Modélisation numérique des écoulements gravitaires viscoplastiques avec transition fluide/solide

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viscoplastiques avec transition fluide/solide

Christelle Lusso

To cite this version:

Christelle Lusso. Modélisation numérique des écoulements gravitaires viscoplastiques avec transition

fluide/solide. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris-Est, 2013. Français. �NNT :

2013PEST1197�. �tel-00977866v2�

DE L'INFORMATION ET DE LA COMMUNICATION

T H È S E

présentéepour l'obtention dutitrede

Doteur de l'Université Paris-Est

Mention : Mathématiques Appliquées

par Christelle LUSSO

Modélisation numérique des

éoulements gravitaires visoplastiques

ave transition uide/solide

Thèsedirigéepar FrançoisBouhut etAlexandre Ern

préparée au CERMICS,Éole desPontsParisTeh

Soutenue le 19déembre2013

Jury :

Rapporteurs : DidierBresh - LAMA&CNRS,Universitéde Savoie

JaquesSainte-Marie - INRIA,Paris-Roquenourt

Examinateurs : Anne Mangeney - IPGP,Paris

IoanIonesu - LPMTM&CNRS,Université Paris 13

Robert Eymard - LAMA, UniversitéMarne-la-Vallée

Direteurs dethèse : FrançoisBouhut - LAMA&CNRS,UniversitéParis-Est

AlexandreErn - CERMICS,Université Paris-Est

Résumé

Nousnousintéressonsàlamodélisationetàlasimulationnumériqued'éou-

lements gravitaires transitoires à surfae libre, pour des uides visqueux et in-

ompressibles. La loi de omportement est de type visoplastique ave transition

uide/solide. Plus préisément, nous onsidérons la loi rhéologique de Druker

Prager. Nousnousintéressonstoutd'abordleasunidimensionnel d'unéoulement

longitudinal isaillé. Nous étudions un modèle simplié, ave terme soure empi-

rique, pour lequel nous onevons une méthode numérique pour le suivi de la po-

sition de l'interfae entre la ouhe solide et laouhe uide. Nous présentons des

résultats numériques, ave divers termes soures, etnous omparons es résultats,

lorsque la visosité est petite, à la solution analytique non visqueuse. Dans le as

visqueux,nousétudionslesphasesdedémarrageetd'arrêtdel'éoulement.Dansun

seondtemps,nousétudionsleasbidimensionnel d'éoulement deDrukerPrager

ave surfae libre. La loi de omportement du uide est traitée par régularisation,

et nous utilisons la méthode ALE pour traiter le mouvement du domaine. Nous

présentons des résultats numériques pour l'étude de la mise en mouvement d'un

talus.

Mots lés

Éoulementgéophysique,visoplastiité,DrukerPrager,transitionuide/solide,

dynamique d'interfae, simulationnumérique.

Abstrat

This thesis deals withthe modeling and numerial simulation of transient

free-surfaegravityows,forvisousandinompressibleuids.Theonstitutivelaw

isvisoplasti,withuid/solidtransition. Morepreisely,weonsidertheDruker

Prager rheologial law. We rst study the ase of a one-dimensional shear ow.

We investigate a simplied model, with an empirial soure term, for whih we

develop a numerial method to ompute the position of the solid/uid interfae.

We present numerial results for various soure terms, and ompare,in theaseof

small visosity, our results to the invisid analytial solution. In the visous ase,

westudy theaseof atwo-dimensional DrukerPragerowwithfreesurfae. The

onstitutive law of the uid is regularized, and the ALE method is used to treat

the displaement of thedomain. Numerialresults are presentedfor thesetting in

motion ofan embankment.

Keywords

Geophysi ow, visoplastiity,DrukerPrager, uid/solid transition, interfae

dynamis, numerial simulation.

1 Introdution 1

1.1 Motivation géophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Équations de NavierStokesinompressibles . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Éoulementsen régimede ouhe mine . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Rhéologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Modèles physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Fluides à seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 Critère deplastiité (DrukerPrager) . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.4 Méthodesnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Plan delathèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Éoulement unidimensionnel ave transition 13 2.1 Modèlede DrukerPrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Desription du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Équations de onservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Changement de oordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Nouveau systèmede oordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Reformulationdeséquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Solutionlongitudinale ave pression hydrostatiqueettransition . . . 22

2.3.1 Reformulationdeséquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Étude du asnon visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Modèleunidimensionnel ave terme soure 33 3.1 Asymptotique deouhe mine du modèlede DrukerPrager . . . . 34

3.2 Formulationdu modèleave termesoure . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Étude analytique du asnonvisqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Cas

b

(t)

3.3.2 Cas

b

(t)

b

= b

(0)

3.3.3 Cas

b

(t)

b

< b

(0)

3.3.4 Cas partiulier :

b(t)

3.4 Méthodes numériques pour leasave visosité . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.2 Diérenes nies enespae eten temps . . . . . . . . . . . . 56

3.4.3 Méthodepour lesuivid'interfae . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Résultats numériquespour leasave visosité . . . . . . . . . . . . 59

3.5.1 Étude de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.2 Comportement entemps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.3 Étude du régimetransitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Étude de l'arrêt de l'éoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.1 Formulationsous formed'inéquation variationnelle . . . . . . 80

3.6.2 Disrétisation de l'inéquation variationnelle . . . . . . . . . . 81

3.6.3 Comparaison ave l'approhe préédente . . . . . . . . . . . . 82

3.6.4 Résultats numériquespour l'arrêtde l'éoulement . . . . . . . 83

4 Simulation d'éoulements bidimensionnels 87 4.1 Formulationdu modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Équations etonditions auxlimites . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.2 Régularisation etformulationvariationnelle . . . . . . . . . . 89

4.2 FormulationALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Prinipe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.2 Traitement de ladérivée temporelle. . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.3 Formulationvariationnelle par laméthode ALE . . . . . . . . 95

4.2.4 Reonstrution de lavitessedudomaine . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Disrétisation du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Disrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Vériation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5 Étude de lamiseen mouvement d'untalus . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.1 Conguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.2 Adaptation du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5.3 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Conlusions et perspetives 123

Introdution

1.1 Motivation géophysique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Équationsde NavierStokes inompressibles . . . . . . . 3

1.3 Éoulementsen régimede ouhe mine . . . . . . . . . 6

1.4 Rhéologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Modèlesphysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Fluidesàseuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 Critèredeplastiité(DrukerPrager) . . . . . . . . . . . 9

1.4.4 Méthodesnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Motivation géophysique

Un nombreimportant d'éoulements renontrés en géophysique faitintervenir

des matériaux granulaires. De tels éoulements, appelés éoulements granulaires,

ont fait l'objet de nombreux travaux[3, 55,67, 70,74, 109,115℄. Des exemplesen

géophysiquesontlesmouvementsdesdunesdesable,leséoulementspyrolastiques

[65,76,79,118℄lors deséruptionsvolaniques,lesglissementsde terrain,ouenore

les avalanhes de neige [10, 42,73,108℄. Les éoulements granulaires interviennent

également dansde nombreuses appliations industrielles omme l'ativité minière,

lebâtiment etlegénieivil(e.g.ouléesdebéton), ainsiquedansl'industrieagroa-

limentaire etpharmaeutique,sousformede poudre(médiaments, sel,sure...)ou

de suspension(rèmes, soupes,ompotes...)[36,42,95,112℄.

Engéophysique,leséoulementssont généralement induitsparlaforedepen-

santeur. Dans un telas, lamiseen mouvement du système estuniquement due à

ette fore motrie, en partant d'une situation initiale instable. Ce type d'éoule-

ment estappelééoulement gravitaire.Pour une étudedeséoulements gravitaires,

on pourraonsulteren partiulier[5,17,128℄.Deux illustrationsdee typed'éou-

lement sont présentées à lagure ??.Les éoulements granulaires qui surviennent

en milieu naturel, dans les zones de montagne notamment, peuvent se produire à

proximitéde zonesurbaines.Detels aléasnaturelsprésentent unrisquemajeurpar

l'ampleur desdégâtshumainsetmatériels qu'ilspeuvent générer.La desriptionet

laprédition de esévénements reouvrent don desenjeux onsidérablesen terme

d'évaluationdesrisquesetde prévention.

Figure1.1Couléesgravitaires.

Les éoulements gravitaires granulaires [75, 122℄ mettent en jeu des phéno-

mènes physiques omplexes et la rhéologie des matériaux assoiés est dérite par

des modèles déliats à manipuler [2, 4, 81, 82℄. En eet, les problèmes onsidé-

rés en géophysique font souvent intervenir des ouplages entre matériaux ayant

des rhéologies diérentes [80℄. En partiulier, dansles éoulements gravitaires que

nousonsidérons,lesouplagesinterviennent parlaprésenedeplusieursphasesau

sein d'unmême uide.Dansunetelleonguration, leséoulementsprésententune

même aratéristique essentielle, elle de transition entre des omportements sta-

tiquesetdesomportementsmobiles[12,49℄.Unexempletypiqueestlephénomène

d'avalanhes de neige. Pour es régimes de transition, entre un état statique etun

état mobile, la détermination de la position de l'interfae de transition est un des

élémentsfondamentauxdanslapréditionde l'éoulement.L'étude delatransition

statique/mobile estun enjeu essentielaussibienengéophysique pour laprévention

des risquesnaturels etla préservation de l'environnement, quedans l'industrie,où

la apaité d'un uide à passer d'un état solide à un état liquide est bien souvent

déterminantepour laqualité etlaperformane desproessusindustriels.

Au voisinage de ette transition statique/mobile, le omportement de l'éou-

lement est diile à analyser. Atuellement, auune théorie ne permet de dérire

de manière rigoureuseette transition. Il endéoule desdiultés, au niveau de la

modélisationetde lasimulationdee typed'éoulementstransitoires. Lesmodèles

présentent enpartiulierdesnonlinéaritésissuesdelamodélisationdelatransition

de phase. Par ailleurs, leomportement en temps ourt etlong de ette transition

est important an de dérire les phases de démarrage et d'arrêt de l'éoulement.

Ces phases jouent un rle important dans la dynamique d'un éoulement naturel

[88, 104℄. La transition d'une phase statique à une phase mobile, préédée d'une

phase de déstabilisation, orrespond à un démarrage. La transition d'une phase

uideàsolideorrespondàl'arrêt,suivid'unephasedestabilisationoùlematériau

atteint l'équilibre aurepos[27℄.

Leséoulementsgéophysiquesontégalementlapropriétédeprésenterune sur-

faelibre,lieudeontatdiretentrelemilieuonsidéréetl'atmosphère.Cetteon-

guration est bien onnue dans le domaine des anaux, desrivières ou des grandes

étendues d'eau omme les las, les mers ou les oéans. Par opposition, les éoule-

ments dits "en harge" sont eux dans lesquels le uide emplit omplètement une

analisation ou une onduite.En éoulement à surfae libre,il estsouvent possible

de négliger l'ation du uide ambiant (l'air) et les termes de tension surfaique,

hypothèse quenousferons par lasuite.

Dansettethèse,nousnousintéressonsauxéoulementsàsurfaelibre[45,125℄.

Une diulté dans la simulation de e type d'éoulements se situe au niveau du

mouvementdelasurfaelibre, etnotamment deprédiresapositionetsavitesse.À

etten,destravauxfoaliséssurl'étudedelasurfaelibred'unéoulementontété

menés tant au niveau expérimental, dansdes ongurations simplesd'éoulements

parallèles [92,96℄,qu'au niveau numérique [119℄.Deplus, plusieurstravauxréents

se sont intéressés à une desription de type ouhe mine multi-ouhes [7, 8,29℄,

en vue d'unemeilleureompréhension de ladynamiquedees systèmes.

Enrésumé,lesdiultésdansl'étudedeséoulementsgravitairestransitoiresà

surfae libresont liéestoutd'abord àlaomplexité deséquationsmises enjeu,fai-

santintervenir desmodèlesrhéologiques dérivantdesomportementsviso-élasto-

plastiques. À ela s'ajoute le fait que les événements onsidérés font intervenir de

grandes éhelles de temps etd'espae. Enn, le traitement de la surfae librepose

une diulté supplémentaire.

1.2 Équations de NavierStokes inompressibles

Nous nous intéressons aux équations régissant les éoulements de uides vis-

queuxinompressibles.CeséquationsportentlenomdeNavierStokes[124℄,etsont

utilisées pour la modélisation etla simulationdes éoulements inompressibles, en

partiulier à surfae libre.

Toutesleséquationsfondamentalesenméaniquesedéduisentdebilanssurdes

volumesdeontrle degrandeursonservatives:masse,quantitédemouvement (et

énergie).Ainsi,leséquationsdeNavierStokesrésultentduprinipedeonservation

de la masse et de la quantité de mouvement (ou du prinipe fondamental de la

dynamique).

Nousnousplaçonsdansundomaine

Ω

R

n ∈ { 1, 2, 3 }

noussupposons pour simplieretexposéintrodutif,queledomaine

Ω

pasdu temps.Letemps d'observation oude simulationde l'éoulement estnoté

T

L'équation traduisant le prinipe deonservation de lamasse, appelée équationde

ontinuité, estlasuivante:

∂

ρ + div(ρ~ U ) = 0

]0, T [ × Ω,

ave

ρ

U ~

le prinipe deonservation de laquantité de mouvement estlasuivante:

∂

(ρ~ U ) + div(ρ~ U ⊗ U ~ ) − divP = f ~

]0, T [ × Ω,

ave

P

f ~

rieurs(résultantdelagravitédansleséoulementsquenousonsidérons),l'équation

(1.2) ombinéeave (1.2) seréérit souslaforme nononservative

ρ

∂

U ~ + ( U ~ · ∇ ) U ~

− divP = f ~

]0, T [ × Ω.

Dans leasd'unuideinompressible, lamassevolumique estonstante,etl'équa-

tion de ontinuité (1.1)sesimplie souslaforme

div U ~ = 0

]0, T [ × Ω.

L'équation(1.4)estappeléeonditiond'inompressibilité.Dansleasd'éoulements

inompressibles, letenseur desontraintes s'érit souslaforme

P = σ − pId,

ave

p

σ

(1.4), nousen déduisonsl'équationde onservation de l'énergie

∂

ρ U ~

2

! + div

ρ U ~

2 + p

! U ~

!

− (divσ) · U ~ = f ~ · U ~

]0, T [ × Ω.

La desription du omportement du uide néessite aussiune loi de ompor-

tement rhéologique, enore appelée équation onstitutive. La loi de omportement

rhéologique d'un uide exprime letenseur des ontraintes en fontion de l'état du

uide, et plus préisément en fontion de la pression

p

déformation

D ~ U

D ~ U = ∇ U ~ + ∇ U ~

2 .

Nous notons que e tenseur est symétrique, età trae nulle pour un uide inom-

pressible. UnuideestditNewtonien lorsquesavitessededéformation estpropor-

tionnelle àlaontraintequi luiest appliquée,lequotient deproportionnalité étant

lavisosité. Laplupart desuides,ommel'air oul'eau,seomportent ommedes

uides Newtoniens. Certains uides, tels que la lave ou le miel, ont en revanhe

un omportement plusomplexe,etsontqualiés denon-Newtoniens.Pluspréisé-

ment,pourles uidesNewtoniens,lapartiedéviatorique dutenseurdesontraintes

dépend de manièrelinéaire du tenseur desdéformations, souslaforme

σ = 2νD ~ U ,

ave

ν

déformation età lapression,sous laforme

σ = 2νD ~ U + F (D ~ U , p),

ave

F

uides non-Newtoniens.

Pour fermer le système, il reste à imposer des onditions aux limites et une

ondition initiale. Les onditions aux limites sont appliquées sur

Γ

maine

Ω

mannpeuventêtreimposéessurlesbordslatéraux.Surlefond,lavitessevérieune

ondition de non-pénétration etune ondition de non-glissement. Il s'ensuit que la

vitesse duuide estnulle au fonddu domaine

U ~ = 0

En equionerne lasurfae libre,ilyadeuxonditions àérire.D'unepart, pour

une surfae libreen ontatave ungaz à pressiononstanteomme l'atmosphère,

etensupposantqueleseetsdetensiondesurfaesontnégligeables, nousobtenons

une ondition detensionnulle àlasurfae libre

(pId − σ) N ~ = 0

,

où

N ~

inématique exprimantlefaitquelasurfaelibreesttransportée parlemouvement

du uide. Ennotant

X

t

libre s'érit

G(t, X) = 0

d

dt G(t, X) = 0,