Analyse dimensionnelle

(1)

Analyse

dimensionnelle

(2)

Le système international d’unités

Il repose sur 7 grandeurs fondamentales :

Grandeur Unité SI Longueur mètre (m)

Temps seconde (s) Masse kilogramme (kg) Intensité du

courant ampère (A) Quantité de

matière mole (mol) Température kelvin (K)

Intensité

lumineuse candela (cd) Les unités SI des

autres grandeurs s’expriment en fonction de ces

unités de base.

(3)

Le système international d’unités

Exemples :

 La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde ms^-1.

 L’énergie cinétique (E_c = ½ mv²) s’exprime en joule et 1 J = 1 kgm²s^-2.

 L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molm^-3).

(4)

Notion de dimension

 Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leur « dimension ».

Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique…

 La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, …

 La notion de dimension est très générale et ne sup- pose aucun choix particulier de système d’unités.

(5)

Notion de dimension

Grandeur Dimension

Longueur L

Temps T

Masse M

Intensité du courant I

Quantité de matière N

Température Q

(6)

Analyse dimensionnelle

 Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension.

 Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, l’équation aux dimensions s’écrit : [v] = LT^-1.

 La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri- mer à partir des dimensions fondamentales.

 Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension.

Exemple : dans la relation E = m. c² les deux membres ont la dimension d’une énergie.

(7)

Dimension d’une grandeur

 Energie cinétique : E_c = ½ mv²

eau liquide



 [E_c] = ?

[E_c] = M (L.T^-1) ²

 Densité d’un liquide : d = [d] = ? 1

] [ [ ]

[d] 



 

La densité est une grandeur sans dimension.

 Masse volumique :  = ^m_V [] = ?

[] = M.L^-3

(8)

Dimension d’une grandeur

 Remarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unité.

 Exemple : l’unité d’angle, dans le système international, est le radian et [a] = 1 puisque :

R A

B a

R

AB a

(9)

Dimension d’une grandeur

 Dimension d’une force ?

Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2^e loi de Newton :

F = ma .

On peut exploiter la relation entre l’énergie potentielle et le poids qui est une force :

E_p(B) – E_c(A) = m . g_z (z_B – z_A)

[distance]

]

[Force] [E^p

ML ?

²

T

^-2

L

^-1

= MLT

^-2

Remarque : [F] = MLT^-2  1 N = 1 kg.m.s^-2

(10)

Dimension d’une grandeur

 Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le résultat…

Exemple : la tension électrique U a pour dimension [U] = L²M T^-3I^-1

résultat qui peut s’obtenir en combinant les différentes relations :

F = q·E ; E = U/d ; q = I·t ; F = m·a…

 On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm u_R = Ri, on pourra écrire :

I [R]  [U]

(11)

Homogénéité d’une formule

 Une équation est dite homogène si ses deux membres ont la même dimension.

 Exemple : « v = dt » n’est pas homogène : [v] = LT^-1 et [dt] = LT

La relation v = dt est donc fausse.

 Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : E_c = mv²…

A quoi sert l’analyse dimensionnelle ?

(12)

Homogénéité d’une formule

 Le faisceau laser ayant une longueur d’onde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?

aD 2

d

; 2aD d

; a

d 2D

; a

D

d 2

²

 l

(13)

A quoi sert l’analyse dimensionnelle ?

[d] = L

²

L

^-1

= L

[d] = L

²

L

^-2

= 1  L

[d] = L

²

L

^-1

= L

[d] = L

³

 L

 La formule correcte est :

Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

a D d  2l

aD 2

d

; 2aD d

; a

d 2D

; a

D

d 2

²

 l

(14)

A quoi sert l’analyse dimensionnelle ?

 Vérifier que la formule : T₀ = 2p est homogène.

Formule où T₀ représente la période des oscillations d’un pendule simple,

l

^sa

longueur et g l’intensité de la pesanteur.

gl

(15)

A quoi sert l’analyse dimensionnelle ?

 T₀ = 2p

gl

L’expression est homogène si : [T₀] = ^



 



 gl

[T₀] = T ; [

l

^{] = L}

P = mg  g = P/m [g] = [F]/[m] = MLT^-2M^-1 = LT^-2

[

l

^{/g] = LT}²^L^-1^{= T}² et donc = T_



 



 gl

(16)

A quoi sert l’analyse dimensionnelle ?



La formule n’est pas connue !



On analyse les paramètres :



T

₀

dépend de l , g, m, q

₀



On pose T

₀

= l

^a

. g

^b

. m

^g

. q

₀^m



D’où T = L

^a

. ( LT

^-2

)

^b

. M

^g

. [q]

^m

pour L : a + b = 0 pour T : - 2b = 1 pour M : g = 0

a = 1/2 b = -1/2

g = 0 et m = ?

T₀ = k .f(q₀)

gl

(17)

Autre règle importante

 Pour respecter l’homogénéité d’une relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension.

 Exemples : E_c + E_p = E ; u_R + u_C = 0 …

Une relation telle que : (1) n’est correcte que si : [l] =

0 dt N

dN  l  T?^-1

car :

 

T N dt

dN 





(1) Forme différentielle de la loi de décroissance