Détermination et construction nouvelle du cercle qui coupe trois cercles sous trois angles donnés et de la sphère qui coupe quatre sphères sous des angles donnés

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L AQUIÈRE

Détermination et construction nouvelle du cercle qui coupe trois cercles sous trois angles donnés et de la sphère qui coupe quatre sphères sous des angles donnés

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 2 (1883), p. 348-352

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DÉTERM1N&T10K KT CONSTRUCTION NOUVELLE DU CERCLE QUI COUPE TROIS CERCLES SOUS TROIS ANGLES DONNÉS ET DE LV SPHÈRE QUI COUPE QUATRE SPHÈRES SOUS DES ANGLES DONNÉS ;

PAR M. LAQUIÈRE.

Dans un récent article, nous avons donné deux dé- monstrations d'un théorème permettant de construire le cercle qui en coupe trois autres sous trois angles respec- tivement égaux à trois angles différents donnés, aussi simplement que le cercle isogonal, ou que le cercle tan- gent aux trois.

La démonstration qui suit, beaucoup plus simple, met eu évidence une construction nouvelle beaucoup plus simple encore. Elle nous a fait découvrir un beau théo- rème de Géométrie à trois dimensions qui n'a peut-être pas encore été remarqué, bien qu'il soit d'une extrême simplicité.

Nous donnons, in extenso, la démonstration en ques- tion, vu son peu do longueur.

Soit R le rayon d'un cercle variable F coupant sous deux angles respectifs constants a, et ou deux cercles fixes c{, c2 de rayons /'<, r2.

Soient de plus

X, — — i7\ cosa1 ? X2 = — 2/-2 cosX2

les cordes interceptées par les cercles cK et c2 sur les rayons du cercle F aboutissant aux points d'intersection -, les distances tangentielles yf et y2 du centre du cercle F aux cercles c, et c² donneront les relations simultanées

( Mg d'où

(i)

et de même

~ Yi — Ta•

Éliminant R,

L'équation (2) exprime que le lieu du centre du cercle variable F est une conique V ayant un double contact avec le cercle 0

(3) ii=^,

aux points d'intersection des deux cercles ct, c2 avec les- quels il a môme axe radical.

L'équation (1) exprime de son côté que la puissance du centre du cercle variable F par rapport au cercle ù est égale à R2, et par suite qu'il lui est orthogonal (*).

Le cercle O est facile à construire, puisqu'il passe par les points d'intersection des deux cercles c^, c2 et par les points des tangentes communes dont Jes distances aux points de contact sont dans le rapport {/Y'

L'équation (3) exprime que le cercle Q partage l'angle des deux cercles cs et c2, de manière à faire avec eux deux angles respectifs co, et co2 définis par la relation

sinco2 ~~ cosa2 *

comme on le voit immédiatement en prenant par rap-

(*) Le cercle variable r a donc pour enveloppe les deux cercles passant aux points d'intersection de c, et r5, anallagmatique du qua- trième ordre à deux points doubles. >

port aux deux cercles cs et c2 la puissance du point du cercle Q infiniment voisin du point où les trois cercles se rencontrent.

La relation indiquée pour les cercles subsiste pour les sphères représentées par leurs cercles équateurs du plan des trois centres. La série des sphères S coupant s^s et s² sous les angles constants OL^K et a² est donc orthogonale à la sphère fixe (3 ) qui passe par leur cercle d'intersection et les coupe sous les angles définis par la relation (4)- Leur centre est sur une surface du second ordre de ré- volution autour de la ligne des centres des sphères st et s2 et circonscrite suivant leur ligne d'intersection à la sphère (3) que toutes les sphères S coupent orthogona- lement.

Soit à trouver le cercle coupant trois cercles donnés sous trois angles donnés. Les remarques ci-dessus per- mettront de le déterminer des deux manières suivantes : i° En le considérant comme le cercle orthogonal aux trois cercles Q'". Q',0" obtenus, ainsi qu'il vient d'èlre dit, avec chaque groupe de deux cercles c<, c²? c³ accouplés ; 2° En déterminant son centre comme intersection des deux coniques V obtenues dans deux de ces combi- naisons.

De même, la sphère coupant quatre sphères sous quatre angles donnés se déterminera :

i° Comme orthogonale à quatre sphères Q;

2° Comme ayant son centre à l'intersection de trois surfaces du second ordre de révolution dont les axes se rencontrent deux à deux, et qui se coupent par suite suivant des courbes planes dans des plans perpendicu- laires à celui qui contient les deux axes de révolution.

Enveloppe des sphères coupant trois sphères fixes sous trois angles donnés respectivement constants. —

( 351 )

D'après ce qui précède, cette enveloppe est la cyclide ayant pour section principale les deux cercles coupant les trois équateurs du plan des trois centres sous les angles donnés.

Elles sont, en efïet, orthogonales au cercle d'intersec- tion des trois sphères Q"\ 0', Qff déterminées comme il a été dit plus haut, et leur centre décrit la conique d'inter- section de ce plan (perpendiculaire au plan des trois centres) avec les surfaces du second ordre également déterminées, toutes courbes planes qui se croisent aux deux mêmes points, réels ou imaginaires, points coni- ques de la nappe considérée.

Les angles a,, a2, a3 et leurs trois supplémentaires dé- terminent les deux cercles sections principales d'une même nappe qui se coupent en deux points sur le cercle orthogonal aux trois équateurs, second couple de points coniques de la cyclide (un couple au moins est imagi- naire). Leur corde détache sur les lignes des centres et à partir de ceux-ci des segments directement proportion- nels aux couples de longueurs \K ,X2, À3 se rapportant aux cercles de mêmes indices, ainsi que nous l'avons démontré dans une Note antérieure.

Si l'on remplace successivement un seul des angles a par son supplémentaire, on obtient les trois autres couples de cercles sections principales des trois autres nappes de la cyclide.

Scolie. — L'enveloppe du cercle coupant deux cercles fixes sous deux inclinaisons constantes se compose de deux cercles passant par les points d'intersection des deux cercles donnés (section principale d'une cyclide dont l'une des directrices réduite à un plan est orthogonale à la sphère enveloppée).

Observation. — Le théorème est évident parla trans-

formation par rayons vecteurs réciproques du lieu par l'un des points d'intersection des trois sphères fixes. La transformée de la sphère variable ayant évidemment pour centre de similitude commun de toutes ses posi- tions le sommet du trièdre dont les faces sont les réci- proques des trois sphères fixes, l'enveloppe de la sphère variable est la cyclide réciproque du cône de révolution enveloppe de ses transformées.

Même observation pour le scolie.

Remarque. — Le scolie donne une autre manière de construire le cercle F par la construction immédiate de six cercles auxquels il doit être tangent.

Par un point quelconque to tracer un cercle et ses rayons (Ort,,(oa2 respectivement inclinés de a, et a2 sur

les tangentes aux cercles c{ et c2 en leur point M d'in- tersection. Par le point de concours m des parallèles respectives aK m,a2m à ces tangentes, mener les tangentes mth, mt2 au cercle to. Leurs directions seront celles des tangentes en M aux deux cercles tangents à la série des cercles F, tandis que znto sera celle de leur cercle ortho- gonal Q et de la conique lieu de leurs centres. La même construction pour chaque couple de cercles c<,c2,£3 dé- termine trois cercles orthogonaux et six cercles tangents au cercle cherché F.

Construction analogue pour les sphères.