ ) = ⃗⃗

2) Expressions des vitesses relative et d’entrainement Vitesse relative ⃗⃗

⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| =^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

| = ^{⃗⃗⃗⃗⃗}

| =

| = ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ = ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

Vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ =^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ =at ⃗=at( i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Vitesse absolue ⃗⃗⃗(M/

⃗⃗⃗(M/ = ⃗⃗⃗(M/ + ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3) On a ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗

translation

⃗⃗ = at ⃗ réctiligne

4) L’accélération relative ⃗ ⃗ ( )= ^⃗⃗⃗(⁾

| =^{( ̇}^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )}| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ – (

) ⃗⃗⃗⃗ Avec ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

= ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗} × = - ̇ ⃗⃗⃗⃗

⃗ =− ̇ ⃗⃗⃗⃗ +

⃗⃗⃗⃗⃗

L’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ | ^⃗⃗⃗|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗(M) = = ^⃗

| = a ⃗ =a ( i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(M) = a i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

L’accélération de Coriolis (

⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(17)

Edition : 2012

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 16 𝜑

𝜑

𝑗⃗

𝑖⃗

𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗ 𝜑 𝑖⃗ i 𝜑𝑗⃗

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗ − i 𝜑𝑖⃗ 𝜑𝑗⃗

L’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗(M) + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ - ̇ ⃗⃗⃗⃗+ a i ⃗⃗⃗⃗ + a ⃗⃗⃗⃗⃗

B. R (O, ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ comme referential absolu et comme relatif.

1) L’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

| = ^{⃗⃗⃗⃗⃗}| ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗ i ⃗

| ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

^{⃗⃗⃗⃗⃗}

| ⃗⃗

̇ ( - i ⃗ + ⃗)= ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗

̇ ⃗⃗⃗⃗⃗= ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗

L’expression de ⃗⃗⃗

On a ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗

2) l’expression de la vitesse relative ⃗⃗ ⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗ . En déduire la vitesse absolue ⃗⃗ ⁄

Vitesse relative ⃗⃗⃗

⃗⃗ = ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} | = ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| = ⃗⃗ ⃗⃗⃗( M/ = ⃗⃗

Vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗(M) ⃗⃗⃗⃗(M)=^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

| + ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗(M)= = at ⃗+ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗=at( i ⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗+ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

Vitesse absolue ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )+ ⃗⃗⃗⃗⃗(M)= ⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗(M)

⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( a i - ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ( ̈ + a ⃗⃗⃗⃗⃗

(18)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 17 3) l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗ ⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M)

et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) Accélération relative : ⃗⃗⃗

⃗ ^⃗⃗⃗ | = ⃗⃗

Accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗ (M)

⃗⃗⃗⃗ (M) = ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

| + ^⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) Or: ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| = ( i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ = − ̇ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (M) = (a i − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ + (a ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗

L’accélération de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M)

⃗⃗⃗⃗(M) =2 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗

-L’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M)

⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗(M/ ) + ⃗⃗⃗⃗(M) + ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗(M)+ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗⃗⃗(M) 4) Les expressions des vitesses absolues obtenues en A-3 et 8-2 sont identiques 5) Les expressions de l’accélération absolue obtenue en A-5 et B-3 sont identiques le

calcul de l’accélération est indépendant de choix de référentiel

(19)

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM

Toutes les bases considérées dans les exercices sont orthonormées directes Exercice :1

Soient un référentiel absolus fixe et référentiel relatif en mouvement de rotation de vitesse angulaire ̇ par rapport à

Un point M décrit un mouvement circulaire dans auteur de l’axe . M est repéré par ses coordonnées cylindriques (voir figure 1).

On pose : et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où a et b sont des constantes.

1) Rappeler les lois de composition des vitesses et des accélérations?

2) Déterminer dans la base orthonormée directe ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗) a) Le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b) Le vecteur rotation de par rapport à c) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗

d) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗ . e) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗

f) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗

g) vecteur accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗

h) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗

i) Le vecteur accélération absolue ⃗⃗⃗⃗

Exercice :2

Un point matériel M de masse m est en mouvement sans frottement sur le plan horizontal XOY d’un référentiel galiléen R(OXYZ). Un opérateur exerce une force de module F dirigée constamment vers le point O.

M est repéré par ses coordonnées (voir figure 2).

1) Représenter sur un schéma les forces appliquées à M

2) Appliquer le PFD dans le référentiel R et en déduire les deux équations suivantes:

{

(

− (

) )

3)

a) En utilisant l’équation (2) montrer que

où A est constante.

b) Sachant que les conditions initiales à l’instant sont les suivantes :

, ̇ ̇ , et ̇ ̇ (le point sur les grandeurs indique ) en déduire que ̇

(20)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 19 4) On suppose ̇ nulle, ̇ nulle et F constant.

a) Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M.

b) Calculer le temps t1 qu’il faut à M pour arriver au point O.

5) On suppose ̇ nulle, ̇ non nulle et la force F nulle. Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M.

(21)

Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM :

Exercice : 1

Soit Un référentiel absolu Et Un référentiel relatif

| ̇ , et 1) Les lois de compositions des vitesses:

⃗⃗ ( ⁄ ) ⃗⃗( ⁄ ) ⃗⃗⃗⃗ Avec ⃗⃗( ⁄ ) ^→ | où O origine de R

⃗⃗⃗⃗ ^→ | ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Les lois de compositions des accélérations:

⃗ ( ⁄ ) ⃗( ⁄ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ avec ⃗( ⁄ ) ^→ |

⃗⃗⃗⃗ ^→ | ^⃗⃗⃗^⁄ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗ ⁄ où ⃗⃗ ⁄ est la vitesse relative 2) Déterminons dans la base orthonormée directe ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) c) Le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (relation de shale) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

d) Le vecteur rotation ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗

| ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ⃗ | ⃗ : fixe dans R donc ^⃗

| ⃗⃗ avec ⃗ ⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗

⃗⃗⃗⃗ i

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ − i ̇ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ̇ − i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗

̇ ⃗ ⃗⃗⃗ ̇ ⁄ ⃗ ̇( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ( ̇ ⃗⃗) ⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ Finalement on trouve ⃗⃗⃗ ⁄ ̇ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗) : Référentiel absolu ( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗) : Référentiel relatif

Figure : 1 Figure : 2

(22)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 21 3) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⁄ ^→|

⁄ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) Puisque : et ^⃗⃗

| ⃗⃗ ⃗⃗

Alors ⃗⃗⃗⃗

⁄ ( ⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗ finalement ⃗⃗⃗⃗⃗

̇⃗⃗⃗⃗⃗

a) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ^→

| ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Puisque le piont O fixe dans le Repére et de plus ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Alors

→ | ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗+ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Alors ⃗⃗⃗⃗⃗

^̇^{⃗⃗⃗⃗⃗}

b) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗

On a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗

c) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗

|

( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗)|

̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

Finalement ⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗)

d) Vecteur d’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ →

| ⃗⃗⃗ ⁄

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) ̇ ⃗⃗ ( ̇ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗)) ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗

e) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗

On a ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ − ̇̇ ⃗⃗⃗⃗

Vecteur d’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗) − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ̇̇ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ − ( ̇ ̇ ̇̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈) ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ − ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈) ⃗⃗⃗⃗⃗

(23)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 22 𝐹⃗ 𝑀

𝑃⃗⃗

𝑅_𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

Plan

(ZOM)

Exercice : 2

est un référentiel galiléen et M en mouvement sans frottement sur le plan (XOY) alors les deux composantes et sont nuls (

1) Représentation graphique : sur le plan (ZOM) la réaction : ⃗⃗ ⃗⃗

la force : ⃗ − ⃗⃗⃗⃗

le poids : ⃗⃗ − ⃗⃗

2) On applique le PFD dans le référentiel R

⃗ ∑ ⃗ ⃗ − ⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗ − ⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗

Avec ⃗⃗⃗ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| ⁽^{⃗⃗⃗⃗⃗)}|

( ⃗⃗⃗⃗⃗)

|

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⁽^{⃗⃗⃗⃗⃗)}

|

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ − () ⃗⃗⃗⃗

⃗ [

− (

) ] ⃗⃗⃗⃗ [

] ⃗⃗⃗⃗⃗

[

− (

) ] ⃗⃗⃗⃗ [

] ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗

(

− ( )

)_{⃗⃗⃗⃗⃗}_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗}_⃗⃗⃗ (

−

− )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

la projection sur ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ { [

− (

) ] ⃗⃗⃗⃗ [

] ⃗⃗⃗⃗⃗} ⃗⃗⃗⃗⃗ {− ⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗}

− [

− ( ) ] la projection sur ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ { [

− (

) ] ⃗⃗⃗⃗ [

] ⃗⃗⃗⃗⃗} ⃗⃗⃗⃗⃗ {− ⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗}

[

]

(24)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 23 3)

a) Montrons que Première méthode :

On a

équation(3)

Équation

̇ ̇ Donc (

) ∫ ((

) )

Deuxième méthode

On a ( ) b) en déduire que ̇

̇

: ̇ ̇ Donc ̇ 4) On suppose ̇ nulle, ̇ nulle et F constant.

̇ ̇

̇

On remplace dans on trouve − −

− ⌊ ̇ ⌋ −

(25)

Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM :

Toutes les bases considérées sont orthonormées directes Exercices 1 :

Soit ⃗ ⃗ ⃗⃗ (ou un référentiel

Soit un point matériel se déplacant dans le référentiel le long d’une courbe d’équations p aramétriques :

Où L’unité de longueur est le centimètre.

1) Exprimer dans la base ⃗ ⃗ ⃗⃗ : le vecteurposition ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,le vecteur vitesse ⃗⃗

et le vecteur accélération ⃗ .

2) Calculer les normes ‖ ⃗⃗ ‖ et ‖ ⃗ ‖.

3) Exprimer, dans la base ⃗ ⃗ ⃗⃗ , les vecteus ⃗ et ⃗⃗ de la base de Frenet.

4) Calculer le rayon de courbure . Exercice 2 :

Un anneau assimilé à un point matériel M de masse m coulisse sans frottement sur un axe L’axe est horizontal et en rotation à vitesse angulaire constant autour d’un axe vertical .Soit ⃗ ⃗ ⃗⃗ le référentiel du labaratoire supposé galiléen et soit ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ le référentiel lié à l’axe est repéré par ses coordonnées polaire et .(Voir figures)

Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la se ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

C. Etude dans le référentiel

1) Quelles sont les forces appliquées à dans le référentiel ? 2) Ecrire chacune de ces forces dans la base ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .

3) Calculer ⃗ ; vecteur accélération de par rapport au référentiel 4) Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel . 5) Par projection du suivant ⃗ déduire l’équation différentielle du

mouvement.

D. Etude dans le référentiel R :

1) Calculer ⃗ ; vecteur accélération de par rapport au référentiel 2) Ecrire, sous forme vectorielle, le principe fondamental de la dynamique

dans le référentiel .

(26)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 25 𝜑 𝜔𝑡

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑒_𝜌

⃗⃗⃗⃗

𝜔𝑡 𝑘⃗⃗

𝑋

𝑍

𝑌

𝑀

𝑂 𝑒⃗⃗⃗⃗⃗_𝜑

𝜔𝑡 𝑗⃗

𝑂 𝑋 𝑌

𝜑 𝜔𝑡 𝑀

𝑖⃗

𝑒_𝜑

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑘⃗⃗

3) En déduire l’équation différentielle du mouvement.

(27)

Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM

Exercices 1 :

Soit ⃗ ⃗ ⃗⃗ un référentiel

1) Vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ i ⃗ ⃗⃗

Vecteur vitesse ⃗⃗ : ⃗⃗ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

| ⃗ ⃗ ⃗⃗

|

i ⃗ ⃗ ⃗⃗

On a ^⃗| ^⃗| ^⃗⃗| ⃗ ⃗ ⃗⃗

Vecteur accélération ⃗ ⁄ : ⃗ ⁄ ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}| =^⃗⃗⃗^⁄

| ⃗ ⃗ ⃗⃗

|

Alors : ⃗ ⁄ − ⃗ ⃗ 2) Les normes ‖ ⃗⃗ ⁄ ‖ ‖ ⃗ ⁄ ‖ :

‖ ⃗⃗ ⁄ ‖ √ i ( ) √ i

√ = √

‖ ⃗⃗ ⁄ ‖ √ A.N : ‖ ⃗⃗⃗ ‖

‖ ⃗ ⁄ ‖ √ √ i

‖ ⃗ ⁄ ‖ √ A.N :

3) les vecteus ⃗ et ⃗⃗ de la base de Frenet Vecteur tangentiel ⃗ :

⃗ ⃗⃗ ( )

‖ ⃗⃗ ⁄ ‖

i ⃗ ⃗ ⃗⃗

√ ⃗

√ ⃗⃗

Vecteur normal ⃗⃗

(28)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 27 On a : ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ trièdre direct ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( )

(

−

√

√ )

(

√

√ ) Alors : ⃗⃗

√ ⃗ ⃗ 4) Le rayon de courbure

Méthode 1

On a le rayon de courbure définie par : ^{‖ ⃗⃗⃗‖}

‖ ⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗ ⁄ ‖

2 3

2 3 2 2 3 2

0,3 cos 0,3 sin 0,1 0,3

( / ) ( / ) 0,3 sin 0,3 cos 0,1 0,3 cos

0 0,1 (0,3) cos (0,3) sin

t t

M R V M R t t t

t t

    

      

    

      

     

      

 

  

     

   

Méthode 2 :

On a

2

( / )

( )

n

c

V M R

M R





On a : (M /R) 0,3²cost i 0,3²sint j

(

M

/

R

)

_

(

M

)

_n

(

M

)













  

_  _nn Donc :



_n  n

 (

M

/

R

)

Avec

0,3

(cos sin )

0,1

n 



t i 



t j

2 2

0, 3 cos

0,1 0, 3 cos

( / ) 0, 3 sin 0, 3 sin

0,1 0

0

n

t

n M R t t



 

    

 

 

   

   

      

   

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

(0, 3) (0, 3) (0, 3) (0, 3)

cos sin (cos sin )

0,1 0,1 0,1 0,1

1

n  t  t  t t 

         

2 2

(0,3)

n 0,1

  

(29)

www.rapideway.org DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 28 Et

2 2

( / ) 0,1 ( / ) 0,1

V M R 



 V M R 



 

2

( / )

c

n

V M R

R ^



⁼ ²

2

0,1 0,1

0,3



 

√ Exercice 2 :

Un point matériel de masse m

Coulisse sans frottement sur O _R ₀

  ( , , , )

R O i j k le référentiel du laboratoire supposé Galiléen

1

( , , , )

R O e e_ _ k le référentiel lié à l’axe (O) OM 



e_

Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base(e,e, )k E. Etude dans le référentiel R₁ :

1) Les forces appliquées à M dans R₁sont : Le poids P

Frottement R

Les forces d’inertieFic,Fie

2) Les expressions des forces dans la base ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . On a : P m g  mg k

Frottement : R R e_{ } R e_{ } R k_z

Comme le point matériel M coulisse sans frottement sur et le vecteur directeur de est ⃗⃗⃗⃗⃗ donc la composante de ⃗⃗⃗⃗suivant ⃗⃗⃗⃗⃗ est nul )

R R e_{ } R k_z

forces d’inertie

Force de Coriolis F^ic

On a Fic  m



c

(

M

)

avec



_c

(

M

)

 

2 (

R₁

/

R

)

V M

( /

R₁

)

On a  k k (car  t   ) et OM 



e_

(30)

1 1 1

( /

1

)

R R R

d e d e

V M R d OM e

dt dt dt

 



  

   

( /

1

)

V M R



e_

 

Donc Fic  m

( 

k

)



( 

e_

)

 m



e_

(Car

k e_ e_

)

F

ic

  m  e

_

Force d’entrainement Fie:

On a : Fie  m



e

(

M

)

Avec

(

¹

/ )

( ) ( )

e

R R

d R R

M d OO OM OM

dt dt



  ^      

(

R R

/

1

) 

k

   ₍ _/ ₁₎

R

d R R

dt

 et 0

R

d OO dt 

:

Alors Fie  m k (k e)=m k (e) (car(k e) e₎ ie 2

F   m   e



3) Le principe fondamentale de la dynamique dans

R

¹

:

( /

1

)

ic ie

m



M R   P R F F Avec

1 1 1

2 2

1 2 2

( )

( / ) ( )

R R

R

d OM d e d

M R e

dt dt dt

 



 







( M / R

1

) e



  

(

1

0

R

d e dt

  Car e est fixe dansR₁)

 m e



  mg k R e  R k_z m



e m

 

² e

 m e



 m

 

² e 

(

R m

 )

e 

(

R_z mg k

)

   

2

, , , ,

0 ( )

0 ( _z ) _e _e _k

e e k

m e m

R m

R mg

 





  



   

    

   

    

 

4)

La projection du PFD suivant e :

( /

1

) (

ic ie

)

m



M R e P R F F

e ^m ² e (R m)e (R_z mg k) ^ m

 

² ee 

(

R m

 )

e e 

(

R_z mg e

)

k



   

2

, , , ,

0 ( )

0 ( _z ) _e _e _k

e e k

m e m

R m

R mg

 





  



   

    

   

    

 

0 (car

e

est fixe dans

R₁

)

Origine de R₁

R

0 0