() PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

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Probabilités conditionnelles Terminale STMG 1/4

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

I. Rappels.

Une ………. est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.

Elle peut conduire à plusieurs …………... L’ensemble des issues est appelé ……… On le note (se lit oméga).

La somme des probabilités de toutes les issues est …….

Un ……….. A est une partie de .

L’événement ……….. de A est noté A Il se réalise lorsque A n’est pas réalisé.

Si A et B sont deux événements :

L’événement A et B noté ……… (se lit A inter B) est réalisé lorsque A et B sont réalisés tous les deux.

L’événement A ou B, noté ……… (se lit A union B) est réalisé lorsque A est réalisé ou B est réalisé ou les deux sont réalisés.

P( A B ) ………. et P ( ) ^A ^………

II. Probabilités conditionnelles.

Définition : Soient A et B deux événements d un univers donné.

Si P(A )  0, la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé est le nombre ……….

appelé ……….

Exemple 1 : Dans un groupe de personnes, 30% sont des hommes. Parmi les hommes, 25% pratiquent la musique.

On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants : H : "la personne est un homme"

M : "la personne pratique la musique"

On a alors :

Exemple 2 : Dans un groupe de personnes, 70% ont une voiture ; 40% ont une trottinette et 10% ont les deux.

On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants : V : "la personne choisie a une voiture"

T : "la personne choisie a une trottinette"

1. Écrire sous forme de probabilités les trois nombres de l énoncé.

2. On choisit une personne ayant une trottinette. Déterminer la probabilité qu elle ait une voiture.

(2)

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 2/4 Propriétés admises : Si P( B) ≠ 0 :

 0 P B (A ) 1

 P B (B ) 1

 P B ( ) ^A ¹ ^P B ( A)

Probabilité d une intersection : Si P( A) ≠ 0 et P (B) ≠ 0 :

Exemple :

Parmi les clients d un restaurant, seuls 10% prennent un apéritif. Parmi les personnes qui prennent un apéritif, 70% prennent un dessert. On choisit un client au hasard et on définit les événements suivants : A : "le client choisit prend un apéritif"

D : "le client choisit prend un dessert"

1. Écrire sous forme de probabilités les nombres de l énoncé.

2. Déterminer la probabilité que le client prenne un apéritif et un dessert.

III. Arbres pondérés.

1. Construction d un arbre.

Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré constitué de tous les chemins complets possibles.

Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.

Au 1 ^er niveau de l’arbre, on indique les probabilités des événements A, B …; au second niveau les probabilités condi tion nell es .

La somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Exemple 1 : interpréter un arbre :

On a demandé à des habitants d une ville s ils connaissaient le commerce équitable et le label AB.

On interroge au hasard un habitant et on définit les évènements suivants : A : "la personne interrogée connaît le label AB"

C : "la personne interrogée connaît le commerce équitable"

L institut de sondage a construit l arbre pondéré ci-contre :

1. Écrire sous forme de probabilités les nombres inscrits sur l arbre et les interpréter par des phrases.

2. Compléter l arbre.

3. Préciser la valeur de P C ( ) ^A

(3)

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 3/4 Exemple 2 : construire un arbre :

Dans une animalerie, il n’y a que deux aquariums, l’aquarium A, qui contient 5 poissons rouges et 6 poissons noirs et l’aquarium B qui contient 9 poissons rouges et 3 noirs.

Un client vient acheter un poisson. Il choisit un aquarium puis laisse un vendeur pêcher au hasard un poisson. Les deux aquariums sont placés de telle manière que la probabilité que le client choisisse l’aquarium A est 

 et on suppose que dans chaque aquarium, chaque poisson a autant de chances d’être pêché.

On note : R l’événement : "le poisson est rouge" ; A l’événement : "le poisson vient de l’aquarium A" et B l’événement : "le poisson vient de l’aquarium B"

On peut représenter la situation par un arbre pondéré :

2. Formule des probabilités totales.

Définition : Si l univers d une expérience aléatoire est la réunion d événements A 1 ; A 2 ; ... A n

d événements deux à deux incompatibles, on dite que A 1 ; A 2 ; ... A n forment une partition de .

Formule des probabilités totales (admise) :

Si A 1 , A 2 , …, A n forment une partition de , alors, pour tout événement B :

………..

Utilisation de l arbre pour appliquer la formule :

 La probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ce chemin.

 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet événement.

Exemple :

Parmi ses salariés, une société compte 70% d’employés commerciaux et 80% d’entre eux possèdent une voiture de fonction.

Parmi les employés qui ne sont pas des commerciaux, seulement 10 % possèdent une voiture de fonction.

On interroge au hasard un employé de la société.

On considère les évènements suivants :

C : « L’employé interrogé est un commercial » ;

V : « L’employé interrogé possède une voiture de fonction ».

1. Donner P (C ) et P C (V ).

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Calculer la probabilité que l employé soit un commercial qui possède une voiture de fonction.

4. Calculer la probabilité que l’employé ait une voiture de fonction.

5. On interroge un employé possédant une voiture de fonction. Calculer la probabilité que ce ne

soit pas un commercial.

(4)

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 4/4 IV. Indépendance de deux événements.

Deux événements sont indépendants si la réalisation ou non de l un ne modifie pas la probabilité de l autre.

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

Définition : On dit que B est indépendant de A lorsque P _A (B ) P( B), c'est-à-dire si la réalisation ou non de A ne modifie pas la probabilité de B.

Propriété : B est indépendant de A si et seulement si A est indépendant de B. On dit alors que A et B sont indépendants.

On a alors :

Exemple 1 :

Sur un trajet, un automobiliste rencontre deux feus.

On définit les événements :

A : "le premier feu est vert quand l automobiliste arrive"

B : "le deuxième feu est vert quand l automobiliste arrive"

On suppose que ces événements sont indépendants.

La probabilité pour que le premier feu soit vert au moment où l automobiliste arrive est 0,6.

La probabilité pour que le deuxième feu soit vert au moment où l automobiliste arrive est 0,4.

Déterminer la probabilité que l automobiliste fasse son trajet sans s arrêter.

Exemple 2 :

On lance un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère les événements :

() PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 1/4

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

I. Rappels.

Une ………. est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.

Elle peut conduire à plusieurs …………... L’ensemble des issues est appelé ……… On le note (se lit oméga).

La somme des probabilités de toutes les issues est …….

Un ……….. A est une partie de .

L’événement ……….. de A est noté A Il se réalise lorsque A n’est pas réalisé.

Si A et B sont deux événements :

L’événement A et B noté ……… (se lit A inter B) est réalisé lorsque A et B sont réalisés tous les deux.

L’événement A ou B, noté ……… (se lit A union B) est réalisé lorsque A est réalisé ou B est réalisé ou les deux sont réalisés.

P( A B ) ………. et P ( ) A ………

II. Probabilités conditionnelles.

Définition : Soient A et B deux événements d un univers donné.

Si P(A )  0, la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé est le nombre ……….

appelé ……….

Exemple 1 : Dans un groupe de personnes, 30% sont des hommes. Parmi les hommes, 25% pratiquent la musique.

On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants : H : "la personne est un homme"

M : "la personne pratique la musique"

On a alors :

Exemple 2 : Dans un groupe de personnes, 70% ont une voiture ; 40% ont une trottinette et 10% ont les deux.

On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants : V : "la personne choisie a une voiture"

T : "la personne choisie a une trottinette"

1. Écrire sous forme de probabilités les trois nombres de l énoncé.

2. On choisit une personne ayant une trottinette. Déterminer la probabilité qu elle ait une voiture.

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 2/4 Propriétés admises : Si P( B) ≠ 0 :

 0 P B (A ) 1

 P B (B ) 1

 P B ( ) A 1 P B ( A)

Probabilité d une intersection : Si P( A) ≠ 0 et P (B) ≠ 0 :

Exemple :

Parmi les clients d un restaurant, seuls 10% prennent un apéritif. Parmi les personnes qui prennent un apéritif, 70% prennent un dessert. On choisit un client au hasard et on définit les événements suivants : A : "le client choisit prend un apéritif"

D : "le client choisit prend un dessert"

1. Écrire sous forme de probabilités les nombres de l énoncé.

2. Déterminer la probabilité que le client prenne un apéritif et un dessert.

III. Arbres pondérés.

1. Construction d un arbre.

Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré constitué de tous les chemins complets possibles.

Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.

Au 1 er niveau de l’arbre, on indique les probabilités des événements A, B …; au second niveau les probabilités condi tion nell es .

La somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Exemple 1 : interpréter un arbre :

On a demandé à des habitants d une ville s ils connaissaient le commerce équitable et le label AB.

On interroge au hasard un habitant et on définit les évènements suivants : A : "la personne interrogée connaît le label AB"

C : "la personne interrogée connaît le commerce équitable"

L institut de sondage a construit l arbre pondéré ci-contre :

1. Écrire sous forme de probabilités les nombres inscrits sur l arbre et les interpréter par des phrases.

2. Compléter l arbre.

3. Préciser la valeur de P C ( ) A

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 3/4 Exemple 2 : construire un arbre :

Dans une animalerie, il n’y a que deux aquariums, l’aquarium A, qui contient 5 poissons rouges et 6 poissons noirs et l’aquarium B qui contient 9 poissons rouges et 3 noirs.

Un client vient acheter un poisson. Il choisit un aquarium puis laisse un vendeur pêcher au hasard un poisson. Les deux aquariums sont placés de telle manière que la probabilité que le client choisisse l’aquarium A est 

 et on suppose que dans chaque aquarium, chaque poisson a autant de chances d’être pêché.

On note : R l’événement : "le poisson est rouge" ; A l’événement : "le poisson vient de l’aquarium A" et B l’événement : "le poisson vient de l’aquarium B"

On peut représenter la situation par un arbre pondéré :

2. Formule des probabilités totales.

Définition : Si l univers d une expérience aléatoire est la réunion d événements A 1 ; A 2 ; ... A n

d événements deux à deux incompatibles, on dite que A 1 ; A 2 ; ... A n forment une partition de .

Formule des probabilités totales (admise) :

Si A 1 , A 2 , …, A n forment une partition de , alors, pour tout événement B :

………..

Utilisation de l arbre pour appliquer la formule :

 La probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ce chemin.

 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet événement.

Exemple :

Parmi ses salariés, une société compte 70% d’employés commerciaux et 80% d’entre eux possèdent une voiture de fonction.

Parmi les employés qui ne sont pas des commerciaux, seulement 10 % possèdent une voiture de fonction.

On interroge au hasard un employé de la société.

On considère les évènements suivants :

C : « L’employé interrogé est un commercial » ;

V : « L’employé interrogé possède une voiture de fonction ».

1. Donner P (C ) et P C (V ).

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Calculer la probabilité que l employé soit un commercial qui possède une voiture de fonction.

4. Calculer la probabilité que l’employé ait une voiture de fonction.

5. On interroge un employé possédant une voiture de fonction. Calculer la probabilité que ce ne

soit pas un commercial.

Probabilités conditionnelles Terminale STMG 4/4 IV. Indépendance de deux événements.

Deux événements sont indépendants si la réalisation ou non de l un ne modifie pas la probabilité de l autre.

P( A B ) ………. et P ( ) ^A ^………

 P B ( ) ^A ¹ ^P B ( A)

Au 1 ^er niveau de l’arbre, on indique les probabilités des événements A, B …; au second niveau les probabilités condi tion nell es .

3. Préciser la valeur de P C ( ) ^A

Définition : On dit que B est indépendant de A lorsque P _A (B ) P( B), c'est-à-dire si la réalisation ou non de A ne modifie pas la probabilité de B.