II Probabilités conditionnelles
Introduction : Soit un bocal contenant 3 boules jaunes, 2 boules rouges, 1 boule bleue. On en tire une, puis une autre, sans remettre la première dans le bocal. Soit A : ”La première boule tirée est jaune” Soit B : ”La deuxième boule tirée est jaune”.
Sur 6 boules, il y a 3 boules jaunes, donc p(A) = 36 = 0.5. Si je ne sais rien du premier tirage, p(B) = 36 = 0.5 également : chacune des 6 boules a autant de chance d’être tirée au deuxième tour.
Si maintenanton saitque l’événement A a été réalisé, c’est-à-dire qu’une boule jaune a été tirée au premier tour, la probabilité de B s’en trouve modifiée :on saitqu’une boule jaune est en dehors du bocal. Il ne reste donc plus que 5 boules dont 2 jaunes : la probabilité de B sachant queA a été réalisé est de 25 = 0.4 au lieu de 0.5 quand on ne savait rien du premier tirage. On note :pA(B) = 0.4oùpA(B)se lit ”probabilité de B sachant A”. C’est laprobabilité conditionnelle de B sachant A.
1. definition
Considérons une épreuve aléatoire d’univers Ωet un événement B tel quep(B)6= 0.
Définition La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA(B), est le nombre pA(B) = p(A∩B)p(A) .
Remarque :
– Comme toute probabilité,pA(B)est un nombre compris entre 0 et 1.
– Pour retenir la formule, notez que : ”la même lettre (le A ici) est en bas des deux côtés de l’égalité”...
– Cette formule est utilisée pour calculer une probabilité conditionnellepA(B), si l’on connaît préalable- mentp(A) etp(A∩B).
– pB(A) = p(A∩B)p(B) et différent de pA(B).
2. Réciproque : trouver p(A∩B) connaissant pA(B) pA(B) = p(A∩B)p(A) donc p(A∩B) =p(A)pA(B).
Proposition p(A∩B) =p(A)pA(B)
Remarque :
– Cette formule est utilisée pour calculer p(A∩B) lorsqu’on connaît déjàpA(B) etp(A) (ou pB(A) et p(B)).
3. exercices
• Pour apprendre à traduire des données en pourcentage en terme de probabilités et de probabilités conditionnelle : exercices 26 et 28 p. 108 (et ensuite à utiliser la formule des probabilités conditionnelles).
• Pour apprendre à manier les probabilités conditionnelles dans le cas d’un tableau à double entrée (et en particulier à faire la différence entrep(A∩B)etpA(B)) : exercices 31 p108, DS3 exo 3, DM2 exo 3.
III Indépendance de deux événements
Introduction : On lance un dé à 6 faces, et on observe les événements : A=”on obtient un chiffre impair”
B=”on obtient un multiple de 3 ”.
Est-ce que le fait desavoirque A est réalisé change la probabilité de B ? Pour le savoir,
– calculonsp(B):p(B) =26 (2 multiples de 3 parmi les 6 premiers chiffres : 3 et 6). Doncp(B) = 13.
– Calculons maintenant pA(B): si l’on sait déjà qu’on a obtenu un chiffre impair, on sait que le chiffre obtenu est 1, 3, ou 5 ; parmi eux, seul 3 est un multiple de 3. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 sachant que le chiffre obtenu est impair vaut donc :pA(B) = 13.
La probabilité de B, que A ait été réalisé ou pas, est la même : A n’influe pas sur la probabilité que B se réalise : on dit que A et B sontindépendants. Formalisons.
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Définition
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles (p(A) 6= 0, p(B) 6= 0). A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) =p(B) (ou si pB(A) =p(A)).
Or pA(B) = p(A∩B)p(A) , donc
pA(B) =p(B) ⇔ p(A∩B)p(A) =p(B)
⇔ p(A∩B) =p(A)p(B)
Théorème 0.1 A et B sont indépendants si et seulement sip(A∩B) =p(A)p(B).
Remarques :
– Démontrer que deux événements A et B sont indépendants :on calcule p(A)×p(B), puis on calculep(A∩B). Si ces deux nombres sont égaux, alors A et B sont indépendants.
– L’énoncé affirme que deux événements A et B sont indépendants, puis demande de calculer p(A∩B) : dans ce cas (et seulement quand A et B sont indépendants) on peut utiliser la formule : p(A∩B) =p(A)p(B).
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IV Arbre de probabilités
Représentation sous forme d’arbre
Dans l’universΩd’une épreuve aléatoire, on considère deux événements A et B non impossibles. On peut représenter l’expérience grâce à un arbre de probabilité:
Au premier niveau, on regarde si A est réalisé (première branche) ou A n’est pas réalisé. La proba- bilité de passer par la branche du haut est p(A), la probabilité de passer par la branche du bas est p(A).
Au deuxième niveauon saitque A est réalisé (en haut) ou que A n’est pas réalisé (en bas). On regarde alors si B est réalisé. La probabi- lité de réaliser B sachant que A a déjà été réalisé estpA(B) (branche du haut, deuxième niveau).
Au final, on obtient en suivant l’un des quatre chemins de l’arbre l’un des événements suivants :A∩B (A est réalisé et B aussi) ;A∩B(A est réalisé et B ne l’est pas) ;A∩B (A n’est pas réalisé, B si) ; A∩B (ni A ni B sont réalisés).
Un point sur le vocabulaire
• Unebranche est un segment de l’arbre ; chacune porte une probabilité.
• Unnoeudest la jonction de plusieurs branches.
• Un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives, depuis le départ de l’arbre jusqu’à une de ses arrivées.
Les trois propriétés à connaître
Proposition La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.
cela permet de retrouver les formules :p(A) +p(A) = 1,pA(B) +pA(B) = 1, etc...
Proposition La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches.
cela permet de retrouver les formules :p(A∩B) =p(A)×pA(B),p(A∩B) =p(A)×pA(B), etc...
Proposition La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Par exemple, pour calculer la probabilité de B, on prend tous les chemins qui terminent sur la lettre B et on somme leur probabilité :p(B) =p(B∩A) +p(B∩A) =p(A)pA(B) +p(A)pA(B)
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