Séminaire de philosophie et mathématiques
W IM K LEVER
Le concept de la mathématique de Spinoza
Séminaire de Philosophie et Mathématiques, 1990, fascicule 1
« Le concept de la mathématique de Spinoza », , p. 1-12
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L i : C O N C E I T D E L A M A T H E M A T I Q U E D E S P I N O Z A
p a r W i m K L E V E R (Erasmus Universiteit R o t t e r d a m )
E n 1943, à L o n d r e s , J e a n C a v a i l l è s dit à R a y m o n d A r o n : " J e suis spinoziste, j e crois que nous saisissons partout du nécessaire. Nécessaires les e n c h a î n e m e n t s d e s m a t h é m a t i c i e n s , nécessaires m ê m e les é t a p e s d e la science m a t h é m a t i q u e , nécessaire aussi cette lutte q u e nous m e n o n s " . * C e s m o t s n'ont rien d'une surprise p o u r ceux qui connaissent le t e x t e précieux Sur la logique et la théorie d e la science, un texte qui pourrait être retraduit, en détail, en des propositions spinozistes. Qui ne reconnaît pas la " c o n c a t é n a t i o n d e s i d é e s ^ d a n s " l ' e n c h a î n e m e n t d e s c o n t e n u s mêmes"-* d e C a v a i l l è s ? " L ' a u t o - illumination i n t é r i e u r e "4 ou la présence d e l'acte d e connaissance à s o i - m ê m e renvoie au "verum index sui et falsi""5, à la réflexivité d e s idées. P o u r les deux l ' e n c h a î n e m e n t d e s c o n t e n u s est "effective" e t
" p r o d u c t i v e " ^ d a n s la c o n n a i s s a n c e d e s structures n é c e s s a i r e s . ^ O n p o u r r a i t f a c i l e m e n t c o n t i n u e r l'énumération des parallèles entre S p i n o z a et C a v a i l l è s . ^ L e dernier est reconnu c o m m e u n m a t h é m a t i c i e n extraordinaire; pourquoi pas le premier ? Si le m a t h é m a t i c i e n qualifié se m o n t r e spinoziste, pourquoi ne pas appeler S p i n o z a un mathématicien qualifié ?
Il s e m b l e q u e le plus g r a n d obstacle p o u r le considérer ainsi, e s t constitué p a r n o t r e préjugé qu'il est u n p h i l o s o p h e d a n s le s e n s c o n t e m p o r a i n d u m o t 'philosophie*. U n p h i l o s o p h e aujourd'hui est quelqu'un qui ne fait pas de recherches scientifiques, qui ne fait p a s d e théories sur la composition d e la nature. IJX signification du mot "philosophie" était, c o m m e il est bien connu, tout autre d a n s le d i x - s p e t i c m c siècle; 'philosophie" était a l o r s l'équivalent de 'science d e la n a t u r e ' , c'est-à-dire, 'science d é m o n t r a b l e ' des causes et des m é c a n i s m e s des p h é n o m è n e s ou b i e n , d a n s l'usage du t e m p s ,
" m a t h é m a t i q u e s " . U n titre c o m m e celui d e ce s é m i n a i r e "de philosophie et m a t h é m a t i q u e s " a u r a i t été i m p e n s a b l e sinon c o m m e s y n o n y m i e .
L'optique d e s c o n t e m p o r a i n s d e S p i n o z a était différente d e l a n ô t r e . " M a t h e m a t i c u m ingenium" était le titre d'honneur que S p i n o z a recevait d e la part d e Henri O d l e n b o u r g a p r è s qu'ils eurent discuté sur Dieu, l'étendue et la pensée infinie, l'union d e l'âme et du corps et c a e t e r a ^ . O n peut voir d a n s ce texte quel est le contenu - ou pour employer un terme m o d e r n e - la référence du terme 'mathématiquee';
c'est identique à la science de la nature telle qu'elle se développe d a n s le X V I I i è m e siècle. Oldenbourg n'est
p a s u n e e x c e p t i o n a v e c sa titulature. C o n s u l t o n s les b i o g r a p h e s . Pierre B a y l e écrit : ""Comme il a v a i t l'esprit g é o m è t r e et qu'il voulait être p a y é d e raison sur toutes choses, il c o m p r i t b i e n t ô t q u e la doctrine des R a b b i n s n'était p a s de son fait"***. U n autre b i o g r a p h e , J . M . Lucas, qui a v a i t été un a m i intime d e S p i n o z a , nous r e l a t e , a p r è s a v o i r dit q u e " S p i n o z a ne p e n s a i t plus q u ' à s ' a v a n c e r d a n s les sciences h u m a i n e s ' ' ( c ' e s t - à - d i r e les sciences d e la n a t u r e ) qu'il é t a i t c o n s i d é r é c o m m e u n e a u t o r i t é d a n s les mathématiques par le G r a n d Pensionnaire, lui-même étant mathématicien. J e cite : "Il eut l'avantage d'être connu d e M o n s i e u r le P e n s i o n n a i r e de W i t , qui voulut a p p r e n d r e de lui les m a t h é m a t i q u e s , et qui lui faisait souvent h o n n e u r dele consulter sur des matières i m p o r t a n t e s " . Il y a aussi beaucoup d e d o c u m e n t s qui prouvent que S p i n o z a a v a i t des rencontres fréquentes a v e c les ' " m a t h é m a t i c i e n s ' C h r i s t i a n H u y g e n s , Johannes H u d d e H et Burchaid de V o l d e r * ^ spécialement sur des problèmes de l'optique.
S a n s a u c u n d o u t e S p i n o z a l u i - m ê m e a v a i t - i l u n e g r a n d e e s t i m e p o u r les s c i e n c e s m a t h é m a t i q u e s . S a b i b l i o t h è q u e était r e m p l i e d ' o e u v r e s scientifiques, p a r m i lesquelle s o n trouve les foliants D i o p h a n t i Alexandrini A r i t h m e t i c o r u m Libri 6 ( 1 6 2 1 ) et V i e t a s O p é r a M a t h e m a t i c a ( 1 6 4 6 ) , in q u a r t o le D e G e o m e t r i a d e Descartes, les E x e r c i t a t i o n e s M a t h e m a t i c a e ( 1 6 5 7 ) d e F r . a S c h o o t e n , u n R a b b i n s c h M a t h e m a t i s c h B o e c k d'un auteur a n o n y m e , Snellii T i p h v s B a t a v u s ( 1 6 2 4 ) , Gregorii O p t i a c P r o m o t a ( 1 6 6 3 ) , les P r i n c i p i a m a t h e s e o s u n i v e r s a l i s ( 1 6 5 1 ) d e F r . v a n S c h o o t e n , L a n s b e r g i i C v c l o m e t r i a n o v a ( 1 6 2 8 ) , le A l g e b r a p a r Kinckhuysen ( 1 6 6 1 ) et G r o n t d e r M e e t k u n s t ( 1 6 6 0 ) du m ê m e auteur c o m m e aussi D e M e e t k u n s t ( 1 6 6 3 ) et le A r i t h m e t i c a d e W o u t e r V e r s t a p . I n o c t a v o il possédait 1 Metii A l c m a r i a n i Institution a s t r o n o m i e a e libri très ( 1 6 0 6 ) et le D r i e h o e k s m e t i n g d e D e Graaf. Spinoza's livre de poche n'était rein d'autre (in 12o) q u e Euclidis E l e m e n t a . D e la p a r t d e s o n a m i intime J a r i g Jelles o n a le témoignage authentique, au n o m du cercle des a m i s : "Il a v a i t p r o p o s é d'écrire un A l g e b r a selon u n e m é t h o d e plus courte et plus intelligible, et d'autres oeuvres, c o m m e beaucoup d e ses amis l'ont ouï dire plusieurs t e m p s "
C'est aussi incontestable q u e S p i n o z a se considérait l u i - m ê m e c o m m e un m e m b r e d e la classe d e s m a t h é m a t i c i e n s . L'impossibilité d'une étendue qui ne pourrait p a s être divisée a u m o i n s p a r la pensée, est défendue a v e c une remarque personnelle après l'axiome I X d a n s 2 P P C , d a n s laquelle il postule implicitement pour lui-même s a qualification m a t h é m a t i q u e :
" L a vérité d e cet a x i o m e ne fait pas d e d o u t e pour quiconque a appris les éléments d e la m a t h é m a t i q u e (qui e l e m e n t a m a t h e s e o s t a n t u m didicit). C a r l'espace d o n n é e n t r e la tangente et le cercle peut toujours ê t r e divisé p a r u n e infinité d e cercles plus grands. C e qui est aussi évident dans le cas des asymptotes d'une hyperbole".
U n des exemples les plus illustratifs d e l'usage auto-référentiel d u t e r m e " m a t h é m a t i c i e n " se trouve d a n s la fameuse l e t t r e sur l'infinité ( E p . 1 2 ) . où S p i n o z a d i s t i n g u e l'infini d e l ' i m a g i n a t i o n et l'infini d e s mathématiciens, qui s'appelle 'l'infini actuel' (infinitum actu) :
E n outre, o n voit assez p a r ce qui vient d'être dit que ni le n o m b r e , ni la mesure, ni le t e m p s , puisqu'ils ne sont que d e s auxiliaires d e l'imagination (auxilia imaginationis) ne peuvent ê t r e infinis : car a u t r e m e n t le n o m b r e ne serait plus n o m b r e , ni la m e s u r e , mesure, ni le temps, temps; d e là o n voit clairement pourquoi, confondant ces trois êtres d e raison a v e c les choses réelles d o n t o n ignore la v r a i e n a t u r e , o n nie f r é q u e m m e n t l'infini en a c t e . M a i s pour mesurer la faiblesse d e ce r a i s o n n e m e n t , référons-nous a u x mathématiciens (iudicent mathematici) qui ne se laissent j a m a i s arrêter par des arguments d e cette sorte pour les choses qu'ils perçoivent c l a i r e m e n t e t d i s t i n c t e m e n t . O u t r e , e n effet, qu'ils o n t trouve b e a u c o u p d e g r a n d e u r s qui n e s e p e u v e n t e x p r i m e r p a r a u c u n n o m b r e , ce qui suffit à m o n t r e r l'impossibilité d e tout d é t e r m i n e r p a r les n o m b r e s (numerorum defectum a d o m n i a d e t e r m i n a n d a ) , ils connaissent aussi d e s grandeurs qui ne peuvent être égalées à aucun n o m b r e , m a i s dépassent tout n o m b r e a s s i g n a b l e ? Us n'en concluent cependant pas que d e telles grandeurs dépassent tout n o m b r e , p a r la multitude d e leurs parties; cela résulte d e ce q u e , à leurs yeux, ces grandeurs n e se prêteraient p a s , s a n s une contradiction manifeste, à quelque d é t e r m i n a t i o n n u m é r i q u e . P a r e x e m p l e , la s o m m e d e s distances inégales, c o m p r i s e s e n t r e deux cercles, A B et C D , et celle d e s v a r i a t i o n s q u e la m a t i è r e e n m o u v e m e n t peut p r o u v e r d a n s l'espace a i n s i d é l i m i t é , d é p a s s e n t tout n o m b r e possible ... Si d o n c l'on voulait d é t e r m i n e r par le n o m b r e la
s o m m e de toutes ces distances inégale,s il faudrait faire e n m ê m e t e m p s qu'un cercle ne fut p a s un cercle"
L e n o m b r e est d o n c u n expédient ou un artifice de l'imagination, indispensable parce q u e nous ne q u i t t o n s j a m a i s le n i v e a u de l ' i m a g i n a t i o n , m a i s il n ' a q u e d e s possibilités r e s t r e i n t e s . N o s n o m b r e s sont des concepts inadéquats par rapport à la continuité et l'infinité d e la substance. U n ' n o m b r e infini* est i m p e n s a b l e , d o n c impossible. "Talis e n i m e s t n a t u r a durationis", est-il dit ailleurs, d a n s 2 C M 1 0 / 1 1 , "ut s e m p e r m a i o r e t m i n o r d a t a possit concipi, sicuti n u m e r u s " . D a n s le t r o i s i è m e genre d e la connaissance, le niveau d e la m a t h é m a t i q u e supérieure, o n voit clairement la déficience d e s n o m b r e s . C'est aussi s u p p o s é d a n s le fameux e x e m p l e d e la "règle d e t r o i s " q u e S p i n o z a e m p l o i e p o u r illustrer la distinction f o n d a m e n t a l e entre les trois (ou q u a t r e ) genres d e connaissance, aussi b i e n d a n s le T I E 2 3 - 2 4 que dans 2 E 4 0 s ^ . O n peut.'croire' quel chiffre est le quatrième proportionnel relatif à l, 2 et 3 par ouï dire ou le connaître v a g u e m e n t par expérience incompries; m a i s on le sait s e u l e m e n t , q u o i q u e indirectement encore, par un raisonnement mathématique à la b a s e d e la connaissance de la proportion entre les nombres.
M a i s o n le voit, "nullam o p e r a t i o n e m facientes" d a n s la connaissance intuitive. C e l a ne veut p a s dire q u e la connaissance m a t h é m a t i q u e , en t a n t que raisonnement et calcul est u n e connaissance inférieure comparée à la connaissance intuitive; S p i n o z a dit seulement qu'il y a deux sortes d e connaissances m a t h é m a t i q u e s : celle des mathématiciens qui o n t besoin d'une d é m o n s t r a t i o n e t celle des mathématiciens qui n'en o n t plus besoin : " A c t a m e n a d a e q u a t a m proportionalitatem d a t o r u m numerorum n o n vident (premier groupe); et si v i d e a n t ( d e u x i è m e g r o u p e ) , n o n v i d e n t e a m vi illius p r o p o s i t i o n i s E u c l i d s , s e d i n t u i t i v e , n u l l a m o p e r a t i o n e m f a c i e n t e s " ^ . T o u t le m o n d e sait que S p i n o z a revendique pour toutes les propositions d e s o n Ethique qu'elles soient des t h é o r è m e s du plus h a u t degré d e l a c o n n a i s s a n c e , qu'elles sont, e n effet, d e s propositions m a t h é m a t i q u e s et donc que leur auteur est u n mathématicien a u sens strict d u t e r m e .
Il y a beaucoup d e textes dans lesquels l'adjectif ' m a t h é m a t i q u e ' est l'équivalent précis d e ' g é o m é t r i q u e ' et m ê m e d e ' p h i l o s o p h i q u e ' ou 'scientifique'. Il m e s e m b l e qu'il v a u t la p e i n e d'en citer quelques uns et d e les paraphraser u n peu. Ils nous permettent d'approcher lentement le contenu d u concept de mathématique d e Spinoza.
Le " m o s geometricus" n'est p a s seulement u n e i m i t a t i o n superficiel ou m é t a p h o r i q u e de la m é t h o d e euclidienne, mais v r a i m e n t u n exercice e t une continuation d e la m ê m e science, a p p l i q u é e sur l ' h o m m e . O n pourrait p r é t e n d r e q u e l'axiome f o n d a m e n t a l d'Euclide ( t a toi au toi isa kai allèlois estin i s a ) l 6 constitue aussi la charnière des arguments spinozistes, c o m m e il est dit explicitement d a n s la lettre 12A r é c e m m e n t ^ trouvée : "quod dixi filium dei esse ipsum p a t r e m puto clarissime sequi ex hoc a x i o m a nempe, q u a e in u n o tertio convaniunt ea inter se conveniunt".
D a n s son P P C S p i n o z a a mis e n o r d r e g é o m é t r i q u e les principes d e D e s c a r t e s , c o m m e est indiqué p a r le titre. C e " m o s geometricus" e s t a p p e l é " m o s m a t h e m a t i c o r u m " d a n s 3 P P C p a r c e qu'il nous oblige d e r a i s o n n e r et d e déduire seulement "per m a t h e m a t i c a s c o n s e q u e n t i a s " . S p i n o z a a fait u n e exception pour le P r o l e g o m e n o n : " N o u s aurions a d o p t é l'ordre m a t h é m a t i q u e , si nous n'avions pensé que l'inévitable prolixité d e ce genre d'exposition e m p ê c h e r a i t q u ' o n ne saississe b i e n tout d'une seule vue c o m m e sur u n t a b l e a u " . L'ordre m a t h é m a t i q u e n'est pas a p p r o p r i é p o u r t o u t public, c o m m e o n r e m a r q u e d a n s 5 T T P 3 6 : "Il faut toutefois le plus s o u v e n t , pour é t a b l i r u n e v é r i t é p a r les seules n o t i o n s d e l'intellect, un l o n g e n c h a î n e m e n t d e perceptions ( p e r c e p t i o n u m concaténation e t e n o u t r e u n e e x t r ê m e p r u d e n c e , un esprit c l a i r v o y a n t et u n e très g r a n d e possession d e soi, t o u t e s q u a l i t é s qui se t r o u v e n t r a r e m e n t c h e z les h o m m e s " . Le motif pour l'application d e la m a n i è r e g é o m é t r i q u e est explicité p a r Spinoza dans sa première lettre à Oldenbourg : " M a i s pou démontrer ces propositions a v e c plus d e clarté et de concision, j e n'ai pu faire mieux que de les s o u m e t t r e à votre e x a m e n a p r è s les a v o i r établies selon la forme géométrique ; j e vous les envoie s é p a r é m e n t . . . "
O n p e u t d i r e q u e d a n s les a n n é e s 1 6 6 1 - 1 6 6 2 il y a, c o m m e ainsi d i r e , u n e c é s u r e g é o m é t r i q u e d a n s le d é v e l o p p e m e n t d e S p i n o z a . Il est m a i n t e n a n t et d o r é n a v a n t convaincu qu'il y a ou bien u n e d é m o n s t r a t i o n m a t h é m a t i q u e ou pas u n e d é m o n s t r a t i o n d u tout. D a n s E p . 2 1 n o u s trouvons une série d ' e x p r e s s i o n s é q u i v a l e n t e s d a n s cette direction : " m a t h e m a t i c a m d e m o n s t r a t i o n e m " / " m o r e m a t h e m a t i c o scio" / " m a t h e m a t i c e scio". E p . 39 circonscrit le procès d e d é m o n t r e r c o m m e " m a t h e m a t i c e determinare". Ije " m o s geometricus" ne s e m b l e pas être simplement une m é t h o d e extérieure et facultative, q u ' o n pourrait é v e n t u e l l e m e n t é c h a n g e r c o n t r e une autre c o m m e on peut c h a n g e r d e toilette; S p i n o z a incline à proposer, que toute science d é m o n s t r a t i v e (si ce n'est p a s déjà u n p l é o n a s m e ) est essentiellement m a t h é m a t i q u e . D a n s le T T P n o u s l i s o n s s u r le " p h i l o s o p h i c a m s e u m a t h e m a t i c a m c e r t i t u d i n e m " que nous possédons sur l'existence de Dieu ( 1 4 T T P 3 6 ) . D a n s le chapitre quinze du T T P S p i n o z a use quatre fois d e l'expression " m a t h e m a t i c a d e m o n s t r a t i o " c o m m e s y n o n y m e d e ' d é m o n s t r a t i o n scientifique des vérités d e la science d e la n a t u r e ' , c o m m e o p p o s é aux i m a g i n a t i o n d e s p r o p h è t e s et les
connaissances inadéquates et confuses des auteurs d e la B i b l e . L a "Certitude m a t h é m a t i q u e " est explicitée c o m m e u n produit d e la nécessité de la perception de la chose perçue ou vue : "certitudo m a t h e m a t i c a ( h o c e s t q u a e e x n é c e s s i t a t e p e r c e p t i o n i s r e i p e r c e p t a e a u t v i a s a e s e q u i t u r ) " ( 2 T T P 1 2 ) . P o u r S p i n o z a la cetitude philosophique ou m a t h é m a t i q u e , alors, est le caractère d e nos idées en t a n t qu'éléments d'un système de pensées nécessaires, p a r essence e t naturellement : sur les choses vues ou vécues.
U n e distinction e n t r e science ( d e la n a t u r e ) e t m a t h é m a t i q u e n'existe c e r t a i n e m e n t p a s pour S p i n o z a . U n e telle distinction est p r o b l é m a t i q u e et m ê m e indamissible. D e ce fait o n ne p e u t plus d o u t e r que les e x p r e s s i o n s "scientias m a t h e m a t i c a s '/ ( 1 1 T T P 2 0 ) et " m a t h e s i s " ( l E a p p ) d o i v e n t ê t r e entendues d a n s un sens large, impliquant la science d e n a t u r e c o m m e telle. T o u t e idée ( i n a d é q u a t e ou a d é q u a t e ) est u n e idée d'un m o d e d e l'extension. L a r é g i o n e t le s y s t è m e d e s idées a d é q u a t e s est une réflexion nécessaire d e la structure d e la réalité é t e n d u e . P o u r S p i n o z a , la m a t h é m a t i q u e n'est p a s u n e science non-empirique, une science purement formelle. L a m a t h é m a t i q u e , c'est la connaissance sûre des formes de la réalité et des lois de leur changement.
J e pense q u e le c o n t e n u e m p i r i q u e , o u s u p r a - e m p i r i q u e c o m m e o n p e u t d i r e , de la m a t h é m a t i q u e e s t toiujours s u p p o s é p a r S p i n o z a , à part d e s propositions d e l'Ethique I I , o ù il explicite le caractère objectif d e toute idée. Voir sa thèse d'identité, 2 E 7 : "L'ordre et la connexion des idées sont les m ê m e s que l'ordre et la connexion des choses". l i s o n s quelques textes où le terme ' m a t h é m a t i q u e ' a p p a r a î t . A la première place j'offre u n passage d e la d e u x i è m e partie des Co&itata M e t a p h v s i c a . o ù S p i n o z a laisse voir de plus e n plus ce qu'il p e n s e l u i - m ê m e contre D e s c a r t e s , défenseur d e la liberté humaine, et dit alors :
" C a r si les h o m m e s connaissaient clairement l'ordre entier d e la n a t u r e , ils trouveraient toutes choses aussi nécessaires q u e toutes celles d o n t il est traité d a n s la m a t h é m a t i q u e ; mais cela dépasse la connaissance h u m a i n e . . . " ( 2 C M 9 / 2 )
Dans la lettre 6 Spinoza s'oppose contre la prétention de Boyle qu'on peut prouver des lois d e la nature p a r des expériences ce qui est impossible pour lui.
"Jusqu'au P a r . 18, l'illustre autuer s'efforce d e m o n t r e r q u e toutes les qualités tactiles d é p e n d e n t du seul m o u v e m e n t d e la figure et d ' a u t r e s affections m é c a n i q u e s ; ces d é m o n s t r a t i o n s toutefois n ' é t a n t p a s p r o p o s é e s p a r lui c o m m e m a t h é m a t i q u e s , p o i n t n'est besoin d'examiner si elles sont entièrement convaincantes. ...
J a m a i s personne ne réussira à le prouver p a r des e x p é r i e n c e s chimiques ni p a r a u c u n e sorte d'expériences, mais seulement p a r u n raisonnement d é m o n s t r a t i f et le calcul. P a r le r a i s o n n e m e n t , e n effet, nous divisions les corps à l'infini et c o n s é q u e m m e n t aussi les forces requises pour les m o u v o i r ; m a i s n o u s ne pourrrons j a m a i s p r o u v e r cela p a r d e s expériences".
O n v o i t c o m m e n t S p i n o z a r é c l a m e q u e la p h y s i q u e d o i t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n e b r a n c h e d e la m a t h é m a t i q u e . T o u t e la mécanique, mais aussi d e s preuves d a n s l'analyse chimique e m p r u n t e n t leur force à la démonstration quantitative. I^e territoire de cette mathématique physique n'est p a s restreint. L'Ethique c o m m e science d e l ' h o m m e , appartient aussi à la m a t h é m a t i q u e , elle est la ' m a t h e s i s ' d'une partie d e la nature c o m m e toutes les autres sciences d'autres parties de la nature.
"Je traiterai d o n c de la nature et d e la forme impulsive des sentiments et d e la puissance d e l'esprit sur eux selon la m ê m e m é t h o d e qui m'a p r é c é d e m m e n t servi e n t r a i t a n t d e Dieu et d e l'Esprit, et j e considérai les actions et les a p p é t i t s h u m a i n s d e m ê m e q u e s'il était question de lignes, d e plans ou de corps" ( 3 E préf.)
Et d a n s le Tractatus politique (1,4) nous lisons :
" D e plus, en vue d e conserver, d a n s le d o m a i n e de la science politique, u n e impartialité identique à celle d o n t nous a v o n s l'habitude lorsqu'il s'agit d e n o t i o n s m a t h é m a t i q u e s (ut e a d e m animi libertate, q u a res m a t h e m a t i c a s solemus inquirerem). j ' a i pris g r a n d soin d e
ne p a s tourner en dérision les actions h u m a i n e s , d e n e p a s les d é p l o r e r ni les m a u d i r e , m a i s d e les c o m p r e n d r e . E n d'autres t e r m e s , les s e n t i m e n t s p a r e x e m p l e d ' a m o u r , d e h a i n e , d e colère, d'envie, d e glorification personnelle, d e j o i e et p e i n e p a r s y m p a t h i e , enfin tous les m o u v e m e n t s d e sensibilité n'ont p a s été, ici, considérés c o m m e des défauts d e la n a t u r e h u m a i n e . Ils en s o n t d e s m a n i f e s t a t i o s n caractéristiques, t o u t c o m m e la chaleur, le froid, le mauvais temps, la foudre, etc. sont d e s manifestations d e la nature d e l'atmosphère".
En fait, S p i n o z a d é d u i t les p h é n o m è n e s h u m a i n s , les affections et les c o m p o r t e m e n t s p o l i t i q u e s , d e principe et d'axiomes, qui sont établis e x a c t e m e n t c o m m e ceux d'Euclide. S o n Ethique et s a Politique sont un élargissement et une continuation de la pratique d'Euclide. C'est pour çà qu'Euclide est s o n p a t r o n p a r excellence. L'identificatin d e S p i n o z a a v e c cet idole géométrique est presque complète d a n s u n passage d u T T P :
"Les choses qui de leur nature se perçoivent aisément, ne peuvent j a m a i s être e x p r i m é e s si obscurément qu'elles ne soient facilement e n t e n d u e s , c o n f o r m é m e n t a u p r o v e r b e : ' A celui qui e n t e n d , u n e p a r o l e suffit*. Euclide, qui n ' a écrit q u e des choses e x t r ê m e m e n t simples et p a r f a i t e m e n t intelligibles, est a i s é m e n t e x p l i c a b l e p o u r tous et e n t o u t e s langues; p o u r saisir s a p e n s é e , en effet, et être assuré d'en a v o i r t r o u v é le vrai s e n s , iln'est p a s nécessaire d ' a v o i r u n e c o n n a i s s a n c e e n t i è r e d e la l a n g u e o ù il a écrit; u n e connaissance très c o m m u n e et presque enfantine suffît; il est inutile aussi d e c o n n a î t r e la vie de l'auteur, le but où il tendait et ses m o e u r s , d e s a v o i r en quelle langue il a écrit, pour qui, e n quel temps, n o n plus que les fortunes d u livre, les diverses leçons d u texte e t enfin quls h o m m e s o n t décidés d e le recueillir. C e que j e dis d'Euclide, i faut l e dire d e tous ceux qui ont écrit sur des matières qui d e leur nature sont perceptibles" ( 7 T T P 6 6 ) .
O n ne peut contester que S p i n o z a se range parmi ceux qui ont écrit sur des matières perceptibles, et déclare ainsi son affinité a v e c Euclide. D a n s une note marginale, que S p i n o z a a ajouté d a n s la dernière période d e sa vie, il a encore expliqué ce qu'il entend par "res perceptibiles" par une référence à Euclide : "Euclidis propositiones a q u o v i s percipiuntur, priusquam d é m o n s t r a n t u r " . C'est la m ê m e évidence, qu'il réclame pour ses p r o p r e s a x i o m e s , pour ses définitions, p o u r ses postulats, pous ses ' l e m m a t a ' , p o u r les n o t i o n s c o m m u n e s , sur lesquels toute l'Ethique est b â t i e .
L e s e x e m p l e s .
A p r è s cette analyse linguistique, qui nous a forcé d e "intrare in médias res" e t nous a déjà fourni des informations très riches sur la philosophie d e la science d e S p i n o z a , nous p r e n d r o n s m a i n t e n a n t u n e a u t r e v o i e , qui nous p e r m e t t r a d a v a n t a g e d e faire l a c o n n a i s s a n c e a v e c les idées c e n t r a l e s d e l'epistemologie spinoziste. Il est bien connu q u e S p i n o z a recourt souvent à des illustrations géométriques, m a i s o n n'a j a m a i s d o n n é assez d'attention aux variétés d e s exemples et aux p o i n t s d e comparaison. O n a aussi p u b l i é q u e l'exemplification en cause o p è r e d e s deux côtés et ne nous instruit p a s seulement sur les choses £ éclaircir m a i s aussi sur la conception d e s m a t h é m a t i q u e s d e S p i n o z a . Il est e n o u t r e significatif, que les exemples d e S p i n o z a sont presque tous d e s exemples g é o m é t r i q u e s . S p i n o z a e s t c h e z lui d a n s ce d o m a i n e . L a géométrie remplit, pour ainsi dire, son univers du discours.
ije cercle sert à exemplifier le fait, qu'un m o d e du pensé est totalement i n c o m m e n s u r a b l e avec un mode d e l'étendu. "L'idée vraie est quelque chose de distinct de son objet ( a suo ideato). E n effet, le cercle est une chose, l'idée du cercle en est une autre. C a r l'idée du cercle n'est p a s quelque chose qui a u n e périphérie, un centre, c o m m e le cercle, et l'idée du corps n'est pas le corps l u i - m ê m e " ( T I E 3 3 ) .
Q u e la vérité est une propriété intrinsèque d e l'idée a d é q u a t e qui n ' a rien à faire a v e c u n e relation à une chose é t e n d u e ^ , un thème fondamental m a i s très difficile d a n s l'epistemologie spinoziste, est illustré brillamment et d'une manière convaincante d a n s T I E 7 2 / 7 3 à l'exemple du concept géométrique du globe.
"Aussi, la forme d e la p e n s é e vraie doit-elle être cherchée d a n s cette p e n s é e m ê m e . . . D o n c , pour Pétudier, m e t t o n s - n o u s en présence d'une idée vraie d o n t nous sachions a v e c la plus g r a n d e certitude q u e s o n o b j e t d é p e n d d e n o t r e puissance d e p e n s é e e t n e correspond à aucun objet d a n s la nature. C'est, cela ressort de ce que nous a v o n s dit, sur u n e i d é e s e m b l a b l e qu'il n o u s s e r a p o s s i b l e d ' é t u d i e r plus f a c i l e m e n t ce q u e n o u s voulons. P a r e x e m p l e , pour former le concept d e s p h è r e , j ' i n v e n t e u n e cause à v o l o n t é , soit un demi-cercle qui tourne a u t o u r d e s o n c e n t r e , e t la s p h è r e est, pour ainsi dire, e n g e n d r é e p a r r o t a t i o n . C e t t e idée est vraie a v e c certitude et, bien q u e nous s a c h i o n s q u ' a u c u n e s p h è r e de la n a t u r e n'a j a m a i s é t é ainsi e n g e n d r é e , c'est c e p e n d a n t u n e perception vraie et la plus facile m a n i è r e d e former le concept d e sphère. N o t e z e n c o r e que cette perception affirme que le demi-cercle tourne, affirmation qui serait fausse si l'on n'y joignait pas le concept d e sphère ou d e la cause qui détermine ce m o u v e m e n t , c'est-à- dire, absolument parlant, si cette affirmation était isolée".
U n e pensée d é p e n d t o t a l e m e n t e t u n i q u e m e n t du p o u v o i r d e l'intellect, " n e c o b i e c t u m t a n q u a m c a u s a m agnoscit" ( T I E 7 1 ) . L'idée de la s p h è r e fonctionne c o m m e illustration d e la pureté intellectuelle des idées adéquates et en tant q u e telle elle est prototypique pour toutes nos idées.
M a i s n o t r e idée d'un t r i a n g l e n'est p a s un isn t r a m e n t d i d a c t i q u e m o i n s utile. D a n s l'oeuvre de S p i n o z a elle sert m a i n t e s fois à illustrer le c o m b l e d e la certitude et m ê m e l'infaillibilité d a n s notre science ( m a t h é m a t i q u e ) . C'est s p é c i a l e m e n t n o t r e i d é e d e D i e u ( - N a t u r e ) , c ' e s t - à - d i r e , n o t r e connaissance d e son existence qui, i n é b r a n l a b l e et originale, est c o m p a r é e a v e c notre incapacité d e d o u t e r du fait que les trois angles d'un triangle s o n t égaux à deux d r o i t s . J e cite deux textes p o u r ce point, tous les deux d a n s un contexte gravement anti-cartésien :
" D ' o ù il suit que nous ne p o u v o n s m e t t r e e n d o u t e les idées vraies sous p r é t e x t e qu'il peut exister u n Dieu t r o m p e u r , qui n o u s t r o m p e r a i t m ê m e d a n s n o s p l u s g r a n d e s certitudes ... Et cela p a r la m ê m e sorte d e connnaissance qui, lorsque n o u s considérons la nature du triangle, nous fait trouver que ses trois angles sont égaux à deux droits. M a i s si nous connaissons Dieu c o m m e le triangle, alors tout d o u t e est levé. E t d e m ê m e q u e nous pouvons parvenir à une telle connaissance du triangle, bien que nous ne soyons pas certains qu'un trompeur suprême ne nous trompe pas, d e m ê m e nous p o u v o n s parvenir à une telle c o n n a i s s a n c e d e Dieu bien q u e n o u s ne s a c h i o n s p a s a v e c certitude si ce t r o m p e u r s u p r ê m e n'existe p a s . M a i s si n o u s p o s s é d o n s u n e telle c o n n a i s s a n c e , e l l e suffira, j e l'ai dit, à a b o l i r tout d o u t e q u e nous p o u v o n s a v o i r sur les idées claires e t distinctes" ( T I E 79).
L'imposture p a r un Dieu t r o m p e u r ( u n ' m a l i n g é n i e ' ) p o u r r a i t m ê m e s'étendre, selon D e s c a r t e s , à n o s vérités m a t h é m a t i q u e s , ce qui est pour S p i n o z a u n pur contre-sens.
"Sitôt considérée l'idée d e Dieu, n o u s ne p o u v o n s p a s plus penser qu'il est t r o m p e u r qu'en considérant l'idée de triangle nous ne pouvons penser que ses trois angles différent de deux droits. Et, de m ê m e que nous p o u v o n s former cette idée d u triangle, tout en n e sachant pas si l'auteur de notre nature ne nous trompe p a s , d e m ê m e nous ne p o u v i o n s non plus nous rendre rendre claire l'idée d e Dieu et nous la mettre devant les yeux tout en d o u t a n t e n c o r e si l'auteur d e n o t r e n a t u r e ne nous t r o m p e p a s d a n s tous les c a s . E t , pourvu que nous possédions cette idée quelle que soit la façon d o n t nous l'avons acquise, cela suffira, on l'a montré, poursupprimer tout d o u t e . . . Si nous a v o n s d e Dieu une telle idée, c o m m e j e l'ai l o n g u e m e n t m o n t r é plus haut, n o u s ne p o u v o n s d o u t e r ni d e s o n existence ni d'aucune vérité m a t h é m a t i q u e " ( 1 P P C Proleg.)
S p i n o z a n'accepte aucune différence e n t r e les deux " c o g i t a t a " quant à leur infaillibilité e t leur caractère m a t h é m a t i q u e . C e l a implique pour lui, q u e la connaisance d e Dieu, d e s o n existence et essence, d e ses propriétés ( c o m m e l'indivisibilité et l'infinité), explicitée et formulée d a n s les propositions d e l'Ethique I.
appartient intégralement à la mathématique î
R e t o u r n o n s au cercle, cette Ibis e m p l o y é e p a r S p i n o z a pour illustrer ce q u e c'est qu'une définition.
"Pour être dite parfaite, la définition d e v r a rendre explicite l'essence intime d e la chose et n o u s p r e n d r o n s soin d e ne p a s m e t t r e certaines propriétés d e l'objet à l a place d e s o n essence. Pour l'expliquer... j e m e contenterai d e l'exemple d \ i n e chose abstraite d o n t peu i m p o r t e la définition, j e veux dire le cercle : si o n le définit c o m m e é t a n t une certaine figure, d a n s laquelle les droites m e n é e s d u centre à la circonférence sont égales, il n'est personne qui ne voie q u e cette définition n e révèle a u c u n e m e n t l'essence d u cercle, m a i s seulement une certaine p r o p r i é t é . E t s a n s d o u e , c o m m e j e l'ai déjà dit, cela i m p o r t e peu d a n s le cas d e s figures et d e tous les êtres d e raison, m a i s p o u r les choses p h y s i q u e s , pour la réalité, c'est très i m p o r t a n t . . . L a définition d e v r a c o m p r e n d r e la cause prochaine.
P a r e x e m p l e , selon cette règle, le cercle devrait être ainsi défini : c'est u n e figure décrite par toute ligne d o n t u n e e x t r é m i t é est fixe et l'autre m o b i l e : définition qui c o m p r e n d clairement la cause p r o c h a i n e . Le concept d e la chose - sa définition - doit être tel q u e toutes les propriéts d e cette chose - considérée e n e l l - m ê m e e t n o n j o i n t à d ' a u t r e s - puissent e n être déduites, c o m m e o n peut le voir d a n s n o t r e définition du cercle. C e t t e définition permet e n effet d e conclure clairement que toutes les droites menées du centre à la circonférence sont égales" ( T I E 9 5 - 9 6 ) ^ .
P o u r illustrer ce qu'il veut dire, S p i n o z a cherche toujours u n c a s p u r et il le trouve s e u l e m e n t , il m e semble, dans les m a t h é m a t i q u e s , la science e n tant qu'épurée d'éléments troubles et fantastiques. Il va s a n s d i r e , q u ' a v e c cela il p r é s u p p o s e , q u e la m a t h é m a t i q u e est plus qu'une s i m p l e forme e x e m p l a i r e d e la science. Elle définit e t conduit l'activité scientifique à fond.
" L a vérité d e m e u r â t à j a m a i s cachée a u genre humain, si la M a t h é m a t i q u e , qui s'occupe o n des fins m a i s seulement d e s essences et des propriétés des figures, n ' a v a i t m o n t r é aux h o m m e s une autre règle de vérité" (aliam veritatis n o r m a m ) ( l E p r e f . )
La m a t h é m a t i q u e , c'est-à-dire la description exacte des propriétés des figures d e la m a t i è r e . C'est d a n s ce m ê m e sens que l'Ethique est conçu p a r S p i n o z a c o m e m description exacte d e s figures e t configurations d e s parties de la matière dans l'homme. L'Ethique, donc, est une partie d e la mathématique.
Il y a encore d'autres figures géométriques d a n s la b o î t e m a g i q u e d e S p i n o z a , q u e n o u s n ' a v o n s p a s e n c o r e r e n c o n t r é e s . D a n s l a t r o i s i è m e p a r t i e d u P P C , o ù S p i n o z a e x p l i c i t e le s t a t u t épistémologique d'une hypothèse scientifique c o m m e celle du tourbillon cosmique, il s'explique a u m o y e n de la genèse d'une parabole dessinée sur papier :
" N o u s a v o n s dit enfin qu'il nous était permis d e p r e n d r e une h y p o t h è s e d o n t o n puisse déduire c o m m e effets les p h é n o m è n e s d e la nature, bien que s a c h a n t d'ailleurs qu'ils n'en sont pas nés. Pour le faire c o m p r e n d r e , voici u n e x e m p l e . Si l'on trouve tracée sur le papier la ligne courbe appelée p a r a b o l e et qu'on veuille en rechercher la nature, il revient au m ê m e de supposer cette ligne o b t e n u e d ' a b o r d p a r la section d'un c ô n e et i m p r i m é e ensuite sur le papier, ou tracée p a r le m o u v e m e n t de d e u x lignes droites, o u produite d e quelque a u t r e manière; il suffit q u ' o n puisse déduire toutes les propriétés d e la p a r a b o l e . Bien mieux, si m ê m e o n sait qu'elle provient de l'impression d e la section d'un c ô n e sur le papier, o n pourra n é a n m o i n s supposer à volonté u n e a u t r e cause si elle p a r a i t plus c o m m o d e pour e x p l i q u e r t o u t e s les p r o p r i é t é s d e l a p a r a b o l e . D e m ê m e aussi, p o u r expliquer les traits d e la nature, il est permis d e prendre une h y p o t h è s e à volonté pourvu qu'on en déduise p a r conséquences mathématiques tous les phénomènes de la nature".
Il y a u n e m a r g e p o u r concevoir la vraie cause d u p h é n o m è n e m a i s la c o n d i t i o n pour l'acceptabilité d e s différentes h y p o t h è s e s est toujours qu'elles soient c o m p a t i b l e s a v e c l'effet d a n s toutes ses relations et
q u ' e l l e s e x p l i q u e n t ses p r o p r i é t é s . L a v i c t o i r e s e r a s a n s d o u t e à l ' h y p o t h è s e " s i m p l i c i s s i m a et c o m m o d i s s i m a " .
Les premiers écrits de S p i n o z a semblent être inspirés d e la m a t h é m a t i q u e d e part e n part.
L a m a n i è r e d e r é f o r m e r l ' e n t e n d e m e n t e s t c o p i é e , p o u r a i n s i d i r e , d e l a p r a t i q u e m a t h é m a t i q u e . Les "propriétés d e l'intellect" ( T I E 1 0 8 ) sont celles q u ' o n p e u t v o i r d a n s l'intellect d u m a t h é m a t i c i e n . L'intellect e n v e l o p p e la certitude, c'est-à-dire qu'il sait que les choses sont formellement c o m m e elles sont contenues e n lui objectivement. L'intellect possède ou forme l'idée d'une quantité infinie et d'autres idées, qui déterminent cette idée primordiale.
" P a r e x e m p l e , q u a n d il perçoit u n corps e n g e n d r é p a r le m o u v e m e n t d u p l a n , l e p l a n p a r c e l u i d e l a l i g n e , l a l i g n e e n f i n p a r c e l u i d u p o i n t , p e r c e p t i o n s qui ne servent d'ailleurs pas à c o m p r e n d r e la quantité, m a i s uniquement à la déterminer.
C e q u e nous r e c o n n a i s s o n s p a r f a i t e m e n t puisque n o u s les c o n c e v o n s c o m m e s'ils naissaient d'un m o u v e m e n t alors qu'en fait nous ne percevons p a s le m o u v e m e n t s a n s percevoir la quantité et que n o u s p o u v o n s continuer à l'infini le m o u v e m e n t destiné à former la ligne. C e q u e n o u s ne p o u r r i o n s a b s o l u m e n t p a s faire s i n o u s n ' a v i o n s p a s l ' i d é e d ' u n e q u a n t i t é i n f i n i e " ( T I E 1 0 M I I ) .
N o t r e conception m a t h é m a t i q u e du m o n d e présuppose celle d e l'infinité. C'est affirmée explicitement p a r notre Spinoza :
"Il ( l ' e n t e n d e m e n t ) perçoit les choses m o i n s sous (l'aspect d e ) la d u r é e que sous une certaine espèce d'éternité et s o u s l e n o m b r e i n f i n i ( n u m é r o inflnito). O u p l u t ô t , pour la p e r c e p t i o n d e s choses il ne tient c o m p t e ni du n o m b r e ni d e la d u r é e . E n revanche, lorsqu'il imagine les choses, il les perçoit sous (l'aspect d')un n o m b r e , d'une durée et d'une quantité déterminé" ( T I E 108/V).
L ' h o m m e qui explique les propriétés de l'intellect c o m m e c'est le c a s ici, ne peut p a s ne p a s ê t r e u n mathématicien.
Mais continuons notre inventaire des exemples géométriques ches S p i n o z a . N o u s a v o n s d é j à r e n c o n t r e le t r i a n g l e c o m m e e x e m p l e d e l'infaillibilité et c e r t i t u d e d e n o t r e c o n n a i s s a n c e intellectuelle. M a i s S p i n o z a se sert aussi du triangle pour illustrer la p r o d u c t i v i t é d e nos idées. Les idées adéquates que nous possédons, causent et d o n n e n t lieu à d'autres idées a d é q u a t e s (cf.2E36 et 2 E 4 2 ) . V o i r la merveilleuse illutration de ce fait épistémologique d a n s le second dialogue d u Korte Verhandeling :
"Pour pous de clarté, voici encore un autre e x e m p l e : S o i t l'idée q u e j ' a i d'un t r i a n g l e e t u n e a u t r e , p a r l e p r o l o n g e m e n t d ' u n d e s a n g l e s - ce qui fait q u e l'angle ainsi formé est nécessairement égal aux deux angles intérieurs n o n adjacents, etc. C e s idées, dis-je, en o n t produit u n e troisième : les trois angles d u triangle sont égaux à deux droits - idée qui est unie à la première, d e façon qu'elle ne peut exister ni être conçue sans elle".
L e point d e cet exemple est e n général des deux dialogues est, que S p i n o z a a procédé d e cette façon d a n sa d é m o n s t r a t i o n d e l'existence et de la nature d e D i e u / N a t u r e d a n s les d e u x premiers chapitres d u C o u r t Traité.
S p i n o z a est fasciné par l'exemple du t r i a n g l e . Le p o u v o i r illuminatif du triangle est p r e s q u ' i n é p u i s a b l e pour l u i . C e t t e figure p r i v i l é g i é e reçoit m ê m e , à u n c e r t a i n m o m e n t d e l a correspondance, une personnification, pour illustrer la différence entre nos deux sortes d e connaissances de Dieu, l'imagination e t l'intuition intellectuelle.
" J e crois q u e le t r i a n g l e , s ' i l é t a i t d o u é d e p a r o l e , d i r a i t d e m ê m e q u e D i e u e s t é m i n e m m e n t t r i a n g u l a i r e , e t le cercle, q u e l a n a t u r e d e D i e u e s t é m i n e m m e n t circulaire... V o u s m ' a v e z d e m a n d é si j ' a i de Dieu u n e idée aussi claire q u e d u triangle. J e réponds que oui. Mais d e m a n d e z en revanche si j ' a i d e Dieu une image aussi claire que du triangle, j e répondrai que n o n : nous p o u v o n s e n effet concevoir Dieu par l'entendement, non pas l'imaginer. R e m a r q u e z aussi que j e ne dis pas que j e connaisse Dieu entièrement;
mais j e connais certains d e ses a t t r i b u t s , non pas tous ni la plus g r a n d e partie. Et il est certain que cette ignorance d e la p u p a r t des attributs n e m ' e m p ê c h e p a s d'en c o n n a î t r e quelques-uns" (Ep.56).
S p i n o z a recourt volontiers à des e x e m p l e s m a t h é m a t i q u e s p o u r d é m o n t r e r d e s a b s u r d i t é s . P r o t o t y p i q u e pour cette m a n i è r e d'argumenter est l E 1 5 s , où l a thèse "absurde", que l a substance corporelle pourrait être c o m p o s é e d e p a r t i e s , e s t rejetée. L e s a d v e r s a i r e s , qui v e u l e n t m o n t r e r q u e l a s u b s t a n c e corporelle e s t indigne de l a nature divine e t ne peut lui appartenir, s e servent d e cette fausse hypothèse pour arriver à la conclusion qu'une substance étendue est finie. Parce que, d a n s leur optique, u n e substance infinie doit ê t r e composée d'une "quantité infinie mesurable", ils aboutissent à l'absurdité atomistique.
"Si donc, d e cette absurdité qui est leur, ils veulent c e p e n d a n t conclure qu'une substance étendue d o i t être finie, i l s s e c o m p o r t e n t c o m m e c e l u i q u i s ' e s t figuré q u e l e c e r c l e p o s s è d e l e s p r o p r i é t é s d u c a r r é , e t c o n c l u t q u e l e c e r c l e n ' a p a s d e c e n t r e d ' o ù t o u t e s l e s l i g n e s m e n é e s à l a c i r c o n f é r e n c e s o i e n t é g a l e s . C a r la substance corporelle, qui n e peut ê t r e conçue qu'infinie, unique e t indivisible, ils la c o n ç o i v e n t c o m m e c o m p o s é e d e parties finies, multiple e t divisible, pour p o u v o i r conclure q u ' e l l e e s t finie. D e m ê m e e n c o r e , d ' a u t r e s , a p r è s s ' ê t r e figuré q u ' u n e l i g n e e s t c o m p o s é e d e p o i n t s s a v e n t t r o u v e r d e n o m b r e u x a r g u m e n t s p o u r m o n t r e r q u ' u n e l i g n e n e p e u t ê t r e d i v i s é e à l ' i n f i n i . E t certes il n'est p a s moins absurde de supposer que la substance corporelle est composée d e corps ou de parties, que d e supposer que le corps est c o m p o s é d e surfaces, les surfaces d e lignes, e t enfin les lignes d e points. E t cela, tous ceux q u i s a v e n t q u ' u n e raison claire est infaillible, doivent l'avouer, e t en premier lieu ceux qui nient qu'il y a i t du vide".
U n autre e x e m p l e ' n é g a t i f s e t r o u v e d a n s E p . I X ( à S i m o n d e V r i e s ) . N o u s s a v o n s déjà q u e selon S p i n o z a une définition est une idée claire et distincte, que nous possédons seulement quand nous s o m m e s conscients d e l'essence d e l a chose, q u e nous connaissons c o m m e l'effet d'une a u t r e chose. U n e définition m o n t r e , pour ainsi dire, s a propre vérité (index sui). M a i n t e n a n t , ce qui est une b o n n e définition est illustrée par ce qui est une mauvaise définition :
" C ' e s t p o u r q u o i u n e m a u v a i s e définition e s t c e l l e q u i n ' e s t p a s c o n ç u e . P o u r m'expliquer, je p r e n d r a i l'exemple d e Borelli : d e u x l i g n e s d r o i t e s e n f e r m a n t u n e s p a c e s o n t u n e figure. Si l'on e n t e n d p a r lignes droites c e q u e tous e n t e n d e n t p a r lignes courbes, alors la définition est valable (on entendrait par cette définition une figure telle que ( ) o u d'autres s e m b l a b l e s ) , p o u r v u que p a r la suite, o n n ' a p p e l l e p a s l i g n e s droites' des carrés ou d'autres figures. M a i s si l'on e n t e n d p a r lignes droites ce q u e l'on entend c o m m u n é m e n t , la chose est parfaitement inconcevable, e t l a définition est nulle.
Tout cela est confondu p a r Borelli, d o n t vous êtes prêt cependant à partager ropinion"20 ( E p . I X ) .
U n e dernière illustraiton c o m p l é t e r a notre i n v e n t a i r e . C'est e n c o r e une fois p o u r faire voir c o m m e n t il peut y avoir une g r a n d e distance entre ce que nous disons e t ce que nous p e n s o n s , ou, autrement dit, pour éclaircir ce que c'est que l'erreur.
"Et, bien entendu, la plupart des erreurs consistent e n cela seul que n o u s n e d o n n o n s pas correctement leurs n o m s a u x choses. C a r , l o r s q u ' o n d i t q u e l e s d r o i t e s m e n é e s
d u c e n t r e d ' u n c e r c l e à s a c i r c o n f é r e n c e s o n t i n é g a l e s , o n e n t e n d c e r t a i n e m e n t p a r cercle, a u m o i n s à ce m o m e n t - l à ; autre chose q u e les m a t h é m a t i c i e n s . D e m ê m e , lorsque des h o m m e s se t r o m p e n t d a n s un c a l c u l , ils o n t d a n s l'esprit d'autres n o m b r e s que ceux qu'ils o n t sur le papier. C'est pourquoi, si l'on considère leur esprit, ils ne se trompent certes p a s ; c e p e n d a n t ils nous paraissent se t r o m p e r , parce que nous p e n s o n s qu'ils ont d a n s l'esprit les n o m b r e s qui s o n t sur le papier. A u t r e m e n t , nous ne croirions p a s qu'ils se trompent; de m ê m e , j ' a i entendu récemment quelqu'un crier que s a maison s'était envolée sur la poule de son voisin et j e n'a p a s cru qu'il se trompait, parce s o n intention m e paraissait assez claire" (2E47s).
J e pense qu'on a v u beaucoup d e choses d a n s les textes cités qui peuvent être résumés ainsi :
t - L a connnaissance mathématique est directe ou indirecte.
2 - Elle est i n d é p e n d a n t e de l'objet o u d e la réalité; elle est m ê m e i n c o m m e n s u r a b l e o u les c h o s e s mathérielles;
3 - Sa vérité est justifiée à Pintérieur du m o n d e des oncepts m a t h é m a t i q u e s ;
4 - cette connaissance possède la plus g r a n d e stabilité; elle est m ê m e infaillible q u a n t a u x concepts élémentaires;
5 - les concepts mathématiques o n t le plus haut degré de certitude;
6 - les définitons mathématiques contiennent la cause des propriétés d e s 'definienda';
7 - une définition mathématique est claire et se montre en tant que telle;
8 - la m a t h é m a t i q u e est toujours une d é t e r m i n a t i o n et u n e spécification d e n o t r e idée d e q u a n t i t é , attribut d e Dieu.
9 - les idées d e n o m b r e s , d e proportions, d e mesures etc. présupposent l'idée de l'infinité;
10 - l'infinité est indivisible et hors d'atteinte pour u n n o m b r e quelconque;
11 - les c o n c e p t s m a t h é m a t i q u e s c o n c e r n e n t la n a t u r e éternelle et nécessaire d e s choses et p a s leur existence temporelle;
12 - les idées m a t h é m a t i q u e s sont productives p a r elles-mêmes; elles forment la source d o n t d ' a u t r e s idées découlent;
13 - elles sont, toutes e n s e m b l e s , la c o m p r é h e n s i o n d e ce qui ne peut être a u t r e m e n t ; elles formulent la nécessité d e la nature.
D a n s la réédition récente d e sa m o n o g r a p h i e sur S p i n o z a ^ * S t u a r t H a m p s h i r e écrivait qu'il avait - d a n s les a n n é e s c i n q u a n t e - b e a u c o u p sous-estimé le caractère m a t h é m a t i q u e d e la science spinoziste. "I m u c h underestimated t h e peculiarity of S p i n o z a ' s claims for m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e " ( p . 6 ) . . . " M a t h e m a t i c s is w h o l l y independent of the particularities of history a n d o f m e m o r y . S p i n o z a h a s a n uncompromisingly realist view of the truths of m a t h e m a t i c s . If the a x i o m s a n d t h e o r e m s o f m a t h e m a t i c s are the pardigms of indubitable knowledge, a n d if truth is agreement w i t h reality, t h e n t h e elements of the physical universe must b e revealed to us in our mathematical reasonig" ( 1 5 ) . l'Ethique est u n s y s t è m e d e p r o p o s i t o n s d é m o n t r é e s sur la structure g é n é r a l e d e la r é a l i t é , qui v r a i m e n t peut r é c l a m e r d ' ê t r e mathématique.
"Idea vera debet cum suo ideato convenire" / " U n e idée vraie doit s'accorder avec la chose pensée par elle".
C e sixième a x i o m e d e l'Ethique I est fondamental pour le concept d e m a t h é m a t i q u e que nous a v o n s trouvé
chez Spinoza. C e t a x i o m e est la prémisse pour la proposition 1E30, d a n s la d é m o n s t r a t i o n d e laquelle cet a x i o m e est reformulé ainsi : " h o c est (ut per se n o t u m ) id q u o d i n intellectu obiective continetur, d é b e t necessario in n a t u r a d a r i " ("c'est-à-dire ( c o m m e il est connu de soi) que ce qui est contenu objectivement dans l'entendement doit nécessairement être d a n s la Nature). A u t a n t que nos idées sont extorqué ou forcé à leur existence p a r d'autres idées, autant qu'elles sont des éléments d a n s u n s y s t è m e logique, elles sont des idées vraies, d e s idées desquelles les choses e u x - m ê m e s s o n t les objets q u a n t à leur structure nécessaire.
David H u m e exprimait la m ê m e chose d a n s sa formule fameuse : " W h a t e v e r w e conceive, w e conceive it to be existent". Il est impossible pour nous d e comprendre quelque chose et en m ê m e t e m p s penser qu'elle n'est peut-être p a s ou pas telle c o m m e nous la c o m p r e n o n s .
L a science mathématique est un sytème développé des relations élémentaires de la nature, sur lequel il n'est p a s possible d e douter. Les 2 5 8 propositiosn d e l'Ethique a p p a r t i e n n e n t à ce système au m ê m e titre que les a u t r e s théorèmes m a t h é m a t i q u e s . Elles forment u n e continuation, un élargissement et spécification d e la science m a t h é m a t i q u e c o m m e telle. P o u r ê t r e u n e p r o p o s i t i o n m a t h é m a t i q u e ce n'est pas du tout une "conditio sine qua n o n " d'être formulée d a n s une langue n u m é r i q u e , a l g é b r i q u e etc. la seule chose qui c o m p t e c'est sa relation inévitable a v e c les a u t r e s é l é m e n t s de notre pensée scientifique sans qu'il y ait aucun autre qui la contredise.
C e qu'est le concept d e la m a t h é m a t i q u e c h e z S p i n o z a est m o n t r é p a r s e s a n a l y s e s concrètes du c o m p o r t e m e n t h u m a i n . Il n'y a p a s une définition d e la m a t h é m a t i q u e à p a r t d e s i d é e s m a t h é m a t i q u e s . S p i n o z a e s t u n représentant é m i n e n t d u naturalisme scientifique. Si n o u s voulons s a v o i r ce que c'est selon lui la mathématique, il n'y a p a s une autre voie que d e faire la m a t h é m a t i q u e et d'acquérir la c o n n a i s s a n c e d e s lois d e la n a t u r e . P a r c e q u e : " n i h i l i n t e l l i g e r e p o s s u m u s q u o d a d p e r f e c t i o r e m i n t e l l e c t i o m i s c o g n i t i o n e m n o n c o n d u c a t " ( l E 3 1 s : " n o u s n e p o u v o n s , en effet, rien comprendre qui ne conduise à une connaissance plus parfaite d e l'acte d e compréhension").
*G. Canguilhem, V i e et mort de Jean.Cayaillès (Les carnets de Baudasser, 1967), p.31
^ D a n s Ethique I, a p p . "rerum c o n c a t e n a t i o n e m " est le s o m m a i r e de ce que S p i n o z a a fait d a n s la première partie. D a n s 5 T T P 3 6 tout son travail scientifique est résumé c o m m e u n e " l o n g a p e r c e p t i o n u m concatenatio" : " o m n e s suas perceptiones ex paucis axiomatibus deducere et inficem concatenare".
•*Sur la logique et la théorie d e la science. Paris : Vrin 1 9 7 63. n.4 .
* I b . 0.2. Cf. p . 2 4 ; "une auto-illumination du m o u v e m e n t scientifique*.
5C f . 2 E 4 3 s : " S a n e sicut lux se i p s a m et t e n e b r a s manifestât, sic verritas n o r m a sui e t falsi est".
^ C a v a i l l e s , o.c. p . 18; p . 2 5 : " m o u v e m e n t g é n é r a t e u r " ; p . 3 5 : " d é p a s s e m e n t s successifs"; p . 7 3 :
" L ' e n c h a î n e m e n t déductif est-il essentiellement créateur des contenus qu'il a t t e i n t " . P o u r S p i n o z a 2 E 4 2 :
"Secundi et tertii ... cognitio docet n o s v e r u m a fal'so distinguere"; 2 E 5 : les idées c o m m e telles s o n t les
"causae efficientes" d'autres idées.
7P . 2 5 : "La véritable science ne quitte pas le d é m o n t r é " ; elle ( p . 2 8 ) est "le profil impérieux d e ce qui vient après nécessairement ...". I E 2 9 : "In rerum n a t u r a nullum d a t u r contingens"; 2 E 4 4 : " D e n a t u r a rationis non est res ut contingentes, sed ut necessarias contemplari".
8V o i r a u s s i G . G . O r a n g e r , " J e a n C a v a i l l e s o u la m o n t é e v e r s S p i n o z a " , L e s E t u d e s philosophiques 1947 et Bruno H a u s m a n , d a n s un papier encore inédit, intitulé "Cavaillès et S p i n o z a " .
*^Ep. 16: " T e i m p r i m i s m o n e r e mihi fas sit, ut p r i n c i p i a rerum p r o m a t h e m a t i c i t u i i n g e n i i a c u m i n e c o n s o l i d a i s p e r g a s : uti n o m b i l e m m e u m a m i c u m R o y l i u m s i n e m o r a pellicio, ut t a n d e m experimentis et observationibus pluries et accurate factis confirmet illustretque".
^^Dictionnaire historique et critique. R o t t e r d a m 1702, tome III, p . 3 4 4 .
* *Dans u n d o c u m e n t , tout récemment découvert, o n peut lire q u e S p i n o z a e t H u d d e forment u n couple d a n s leur critique d e D e s c a r t e s dès l'année 1 6 6 1 : " S p i n o z a m ex j u d e o C h r i s t i a n u m et j a m fere
a t h e u m Rinsburgi vivere, in philosophia C a r t e s i a n a excellere, i m o ipsum in multis s u p e r a r e C a r t e s i u m distinctis se. e t probabilibus conceptibus, longe t a m e n o m n e s antevertere H u d d e n i u m A m s t e l o d a m i , qui e t 'de forkeren' tractatulum edidit adiunctum postremis Cartesii operibus Geometricis".
1 2W . N . A . Klever, "Burchard d e V o i d e r ( 1 6 4 3 - 1 7 0 9 ) , a cryptospinozist o n a I-eiden c a t h e d r a " , d a n s L I A S X V ( 1 9 8 8 ) 191-241.
1 3V o i r l'édition critique du Praefatio p a r F . A k k e r m a n d a n s Studies in t h e p o s t h u m o u s w o r k s o f S p i n o z a . Meppel 1980? - J e doit noter ici déjà q u e les petites traités sur Reeckening v a n Kanssen (calcul des chanches) et Stelkonstige reeckening v a n d e n r e g e n b o o g (calcul a l g é b r i q u e d e l'arc d u ciel), publiés a n o n y m e m e n t e n 1 6 8 7 et a t t r i b u é p e n d a n t u n siècle à S p i n o z a , n e s o n t p a s d e s a m a i n . Q u o p i q u e M . Petry les a réédités récemment et c o m m e n t é s e n hollandais, allemand, français e t anglais e t les a défendus comme d e s écrits a u t h e n t i q u e s , il e s t m a i n t e n a n t , à l a b a s e d ' u n d o c u m e n t r é c e m m e n t r e t r o u v é , indiscutable, q u e l'imputation à S p i n o z a est i n t e n a b l e . Voir, aussi pour toutes les références: J . J . V . M . d e V e t , " S p i n o z a ' s a u t h o r s h i p ... o n c e m o r e doubtful", d a n s S t u d i a S p i n o z a n a 2 ( 1 9 8 6 ) 2 6 8 - 3 1 0 . C e décompte d'une fiction nous libère d e beaucoup d e probèmes d'un auteur avec un esprit confiis.
^ S p i n o z a , O e u v r e s c o m p l è t e s . Edition P l e i a d e . T r a d u c t i o n d e R o l a n d C a i l l o i s , M a d e l e i n e Frances et R o b e r t Misrahi.
15Voir l'étude magistrale qu'Alexandre M a t h e r o n a dédié à cet e x e m p l e : " S p i n o z a a n d Euclidean arithmetic : the e x a m p l e o f the fourth p r o p o r t i o n a l " in S p i n o z a a n d t h e sciences. E d . b y M . G r e n e a n d D . N a i l s . D o r d r e c h t : Reidel 1986, 125-150. Il m o n t r e q u e la différence e n t r e le troisième e t le q u a t r i è m e m o d e de la connaissance n'implique pas que le dernier e s t totalement sans aucune déduction.
l ^ E l e m e n t a , Koinai ennoiai, a.
l 7E n 1974. Edité par A . K . OfTenberg. A m s t e r d a m 1 9 7 5 .
l*Voir 2 E def.IV : "Per ideam a d a e q u a t a m intelligo ideam, q u a e , quatenus in se sine relations a d obiectum consideratur, omnes verae ideae proprietates sive denominationes intrinseca^ habet". O n peut lire de belles pages sur ce t h è m e d a n s F r a n c o Biasutti, La d o t t r i n a della scienza in S p i n o z a . B o l o g n a 1 9 7 9 , ch.II : "Il concetto della verità".
19L*Epitre 6 0 contient exactement le m ê m e e x e m p l e pour la m ê m e fin : " A d circuii proprietates investigandas inquiro, a n ex h a c idea circuii, quod scilicet c o n s t a t ex infinitis rectangulis, possim o m n e s eius proprietates deducere; inquire, inquam, a n h a e c idea c a u s a m circuii efficientem involvat. Q u o d q u u m non fiat, alian q u a e r o : n e m p e q u o d circulus sit s p a t i u m q u o d describitur a linea, cuius u n u m p u n c t u m est fixum, alterum m o b i l e . Q u u m h a e c definitio i a m c a u s a m efficientem e x p r i m â t , scio m e o m n e s inde posse circuii proprietates d e d u c e r e . . . "
^ S i m o n J o o s t e n d e V r i e s a v a i t écrit, c o m m e secrétaire d u cercle A m s t e l o d a m o i s : "consului subtilis ingenii m a t h e m a t i c u m Borellum"! L'autorité d e Borelli n ' a p a s b e a u c o u p d e v a l e u r pour S p i n o z a , qui ne lui d o n n e p a s un coup d e chapeau.
2 l F i r s t published 1 9 5 1 : reprinted 11 t i m e s , - ; r e p r i n t e d w i t h a n e w introduction a n d r é v i s o n s 1987; Pelican B o o k s .
