ÉLECTRICITÉ : Etude des courants de Foucault dans un disque métallique, dans un cas particulier

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E L E C T R I C I T E

E t u d e des courants d e Foucault d a n s u n disque métallique, dans u n cas particulier

par M . BARBILLION, Directeur de l'Institut Polytechnique de Grenoble

GÉNÉRALITÉS

L e développement de courants de Foucault dans un disque soumis à l'action d'un c h a m p magnétique alternatif constitue l'un des phénomènes les plus utilisés en électrotechnique.

Les éludes théoriques et pratiques relatives aux modalités de ce développement sont très nombreuses. Cependant, bien avant la guerre, notre attention avait été attirée sur ce fait qu'aucun travail à notre connaissance, n'avait alors été publié touchant le problème suivant :

D a n s l'hypothèse simpliste d'un disque et d'un pôle magnéti- que circulaire influençant ce disque, mais n'étant pas concentrique avec lui, quelle est la répartition probable, naturellement, envi- sagée sous l'angle théorique, des courants de Foucault dans le disque ?

Ce problème intéresse, en particulier, le fonctionnement d'un grand n o m b r e de compteurs à courants alternatifs, dans lesquels une dissymétrie magnétique existe, dissymétrie créée par des m o y e n s divers, du reste, pastille magnétique supplémentaire calée sur le disque, petit orifice circulaire pratiqué sur celui-ci,elc.

Depuis la guerre, toujours à notre connaissance, le problème ne semble pas non plus avoir reçu de solution générale. Nous avons eu l'occasion d'en esquisser une. N o u s la proposons ci-après, nous excusant par avance auprès de nos lecteurs s'il a été l'ait mieux par ailleurs par l'un de nos confrères et, au cas où le pro- blème n'aurait pas été envisagé, désireux simplement de voir créer un m o u v e m e n t autour de cette question é m i n e m m e n t curieuse au point de vue technique, autant que délicate à traiter au point de vue mathématique.

N o u s rappelons donc nos hypothèses :

Disque circulaire pouvant éventuellement tourner autour d'un axe perpendiculaire à son centre; pôle magnétique P de section droite circulaire influençant ce disque, mais excentré par rapport au disque.

NOTATIONS

E n outre, nous emploierons les notations habituelles, en ce qui concerne les quantités magnétiques figurant dans le pro- blème.

C o m m e on le voit, les courants de Foucault développés par le pôle d'influence sur le disque pourront être considérés c o m m e créés dans de petits éléments circulaires ayant leur centre sur le diamètre 00', mais dont l'épaisseur élémentaire variera d'une manière continue, quand on passera du segment D,au segment D². E n d'autres termes, cette épaisseur sera fonction de l'angle décrit par un rayon vecteur issu du centre du cercle variable et prenant toutes les valeurs comprises entre 0 et -.

Ceci posé, le calcul ci-après donne la marche à suivre.

A titre de vérification, on constatera dans les formules finales que si l'on fait a — 0, c'est-à-dire si le disque et le pôle sont

9" 8 9 * ^

Fig- 1 N o u s appellerons successivement :

R le rayon du disque; R j le rayon d u cercle projection du pôle sur le disque; a la distance des centres du disque et du cercle-projection ; D j la plus petite distance entre les deux cercles mesurés sur un diamètre (à gauche sur la figure 1) ; D² la plus grande distance entre les deux cercles mesurés suivant un diamètre (à droite sur la figure) ; p le rayon d'un cercle ayant son centre sur la droite 0 0 ' et passant par les deux points de ce diamètre tels que les rapports >. dans lesquels les segments D j et D² sont partagés soient les m ê m e s , }, D^t et X D² étant les longueurs interceptées, .T⁰ l'abscisse d u petit cercle fixe par rapport au centre du disque.

co-axiaux, les m ê m e s formules donnant les pertes par courants de Foucault prendront les formes particulières classiques, ce qui constitue une vérification « a posteriori » de notre m o d e opératoire.

I. — E Q U A T I O N D E S CERCLES D E R A Y O N S VARIABLES N o u s aurons successivement, }„ D^x et X D² représentant les portions des éléments et D² englobés dans le cercle de rayon variable p (fig. 1) :

(1)

— x⁰) + R j | + "/. ( H •— a — R j ) à gauche (a — 1\) —- x⁽⁾\ + À ( R + a — R^x) à droite' Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1927007

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L A H O U I L L E B L A N C H E car :

{ ^P = hh'—ha

l

? = gg' + g*

E n outre, on a bien :

hti == D ! et gg' = D² D o n c :

{ )

l

P

= - [ ( a - x

0

) - R

1

] + \ [ R + a - R

1

\

Egalons les deux valeurs de p, ce qui nous donne :

X ( R - a - R,)+(a - x⁰+R^t) = À ( R + a — R,)—(a - R , — s » ) O u , tous calculs faits :

(2) :r⁰ = a (1 - X)

O n en déduit l'équation du cercle : (2') (x — x⁰) 2 + y* = p²

Or, ajoutant ces deux équations (1'), on a : 2 p = À (2 R — 2 R ^ + 2 R j ou enfin :

(3)

? = R x + X ( R - R^r)

O n en déduit l'expression définitive d u cercle de rayon p : (4)

[x — a ( i -

X ) j² + y 2 =

[

^Rl

+ x

( R - R , ) ]²

X étant toujours le périmètre fixant la position des cercles de rayon variable p.

Vérification :

Pour X = 0, on a bien le cercle de rayon R-,, soit : ï³ + fl^!-2«i+i/^î- R ,²

(a; — a ) ² + y² = R² Pour X = 1, on a encore le cercle de rayon R :

[^X _ ^a (1 - X)J ² + y"- = \R, + À ( R - R , ) ]² ou, si X = 1

(4") xi + if- = | R¹ + ( R — R , ) ]² = R²

II. — F L U X DANS UN ANNEAU EXCENTRÉ

E n supposant que le flux dû au pôle circulaire soit émis sans dispersion, nous aurons pour ce flux :

(5) 4» =

ôio -

R j ² cos Q

t

D a n s le cas, naturellement, d'une excitation alternative. Ce flux ne comprend ainsi que les lignes de force normales au disque et émanant du pôle rond situé en regard.

III. •— F O R C E ÉLECTROMOTRICE DÉVELOPPÉE DANS LA SPIRE ÉLÉMENTAIRE O U ANNEAU EXCENTRÉ

IV. COURANT INDUIT DANS L'ANNEAU EXCENTRÉ

ou (4')

L a résistance de la spire varie d'un point à l'autre, du fait que, à gauche, les éléments différentiels d'épaisseur sont moins importants qu'à droite, car ils sont respectivement proportion- nels à D j et à D,. (Fig. 1 et 2)

Fig. 2

N o u s aurons donc successivement :

(5) <I> = t 8⁰ r R^{x 2} cos Di = *⁰ cos <>/

( o ) — il <i'⁰ sin Ut = t<3⁰ - R^x 2 o ^sj„ nj

.... I H i ^ l V s i n L t f il <\'⁰ sin Lit ...

(b) d <1> = = . — | — - — • F s (D^?) ^MOY

r = (dp)

^{m o y}

C'est évidemment :

(o) e

= ~Tf

ou :

(5") e = <iï

⁰

a T. Ri* si» ut

en appelant s. l'épaisseur de l'anneau et F la conductance du métal, dont il est constitué.

N o u s avons assigné ici pour ordre à dp une valeur m o y e n n e (A?) m o y

E n réalité, dp vaiie d'une valeur m i n i m u m dp^{ vers A,, à une valeur m a x i m u m dp^v vers A², et est proportionnel en chaque point à la longueur du segment intercepté entre les deux cercles de rayons R j et p, (X, paramètre, représentant le rapport des segments interceptés entre les deux cercles de rayons R et Hi)-

V . — M O D E D E VARIATION D E dp

Vers A j , on a d p = dp.

Vers A², on a d p = d ² D o n c évidemment :

L A H O U I L L E B L A N C H E 39 Adniellons que dp ait des variations proportionnelles à

l'angle a décrit depuis l'origine (Fig. 2) :

(7)

7')

dp

Or, on a, d'après (7") :

(dp) moy ( R — a — R ^ d p =

< * — « ) + - do ^{R — R ,}

dp = d?j

( * - a ) + * ^{R +}

a

— Rx' R —

a

— R ,

O u , en remplaçant dp^x par sa valeur de fonction de ( d s )^{m o y} (d'après 7"') :

i __ (dp)mov / R — a R j

p _ - \ R — R ,

R + a — R ) "

R — a — R , VI. —- V A L E U R EFFECTIVE D U C O U R A N T CIRCULANT D A N S LA

SPIRE É L É M E N T A I R E O U A N N E A U E X C E N T R É N o u s avons écrit :

iï 6h0 r. R1 2 sin Ùt V s

d?

^{'(^}

— a ) ( R — a — R

^t

)

-f a

(R + a — R J

R — a — Rj ]

^X

.. X

(R — a — R J d «I> =

2 - (?)

^moy

R — R^t moy

mais, nous le répétons, ( p )^{m o y}. et (d p )^{m o y} n'ont que la valeur de symboles provisoires dans une formule, qui n'a été établie que pour permettre de poser la question.

VII. — RÉSISTANCE D'UN A N N E A U E X C E N T R É N o u s aurons d'après (7) :

d?i + d ?² _ ( R + a - R^x) + ( R — a — - R j )

dp = (dp), - (R — a — R J -f » (2 a)' R — R ,

/7iv\ ,1 _ (d?hnoy [~ R — « R j 2 « . a ~

( /

)

^a

,-|_...

^R

^ +

R — a — R^x R — R^x

2 a ci

d'où

et enfin :

(7"')

R — a + Ri

dp, + d:2 2

(R

— R j d? 1 K «

Rj)

R

— R^t d^{? 1} + d^{? 2}

~9 — \aû) moy

d^{P l} = dp moy

R — a — R

^x

R — a — R

^x

, R

— R^x

d^{P l}

Posons :

(9)

Il vient

Alors :

(8")

P

I Q ^ R - R J

dp = ( d p )^{m o y} [ P + Q aj

[R] = ^d

E n adoptant le symbole [RJ pour représenter la résistance de l'anneau excentré, symbole ne préjugeant rien sur l'ordre infinitésimal des éléments qui figurent dans la formule, on peut écrire :

(8'") [R] = ( 2^?)^B

F E ( d p )^{m o y}. / P + Q a

1 ^ [ L o g ( P + Q a ) 3 F e (dp)moy Q

(«) ^[RI

_-.1

_iH ^dx _d?

Soit, tous calculs faits :

(8-)

[R] = ^ J ^ - . ^ 4 = ^ L o g /^R + ^a ~ * F e (rf?)moy ' 2 a R — a — R j

car la longueur de l'élément est bien j pdx et son épaisseur (h en chaque section normale à l'axe de symétrie passant par le centre (U ~ = do, F c.oiiductance du métal constituant le disque

[R est donc de la forme :

L2 ,\: da 2 ( V ,

Soit

F t J (a + bd) dp

(*> ) 1 1 - - 2 a ^L ° ^G U - a - R J R s • ( d p )^{m o y} Q u a n d a tend vers O, les deux cercles de rayons R et R j tendant à devenir concentriques. O n sait que l'expression

x ( R — Rj) ^t R + a — R j

— — ^ - L o g —

moy ïi a ^{R —} a — R j

E n posant :

dp = (a + b

x)

{dp) ^{m 0}y , a et b constantes appropriées,

tend vers T., car on peut écrire R + a — R j L o g

R — a — Rj

^{L o g 1 +} R — a — R j

40 L A H O U I L L E B L A N C H I qui, pour a ^ 0, devient :

L o g O + £

s étant très petit yi •= ^ D e m ê m e

tend vers 1.

Lot

A la limite, la résistance de l'anneau excentré devient la m ê m e que celle de l'anneau concentrique de m ê m e épaisseur m o y e n n e (dp) mov-

2

- sK

(8")

[R'| ^r

D o n c enfin :

1(j _ ()2 . (h 2 \ CI»') I W ) =

- y

w - h.⁴ i" * - ^ ( ) F ^S

Celte perle demeure inchangée dans les deux cas.

IX. — RAPPOUT D E S PERTES D A N S LES PAHTIKS INTERMÉDIAIRE D A N S LES D E U X CAS.

Pertes dans la surface intermédiaire excentrée :

(il) / ' d ( R I⁸)^r

' <1>^{2 r} ' <-^d6 'moy H,

L o g R VIII. — P E R T E S PAR EFFET J O U L E D A N S L E DISQUE : H Y P O T H È S E

D'UN POLE E X C E N T R É

2 2 - M * R,

Pertes dans la surface intermédiaire supposée concentrique :

O n a aisément : ( H ) /

d(\\ V-)

^{- r}

1 F s (d?)n

H, (9) d (R 12) = ± ( Q² cïh⁰° ,² R,*) ^

moy - '• ^{i T 1} \^ tvmoy I pris en valeur efficace,

E t en posant :

( R — R , ) . / R + a - R . N

i * - ' ^{r ,} j T f

<b2

r =

1 0 1 = - )

R,/

L e rapport des pertes est donc :

(9')

Pj, ⁼ Pertes (^{e x}^^r,) ⁼ J_ ⁼ R -- R^t ,^og R + a - R,

Cette perte s'applique à la partie superficielle comprise entre les deux cercles de rayons R et R^x. L e rayon

p = R^t + /. (R — R J variant de p = Rj à p = R.

L a perte dans la partie circulaire de rayon R , est toujours donnée par les formules classiques :

(10)

Imov) J J. T. T

1 ^R'

^ Q ² d 3 ^{0 2} ~²r-: f r³dr

.— Q²1 5⁰² -² r = 4- 7C

RI-iB,

Al

P,, Pertes (^{n o n}^^{I l t r},) M ï « ' ^fe R - a R

Pj, a ^& R — a Rj

Application numérique :

soit :

R — R j = 2 R, R , = 3 R a -: R, Il vient ainsi :

I V - K i Ynr R + R, Ri P I V ^ V ^g R - R, - VI,

R

= F o g

R — 2 R,

O²

îïï ah*

r

£

- Rj

4

.

D o n c

(12) = L o g

3 = 1,08

1 .i.