Algèbre
Anneaux - Corps
Denis Vekemans∗
Solution 3
1. ∀(x, y) ∈R2, on posexL
y=x+y−2etxN
y=x·y−2x−2y+ 6.
• xL
y=x+y−2∈R. DoncL
est une loi interne.
• xL (yL
z) =x+y+z−4 = (xL y)L
z. DoncL
est une loi associative.
• xL
y=x+y−2 =yL
x. DoncL
est une loi commutative.
• xL
2 =x. Donc2 est élément neutre pourL .
• xL
(4−x) = 2. Donc tout x est inversible (d’inverse4−x) par L . Ainsi, (R,L
,2)est un groupe abélien.
2. • xN
y=x·y−2x−2y+ 6∈R. DoncN
est une loi interne.
• xN (yN
z) =x·y·z−2(x·y+y·z+z·x) + 4(x+y+z)−6 = (xN y)N
z. DoncN
est une loi associative.
• xN
y=x·y−2x−2y+ 6 =yN
x. DoncN
est une loi commutative.
• xN
3 =x. Donc3 est élément neutre pourN .
• ∀x 6= 2, xN2x−3
x−2 = 3. Donc tout x différent du neutre de la loi L
est inversible (d’inverse 2xx−2−3) parN
.
• xN (yL
z) =x·y+x·z−4x−2(y+z) + 10 = (xN y)L
(xN
z). DoncN
est une loi distributive par rapport àL
. Ainsi, (R,L
,N
) est non seulement un anneau commutatif unitaire, mais un corps.
Solution 10 (A,+,·) est un anneau commutatif unitaire intègre et fini. On note 0 le neutre de A pour+ et1 le neutre de Apour ·.
Soitφa:x∈A7→a·x∈A avec a6= 0.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
φa(x) =φa(y) =⇒ a·x=a·y
=⇒ a·(x−y) = 0
=⇒ x−y= 0 carA est intègre eta6= 0
=⇒ x=y Ainsi, φa est injective.
Mais, commeA est fini, siφa est injective,φa est aussi bijective.
Donc, il existe un unique y tel que a·y = 1 car φa est surjective, donc tout élément non nul de A est inversible etA est un corps.
Solution 13 Les endomorphismes du corpsRsont les applications de RdansR telles que
∀(x, y)∈R2, f(x+y) =f(x) +f(y) etf(x·y) =f(x)·f(y).
L’application f identiquement nulle convient.
Def(0 + 0) =f(0) +f(0), il vient directement quef(0) = 0.
Def(1·1) =f(1)·f(1), il vient directement quef(1) = 0ou f(1) = 1.
• Premier cas : f(1) = 0.
Alors, ∀x∈R, f(x×1)
| {z }
=f(x)
=f(x)×f(1)
|{z}
=0
= 0 etf est l’application identiquement nulle.
• Deuxième cas : f(1) = 1.
Soit n∈N, on montre aisément par récurrence que f(n) =n(car f(n+ 1) =f(n) +f(1)
|{z}=1
).
Soit p∈ −N, on a f(p+ (−p))
| {z }
=f(0)=0
=f(p) +f(−p)
| {z }
=−p
puis f(p) =p. Ainsi,∀p∈Z, f(p) =p.
Soit n∈N∗, on af(n× 1 n)
| {z }
=f(1)=1
=f(n)
| {z }
=n
×f(1n) puisf(n1) = n1.
Soit p∈Zetn∈N∗, on af(np) =f(p)
|{z}=p
×f(1 n)
| {z }
=n1
= np. Ainsi,∀q ∈Q, f(q) =q.
On montre maintenant que f est une fonction strictement positive surR∗+ : six >0,f(x) =f(√ x)× f(√x) = (f(√x))2>0.
On en déduit que f est une fonction strictement croissante sur R : si a > b, alors a−b > 0, puis f(a−b)>0, puis f(a)> f(b) etf est une fonction strictement croissante.
Maintenant on conclut que∀x∈R, f(x) =x par un critère de densité (Qest dense dans R) :
∀x ∈ R, ∀ε > 0,∃r1 ∈ Q,∃r2 ∈ Q tels que r1 < x < r2 et r2−r1 < ε, puis par croissance de f, f(r1)
| {z }
=r1
< f(x)< f(r2)
| {z }
=r2
etf(x)(tout commex) est dans l’intervalle]r1, r2[, ce qui conduit à|f(x)−x|< ε, puis àx=f(x) en faisant tendre εvers0.
–2/2– Mathématiques
