Modélisation numérique d'écoulements fluide/particules

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Aline Lefebvre, Aline Lefebvre-Lepot

To cite this version:

Aline Lefebvre, Aline Lefebvre-Lepot. Modélisation numérique d’écoulements fluide/particules.

Math-ématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. �tel-00257246�

N d'ordre : 8852

Université Paris-Sud

Fa ulté des S ien es d'Orsay

THÈSE

présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES

DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI

Spé ialité :Mathématiques

par

Aline Lefebvre

Sujet :

MODÉLISATION NUMÉRIQUE D'ÉCOULEMENTS

FLUIDE/PARTICULES.

PRISE EN COMPTE DES FORCES DE LUBRIFICATION.

Soutenue le 23Novembre 2007 devant la Commissiond'examen :

M. Allaire Grégoire (Rapporteur)

M. Alouges François (Examinateur)

M. Gérard Patri k (Examinateur)

M. Gerbeau Jean-Frédéri (Examinateur)

M. Glowinski Roland (Examinateur)

M. Maday Yvon (Président du jury)

M. Maury Bertrand (Dire teur de thèse)

Après avis des rapporteurs: M. Allaire Grégoire

Jevoudraistoutd'abordexprimermare onnaissan eàBertrandMaury,mondire teur dethèse.Jeleremer iepoursa onan eetsonsoutienpermanentdurant estroisannées. Ses ompéten es, sa patien e et sabonne humeur m'ont souvent été d'un grand se ours. Grâ e à son enthousiasme et à sa uriosité, j'aidé ouvert un univers des mathématiques varié etpassionnant.J'ai pris beau oup de plaisir à travaillerave lui etj'espère avoir la han e de voir ette ollaboration ontinuer.

J'adressemes sin èresremer iementsàGrégoireAllaireetStefan Turekpourletemps qu'ils ont onsa ré àrapporter ette thèse ainsi quepour l'intérêt qu'ilsont porté àmon travail.Je remer ie également FrançoisAlouges, Patri k Gérard, Jean-Frédéri Gerbeau, Roland Glowinski et YvonMaday d'avoir a epté de faire partie du jury.

Je voudrais également remer ier i i eux sans qui ette thèse n'aurait pas eu lieu. Tout d'abord les hommes de l'ombre, messieurs Akonom et Voedts qui m'ont fait dé- ouvrir et appré ier les mathématiques. Je ne remer ierai jamais assez Jean Voedts de m'avoir suggéré de quitter ma belle région Lilloise pour la vallée de Chevreuse. Je tiens aussi à exprimer i i ma gratitude à François Alouges qui, suite à un "je veux faire des maths appliquées à la bio", a eu l'ex ellente idée de m'orienter vers Bertrand. Je veux égalementleremer ier pour lesnombreuses dis ussions("matheuses"etautres)quenous avons eues depuis :son intérêt pour mon travail, son soutienainsi queses onseilsm'ont onsidérablementaidée.

Fairemathèse dansl'équipeAnalyse NumériqueetEquations auxDérivées Partielles d'Orsay aété une han eet je tiens i iàremer ier haleureusement tous lesmembres de etteéquipe.Jepenseplusparti ulièrementà euxave quij'aieul'o asionde ollaborer. Ja ques Laminie, sans qui le C++ serait rapidement devenu C- -. Le temps qu'il m'a onsa ré m'a été trèspré ieux (nonJa ques, jen'a heraipas mes beaux dessinsdans le salon et oui, je parlerai de toi à Cannes!). François Alouges et Antonio De Simone (ah! lesoleilitalien!)qui m'ontapprisànager (bientt le rawl?).Etenn, lastbut not least, SylvainFaure,qui atoujours trouvéletempsde répondre àmesquestions(informatiques et autres...) et grâ e à qui j'ai vain u VTK (le petit afé des matins di iles sera dur à rempla er!). Un grand mer i aussi aux Grenoblois, Mourad Ismailet l'équipe du LSP, pour leur enthousiasme etleur a ueil toujours haleureux (sympa vos manips!).

Je remer ie enn mes o-bureau du 256, bien a hés au fond du fond du ouloir du se ond. Les an iens, qui m'ont appris lessubtilités de la vie de thésard, et lesnouveaux, qui m'ont soutenue jusqu'à aujourd'hui (vous nommer tous i i serait trop long, mais je suis sûre que vous vous re onnaîtrez!). Sans l'ex ellente ambian e et la solidarité qui règnent dans e bureau, es trois années n'auraientpas été si agréables. Unpetit ou ou aussi auxdo torantsdu 258 etdu bâtimentd'enfa e,etplus parti ulièrementà eux qui nous rejoignaient pour de longues dis ussions autour d'un afé à midi. Je prote enn de es quelques lignes pour adresser mes remer iements à Juliette, zeni atri e o ielle de notre bureau. Que de hemindepuis Lilleet laprépa! Ces deux dernières années, nos

mer iégalementpourtadisponibilitésansfaille esderniers mois,ainsiquepourletemps passé à larele ture minutieuse de e manus rit (à harge de revan he!).

Je termine par eux qui ont toujours été là pendant es longues années d'étude. Un énorme mer i à toute ma petite famille. A mes parents, qui m'ont en ouragée, épaulée danslesmomentsdi ilesetquim'ontapprisquel'importantétait dedonnerlemeilleur de soi-même.A Audrey etFabri e,pourles heurespasséesautéléphone etles Week-End détente qui m'étaient indispensables. Et enn, un énorme mer i à Eri qui, armé d'une patien e inébranlable, m'a soutenue aujourle jour etsans qui je n'y serais pas arrivée.

Introdu tion 1

Résumé 7

Abstra t 9

Partie I Simulation dire te d'é oulements Fluide/Parti ules

par une méthode de Pénalisation 11

Chapitre 1

Présentation de l'algorithme

1.1 Contexte. . . 14

1.1.1 Equations . . . 14

1.1.2 Méthodes numériques existantes. . . 15

1.2 Algorithmeproposé . . . 18

1.2.1 Formulationvariationnelle ontinue . . . 18

1.2.2 Dis rétisation en temps . . . 21

1.2.3 Gestion du mouvement rigide par pénalisation . . . 22

1.3 Tests numériques . . . 24

1.3.1 Implémentation sous FreeFem++. . . 24

1.3.3 Sédimentationd'une parti ule, problème stationnaire: tests de

onvergen e . . . 27

1.3.4 Sédimentationde deux parti ules . . . 31

1.4 Unpeu de théorie : Inégalitéde Korn et onséquen es. . . 32

1.4.1 Simpli ationsetnotations . . . 32

1.4.2 Méthode de pénalisation, as général . . . 33

1.4.3 Appli ationau as de la ontraintede mouvement rigide . . . . 34

Chapitre 2 Appli ations 2.1 Valve ardiaque . . . 40

2.1.1 Des riptiondu modèle . . . 40

2.1.2 Formulationvariationnelle etimplémentation . . . 41

2.1.3 Résultatsnumériques. . . 43

2.2 Nageur. . . 45

2.2.1 Des riptiondu problème . . . 45

2.2.2 Présentation d'un as simple : labrassée  arrée . . . 46

2.2.3 Résultatsnumériques. . . 49

2.2.4 Re her he de brassées optimales. . . 55

2.3 Vési ules . . . 56

2.3.1 Contexte . . . 56

2.3.2 Modèle utilisé . . . 57

2.3.3 Résultatsobtenus. . . 60

Partie II Intera tions rappro hées 63 Chapitre 3 Préambule : Un algorithme de gestion des onta ts modélisant des ollisions inélastiques 3.1 Contexte . . . 66

3.2.1 Un espa e de vitesses admissibles . . . 67

3.2.2 Cas de la méthode de pénalisation : formulation variationnelle modiée . . . 68

3.2.3 Méthode de splitting . . . 70

3.3 Résultatsnumériques . . . 71

Chapitre 4 Un modèle de  onta t visqueux, as parti ule/plan 4.1 For e de lubri ation normaleet onta t . . . 76

4.1.1 Cas d'objets lisses . . . 76

4.1.2 Conséquen es numériques . . . 79

4.1.3 Cas d'objets rugueux . . . 81

4.2 Modèle de  onta t visqueux . . . 84

4.2.1 Un exemple . . . 85

4.2.2 E riture du modèle etrésultats de onvergen e . . . 89

4.3 Algorithmeasso ié . . . 93

4.3.1 Réé riture du problème . . . 94

4.3.2 S héma numérique . . . 96

4.3.3 Intégration àla simulationuide/parti ules . . . 108

4.4 Enri hissement du modèle . . . 109

4.4.1 Prise en omptede larugosité . . . 109

4.4.2 Ajout de la for ede lubri ationtangentielle. . . 111

Chapitre 5 Modèle de  onta t visqueux et programmation dans le as multi-parti ules 5.1 Modèle multi-parti ules . . . 118

5.1.1 Cas de deux parti ules . . . 118

5.1.2 E riture du modèle multi-parti ules . . . 122

5.2 Algorithme . . . 123

5.2.1 E riture de l'algorithmemulti-parti ules . . . 123

5.2.2 Proje tion . . . 124

5.2.3 Re her he des voisins . . . 125

5.2.5 Premiersrésultats numériques . . . 129

5.3 ProgrammationOrientée Objet . . . 132

5.3.1 Méthodologie et obje tifs . . . 132

5.3.2 Les lasses Variable . . . 134

5.3.3 Les lasses Opérateur . . . 137

5.3.4 LaClasse Problème . . . 140

5.3.5 Le ode etson utilisation . . . 141

5.3.6 Résultatsnumériques: sédimentation de 1000 parti ules . . . . 144

Partie III Du mi ros opique vers le ma ros opique 147 Chapitre 6 Un modèle ontinu de boulier visqueux 6.1 Modèle du bouliervisqueux . . . 151

6.1.1 Modèle dis ret . . . 151

6.1.2 Vers un modèle ontinu :appro he formelle . . . 155

6.2 Convergen e du modèle dis ret vers lemodèle ontinu. . . 157

6.2.1 Sens donné aumodèle ontinu . . . 157

6.2.2 Un opérateurmi ro-ma ro . . . 158

6.2.3 Résultatde onvergen e . . . 160

6.3 Démonstrationdes lemmes. . . 167

Minimisation sous ontrainte ane

A.1 Contrainte d'égalité. . . 186

A.2 Contrainte d'inégalité, as

M = R

N

. . . 188

A.3 Algorithmed'Uzawa : ontrainte d'inégalité, as

M = R

N

. . . 189

Annexe B Optimal strokes for low Reynolds number swimmers : an example B.1 Introdu tion . . . 194

B.2 Settingof the problem . . . 196

B.2.1 Stokes equations . . . 196

B.2.2 The ODEs des ribing swimming. . . 197

B.2.3 Swimming asa ontrolproblem . . . 199

B.3 Proof of Theorem 1 . . . 200

B.3.1 Proof of Lemma 1 . . . 200

B.3.2 Proof of Lemma 2 . . . 204

B.4 A numeri alalgorithmfor omputing optimalstrokes . . . 208

B.5 Examples of optimalstrokes . . . 211

B.5.1 Optimalstrokes versus square loops . . . 212

B.5.2 Multipli ityof geodesi strokes . . . 212

B.5.3 Swimming with many strokes . . . 213

B.6 Dis ussion . . . 214

Annexe C Dérivation de fon tions à variations bornées : mesures diérentielles C.1 Mesure diérentielle . . . 220

C.2 Sous-intervalles . . . 221

Annexe D Démonstration de l'équivalen e entre

(P)

et

(P

′

₎

énon ée page 95 Annexe E Programmation Orientée Objet et UML E.1 ProgrammationOrientée Objet . . . 232

E.2 UML . . . 233

E.3 Diagrammedes Classes détaillé . . . 234

Annexe F

Vers la forme faible de l'équation de transport

Le sujet de e travail est la simulation numérique d'é oulements uide/parti ules denses. Nous nous on entrons sur les intera tions hydrodynamiques à ourtes portées dans de tels systèmes et proposons un modèle ainsi qu'un algorithme permettant de les prendre en omptenumériquement. Nousproposons égalementun modèle ma ros opique ontinu quiles modélise en dimension 1.

E oulements uide/parti ules :

propriétés ma ros opiques et simulation numérique.

Danslanature,lesboues,lesé oulementsde laveouen orelesglobulesrougesdansle sang sontdessystèmes formésde parti ules solidesensuspensiondans un uidevisqueux (en admettant en première approximation queles globulesrouges soient solides).De tels systèmes se retrouvent également dans le monde industriel, omme par exemple dans le béton,la pâte à papierou ertainsuides agroalimentaires.

Ils présentent une variété remarquable de omportements rhéologiques 1

, dont l'étude a fait l'objet de nombreuses re her hes, protant de ontributions venant de diérents domaines tels que l'ingénierie,la himie, laphysique ou lesmathématiques. Leproblème de base onsiste àprédire les propriétés ma ros opiques de transportde es suspensions vis osité,vitesse desédimentationàpartirdes mi rostru tures, 'est-à-direàpartirdes intera tions entre lesparti ules et de leur distribution spatiale.

La plupartdes étudesthéoriques dans e domaine sont limitées au as de suspension diluées à nombre de Reynolds nul. Ces études ont ommen é ave les travaux d'Ein-stein [28, 1906℄ sur lavis osité apparented'unesuspension diluéede sphères rigidesdans un uide de Stokes. Sa formule donne l'inuen e de la présen e de parti ules sur la vis- osité globale de la suspension pour de faibles fra tions solides volumiques.Dans e as, les intera tions à longue portée entre les parti ules peuvent être négligées et les eets des parti ules isolées et des paires de parti ules dominent dans le omportement global du système. Cela permet de déterminer le omportement ma ros opique de es systèmes grâ eàdesdéveloppementsasymptotiquesàfaibledensitéouàfaiblefra tionsolide volu-mique. Malheureusement, l'a ordde tels résultats ave les données expérimentales n'est généralement obtenu que jusqu'àdes fra tionssolides de l'ordrede quelques pour ent.

Etendre l'analyse du as dilué à des on entrationsplus importantes est un problème di ile. En eet, à fortedensité, haque parti uleagit, de pro he en pro he, sur le

om-1

Larhéologie estl'ensembledesphénomènes onditionnantl'é oulementet ladéformationdela ma-tière.

portement de toutes les autres etla méthode employée dans le as dilué n'est don plus valable. Le omportement ma ros opique de es sytèmes ne dépend plus uniquement de la fra tion solide volumique mais de la onguration mi ros opique de la solution (par exemple de la présen e ou non d'amas de parti ules) et il est don sus eptible d'évoluer dans le temps.Deux problèmes majeursse posent alors :

 La modélisation et la prise en ompte de manière globale des intera tions multi-parti ules etplus parti ulièrement des intera tions hydrodynamiques,

 la détermination de la onguration spatiale des parti ules. Dans le as dense, la onguration mi ros opique du système est une in onnue du problème qui évolue au ours du temps.

Lasimulationnumériques'avèreêtreunoutilpuissantpourétudierles omportements mi ros opique et ma ros opique de es suspensions denses. Au niveau mi ros opique, la résolution de l'é oulement uide ainsi que l'intégration de la loi de Newton sur les parti ules donnent la onguration spatiale du système. Les propriétés ma ros opiques peuvent alors être al ulées à partir de la mi rostru ture obtenue et de l'état du uide environnant.Dans lesannées80,Bossiset Bradyontdéveloppéune méthode numérique, appeléeStokesianDynami s,quipermetlasimulationdynamiquedeparti ulessphériques dans un uide de Stokes dans des onditions d'é oulement et de géométrie parti ulières (voir [13, 27, 41℄). Cette méthode est basée sur une hypothèse d'additivité des for es hydrodynamiquesetfaitappelàdesdéveloppementsasymptotiques de es for esà ourte etlongueportée.Elleaétéutiliséedans[14℄parses on epteurs and'étudierlarhéologie de suspensions on entrées de sphères, en isaillement en milieu inni.

La simulation numérique et l'étude du omportement ma ros opique des systèmes multi-parti ulesplus générauxfontappelàdes méthodesdites de simulation dire te.Par ela,onentendrésolutiondeséquationsdeStokesouNavier-Stokesdansledomaineuide ouplées ave le Prin ipe Fondamental de la Dynamique sur les parti ules, sans autre modélisation ou approximation (autre que elles liées à la dis rétisation). Ce type de simulationamotivéde nombreusesre her hes esdixdernières années(voirse tion1.1.2, page 15). Dans [56℄, nous utilisons une telle méthode an d'étudier le omportement de mélanges dont les parti ules interagissent à travers une for e d'attra tion, dans un é oulement de isaillement entre deux plans innis. Nous étudions l'évolution en temps de la vis osité apparente de tels systèmes. Nous observons que, même dans le as d'un é oulement uide linéairede type Stokes, onobserve un omportement global fortement non linéaire. Cette étude permet de vérier que la vis osité apparente dans une telle situation est dépendante de la onguration spatiale mi ros opique. En eet, elle peut roître ou diminuer selon la forme et la position des amas de parti ules. Elle dépend égalementtrèssensiblement,pourdespopulationsdenses,desdistan esinterparti ulaires.

Importan e d'une bonne gestion des intera tions rappro hées.

Une parti ule pro he et en mouvement relatif par rapport à un objet rigide (un mur ou une autre parti ule) est soumise à une for e hydrodynamique qui tend à pénaliser le mouvement relatif des deux objets. Il s'agit de la for e de lubri ation qui est due à la persistan e de uideinterstitielentre lesdeux surfa es pro hes. Cette for eest singulière etse omporte, dans un uide de Stokes, omme l'inverse de la distan e interparti ulaire

et est don parti ulièrement importante dans le as de systèmes denses ou en présen e d'obsta les.Dansdetels as,ellejoueen eetunrleprépondérantdansle omportement ma ros opiquedusystème.Lorsdelasimulationnumériquedesolutiondenses,ilapparaît don indispensablede laprendre en ompte orre tement.

Or,lorsde simulationstelles que elles quenousee tuons dans[56℄,ladis rétisation du problème en espa e rend di ile la résolution pré ise de l'é oulement uide entre les parti ules pro hes. Bien entendu, il est possible de raner le maillage dans es zones de fortes ontraintesmais ela peut devenir très oûteuxdansle as de systèmes denses. Les erreursainsi ommisesprovoquentdes onta tsetmêmedes hevau hementsdeparti ules qui ne sontévidemmentpas physiques etquipeuvent stopperprématurément les al uls. Des raisons de modélisation physique et de robustesse numérique imposent don lamise enpla edeméthodespermettantdegérere a ement es onta ts.Denombreuxauteurs utilisent par exemple des for es répulsives à ourte portée ou des modèles de ollisions inélastiques (voir se tion3.1, page 66). Dans [56℄, nous utilisons une méthode globale de gestion des onta ts, orrespondant à un modèle de ollision inélastique. Ces te hniques permettent de résoudre numériquement le problème mais ne prennent pas en ompte la physique sous-ja ente des for es de lubri ationdont ona déjànoté l'importan e.

Ainsi, ertains auteurs ontété amenés à ajouter auxsimulationsnumériques dire tes la priseen omptedes for es de lubri ation(voirse tion 4.1.2,page 4.1.2).Leproblème des erreurs d'estimation des for es de lubri ation dues à la dis rétisation en espa e est alors résoluet,en prin ipe,lesfor es al ulées sontsusantes pouréviter les ollisionsde parti ules.Cependant,lafor edelubri ationétantsingulièreauxpetitesdistan es,onest amenéàrésoudrenumériquementdessystèmestrèsraides.L'existen edefaiblesdistan es interparti ulaires né essite alors l'utilisation de pas de temps très petits pour éviter les onta ts. Ainsi,laphysique du problème est mieux respe téeet lespetites distan es sont pénaliséesmais, en l'absen e d'un pas de temps susamment petit, des hevau hements de parti ules, bien que moins fréquents, peuvent à nouveau apparaître, suite aux erreurs de dis rétisationen temps.Enpratique,and'éviterunediminutiontrop oûteusedupas de temps,ilest ànouveau né essaire,dans les as de fortedensitéparti ulaire,de gérerle problème des onta ts numériques. Noter que e problème étant dû àla dis rétisationen temps, il apparaît également dans les simulations de type Stokesian Dynami s bien que les for es de lubri ationy soientprises en ompteà ourte portée.

Présentation du travail ee tué.

Dans etravail,nousnousplaçonsdansle adredelasimulationdire ted'é oulements uide/parti ules. L'obje tif est d'étudier les for es de lubri ation an de dé rire une méthode permettant de gérer les onta ts numériques lors de telles simulations,tout en respe tant la physique sous-ja ente.

Pour ela, nous souhaitons d'abord disposer d'un outil de simulation d'é oulement uide/parti ules, simple d'utilisation, permettantd'ee ter des tests. La première partie de e do ument est onsa rée à et obje tif. Dans un premier hapitre, nous présentons la méthode numérique hoisie. La ontrainte de mouvement rigide est imposée dans une

partie du domaine par une méthode de pénalisation. Bien que le domaine o upé par le uide varie dans le temps, e type de méthode permet d'utiliser un unique maillage artésien du domaine global (uide+solide), indépendant du temps. Ce i, asso ié à une dis rétisationentempsparlaméthodedes ara téristiques,permetdeseramenerà haque pas de temps, à la résolution d'une formulation variationnelle de type Stokes généralisé. L'algorithme ainsi obtenu permet d'ee tuer des simulations ave ou sans inertie et de prendre en ompte des parti ules de forme quel onque. Il peut être programmé grâ e à tout solveur uide Stokes ou Navier-Stokes. Dans le se ond hapitre, nous donnons des exemplesd'utilisation de et algorithme.Nousmontronsàtravers trois problèmes,que le odeimplantépermetdegérerdessituationsvariéeset omplexes,présentantdenouvelles ontraintes (solidexé en un pointlorsde la simulationd'unevalve ardiaque, haîne de parti ulesetvolume onstantdansle asdesimulationsdevési ules, as3Daxisymétrique pour l'étuded'un nageur).

Dans la se onde partie, nous nous on entrons sur la gestion des intera tions rap-pro hées. Dans le hapitre 3, nous présentons une manière e a e de gérer de façon globale les onta ts, en les modélisant par des ollisions inélastiques. L'algorithme est basé sur une proje tion, à haque instant, des vitesses des parti ules al ulées par un solveur uide/parti ulequel onque(provoquantéventuellementdes onta ts numériques) sur un espa editde vitesses admissibles.Cet espa eest elui des vitesses pour lesquelles, à l'instant suivant, il n'y a pas hevau hement des parti ules. Dans le hapitre suivant, nous nous on entrons sur l'étude de la for e de lubri ationdans le as d'une parti ule sphérique situéeprès d'un plan.Après avoirprésenté un état des onnaissan es sur ette situation,nousdé rivonsunmodèlede onta tvisqueux. Dans emodèle, ontrairement au as inélastique,laparti ulegardeenmémoireleseetsdesfor esquis'exer entsurelle durant le onta t. Cet eet mémoire est dû à la persistan e d'une ou he de uide dans l'intersti eentre laparti uleetleplan.Nousproposonsensuiteun algorithmepermettant de simuler de tels systèmesetmontrons sa onvergen e. Ilprésente l'avantage de prendre en ompte lesfor es de lubri ationtout en empê hant, par onstru tion, les hevau he-ments. Dans un dernier hapitre, nous montrons omment il peut être généralisé au as multi-parti ules en se basant sur la méthode de gestion des onta ts dé rite en début de partie.L'algorithmenal, programméselonune méthode orientée objet,permetde simu-ler numériquement, de manièree a e, des olle tions de parti ules visqueuses. Le ode obtenu est évolutif etsera ouplépar la suiteà des odes de simulation uide/parti ules, an d'intégrer à es derniers une méthode de gestiondes onta ts prenant en ompte les for es de lubri ation.

Dans une dernière partie, nous noussommes intéressés àune autre manièred'obtenir de l'informationsur le omportement ma ros opiquede systèmes denses. Cetteméthode onsiste à représenter le système par un milieu ontinu. Dans le hapitre 6,on onsidère un boulierde parti ules plongédans un uidevisqueux. Il estmodéliséparune haîne de parti ules, deux parti ules su essives agissant l'une sur l'autre au travers de la for e de lubri ation.Enfaisanttendrelenombre de parti ulesvers l'inni,onobtientun modèle ontinu formé d'un système de deux équations aux dérivées partielles. La première est une équation de transport. La se onde est une équation onstitutive de type Newtonien dontla vis osité est innie dans leszones solides.

de pénalisation, présentée dans le hapitre 1, se généralise immédiatement au as de la dimension trois, et de premiers tests numériques satisfaisants ont été ee tués ave FreeFem 3D [34℄. Le modèle de  onta t visqueux normal est quant à lui un modèle 3D que l'on utilise en dimension deux pour des raisons de visualisation. Il reste à adapterla partie tangentielle de e modèle à ladimension supérieure.

Le travail que nous avons ee tué sur la simulation d'é oulements uide/parti ules par la méthode de pénalisation, a donné lieu aux deux Pro eedings [48℄ et [55℄. Ils or-respondent au hapitre 1 et à l'appli ation à la simulation d'une valve aortique dans le hapitre 2.La méthode de gestion des onta ts du hapitre 3est dé rite dans [55℄. Leur ontenu ayant été intégralement repris, développé et réorganisé, es arti les ne sont pas jointsau présent do ument.

I. Simulation d'é oulements uide/parti ules, méthode de pénalisation

Chapitre 1 : Dans e hapitre, nous présentons une méthode pour simuler le mou-vementd'un orpsrigidedansunuideNewtonien.Nousee tuons ladis rétisation en tempsen utilisantlaméthodedes ara téristiquesetla ontraintedemouvement rigide est relaxée en introduisant un termede pénalisation. Cela onduità une for-mulationvariationnellede typeStokesgénéralisé. Nousmontronsque,quand le pa-ramètrede pénalisationtend vers zéro,onretrouvele systèmed'équations ouplées uide/solide. Des tests numériques sontee tués ave FreeFem++ an d'étudier les taux de onvergen e.

Chapitre 2 : Dans e hapitre, nous présentons trois exemples de simulations uti-lisant la méthode de pénalisation proposée dans le hapitre pré édent : simulation du mouvement d'une valve aortique 2D (très) idéalisée, étude d'un nageur à trois sphères et simulationsnumériques de vési ules en isaillement.

II. Intera tions rappro hées

Chapitre 3 : Dans e hapitrenous présentons uneméthodepermettantdesimuler e a ement des onta ts inélastiques dans le as multi-parti ules. Nous montrons omment l'intégrer à des simulations d'é oulements uide/parti ules pour gérer le problème des onta ts. Nous présentons enn quelques résultatsnumériques. Chapitre 4 : Après avoirfait unerevue des propriétés onnues de lafor e de

lubri- ation, nous présentons dans e hapitre un modèle de  onta t visqueux obtenu omme limite à vis osité nulle du modèle de lubri ation. Nous proposons ensuite un algorithme permettant de simuler le omportement d'un tel système. Nous dé-montrons sa onvergen e et expliquons omment il peut être intégré à des simula-tions uide/parti ules. Nous généralisons enn le modèle proposé an de prendre en omptela rugositéetla for ede lubri ationtangentielle.

Chapitre 5 : Dans e hapitre,nousgénéralisonslemodèleprésentédansle hapitre pré édentau asmulti-parti ules.Nousproposonsensuiteunalgorithmepermettant la simulation de tels systèmes. Il s'agit d'une extension de la méthode de gestion des onta ts dé rite dans le hapitre 3. Enn, nous présentons un exemple de pro-grammation orientée objet de l'algorithme obtenu.

III. Du mi ros opique vers le ma ros opique

Chapitre 6 : On onsidère un système dis ret de sphères (un boulier en 1D) qui interagissent à travers une for e de lubri ation. On propose une équation onsti-tutive ma ros opique, qui est onstruite omme le pendant ontinu naturel de e modèle de lubri ation mi ros opique. Le modèle ontinu, de type Newtonien, re-pose sur une vis osité linéique proportionnelle à l'inverse de la fra tion lo ale de uide.Onétablitensuitela onvergen e dansunsens faibledes solutionsdu modèle dis retvers lessolutionsdu systèmed'équations auxdérivées partielles omprenant l'équation ma ros opique onsititutive proposée etl'équation de transport.

I. Simulation of uid/parti le ows, penalty method

Chapter 1 : Wepresentin this hapter amethodto simulatethe motionof a rigid bodyinaNewtonianuid.Thetimedis retizationisperformedusingthemethodof hara teristi sandtherigid onstraintisrelaxedbyintrodu ingapenaltyterm.This leadstoageneralizedStokesvariationalformulation.Itisshownthat,asthepenalty parametergoestozero,were overthe oupleduid/solidequations.Numeri altests are implemented with FreeFem++ to study the onvergen e rates.

Chapter 2 : We present in this hapter three examples of simulations using the penalty methodproposed intheprevious hapter: simulationofa (very)simplied 2D model of the aorti valve, study of a three spheres swimmer and numeri al simulations of vesi les under shear ow.

II. Near eld intera tions

Chapter 3 : We present in this hapter a method to simulate e iently inelasti ollisions in the multi-parti le ase. We explain how it an be ome integrated into numeri al simulationsof uid/parti leows and present numeri alresults.

Chapter 4 : After a review of the properties of the lubri ationfor e, we present in this hapter a gluey parti le model obtained as the vanishing vis osity limit of the lubri ation model. Then, we propose an algorithm to ompute the behaviour of su h systems. We prove its onvergen e and show how it an be ome integrated in uid/parti le simulations. Finally, we extend the proposed model to take into a ount roughness and the tangentiallubri ation for e.

Chapter 5 : In this hapter, we generalizethe modelpresented in the previousone to the multi-parti le ase. Then, we propose an algorithm for su h systems whi h onsistsinanextensionof the onta t algorithmdes ribed in hapter3.Atlast, we present an exempleof obje toriented programming of the algorithm.

III. From mi ros opi to ma ros opi

Chapter 6 : We onsider here a dis retesystem of spheres (a hain in 1D) intera -ting through a lubri ation for e. We propose a ma ros opi onstitutive equation whi his built asthe natural ontinuous ounterpartof this mi ros opi lubri ation model. This model,whi his ofthe Newtonian type,relies onanelongational vis o-sity, whi his proportionaltothe re ipro alof the lo aluid fra tion. We establish the onvergen e in a weak sense of the solutions to the dis rete problem towards the solution to the system of partial dierential equations whi h is omposed of the equation identied as the ma ros opi onstitutive equation and the transport equation.

Simulation dire te d'é oulements

Fluide/Parti ules

Présentation de l'algorithme

Sommaire

1.1 Contexte . . . 14 1.1.1 Equations. . . 14 1.1.2 Méthodesnumériquesexistantes . . . 15 1.2 Algorithme proposé . . . 18 1.2.1 Formulation variationnelle ontinue . . . 18 1.2.2 Dis rétisation en temps . . . 21 1.2.3 Gestion dumouvement rigidepar pénalisation . . . 22 1.3 Tests numériques . . . 24 1.3.1 Implémentation sous FreeFem++ . . . 24 1.3.2 Parti ule en isaillement, problèmestationnaire. . . 25 1.3.3 Sédimentation d'uneparti ule,problèmestationnaire:tests

de onvergen e . . . 27 1.3.4 Sédimentation de deuxparti ules. . . 31 1.4 Un peu de théorie : Inégalité de Korn et onséquen es . . 32 1.4.1 Simpli ationsetnotations . . . 32 1.4.2 Méthode depénalisation, asgénéral . . . 33 1.4.3 Appli ation au asde la ontraintede mouvement rigide . 34

Résumé :Dans e hapitre,nousprésentons uneméthode pour simulerle mou-vement d'un orps rigide dans un uide Newtonien. Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle sur tout le domaine uide/solide, ave des ontraintes sur l'in onnue etles fon tions test. Nous ee tuons la dis rétisation en temps en utilisant la méthode des ara téristiques et les ontraintes sont re-laxées en introduisant un terme de pénalisation.Cela onduit àun problème de minimisation sur des espa es fon tionnels non ontraints et ainsi, tout solveur éléments nis pour Stokes/Navier-Stokes permetde programmeraisément ette méthode.Nousmontronsque,quandleparamètrede pénalisationtendverszéro, on retrouve le système d'équations ouplées uide/solide. Des test numériques sont ee tués ave FreeFem++ an d'étudier les tauxde onvergen e.

Abstra t:Wepresentinthis hapteramethodtosimulatethemotionofarigid body in a Newtonian uid. The method is based on a variational formulation on the whole uid/solid domain with some onstraints on the unknown and the test fun tions. The time dis retization is performed unsing the method of hara teristi s and the onstraints are relaxed by introdu ing a penalty term. This leads toa minimization problemover un onstrained fun tional spa es and makesthe methodstraightforward toimplementfromany Stokes/Navier-Stokes solver. It is shown that, as the penalty parameter goes to zero, we re over the oupleduid/solid equations.Numeri al tests are implementedwith FreeFem++ to study the onvergen e rates.

1.1 Contexte

1.1.1 Equations

On souhaitemodéliserl'é oulementde

N

in lusionsrigidesdans un uideNewtonien. Pour ela, on onsidère un domaine

Ω ⊂ R

2

(voir Fig. 1.1) borné, régulier et on note

(B

i

)

i=1...N

les

N

in lusionsrigidesdans

Ω

.Les

B

i

sontdes sous-ensembles onnexesde

Ω

,

disjointsetfortementin lusdans

Ω

.Onnote

B

l'ensembledudomainerigide:

B = ∪

N

i=1

B

i

. Onsupposeraqueleuide,situédans

Ω \ ¯

B

,estNewtonienetsuitleséquationsde Navier-Stokes. Andesimplierles al uls,lesparti ulessontsupposées ir ulaires etonimpose des onditions de Diri hlet homogènes sur

∂Ω

. Ces hypothèses ne sont pas restri tives et peuvent fa ilementêtre levées.

On désignepar

f

Ω\ ¯

B

et

f

i

lesfor es extérieures exer ées respe tivementsur leuide et sur lai-èmeparti ule.On note

µ

lavis ositédu uide,

ρ

f

sadensité.Lamassede lai-ème parti uleest notée

m

i

,sadensité

ρ

i

.Lapositiondeson entre de masseetson orientation angulaire sont notées respe tivement

x

i

et

θ

i

. Enn,

V

i

= ˙x

i

et

ω

i

= ˙θ

i

désignent ses vitesses de translation etde rotation.J

x

i

est le momentd'inertieautour de son entre de masse:J

x

i

=

R

B

i

ρ

i

|x−x

i

|

2

.Nousutiliseronségalementlesnotations lassiquessuivantes:

σ = 2µD(u) − p

Id

, D(u) =

∇u + (∇u)

T

2

et D

u

D

t

=

∂u

∂t

+ (u · ∇)u.

où

σ

est le tenseur des ontraintes de Cau hy et

Du/Dt

est ladérivée totalede

u

.Enn,

PSfragrepla ements

x

i

Ω

θ

i

B

i

Fig. 1.1 Notations

Lesin onnuesde notreproblèmesontles hampsde vitesse

u

= (u

1

, u

2

)

etde pression p dénis dans

Ω \ ¯

B

, ainsi que les vitesses des parti ules

V

∈ R

2N

et

ω

∈ R

N

. A haque instant

t

, le uide vérie les équations de Navier-Stokes dans

Ω \ ¯

B = Ω \ ¯

B(t)

ave des onditions de Diri hlet homogènes aubord.



















ρ

f

D

u

D

t

− µ△u + ∇

p

= f

Ω\ ¯

B

dans

Ω \ ¯

B,

∇ · u = 0

dans

Ω \ ¯

B,

u

= 0

sur

∂Ω.

(1.1)

La vis ositéimpose une ondition de non glissementsur

∂B

. Cette ondition ditque,sur

∂B

, lavitesse du uidedoit être égaleà la vitesse des parti ules.

u(t, x) = V

i

(t) + ω

i

(t)(x − x

i

(t))

⊥

sur

∂B

i

(t), ∀i.

(1.2)

Leuideexer eunefor ehydrodynamiquesur lesparti ules.Surunepartieinnitésimale

ds

de

∂B

, ette for e vaut

σnds

. Le prin ipe fondamental de la dynamique s'é rit don sur lesparti ules de lafaçonsuivante,











m

i

dV

i

dt

=

R

B

i

f

i

−

R

∂B

i

σn

∀i,

J

x

i

dω

i

dt

=

R

B

i

(x − x

i

)

⊥

_{· f}

i

−

R

∂B

i

(x − x

i

)

⊥

_{· σn ∀i.}

(1.3)

1.1.2 Méthodes numériques existantes

Ons'intéressei iauxméthodesnumériquesdesimulationdire ted'é oulements uide-parti ules. Par simulation dire te, on entend méthode résolvant (1.1,1.2,1.3) sans modé-lisation ouapproximationsupplémentaire. Ces méthodes numériques sedivisent en deux grandes lasses. La première repose sur un maillage non stru turé mobile suivant le do-maine uide,alors quela se onde utiliseun maillagestru turé de tout ledomaine(uide et rigide).

Méthodes utilisant des maillages non stru turés

Dans esméthodes,onrésoutleproblèmedeNavier-Stokessurunmaillagedudomaine uide.

Lapremière di ultéest d'imposerlesbonnes onditions aubord,permettant d'obte-nirle ouplageuide/solideimposéparl'équation(1.3).Unepremièrefaçonde onsidérer le problème est de dé oupler leuide et les parti ules. Pour ela, on é rit la formulation variationnelle sur les in onnues

u

et p asso iée à (1.1) ave onditions de Diri hlet au bord. A haque instant, ette formulation est résolue en imposant au bord du domaine rigide, lesvitesses des parti ules al ulées au pas pré édent.Les for es hydrodynamiques s'exerçant sur les parti ules se déduisent alors des hamps

(u,

p

)

obtenus. Elles sont in-je tées dans (1.3), an d'obtenir la nouvelle vitesse des parti ules. Cette méthode a été utilisée dans [49℄. Dans [47℄, la même te hnique est employée, mais on itère le pro édé an de onverger vers la solution du problème ouplé. Une se onde possibilité pour im-poser e ouplage, onsiste à é rire une formulation variationnelle ontenant toutes les in onnues du problème, soient

u

,p,

V

et

ω

(voir [46℄ et [62℄). Dans e as, l'intera tion uide/parti ules est dire tementprise en omptedans la formulationvariationnelle.

Le se ond problème à gérer dans e type de simulations, est le dépla ement du do-mainede al ul.Eneet,lesparti ulessedéplaçant,ledomaineuideà onsidérerdépend du temps. Une première idée, utilisée par exemple dans [47℄, est de remailler le nouveau domaine uide à haque pas de temps. Ensuite, an d'ee tuer la nouvelle itération de Navier-Stokes, il faut pouvoir représenter sur e nouveau maillagela solution du pas de tempspré édent(quiaété al uléesurl'an ienmaillage).Onutilisepour elauneméthode de proje tion, e qui introduit des erreurs supplémentaires dans le s héma. Pour limiter es remaillages et proje tions, on peut hoisir de dépla er, à haque pas de temps, les pointsdel'an ienmaillageand'obtenirun maillagedunouveaudomaine. Celapeutêtre fait ommedans[49℄,en résolvantleséquationsdel'élasti itéave undépla ementimposé sur les parti ules. On peut également utiliser une méthode dite ALE (Arbitraire-Euler-Lagrange) ommedans[46℄ou[62℄.Elle onsisteà al ulerune vitessede dépla ementdu maillage à haque instant et àadapter la formulation variationnelle en onséquen e. Les points situés au bord du domaine rigide ont la même vitesse que la parti ule à laquelle ilssont asso iés. La vitesse de dépla ementdes noeuds internes s'obtienten résolvant un problème de Poisson par exemple. Ce i garantit une variation dou e de la distribution des pointsdu maillage.En utilisant es te hniques, iln'est plus né essaire de projeter la solutiond'unpas detempsàl'autre.Cependant,lesdéformationssu essivesdu maillage provoquées par son dépla ement peuvent lerendreinutilisablenumériquementaprès plu-sieurs itérations. Dans e as, un remaillage,etdon une proje tion, peuvent s'imposer à nouveau. Ainsi, es méthodespermettentde limiterlenombre deremaillagesmaispas de les éviter totalement.

Méthodes de domaine  tif

Lesméthodesdedomaine tif onsistentàétendreunproblèmedénisurundomaine mobileet omplexe (ledomaineuide) àun domaineplusgrand maisxe. L'avantage de es méthodes est de her her les hamps

u

et p sur un maillage indépendant du temps,

et d'éviter ainsi les étapes de remaillage et de proje tion. De plus, si le domaine xe est susamment simple, il est possible d'obtenir des maillages artésiens, e qui permet l'utilisationde solveurs rapides.

Une méthode heuristique de e type a été proposé dès 1987 dans [31℄. Les parti ules sontreprésentésparunesériedepointsentrelesquelss'exer eunefor einternede ohésion (ressort de grande raideur pour des parti ules rigides par exemple). Cela permet d'avoir uneformulationduproblèmedetypeuidedanstoutledomaine(y omprislesparti ules) à ondition d'ajouter esfor es internesauxfor es extérieures déjàprésentes. Demanière générale, les méthodes de domaines  tifspeuvent être dé oupées en deux lasses.

Lapremièreestbaséesurunmaillage artésiendudomaineglobal(uideetparti ules) sur lequel sedépla ent des maillageslo aux(suivantlesparti ules).Lemouvement rigide est imposé grâ e à un multipli ateur de Lagrange vivant sur les maillages mobiles. Les multipli ateurs al ulés à un instant ne sont plus né essaires aux temps suivants et il n'y a don pas besoin de lesprojeter après le dépla ement des maillageslo aux. Ce type de méthode a été initié dans le as de uide s'é oulant autour d'obsta les (voir [37, 38℄) ou de parti ules ayant une vitesse imposée (voir [39℄). Il a ensuite été généralisé au as de parti ules libres dans un uide. Tout d'abord, omme dans [36℄, dans le adre de formulationsvariationnelles ontenant l'intégralitédes in onnues (

u

, p ,

V

et

ω

),oné rit la ontrainte sous la forme

u

= V

i

+ ω

i

(x − x

i

)

⊥

sur

B

i

. Ou, omme dans [71℄, en é rivant une formulation variationnellesur

u

etp uniquement,on impose autenseur des déformations

D

(u) = (∇u + (∇u)

T

_)/2

d'êtrenulsur

B

.

La se onde lasse de méthode de domaines  tifs regroupe des te hniques n'utilisant qu'un unique maillage global. Les méthodes de pénalisation en font partie. Elles sont utilisées par exemple dans [6, 50℄ pour prendre en ompte des obsta les en pénalisant la vitesse. Ce type de méthode permettant de gérer des onditions de Diri hlet au bord des parti ulespeut être utilisé pour lasimulation d'é oulementsuide/parti ules dans le as oùla résolution de l'é oulement uide est entièrement dé ouplée du al ul des for es hydrodynamiques.Ainsi,dans[82℄, ilest proposé, à haque pas de temps,de résoudre les équations uide en imposant dans le domaine rigide la vitesse al ulée au temps pré é-dent.Onendéduitlesfor eshydrodynamiquesexer éessurlesparti ulesaupasde temps ourantainsiqueleursnouvelles vitesses.Lorsdelarésolutionuide,les onditionsde Di-ri hlet aubord sontobtenues grâ eàune méthode dite de frontière tive.Elle onsiste à travaillerauniveau matri ielpour imposer lavitesse souhaitée auxnoeuds du maillage ontenusdans ledomainerigide.Cette ontraintepeut égalementêtre imposéepar péna-lisation. Ces méthodes travaillantsur un unique maillage peuvent être ouplées ave des te hniques de ranement ou dépla ement de maillage an de apturer orre tement la géométrie des parti ules (voir par exemple [83℄ ou[50℄).

Une méthode de type Lagrangien Augmenté, est quant à elle utilisée dans [73℄ pour ee tuerdes simulationsd'é oulementsuide-parti ules.Ellepermetde tireravantagede la méthode de pénalisation sans avoir l'in onvénient ( lassique pour de telles méthodes) de dégrader le onditionnementdes matri es onsidérées.Cependant,elleutilisedes mul-tipli ateurs de Lagrangevivant sur des maillageslo aux.

Dans e travail, nous proposons d'utiliser un unique maillage global et d'imposer la ontraintedemouvementrigideen pénalisantletenseur des déformations.Ce i,asso iéà une dis rétisationen tempspar laméthodedes ara téristiques, amèneàune formulation

variationnellede typeStokesgénéralisé surledomaineglobal.Puisquelarésolutionuide est ouplée au al ul des for es hydrodynamiques, ette méthode peut être utilisée pour simuler des é oulements totalementnon inertiels, e qui est le as par exemple des é ou-lements sanguins. Un autre avantage de la méthode de pénalisation présentée, en dehors du fait qu'elle utilise un maillage xe, est de pouvoir être implémentée sur des solveurs Stokes ouNavier-Stokes lassiques.

1.2 Algorithme proposé

1.2.1 Formulation variationnelle ontinue

Pour ne pas remailler le domaine à haque pas de temps, on souhaite travailler sur des fon tionsdéniessur

Ω

toutentier. Pour ela, onétendlasolution de (1.1,1.2,1.3)en posant,

u(t, x) = V

i

(t) + ω

i

(t)(x − x

i

(t))

⊥

dans

B

i

(t), ∀i.

L'espa e natureldans lequel on her he la solutionest don ,

K

B

=

(

v

_{∈ H}

₀

1

_{(Ω), ∀i, ∃(V}

i

, ω

i

) ∈ R

2

× R,

v

= V

i

+ ω

i

(x − x

i

)

⊥

p.p. dans

B

i

)

.

Remarque 1.1 Commele sous-domaine

B

dépend du temps,

K

B

aussi.

Une propriété fondamentale pour lasuite est lasuivante :

Propriété 1.2

K

B

= {v ∈ H

1

0

(Ω), D(v) = 0

p.p. dans

B}.

Démonstration : Il s'agit d'un résultat lassique dont on trouve la démonstration dans [80℄ par exemple. Nousl'é rivons i i pour la dimension deux. Le fait qu'un élément de

K

B

vérie

D(v) = 0

dans

B

résulte d'un simple al ul. Pour l'in lusion inverse, si

D(v) = 0

dans

B

,on é rit que

∇v = D(v) + ¯

ω,

où

ω

¯

=

1

2

(∇v − (∇v)

T

_{) =}



0

ω

−ω 0



ave

ω =

1

2

(∂

2

v

1

− ∂

1

v

2

)

.

Alors, pour

j = 1, 2

on a

∂

j

ω = ∂

2

D(v)

1j

− ∂

1

D(v)

2j

= 0

, au sens des distributions. Ainsi,

ω

est onstant presque partoutsur les

B

i

, omposantes onnexes de

B

:

∀i, ∃ω

i

∈ R, ω = ω

i

p.p. dans

B

i

.

Or,

D

(v) = 0

implique

∇v = ¯

ω

et, en intégrant,on obtient,

∀i, ∃ω

i

∈ R, V

i

∈ R

2

, v = V

i

+ ω

i

x

⊥

p.p. dans

B

i

,

Notons quel'on a aussi,

u

_{∈ K}

B

=⇒ ∇ · u = 0

dans

B.

(1.4)

Ainsi, l'extensionde

u

onstruite est à divergen e nullesur

Ω

tout entier.

On her he maintenant une formulation variationnelle dans et espa e fon tionnel ontraint

K

B

. On prend une fon tion test

u

˜

∈ K

B

, on multiplie l'équation de Navier-Stokes par

u

˜

et onintègre lassiquement par partiessur

Ω \ ¯

B

.On obtient

Z

Ω\ ¯

B

ρ

f

D

u

D

t

· ˜u + 2µ

Z

Ω

D(u) : D(˜

u

_{) −}

Z

Ω

p

∇ · ˜u −

Z

∂B

σn · ˜u =

Z

Ω\ ¯

B

f

_{Ω\ ¯}

_B

_{· ˜u,}

(1.5)

où lesdeuxièmeet troisièmeintégralessont des intégralessur

Ω \ ¯

B

quiont été étendues sur

Ω

grâ eàlapropriété1.2età(1.4).Deplus,l'intégralede bord,apriorisur

∂(Ω \ ¯

B)

, a été restreinte à

∂B

puisque

u

˜

est nulle sur

∂Ω

.

Ande al uler leterme de bord, onse rappelle que

u

˜

∈ K

B

et, par onséquent,

∀i, ∃ ˜

V

i

, ˜

ω

i

tels que

u(x) = ˜

˜

V

i

+ ˜

ω

i

(x − x

i

)

⊥

dans

B

i

.

Ainsi, pour tout

i

,

Z

∂B

i

σn · ˜u = ˜

V

i

·

Z

∂B

i

σn + ˜

ω

i

Z

∂B

i

σn · (x − x

i

)

⊥

,

et leséquations asso iées auprin ipefondamentalde ladynamique (1.3) donnent alors

Z

∂B

i

σn · ˜u = ˜

V

i

·

Z

B

i

f

i

+ ˜

ω

i

Z

B

i

f

i

· (x − x

i

)

⊥

−

J

x

i

dω

i

dt

ω

˜

i

− m

i

dV

i

dt

· ˜

V

i

=

Z

B

i

f

i

· ˜u −

J

x

i

dω

i

dt

ω

˜

i

− m

i

dV

i

dt

· ˜

V

i

.

Or, on montre que

Lemme 1.3 Si

u

= V

i

+ ω

i

(x − x

i

)

⊥

et

u

˜

= ˜

V

i

+ ˜

ω

i

(x − x

i

)

⊥

sur

B

i

, alors J

x

i

dω

i

dt

ω

˜

i

+ m

i

dV

i

dt

· ˜

V

i

= ρ

i

Z

B

i

D

u

D

t

· ˜u.

Démonstration : Par dénition,

Du

Dt

(t, x) =

∂u

∂t

+ (u · ∇)u.

Comme dans

B

i

,

u(t, x) = V

i

(t) + ω

i

(t)(x − x

i

(t))

⊥

_,

on obtient

∂u

∂t

=

∂V

i

∂t

+

∂ω

i

∂t

(x − x

i

(t))

⊥

− ω

i

V

⊥

i

,

et

(u · ∇)u =

u

· ∇u

1

u

_{· ∇u}

2

!

=

−ω

i

V

i,2

− ω

2

i

(x

1

− x

i,1

)

ω

i

V

i,1

+ ω

i

2

(−x

2

+ x

i,2

)

!

= ω

i

V

⊥

i

− ω

i

2

(x − x

i

).

Par onséquent, dans

B

i

,

Du

Dt

(t, x) =

dV

i

dt

(t) +

dω

i

dt

(t)(x − x

i

(t))

⊥

− ω

i

2

(x − x

i

(t)).

Enmultipliantpar

u

˜

ona,

Du

Dt

(t, x) · ˜u =

Du

Dt

(t, x) ·

h

˜

V

i

+ ˜

ω

i

(x − x

i

)

⊥

i

=

dV

i

dt

· ˜

V

i

+

dω

i

dt

V

˜

i

· (x − x

i

)

⊥

− ω

2

i

V

˜

i

· (x − x

i

)

+˜

ω

i

dV

i

dt

· (x − x

i

)

⊥

_{+ ˜}

_ω

i

dω

i

dt

|x − x

i

|

2

_.

Enintégrant sur

B

i

et en utilisantlasymétrie de

B

i

, onobtientnalement

ρ

i

Z

B

i

Du

Dt

· ˜u =

dV

i

dt

· ˜

V

i

Z

B

i

ρ

i

+ ˜

ω

i

dω

i

dt

Z

B

i

ρ

i

|x − x

i

|

2

=

dV

i

dt

· ˜

V

i

m

i

+ ˜

ω

i

dω

i

dt

J

x

i

. 

Remarque 1.4 Cerésultat reste valide valide si les parti ules sont non ir ulaires.

Le terme de bord de (1.5) peut don se réé rire,

Z

∂B

i

σn · ˜u =

Z

B

i

f

i

· ˜u − ρ

i

Z

B

i

D

u

D

t

· ˜u.

On obtient laformulation variationnelle suivante,















Z

Ω

ρ

D

u

D

t

· ˜u + 2µ

Z

Ω

D(u) : D(˜

u

_{) −}

Z

Ω

p

∇ · ˜u =

Z

Ω

f

_{· ˜u, ∀˜u ∈ K}

_B

,

Z

Ω

q

∇ · u = 0, ∀

q

∈ L

2

_(Ω),

(1.6) où

f

= f

Ω\ ¯

B

1

Ω\ ¯

B

+

N

X

i=1

f

i

1

B

i

et

ρ = ρ

f

1

Ω\ ¯

B

+

N

X

i=1

ρ

i

1

B

i

.

Commesouhaitéinitialement, etteformulationvariationnelleestposéesurdesespa es de fon tions déniessur

Ω

tout entier. La ontraintede mouvementrigide apparaîtalors dans l'espa e asso ié à la vitesse. Dans [25℄, une telle formulation variationnelle faisant intervenir la ontrainte dans l'espa e de fon tions (formulation en espa e-temps dans e as) est utiliséepour montrer l'existen e de solutions faiblesauproblème (1.1,1.2,1.3).

1.2.2 Dis rétisation en temps

Onnote

∆t > 0

lepasdetemps,

t

n

= n∆t

et,pourtoutefon tion

f

,

f

n

_{(x) = f (x, t}

n

)

. And'obteniruneformulationvariationnelledetypeStokesgénéralisé,(1.6)estdis rétisée en temps en utilisant la méthode des ara téristiques. Si

v

: (t, x) → v(t, x)

est un hamp de ve teur, il s'agit d'une méthode permettant de dis rétiser la dérivée totale

D

v

D

t

=

∂v

∂t

+ (v · ∇)v

de façonLagrangienne.

Plus pré isément, on appelle ara téristique asso iée au hamp de vitesses

v

, la tra-je toire

X

suivie par une parti ule uide dans un é oulement à ette vitesse. Pour une parti ule située en

x

au temps

t

, ette traje toire est solution de l'équation diérentielle ordinairesuivante :







∂X

∂τ

(x, t, τ ) = v(X(x, t, τ ), τ ),

X(x, t, t) = x.

(1.7)

On ditque

τ → X(x, t, τ)

est la ara téristiqueissue de

x

au temps

t

asso iée au hamp

de vitesse

v

. On a alors, pour toute fon tion

Φ(t, x)

,

DΦ

Dt

(x, t) =

 ∂Φ

∂t

+ v · ∇Φ



(x, t) =

∂

∂τ

(Φ(X(x, t, τ ), τ )) |

τ =t

.

Cette égalité suggèrela dis rétisationsuivante de ladérivée totale :

 DΦ

Dt



(x, t

n+1

_{) ≈}

Φ

n+1

_{(X(x, t}

n+1

, t

n+1

)) − Φ

n

(X(x, t

n+1

, t

n

))

∆t

.

En utilisant lefait que

X(x, t

n+1

, t

n+1

) = x

, onappro he la dérivée totale de

Φ

par

 DΦ

Dt



(x, t

n+1

_{) ≈}

Φ

n+1

_{(x) − Φ}

n

_(X

n

_(x))

∆t

,

où

X

n

_(x)

est une approximation de

X(x, t

n+1

, t

n

)

, position au temps

n

de la parti ule située en

x

au temps

n + 1

(on dit que l'on remonte les ara téristiques). On trouvera plus de détails sur ette méthode de dis rétisationdans [72℄.

An d'appliquer ette méthode à la dis rétisation de (1.6), on note d'abord que,

puisque

ρ

est onstant le long des ara téristiques on a (formellement),

ρ

D

u

D

t

=

D

(ρu)

D

t

.

On obtient nalement les héma numériquesuivant, pour tout

n > 0

, (i) al uler

ρ

n+1

grâ e à

u

n

et

(B

n

i

)

i

:

∀i, V

i

n

=

1

πr

2

i

Z

B

n

i

u

n

, x

n+1

_i

= x

n

_i

+ ∆tV

n

_i

,

ρ

n+1

_{= ρ}

f

1

_{Ω\ ¯}

_B

n+1

+

N

X

i=1

ρ

i

1

B

n+1

_i

.

(1.8)

(ii) résoudre laformulationvariationnelle dis rétisée asso iée à(1.6) :

(P

var

n

)















































Trouver

u

n+1

_{∈ K}

B

n+1

etp

n+1

_{∈ L}

2

_(Ω)

tels que,

1

∆t

Z

Ω

ρ

n+1

u

n+1

_{· ˜u + 2µ}

Z

Ω

D(u

n+1

) : D(˜

u

_{) −}

Z

Ω

p

n+1

∇ · ˜u

=

1

∆t

Z

Ω

(ρ

n

u

n

_{) ◦ X}

n

_{· ˜u +}

Z

Ω

f

n

_{· ˜u, ∀˜u ∈ K}

_B

n+1

,

Z

Ω

q

∇ · u

n+1

= 0, ∀

q

∈ L

2

_(Ω),

(1.9) où

X

n

àl'étape(ii)estobtenueen al ulantles ara téristiquesasso iéesà

u

n

.Noter que, an de ne pasdéformer ledomainerigidedansl'étape(i),ontransporte

ρ

en utilisantles degrés de libertéréels des parti ules.

Nous avons ainsi obtenu une formulation variationnelle de type Stokes généralisé. La diéren e fondamentale ave les formulations variationnelles lassiques est que l'espa e fon tionnel asso ié ontient la ontrainte de mouvement rigide. Leséléments nis usuels ne permettent don pas d'ee tuer dire tement ladis rétisation en espa e de (

P

n

var

,1.9).

1.2.3 Gestion du mouvement rigide par pénalisation

L'obje tif est don maintenant d'obtenir une formulation variationnelle adaptée à la dis rétisationpar élémentsnis. Pour ela, on her he uneformulationpour laquelle l'in- onnue ainsiquelesfon tionstestssontdans

H

1

0

(Ω)

, e quirevientàenleverla ontrainte de mouvement rigide de

K

B

n+1

. Pour e faire, on va utiliser une méthode dite de péna-lisation. Cette méthode permet d'appro her la solution d'un problème de minimisation sous ontrainte par une suite de solutions de problèmes de minimisation non ontraints. Réé rivons don (

P

n

var

,1.9) sous forme d'un problème de minimisation. On note l'espa e

des fon tions à divergen e nulle

K

∇

,

K

∇

=



v

_{∈ H}

₀

1

_{(Ω), ∇ · v = 0}

,

eton réé ritle problème sous la forme

(P

min

n

)







u

n+1

_{∈ K}

∇

∩ K

B

n+1

,

J

n

(u

n+1

) =

min

v

_∈K

_∇

_∩K

Bn+1

J

n

(v),

(1.10) où J

n

_{(v) =}

1

2∆t

Z

Ω

ρ

n+1

_|v|

2

+ µ

Z

Ω

D

_{(v) : D(v) −}

1

∆t

Z

Ω

(ρ

n

u

n

_{) ◦ X}

n

_{· v −}

Z

Ω

f

n

_{· v.}

Puis,enserappelantquela ontrainte

v

∈ K

B

n+1

s'é rit

D(v) = 0

dans

B

n+1

,onappro he lessolutionsde (

P

n

min

,1.10)par ellesdu problèmede minimisationnon ontraintsuivant,

(P

min

n,ε

)







u

n+1

_ε

_{∈ K}

∇

,

J

n

ε

(u

n+1

ε

) = min

_v

∈K

∇

J

n

ε

(v),

(1.11)

où J

n

ε

(v) =

J

n

_{(v) +}

1

ε

Z

B

n+1

D(v) : D(v).

On ditquel'onpénalisela ontrainte

D(v) = 0

sur

B

n+1

. L'idéeest lasuivante:quand

ε

estpetit,pourque

u

n+1

ε

minimiseJ

n

ε

,ilfautque

D(u

n+1

ε

)

soitpetitsur

B

n+1

.La ontrainte

D(v) = 0

a ainsi été relaxée. On n'a plus

D(u

n+1

ε

) = 0

sur

B

n+1

mais

D(u

n+1

ε

)

petit et, à la limite (

ε = 0

), on retrouve la ondition de mouvement rigide. On détaillera les hypothèses né essaires à la onvergen e de la méthode de pénalisation dans la se tion 1.4 et on montrera que es hypothèses sont vériées dans le as de la pénalisation d'un mouvementrigide.

Dansl'algorithme (1.8,1.9), onrempla e don (

P

n

var

,1.9) par la formulation

variation-nelle asso iée à (

P

n,ε

min

,1.11) eton obtient un nouveau s héma numérique:

Pour tout

n ≥ 0

, ondispose de

x

n

etde

u

n

. 1. Cal uler

ρ

n+1

grâ e à

u

n

et

(B

n

i

)

i

:

∀i, V

i

n

=

1

πr

2

i

Z

B

n

i

u

n

, x

n+1

_i

= x

n

_i

+ ∆tV

n

_i

,

ρ

n+1

_{= ρ}

f

1

_{Ω\ ¯}

_B

n+1

+

N

X

i=1

ρ

i

1

B

n+1

_i

.

(1.12)

2. Résoudre laformulation variationnelle

(P

var

n,ε

)































































Trouver

u

n+1

∈ H

0

1

(Ω)

etp

n+1

∈ L

2

(Ω)

tels que,

1

∆t

Z

Ω

ρ

n+1

u

n+1

_{· ˜u + 2µ}

Z

Ω

D(u

n+1

) : D(˜

u)

+

2

ε

Z

B

n+1

D(u

n+1

) : D(˜

u

_{) −}

Z

Ω

p

n+1

∇ · ˜u

=

1

∆t

Z

Ω

(ρ

n

u

n

_{) ◦ X}

n

_{· ˜u +}

Z

Ω

f

n

_{· ˜u, ∀˜u ∈ H}

₀

1

(Ω),

Z

Ω

q

∇ · u

n+1

= 0, ∀

q

∈ L

2

_(Ω).

(1.13)

Algorithme1.1:S hémanumériqueobtenuaprèsdis rétisationentempsparlaméthode des ara téristiqueset pénalisation de la ontrainte de mouvement rigide

(

P

n,ε

var

,1.13) est maintenant une formulation variationnelle lassique de type Stokes

généralisé qui est adaptée à la dis rétisation par éléments nis. Ce nouvel algorithme est implémentable ave tout solveur élément ni de Stokes, à ondition que e solveur permettede prendre en omptedans l'assemblage des matri esdes fon tions indi atri es de sous-domaines(né essairepour al ulerlamatri easso iéeà l'intégralesur

B

n+1

ainsi que le se ond membre faisant intervenir

ρ

et

f

). Ce solveur doit également permettre le al uldes ara téristiquesasso iéesàun hamp de ve teur(né essaire pour al uler

X

n

Remarque 1.5 Physiquement, (1.13) montre que la méthode de pénalisation utilisée onsidère le domaine rigide omme un domaine de grande vis osité. A la limite (

ε = 0

), le domaine rigide est vu omme un domaine de vis osité innie. Cette idée est similaire à elle utilisée dans [73℄ où le mouvement rigide est pris en ompte par une méthode de type Lagrangien Augmenté.

1.3 Tests numériques

1.3.1 Implémentation sous FreeFem++

On hoisit d'implémenter l'algorithme 1.1 ave le solveur éléments nis FreeFem++ (voir [43℄). On ee tue la dis rétisation en espa e grâ e à l'élément

P

1

-bulle

/P

1

, en ore appelémini-element (voir [8℄).

Ande al ulerleterme

(ρ

n

_u

n

_{) ◦ X}

n

,onutiliselafon tion onve tde FreeFem++. Si

α

estun hampdevitessesélémentsnis,lavaleurappro héeautemps

n

de la ara téris-tiquepassantpar

x

autemps

n + 1

al uléepar FreeFem++est

X

n

_{(x) = x − ∆tα}

n

_(x)

(

X

n

remonte les ara téristiques au temps

n

d'un temps

∆t

). La fon tion onve t est quant à elledénie par

convect

(α

n

_{, −∆t, v}

n

_{)(x) = v}

n

_{◦ X}

n

_(x)

où

v

est une fon tion éléments nis à valeurs ve torielles. Ainsi,dans notre as, on peut programmer,

(ρ

n

u

n

_{) ◦}

X

n

_{= convect(u}

n

, −∆t, ρ

n

u

n

).

Commeletermede pénalisationdu mouvementrigidedégrade le onditionnementdes matri es, ilest préférabled'utiliserune méthode de résolution de systèmes dire te plutt qu'itérative. On souhaite don obtenir un système inversible. Pour ela, on utilise une méthode dite de régularisation ou de pénalisation dé rite par exemple dans [35℄ qui onsiste àmodier l'équationsur ladivergen e de (

P

n,ε

var

,1.13) en

−ε

0

Z

Ω

pq

+

Z

Ω

q

∇ · u

n+1

= 0, ∀

q

∈ L

2

_(Ω),

ave

ε

0

<< 1

.

Remarque 1.6 Cette dernière équation onsiste à é rire que p

=

1

ε

0

∇ · u

n+1

de façon

faible. En remplaçant ensuite p par ette valeur, dans la formulation variationnelle sur

u

, on voit que ette méthode, omme son nom le laissait suggérer, onsiste pré isément à pénaliser (au sens déjà vu dans la se tion 1.2.3) la divergen e sur

Ω

. Au lieu de ré-soudre (

P

n,ε

min

,1.11), onrésout un problème de minimisationsans ontrainte (sur

H

1

0

(Ω)

)

en ajoutant à la fon tionnellele terme

1

ε

0

Z

Ω

|∇ · u

n+1

|

2

.