Correction du TD 1: Analyse dimensionnelle

Correction du TD 1: Analyse dimensionnelle

Loïc Simon, Mahdi Ben Jelloul 29 mars 2004

Rappels sur les dimensions et les systèmes d'unités

Deux paramètres sont nécessaires pour dénir une quantité physique :

sa dimension longueur , temps, vitesse, accélération, énergie sont des dimensions ; la dimension s'exprime en fonction d'un certain nombre de dimensions de base. Les dimensions de base sont traditionnellement la masse M, la longueur L, le temps T, l'intensité de courant I etc (voir plus bas système d'unités). Toute quantité dimen- sionnée est du type[Q] =M^mL^lT^t (on a omisI et d'autres unités de base n'interve- nant que rarement dans en mécanique des uides). Par exemple, la dimension d'une vitesse est [v] =L T⁻¹, celle d'une énergie [v] =M L T⁻².

sa mesure simple valeur numérique, dénie par comparaison de la quantité avec un étalon de même dimension choisi comme unité. Ce choix est purement conventionnel et ar- bitraire. Plusieurs systèmes d'unités peuvent être construits sur les même dimensions de base. Nous utiliserons le Système International (SI) dont les unités sont indiquées à la table 1 dont on peut retenir les unités les plus importante en se souvenant qu'il est parfois appelé MKSA. Il existe cependant d'autres systèmes comme le système CGS dont les premières unités de base sont le gramme, le centimètre et la seconde.

Importance des nombres adimensionnés Une mesure n'est pas dénie hors du sys- tème d'unités dans lequel elle a été obtenue. Soit l'accélération a = 100 m²s⁻¹ = 10g. Sa mesure est 100 ou 10 selon que l'on a adopté le système SI ou un système où g est l'unité d'accélération. Seules les quantités sans dimensions en particulier les rapports de quantités de même dimension ont la même mesure dans tous les systèmes d'unités. Par exemple a/g = 10 dans les deux systèmes ci-dessus.

Unités et constantes universelles Supposons que de notre perception du monde réel ne nous propose que les trois dimensions de base intuitives M,LetT. Par l'intermédiaire de constante universelle, il nous est possible de :

Rajouter des dimensions Par exemple, an de dénir l'unité de force le newton N, il sut de transformer le principe fondamental de la dynamique en :F=αmaoùαest

Grandeur Symbole Nom de

l'unité Symbole

de l'unité Description

longueur Lou l mètre m Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde.

masse M oum kilogramme kg Le kilogramme est l'unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international du kilo-

gramme .

temps T ou t seconde s

La seconde est la durée de 9 192 631 770 pé- riodes de la radiation correspondant à la tran- sition entre les deux niveaux hyperns de l'état fondamental de l'atome de césium 133

.

courant

électrique I ampère A

L'ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur innie, de section cir- culaire négligeable et placés à une distance de un mètre l'un de l'autre dans le vide produirait entre ces conducteurs une force égale à 2.10-7 newton par mètre de longueur.

température T kelvin K Le kelvin, unité de température thermodyna- mique, est la fraction 1/273,16 de la tempéra- ture thermodynamique du point triple de l'eau.

quantité de

matière n mole mol

La mole est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12.

Lorsque l'on emploie la mole, les entités élémen- taires doivent être spéciées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d'autres particules ou des groupements spéciés de telles particules.

intensité

lumineuse IV candela cd

La candela est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 hertz et dont l'intensité énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par sté- radian.

Tab. 1 Unités S.I. Toutes les autres unités utilisées pour décrire des grandeurs physique peuvent être obtenues à partir de ces sept unités de base via une analyse dimensionnelle.

Les préxes du SI sont employés pour simplier les grands (et les petits) nombres.

un constante de dimension[α] = [F]M⁻¹L⁻¹T² et de mesureα= 1 N kg⁻¹m⁻¹s². De même, il est possible de rajouter la dimension énergie[E] =M L²T⁻². La dimension température peut alors être déni en introduisant la constante universelle k dite constante de Boltzmann. En introduisantn−3constantes physiques universelles, on obtient un système d'unité àn dimensions.

Retrancher des dimensions Partons encore un fois de nos trois dimensions intuitives M,L et T. La constante de la gravitation est telle que

F =−Gm² r²

où F est une force ; sa dimension vaut donc : [G] = M¹l³T⁻². Si l'on xe G = 1, constante absoluesans dimension, cela revient à choisir de mesurer les masses en termes de L et T, soit [m] = L³T⁻². En xant les deux constantes universelles, c la célérité de la lumière eth la constante de Planck àc=h= 1, on obtient un système sans aucunes dimensions utilisé en physique théorique !

1 Gaz d'électrons

On se propose de travailler dans le système d'unités S.I.. Par dénition σ = N e²τ /m soit :

N = σ m

e²τ, [N] = [σ] [m]

[e]²[τ]. (1)

Il vient immédiatement [m] =M et[τ] =T. Pour[e], utilisons la dénition d'un courant i=d q/d t d'où [e] = [dq] = [i][dt] =I T.

Pour [σ], utilisons la loi d'Ohm :

j=σE, [σ] = [j]

[E], (2)

où[j] se déduit de la dénition : I =

Z Z

j·dS, [j] =I L⁻².

Il ne reste plus queEque l'on détermine à partir de la dénition de la force électrique : F= [q] [E], soit [E] = [F]

[q], et de la relation fondamentale de la dynamique :

F=ma, soit [F] =M L T⁻².

Il vient donc : [E] = M L T⁻³I. Cette dernière relation est utilisée conjointement avec (2) pour déterminer [σ] = M⁻¹L³T³I². Finalement, on détermine la dimension de N en utilisant (1) et il vient :

[N] =L⁻³, (3)

soit l'inverse d'un volume. Il s'agit en fait du nombre d'électrons par unité de volume.

2 Diusion

On considère l'équation de diusion :

∂c

∂t =D ∂²c

∂x² tel que

c(x,0) = 0 ∀x6= 0 (condition initiale) RL

0 dx c(x, t) =m₀ (conservation de la masse) , (4) oùcest la concentration linéïque de colorant etDla diusivité et s'exprime enm²s⁻¹. On introduit les variables adimensionnées :

x⁰ = x

L, c⁰ = c m₀/L. En les injectant dans (6), il vient :

∂c⁰

∂t = D L²

∂²c⁰

∂x⁰² tel que

c⁰(x⁰,0) = 0 ∀x⁰ 6= 0 (condition initiale) R1

0 dx⁰c⁰(x⁰, t) = 1 (conservation de la masse) , (5) ce qui nous permet de trouver comment adimenisonner le temps en dénissant

t⁰ = t L²/D. Il vient nalement :

∂c⁰

∂t⁰ = ∂²c⁰

∂x⁰² tel que

c⁰(x⁰,0) = 0 ∀x⁰ 6= 0 (condition initiale) R1

0 dx⁰c⁰(x⁰, t) = 1 (conservation de la masse) . (6) Il apparaît donc que la solution de l'équation de diusion satisfaisant aux conditions ini- tiales données obéit à une relation du type f(c, x, t, l, m₀, D) = 0 reliant n = 6 paramètres dimensionnés faisant intervenir r=3 dimensions indépendantes (M,LetT) se réduit à une relation du typeg(c⁰, x⁰, t⁰) = 0 reliant n−r= 3 paramètres adimensionnés. Il est possible de montrer (par passage dans l'espace de Fourrier) que la solution adimensionnée est :

c⁰(x⁰, t⁰) = e^−x

02 4t0

√4πt⁰, (7)

soit après un retour aux paramètres dimensionnés :

c(x, t) = m₀ l c⁰(x

L, t

L²/D) = m₀ L

e⁻

(x/L)2 4 (D t/L2)

p4πD t/L² = m₀

√4πD te^{− x}

2

4D t. (8)

Ce résultat est une application simple du théorème π de Buckingham.

3 Applications du théorème π

1. La quantité recherchée est la période T. Les paramètres du système sont les masses M et m, la longueur l ainsi que l'accélération de la gravité g. La relation liant les paramètres est du type f(T, m, M, l, g) = 0. Nous avons donc 5 paramètres pour 3 dimensions indépendantes (M,LetT), nous allons donc réduire ce nombre à5−3 = 2 paramètres adimensionnés.

Il est naturel de construire ces paramètres adimensionnés à l'aide de quantité de même dimensions d'où le choix de m/M comme premier paramètre adimensionné.

Les unités du reste des paramètres ne faisant pas intervenir la masse, il est donc possible de construire un paramètre adimensionné avec seulement g,l etT dont la combinaison la plus simple est T²g/l.

On a donc une relation : T²g

l =f₁ M

m

soit T = s

l g f₂

M m

. (9)

PourM/m→ ∞,f₂(M/m)→coùcest une constante limite nie non nulle. Il vient en fait :

T =c s

l g = 2π

s l

g. (10)

La formule générale sans passage à la limite est :

T = 2π s

l g

sM m +¹₄

M

m + 1. (11)

2. La quantité recherchée est la période T et les paramètres du problème sont m,r =a ainsi que le potentielV(r) =αr^−k. Il nous faut donc trouverT =f(m, a, α)pour un problème à 4 paramètres dimensionnés et 3 unités indépendantes qui peut donc être réduit à un seul paramètre adimensionné. Une force dérivant d'un potentiel, il vient : [V] =M L²T⁻² = [α]L^−k d'où [α] =M L^k+2T⁻². (12) Il ne reste plus qu'à éliminer la masse :

[α]

[m] =L^k+2T⁻², puis le temps :

[α][T]²

[m] =L^k+2, et enn la longueur :

[α][T]² [m][a]^k+2 = 1,

pour trouver le paramètre adimensionné recherché : α T²

m a^k+2. (13)

Ce paramètre qui satisfait àf(_{m a}^{α T}k+2² ) = 0 est forcément égal à une constante unique (non nulle non innie) c :

α T²

m a^k+2 =c, (14)

soit en considérant un une massem donné dans un champ de force donnéαil vient : T²

a^k+2 =c⁰, (15)

oùc⁰ est une constante indépendante de a. Examinons quelques cas :

Oscillateur harmonique Le potentiel vaut V(r) = κ r²/2 où κ est la raideur du ressort et donc k=−2. Il vient donc que la période

T =c⁰

= 2π rκ

m

est indépendante de l'amplitude de la trajectoire.

Gravité Le potentiel vaut V(r) =κr⁻¹ donc k= 1. Il vient donc : T²

a³ =c⁰

= 4π² G M

soit la loi des aires (3^eloi de Kepler).

3. La quantité recherchée est le ux massique Q_m. Les paramètres du système sont ρ, b, h et l'accélération de la gravité g. La relation liant les paramètres est du type f(Q_m, ρ, b, h, g) = 0. Nous avons donc 5 paramètres pour 3 dimensions indépendantes (M, L et T), nous allons donc réduire ce nombre à 5−3 = 2 paramètres adimen- sionnés. Un paramètre adimensionné immédiat est h/b. Il ne nous reste plus qu'à adimensionner Q_m à l'aideρ, g etb (ou h ). Partons de :

[Q_m] =M T⁻¹, et éliminons la masse :

[Qm]

[ρ] =L³T⁻¹, puis le temps :

[Q_m]² [ρ]²[g] = L⁶

L =L⁵, et enn la longueur :

[Q_m]²

[ρ]²[g][h]⁵ = 1,

pour trouver la relation entre paramètres adimensionnés recherchée : Q²_m

ρ²g h⁵ =f1

h b

, soit

Q_m =ρp g h⁵f₂

h b

,

4. La quantité recherchée est le gradient de pression ∇P. Les paramètres du système sont ρ, D, e, v et la viscosité η (où la viscosité cinématique ν). La relation liant les paramètres est du type f(∇P, ρ, D, e, v, ν) = 0. Nous avons donc 6 paramètres pour 3 dimensions indépendantes (M, L et T), nous allons donc réduire ce nombre à 6−3 = 3 paramètres adimensionnés. Un paramètre adimensionné immédiat est = e/D la rugosité relative. Un autre paramètre adimenisonné immédiat est le nombre de Reynolds Re=v D/ν. Il ne nous reste plus qu'à adimensionner le gradient de pression∇P Partons de la dénition de la pression comme une force par unité de surface, il vient :

[∇P] = M L T⁻²

L²L =M L⁻²T⁻², Éliminons la masse :

[∇P]

[ρ] =L T⁻², puis le temps :

[∇P]

[ρ][v]² =L⁻¹, et enn la longueur :

[∇P][D]

[ρ][v]² = 1,

pour trouver la relation entre paramètres adimensionnés recherchée :

∇P D

ρ v² =f1(Re, ), soit

∇P = ρ v²

D f₁(Re, ),

5. La quantité recherchée est la pulsationω en fonction du vecteur d'onde et des autres paramètres du système qui sontρ,d, h, la tension de surfaceγ et l'accélération de la gravitég . La relation liant les paramètres est du type f(ω, d, h, γ, k, rho) = 0. Nous avons donc 7 paramètres pour 3 dimensions indépendantes (M, Let T), nous allons donc réduire ce nombre à 7−3 = 4 paramètres adimensionnés. Deux paramètres adimensionnés sont immédiats car ne faisant intervenir la même dimension : k h et kd indiquant la longueur relative de la longueur d'onde. Il ne nous reste plus qu'à

déterminer deux paramètres adimensionné. Partons de la tension de surfaceγ (force linéïque) qui est le seul paramètre faisant intervenir la dimension M :

[γ] = M L T⁻²

L =M T⁻², Éliminons la masse :

[γ]

[ρ] =L³T⁻², puis le temps :

[γ]

[ρ][ω]² =L³,

et enn la longueur (on utilise k car on cherche une relation de dispersion) : [γ][k]³

[ρ][ω]² = 1.

Le premier paramètre adimensionné trouvé est donc : γ k³

ρ ω². (16)

L'accélération de la gravité n'a pas été utilisée, il nous reste donc à l'adimensionner.

Il vient, comme dernier paramètre adimensionné : ω²

g k. (17)

Comme nous recherchons une relation de dispersion et donc une expression pour ω; il nous faut donc l'isoler. En remplaçant ω par son équivalent donné par (17) dans (16), il est possible de déterminer un nouveau paramètre adimensionné :

Bo= ρ g

γ k², (18)

qui est le nombre de Bond mesurant le rapport des énergies potentielle de gravita- tion et de tension. En utilisant (17), (18) ainsi que les deux premiers paramètres adimensionné, nous obtenons la relation :

ω² =g kf₁(k h, k d,Bo) (19)

Étudions maintenant les cas limites :

Grandes longueurs d'ondes : k → 0. Perte d'inuence de la tension de surface (Bo→ ∞), seule la gravité intervient,

Approximation de l'eau profonde : k h→ ∞,

Approximation linéaire (faible amplitude de la vague) : k h → ∞, la pro- fondeurh n'intervient plus, on traite un problème de surface.

Si ces trois conditions sont remplies, ω² ∝g k. Si maintenant, seules les 2 dernières conditions sont remplies et que l'on renverse la première approximation (la tension de surface l'emportant sur la gravité), il vient ω² ∝γ k³ρ⁻¹.

6. La quantité recherchée est le gradient de pression ∇P en fonction des autres pa- ramètres du système qui sont la masse volumique ρ, le rayon R de la conduite, la viscosité cinématiqueνet le débit volumique (où de la vitesse sachant queQ_v ∝v R²).

La relation liant les paramètres est du typef(∇P, ρ, R, Q_v, ν) = 0. Nous avons donc 5 paramètres pour 3 dimensions indépendantes (M,LetT), nous allons donc réduire ce nombre à 5−3 = 2 paramètres adimensionnés. ces deux paramètres ont déja été déterminés plus haut à l'exercice 4. Il s'agit du gradient de pression adimensionné :

R∇P

ρ v² ∝ R∇P

ρ(Q_vR⁻²)² = R⁵∇P ρ Q²_v ,

et du nombre de Reynolds :

Re= v R

ν ∝ Q_vR⁻²R ν = Q_v

R ν. La relation est donc du type :

∇P = ρ Q²_v

R⁵ f₁(Re), Comme∇P ∝Q^7/4, la fonction f₁ doit vérier :

f₁ Q

R ν

∝ Q

R ν ⁷₄−2

= Q

R ν −¹

4

.

En conclusion, il vient donc :

∇P ∝ ρ Q²_v

R⁵ Re^−1/4 = ρ Q²_v R⁵

Q R ν

−¹₄

= ρ Q

7

v4ν¹⁴ R¹⁹⁴ .