Capes-blanc-12-10-2011

CAPES blanc d’analyse du 12 octobre 2011.

Dur´ee : 5 heures.

Il sera tenu compte de la clart´e et de la concision de la r´edaction.

Dans tout le probl`eme on notera (an)n≥1 la suite de terme g´en´eral

a_n= − ln(n) +

n

X

k=1

1 k.

Ce sujet porte d’une part sur l’´etude de la limite de cette suite (la constante d’Euler) et d’autre part, sur l’´etude en 1 de la fonction f_α(x) =

+∞

X

n=2

log^α(n)xⁿ.

Premi` ere partie

1. Montrer que la suite (an)n≥1 est convergente (on pourra par exemple

´etudier la s´erie de terme g´en´eral un = an+1− an, n ≥ 1.).

On note γ la limite de la suite (an)n≥1et on l’appelle la constante d’Euler.

2. En d´eduire que 1 + 1

2+ · · · + 1

n∼ ln(n) lorsque n → +∞.

3. (a) En remarquant que pour n dans N^∗on a 1 n =

Z 1 0

(1 − t)ⁿ⁻¹dt, mon- trer que :

a_n= Z 1

0

1− 1 −_n^u
n

u du −

Z n 1

1 − ^u_n
ⁿ

u du.

(b) Montrer que les deux int´egrales α = Z 1

0

1 − e^−u

u du et β = Z +∞

1

e^−u u du existent.

(c) On note, pour n ≥ 1 la fonction εn d´efinie par εn(u) =

1 − u n

n

, 0 ≤ u ≤ n.

i. Montrer que, pour tout t ∈ R, on a 1 + t ≤ e^t.

ii. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout r´eel u tel que 0 ≤ u ≤ n, on a

 1 −u²

n²

ⁿ

e^−u≤ εn(u) ≤ e^−u.

Indication : on pourra appliquer la question pr´ec´edente avec t = ^u_n et t = −^u_n.

iii. Montrer que, pour tout r´eel t > 0, on a tⁿ≥ 1 + n(t − 1).

iv. En d´eduire que 0 ≤ e^−u−

1 −u n

ⁿ

≤ u²

ne^−u, (0 ≤ u ≤ n).

(d) i. Montrer que

n→+∞lim Z n

1

e^−u− 1 −_n^u
n

u du

!

= 0

ii. En d´eduire que la suite de terme g´en´eral Z n

1

1 − ^u_n
ⁿ

u du con- verge vers

Z +∞

1

e^−u u du.

(e) Prouver la convergence de la suite de terme g´en´eral Z 1

0

1− 1 −^u_n
ⁿ

u du

vers Z 1

0

1 − e^−u u du.

4. (a) Prouver l’´egalit´e : γ =

Z 5 0

1 − e^−u u du −

Z +∞

5

e^−u

u du − ln(5).

(b) Montrer que l’on a Z 5

0

1 − e^−u u du =

+∞

X

k=0

(−1)^k5^k+1 (k + 1)(k + 1)!. On admet l’´egalit´e

16

X

k=0

(−1)^k5^k+1

(k + 1)(k + 1)! = 2, 18782 `a 10<sup>−5</sup> pr`es, et 5¹⁸

18 × 18! ≤ 5 × 10⁻⁵. Justifier l’in´egalit´e

+∞

X

k=17

(−1)^k5^k+1 (k + 1)(k + 1)!

≤ 10⁻⁴. (c) Pour tout x > 0, montrer que l’on peut ´ecrire :

Z +∞

x

e^−t

t dt = e^−x x −e^−x

x² + 2e^−x

x³ + R(x) avec | R(x) |≤ 6e^−x

x⁴ .

(d) En d´eduire une valeur approch´ee de γ `a 2 × 10<sup>−4</sup> pr`es.

Seconde partie

On cherche un ´equivalent simple, puis un d´eveloppement asymptotique de la somme f (x) =

+∞

X

n=2

ln(n)xⁿ lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.

1. Montrer que la s´erie enti`ere X

n≥2

ln(n)xⁿ poss`ede un rayon de convergence

´egal `a 1, et que

+∞

X

n=2

ln(n)xⁿtend vers +∞ lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.

2. Trouver le rayon de convergence, puis la somme, de la s´erie enti`ere : X

n≥1

1 +1

2 + . . . + 1 n
xⁿ.

Indication : on pourra calculer

+∞

X

n=0

xⁿ et

+∞

X

n=1

1 nxⁿ. 3. En d´eduire que f est ´equivalente `a g : x → ln(1 − x)

x − 1 quand x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.

Indication : on pourra calculer g(x) − f (x).

4. (a) Montrer que la s´erie enti`ere X

n≥2

(ln(n − 1) − ln n + 1

n)xⁿ a un rayon de convergence ´egal `a 1 et v´erifier que pour tout x ∈] − 1, 1[, on a

(x − 1)f (x) − ln(1 − x) = x +

+∞

X

n=2

(ln(n − 1) − ln n + 1 n)xⁿ. (b) Retrouver alors le r´esultat de la question 3 (seconde partie).

5. Soit (b_n)_n≥1 la suite d´efinie par b_n=

n

X

k=1

1

k− ln(n +1 2).

(a) Montrer que la suite (bn) converge vers γ.

(b) Pour tout x > −¹₂, on pose h(x) = ln(x +3

2) − ln(x +1 2) − 1

x + 1. Prouver que

1

12(x + ³₂)³ ≤ h(x) ≤ 1 12(x +¹₂)³.

Indication : on pourra appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec reste int´egral `a la fonction u(t) = ln(1 + t).

(c) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a 1

24(n +³₂)² ≤ bn− γ ≤ 1 24(n −¹₂)². Indication : on pourra consid´erer bn− bn+1.

6. Justifier l’existence de constantes k₁et k₂(que l’on explicitera) telles qu’au voisinage de +∞ on ait :

an= γ + k1

n +k2

n² + O(1 n³).

7. En d´eduire l’existence de trois constantes k⁰₁, k⁰₂et k⁰₃telles que la fonction qui `a x ∈] − 1, 1[ associe

+∞

X

n=2

ln(n)xⁿ−ln(1 − x) x − 1 − k₁⁰

1 − x− k⁰₂ln(1 − x) − k₃⁰(1 − x) ln(1 − x) soit prolongeable au point x = 1 en une fonction d´erivable en ce point.

Indication : on pourra remarquer que pour tout n dans N^∗, on a 1

n² = 1

n(n − 1)+ O 1 n³
.

Troisi` eme partie

Dans cette partie, on cherche un ´equivalent simple de la somme fα(x) =

+∞

X

n=2

ln^α(n)xⁿ lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures, α ´etant un r´eel quelconque.

1. Soit n₀un ´el´ement de N et φ une application d´efinie sur [n0, +∞[, `a valeurs dans R⁺ continue, d´ecroissante et telle que la s´erie X

n≥n0

φ(n) diverge.

D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere

+∞

X

k=n0

φ(k)x^k, puis montrer que :

+∞

X

k=n0

φ(k)x^k ∼ Z +∞

n₀

φ(t)x^tdt quand x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.

2. Pour α > 0, discuter de la convergence de la s´erie X

n≥2

(ln(n))^α−1

n .

3. Montrer que pour tout r´eel α on a : f_α(x) ∼

Z +∞

2

ln^α(t)x^tdt lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.

Indication : lorsque α est positif, on pourra s’inspirer de la question 4, seconde partie.

4. On admet que

Z ∞ 2

ln^α(t)e^−ytdt ∼ | ln(y)|^α y

lorsque y tend vers 0 par valeurs sup´erieures. En d´eduire un ´equivalent simple de f_α(x) lorsque x tend vers 1 par valeurs inf´erieures.