Résultats numériques pour l'arrêt de l'éoulement

3.1 Asymptotique deouheminedu modèlede Druker

Prager

Nous onsidérons les équations du modèle de DrukerPrager en oordonnées

(X, Z)

telles que présentées à lasetion 2.2. An de simplier es équations, nous nous plaçons sous ertaines hypothèses permettant de réaliser un développement asymptotique en ouhe mine. Le point saillant dans es hypothèses est que la hauteurdudomaineoupéparleuiderestepetiteparrapportauxautres éhelles de longueur. Pluspréisément, nousonsidérons leshypothèsessuivantes:

(H1)

h∼ǫ

,

ǫ≪1

,

(H2)

∂

X

θ=O(ǫ)

ave

θ <0

et

|θ| ≫ǫ

, (H3)

ν =O(ǫ

2

)

,

(H4)

U =O(ǫ)

,

(H5)

λ=|tanθ|+O(ǫ)

,

(H6)

U = 0

pour tout

Z ∈]0, b(t)[

et

∂

_Z

U >0

pour tout

Z ∈]b(t, X), h(t, X)[

. Dans es hypothèses, la notation

O(ǫ)

signie qu'il s'agit d'une quantité au plus d'ordre de

ǫ

foisunevaleurde référened'ordre

1

quiest omiseand'alléger l'éri-ture.

L'hypothèse(H1)signieque

ǫ

estdel'ordrede

h

etquenousnousplaçonsdans une asymptotiquede ouhemine. L'hypothèse (H2) signiequenousonsidérons undomaineaveunefaiblevariationdel'angleinlinaisondelapenteetquel'angle d'inlinaison n'est pas troppetit.L'hypothèse (H3) permet de négliger lavisosité et l'hypothèse (H4) permet de onsidérer des éoulements lents. L'hypothèse (H5) signie que les eets de gravité et de frition sont presque à l'équilibre, e qui est ohérent ave (H4).Enn, l'hypothèse(H6) permetdeonsidérer leasd'uneseule interfae entre une phase statique et une phase mobile, la position de l'interfae étant repéréepar lafontion

b(t, X)

.

Undéveloppementformeldeséquations(2.20),sousleshypothèsespréédentes, donne (voir[25℄)

∂

t

U+S−ν∂

_ZZ²

U = 0

pour tout

Z ∈]b(t, X), h(t, X)[,

(3.1)

où leterme

S

est déni en (3.4),(3.5) i-dessous. Cette équation est posée dans la phase mobile de l'éoulement, omme dans le modèle obtenu au lemme 2.5. Les onditions aux limitesassoiéess'érivent

U = 0

en

Z =b(t, X),

(3.2a)

ν∂

Z

U = 0

en

Z =b(t, X),

(3.2b)

ν∂

_Z

U = 0

en

Z =h(t, X),

(3.2)

auxquelles s'ajoutela onditioninématique

∂

t

h+∂

X

Z

h 0

U dZ

= 0.

(3.3)

Le terme

S

dans(3.1) dépendde

(t, X, Z)

ets'exprime souslaforme

S =−g(sinθ+∂

X

(hcosθ))−λ∂

Z

p,

(3.4) où lapression estdonnéepar

p=g

cosθ+ sinθ∂

X

h−2|sinθ|^∂

^X

^U

|∂

Z

U|

(h−Z),

(3.5)

pourtout

Z ∈]b(t, X), h(t, X)[

.Dansl'expressionde

p

,ladiultémajeureprovient du terme

∂

X

U

|∂

Z

U|

qui a une forme indéterminée lorsque

Z → b(t, X)

par valeurs supérieures et qui, en outre, est non linéaire. De plus, en remplaçant l'expression (3.5) de

p

dans elle de

S

,nous obtenons une équation d'ordre

2

ave une dérivée roisée,equiposequestionquantauaratèrebienposéduproblème.Cesquestions mathématiquesneserontpasabordéesdansemanusrit.Danslasuite,nousallons nous intéresser à unmodèle plus simple,ne faisant pasintervenir lavariable

X

,et quinouspermettraderéaliseruneétudeanalytiqueetnumériquedont lesrésultats, malgré le aratère simplié du modèle de départ, mettent en lumière plusieurs omportementsintéressantspour les éoulementsen ouhe mine ave transition.

3.2 Formulation du modèle ave terme soure

Parrapportaumodèleprésentéàlasetion3.1,nousremplaçonsleterme

S

qui dépend de

X

par untermesoure empirique

S

quenoussupposons donné.Ainsi,à haque

X

xé orrespond un modèle unidimensionnel où n'interviennent plus que les variables

t

et

Z

. La variable

X

peut dès lors être vue ommeun paramètre et nous pouvonsl'omettre dansl'ériture deséquations.

Dansle modèleque nousonsidérons,l'équation surlavitesse

U(t, Z)

s'érit

∂

t

U(t, Z) +S(t, Z)−ν∂

_ZZ²

U(t, Z) = 0

pour tout

Z ∈]b(t), h[,

(3.6) où

S(t, Z)

estdon un termesouredonné, dénipour tout

t∈[0, T]

et

Z ∈[0, h]

. Nous supposons que

S(t, .)

est déni sur

[0, h]

puisque

b(t)

est a priori inonnue. Nous supposons de plus que

S

estontinu en temps eten espae. L'équation (3.6) est omplétée par lesonditions auxlimites suivantes :

U = 0

en

Z =b(t),

(3.7a)

ν∂

Z

U = 0

en

Z =b(t),

(3.7b)

ν∂

_Z

U = 0

en

Z =h.

(3.7)

Ces onditionsauxlimitestraduisent lefaitqueleuideestaureposdanslapartie inférieure àl'interfaeetqueleraord delavitessesefaitdemanièreontinûment dérivable en espae au niveau de l'interfae (dans le as ave visosité). En outre, les eorts visqueuxsont supposésnulsà lasurfae libre

Z =h

.Enn, la ondition initiale surlavitesseest

U(0, Z) =U

⁰

(Z)

pour tout

Z ∈]b

⁰

, h[,

(3.8) la fontion

U

0

estsupposée stritement roissantesur

]b

0

, h[

etvérie

U

⁰

(b

⁰

) = 0,

(3.9)

où

b

0

∈]0, h[

estlapositioninitialede l'interfae (qui estonnue).

Le modèle i-dessus n'est pasdédutible du modèle en ouhe mine présenté à la setion 3.1. Toutefois, nous souhaitons mettre en ohérene le modèle ave terme soure et l'hypothèse (H6) du modèle en ouhe mine. Pour e faire, nous voulons nousassurer que, pour tout

t∈[0, T]

,la vitesse eststritement roissante sur

]b(t), h[

. Nous allons montrer que ette propriété est bien satisfaite sous une hypothèse de déroissane du terme soure en espae. Cette ondition peut être interprétée ommeune ondition destabilité danslemodèle ave termesoure.

Lemme 3.1. Noussupposons

ν 6= 0

. Si

S

vérie

∂

Z

S ≤0

pour tout

t∈[0, T],

ettout

Z ∈]0, h[,

(3.10) et la donnée initialevérie

∂

Z

U

⁰

>0

pour tout

Z ∈]b

⁰

, h[,

(3.11) alors, tant que

b(t)< h,

nous avons

∂

Z

U >0

pour tout

t∈[0, T],

ettout

Z ∈]b(t), h[.

(3.12) Démonstration. En dérivant (3.6) par rapportà

Z

,nousobtenons

∂

_t

(∂

_Z

U) +∂

_Z

S−ν∂

_ZZ²

(∂

_Z

U) = 0

pour tout

Z ∈]b(t), h[,

d'où, par (3.10),

∂

t(

∂

Z

U)−ν∂

_ZZ²

(∂

Z

U)≥0

pour tout

Z ∈]b(t), h[.

En utilisant les onditionsauxlimites (3.7b),(3.7), ilvient

∂

t(

∂

Z

U)−ν∂

_ZZ²

(∂

Z

U)≥0

pour tout

Z ∈]b(t), h[,

(3.13a)

ν∂

Z

U = 0

en

Z =b(t),

(3.13b)

ν∂

Z

U = 0

en

Z =h,

(3.13)

∂

_Z

U >0

à

t= 0.

(3.13d)

Nous voudrions appliquer le prinipe du maximum fort à la fontion

∂

Z

U

qui est nulle sur les bords de l'intervalle

[b(t), h]

et stritement positive à

t = 0

. Puisque etintervalledépenddutemps,nousjustionsela eneetuantunhangementde variables

R

⁺

×[b(t), h]→R

⁺

×[0,1]

( t , Z ) 7→( τ , Y )

(3.14) ave

t=τ

et

Z=b(τ) +Y(h−b(τ))

pour tout

Y ∈]0,1[

.Commenoussupposons que

b(t) < h

, e hangement de variables est bien déni. Nous allons réérire les équations etonditions aux limites du problème dansles nouvelles variables. Tout d'abord,les dérivéespartielles seréérivent

∂

τ

=∂

t

+^∂Z

∂τ^∂

^Z

^=∂

^t

^{+ ˙b(τ)(1}−Y)∂

Z

,

∂

_Y

= ^∂Z

∂Y^∂

^Z

^{= (h}−b(τ))∂

_Z

.

Pour alléger les notations, nousérivonsmaintenant

b

et

_b˙

au lieu de

b(τ)

et

_b˙_(τ)

. En posant

V =∂

Z

U

,eten remplaçant esexpressions dans(3.13a),il vient

∂

τ

V −⁽¹_h^−Y)

−b ^b∂˙

^Y

^V −_(h ^ν

−b)

2

∂

_{Y Y}²

V ≥0

pourtout

Y ∈]0,1[,

(3.15) et lesonditions auxlimites (3.13b),(3.13),(3.13d) deviennent

νV = 0

en

Y = 0,

(3.16a)

νV = 0

en

Y = 1,

(3.16b)

V >0

en

τ = 0.

(3.16)

Ainsi, nous obtenons une équation sur un intervalle xe, et (omme

ν 6= 0

) le prinipedu maximumforts'applique. Nousen déduisons(3.12).

Remarque 3.2. Si

ν = 0

et

_{b <}˙ ₀

, il manque une onditionaux limites en

Y = 0

pour pouvoir onlure.

Remarque 3.3. Nous retrouvons le modèle (2.38),(2.39) en prenant un terme soure onstant et uniforme,à valeurs positives, donné par

S =g(sinθ+λcosθ)

.

À partirdu modèle ave termesoure (3.6),(3.7), nouspouvonsexpliiter une équation d'évolution sur l'épaisseur de la ouhe solide, sous l'hypothèse que la vitesse et le terme soure sont susamment réguliers. Cei fait l'objet du lemme suivant.

Lemme 3.4. 1) Si

ν 6= 0

, si la fontion

U

est de lasse

C

3

en espae et

C

1 en temps, si la fontion

S

de lasse

C

¹ enespae et si

S(t, b(t))6= 0

pourtout

t∈R

⁺, alors

˙

b(t) =

∂

Z

S(t, b(t))−ν∂

_ZZZ³

U(t, b(t))

S(t, b(t))

ν.

(3.17)

2)Si

ν = 0

,silafontion

U

estdelasse

C

1

enespaeetentempsetsi

∂

Z

U(t, b(t))>

0

pour tout

t∈R

⁺,alors

˙

b(t) = ^{S(t, b(t))}

∂

Z

U(t, b(t))^.

(3.18) Démonstration. Nous onsidérons la ondition de vitesse nulle à l'interfae (3.7a) que nousdérivonsen temps pour obtenir

∂

t

U(t, b(t)) +∂

Z

U(t, b(t))˙b(t) = 0.

(3.19) 1) Si

ν 6= 0

,laondition (3.7b) appliquée à(3.19) nouspermetd'endéduire que

∂

t

U(t, b(t)) = 0.

Nous pouvons alorsévaluer l'équation (3.6)en

Z =b(t)

pour arriverà

S(t, b(t))−ν∂

_ZZ²

U(t, b(t)) = 0.

(3.20) Nous dérivons ensuite l'équation (3.6) par rapport à

Z

et évaluons le résultat en

(t, b(t))

.Il vient

∂

_tZ²

U(t, b(t)) +∂

Z

S(t, b(t))−ν∂

_ZZZ³

U(t, b(t)) = 0.

An de faire apparaître un terme

∂

_tZ² dans une seonde égalité pour identier les termes, nousdérivonslaonditionaux limites(3.7b) en temps,d'où

∂

_tZ²

U(t, b(t)) +∂

_ZZ²

U(t, b(t))˙b(t) = 0,

et don

∂

_ZZ²

U(t, b(t))˙b(t) =∂

Z

S(t, b(t))−ν∂

_ZZZ³

U(t, b(t)).

En utilisant e quipréède, nousendéduisons

1

ν^{S(t, b(t))˙b(t) =∂}

^Z

^{S(t, b(t))}−ν∂

_ZZZ³

U(t, b(t)).

En utilisant l'hypothèse

S(t, b(t))6= 0

,nousobtenons l'expressionannonée.

2) Si

ν = 0

,l'équation (3.6) seréduit à

∂

_t

U(t, Z) +S(t, Z) = 0

pour tout

Z ∈]b(t), h[,

e quinousdonne,grâeàlaontinuitéenespaede

∂

t

U

etde

S

,que

∂

t

U(t, b(t)) =

−S(t, b(t))

.Etpar (3.19)nous avons

˙

b(t) = −∂

t

U(t, b(t))

∂

Z

U(t, b(t)) ^,

Le lemme3.4fournitune équationqui régitl'évolutionde

b(t)

.Cetteéquation ne sera pas utilisée par la suite arelle demande trop de régularité sur la vitesse. Dans lasetion3.3,nousdévelopperonsune approhe numérique qui nous permet-tra desuivrel'évolutionde

b(t)

etquiprésentel'avantagede nepasfaireintervenir la dérivée troisièmede lavitesseen espae.

3.3 Étude analytique du as non visqueux

Lorsqu'il n'ya pasde visosité,l'équationd'évolution(3.6)sesimplie en

∂

t

U(t, Z) +S(t, Z) = 0

pour tout

Z ∈]b(t), h[.

(3.21) De plus, ilne reste quelaonditionaux limites

U(t, b(t)) = 0,

(3.22)

et noussupposonsà nouveau (3.10) et(3.11),à savoir

∂

_Z

S ≤0

pour tout

t∈[0, T],

ettout

Z ∈]0, h[,

(3.23) et

∂

Z

U

⁰

>0

pour tout

Z ∈]b(0), h[.

(3.24) La vitesseinitiale estdonnéepar (3.8) etvérie (3.9),i.e.

U(0, Z) =U

⁰

(Z)

pour

Z ∈]b

⁰

, h[.

(3.25) Nous herhonsune solution

(U, b)

vériant

∂

Z

U >0

pour tout

t∈[0, T],

ettout

Z ∈]b(t), h[,

(3.26) et tellequelaondition

S(t, b(t))≥0

pour tout

t∈[0, T],

(3.27) soit satisfaite. En eet, ette ondition est automatiquement vériée dans le as visqueux.Ceis'obtient en utilisant(3.20)etlefait que

∂

2

ZZ

U(t, b(t))≥0

,puisque

U(t, b(t)) = ∂

Z

U(t, b(t)) = 0

, et

U(t, Z) > 0

pour

Z > b(t)

, omme représenté i-dessous àlagure 3.1.

U

Z

b(t)

Si la solution

U

ν du problème visqueux tend vers une limite

U

solution du pro-blème non visqueux(3.21),(3.22),(3.26), nousnousattendonsà e qu'ellesatisfasse (3.27). En fait, (3.27) s'interprète omme une ondition d'entropie qui permet de séletionner une solution unique.

Nousallonsonstruire unesolution à(3.21),(3.22),(3.26),(3.27) pourdiérents hoix de

S

et

U

0

. Nous avons vu en setion 2.3 un exemple où la fontion

S

est onstanteetàvaleurspositives.Nousallonsétudieriidesasoùlafontion

S

varie en espaeetadmet unzéroen

Z

.Parlasuite,noussupposonsque

S

admetunseul zéro, elui-iestnoté

b

⋆

(t)

etdépend dutemps.Puisque

S

estdéroissant etadmet un seul zéro, nousavons

S(t, Z)>0

pourtout

Z < b

^⋆

(t),

(3.28a)

S(t, Z)<0

pourtout

Z > b

^⋆

(t).

(3.28b)

Nous supposons que

S

estontinu par rapport àses deuxarguments. Nous remar-quons qu'ave (3.28) ei impliqueque

b

⋆

(t)

estontinu.

Lemme 3.5. La ondition(3.27)est équivalente à

b(t)≤b

^⋆

(t)

pour tout

t∈[0, T].

(3.29) La démonstration estimmédiate par (3.28),et e résultat signie quele zérode

S

est atteint danslazoneuidede l'éoulement.

Il n'est pas néessaire de supposer

b

⁰

≤ b

⋆

(0)

pour obtenir (3.29). En eet, même si

b

⁰

> b

^⋆

(0)

,

b(t)

doit sauter instantanément au-dessous de

b

^⋆

(t)

pour des temps très petits, an que (3.29) soit satisfaite. Néanmoins, dans e as,

b(t)

est disontinu. Nousreviendronssurette ongurationdanslasetion 3.3.4.Dansles setions 3.3.1 à 3.3.3,noussupposons que

b

⁰

< b

^⋆

(0),

(3.30)

et nousherhons

b(t)

ontinu,ave

b

⁰

≡ lim

t→0+

b(t) =b

⁰.

Remarque 3.6. Notonsque pour obtenirunarrêttotaldel'éoulement, ilfaut que l'épaisseurdelaouhesolideatteignela hauteur dudomaine,i.e.,

b(t) =h

àpartir d'un ertain temps

t

. Or, par (3.29),lorsque

b

⋆

(t)< h

, ei est impossible.Le zéro de

S

agitdonomme unebarrièreempêhantlaouhesolided'atteindrelahauteur du domaine.

3.3.1 Cas

b

^⋆

(t)

roissant

Commençons par onstruire une solution analytique de l'équation d'évolution (3.21),sousl'hypothèseque

b(t)

estroissant.Lepremierrésultatn'utilise pas l'hy-pothèse

b

⋆

(t)

roissant.Cettehypothèseserautiliséeparlasuite (f.proposition3.8

i-dessous) pour montrer que la solution analytique ainsi onstruite satisfait bien

b(t)

roissant.

Lemme 3.7. Supposonsquenousayonsunesolutionde(3.21),(3.22),(3.25),(3.26), (3.27)ave

b(t)

roissant.Alors, pourtout

t∈[0, T]

et pourtout

Z∈]b(t), h[

, nous avons

U(t, Z) =U

⁰

(Z)−

Z

t 0

S(τ, Z)dτ,

(3.31) où

U

0

est la vitesse initiale.

Démonstration. Nous voulons intégrer l'équation (3.21) en temps, sur

[0, t]

pour

t∈[0, T]

xé,et

Z

xédans

[b(t), h]

.Pour queesoitpossible,ilfaut que

Z ≥b(τ)

pour tout

τ ∈[0, t]

,pour que

(τ, Z)

reste dansdomaine où (3.21) estvalable. Mais

b(t)

étantsupposéroissant,etteonditionestautomatiquementsatisfaitedèsque

Z ≥b(t)

(f.gure3.2).

Z

t

b

⁰

•

t

b(•t)

Figure3.2Domained'intégrationdelavitesseave

b

roissant.

Nouspouvonsdonintégrer(3.21)entempsentre

0

et

t

,etnousobtenons(3.31).

À partir du lemme 3.7, nous allonsonstruire la solution. Nousdénissons la fontion

_U˜

ommelemembrede droite de(3.31) pour tout

Z ∈]b

0

, h[

,soit

˜

U(t, Z) =U

⁰

(Z)−

Z

t

0

S(τ, Z)dτ

pour tout

Z ∈]b

⁰

, h[.

(3.32)

La fontion

_U˜

est appelée vitesse étendue et elle est entièrement spéiée par les données du problème. Nous herhons

b(t) ∈ ]b

⁰

, h[

ar

b(t)

est a priori inonnu, mais ilestsupposé roissant (f. gure3.3).

Z

t

b

0

b(t)

Figure3.3Domainededénitiondelavitesseétendue

_U˜

.

Lelemme3.7nousditque

U

estnéessairementégalà

˜

U

pourtout

Z ∈]b(t), h[

, etilnousresteàdéterminer

b(t)

.Nousobservonsd'abord,endérivant

_U˜

parrapport à

Z

eten utilisant les hypothèsesde déroissane en espae du terme soure etde roissane de la donnée initiale, que nous avons

∂

Z

_{U >}˜ ₀

pour tout

Z ∈ ]b

⁰

, h[

.À ause de (3.22),

b(t)

doit vérier

_U˜_{(t, b(t)) = 0}

.Il reste à vérierquenouspouvons trouver un

b(t)

zérode

_U˜

qui soit roissant,ontinu,etvériant (3.29).

Lemme 3.8. Nousdénissonslavitesseétendue

˜

U

par(3.32).Si

b

⋆

(t)

estroissant etsouslaondition(3.30)quistipuleque

b

⁰

< b

⋆

(0)

,ilexisteununique

b(t)∈[b

⁰

, h]

tel que

_U˜_{(t, b(t)) = 0}

. De plus, 1)

b(t)< b

⋆

(t)

pourtout

t∈[0, T]

, 2)

b(t)

est roissant etontinu.

Démonstration. L'uniité résulte du fait que

∂

Z

_{U >}˜ ₀

. Montrons l'existene d'un

b(t)∈[b

⁰

, b

⋆

(t)]

telque

_U˜_{(t, b(t)) = 0}

.Cetteondition s'érit

U

⁰

(b(t))−

Z

t 0

S(τ, b(t))dτ = 0.

En posant

F(t, b) =U

⁰

(b)−

Z

t 0

S(τ, b)dτ,

(3.33) (en fait,

F(t, b) = ˜U(t, b)

) l'équation sur

b(t)

s'érit

F(t, b(t)) = 0

. Nous allons montrerque

F(t, b

0

)<0

,

F(t, b

⋆

(t))>0

etque

∂

_b

F >0

.Tout d'abord,nousavons

F(t, b

⁰

) =U

⁰

(b

⁰

)−

Z

t 0

S(τ, b

⁰

)dτ =−

Z

t 0

S(τ, b

⁰

)dτ.

De plus, omme nous nous sommes plaés dans le as

b

⁰

< b

⋆

(0)

, etque

b

⋆

(t)

est supposéroissant, nous avons

b

0

< b

⋆

(τ)

pour tout

τ > 0

. Ainsi, par (3.28), nous

en déduisons que

S(τ, b

0

)>0

pour tout

t∈[0, T]

.D'où

F(t, b

0

)<0

.Ensuite,

F(t, b

^⋆

(t)) =U

⁰

(b

^⋆

(t))−

Z

t

0

S(τ, b

^⋆

(t))dτ.

Puisque

U

⁰ est supposé stritement roissant, et que

b

⁰

< b

⋆

(0) ≤ b

⋆

(t)

, nous obtenons

0 =U

⁰

(b

⁰

)< U

⁰

(b

^⋆

(t)).

(3.34) De plus,

b

⋆

(τ) ≤ b

⋆

(t)

pour tout

τ ∈ [0, t]

, don par (3.28),

S(τ, b

⋆

(t)) ≤ 0

. D'où

F(t, b

⋆

(t))>0

.Enn, en dérivant

F

par rapportà

b

,ilvient

∂

b

F(t, b) = (U

⁰

)

^′

(b)−

Z

t

0

∂

Z

S(τ, b)dτ.

Comme

S

estsupposédéroissant et

U

⁰

(Z)

estsupposéstritement roissantpour tout

Z ∈]b

0

, h[

,nousobtenons

∂

_b

F(t, b)>0

dèslors que

b

0

< b

.Comme

F(t, b

0

)6=

0

,nousherhons

b(t)

tel que

b

⁰

< b(t)

etnous obtenons l'existeneet l'uniitéde

b(t)

.Ilresteàmontrerque

b(t)

estroissant.Nousdérivonsl'équation

F(t, b(t)) = 0

par rapport à

t

pour obtenir

∂

_t

F(t, b) +∂

_b

F(t, b)˙b= 0.

(3.35) De plus, nousavons

∂

t

F(t, b(t)) =−S(t, b(t)),

et par (3.28),nous obtenons

∂

t

F(t, b)<0

. Ainsi,par (3.35) etlefait que

∂

_b

F >0

, nous endéduisons que

_{b >}˙ ₀

.

Nousavonsnalement démontrélerésultat suivant :

Proposition 3.9. Supposons que nous ayons (3.10),(3.11),(3.28),(3.30), et

b

^⋆

(t)

roissant. Alors, il existe une unique solution à (3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27), ave

b(t)

roissantetontinu. Lavitesse est donnée par (3.39)et

b(t)

est déterminé par

U

⁰

(b(t)) =

Z

t

0

S(τ, b(t))dτ,

(3.36) et vérie

b(t)< b

⋆

(t)

pourtout

t∈[0, T]

.

Illustration : vitesse initiale linéaire et terme soure linéaire en

Z

Pourillustrerlesrésultatsi-dessus,nousexpliitonslasolutionanalytiquedans le aspartiulier d'unevitesseinitialelinéaire ave

où

b

0

estl'épaisseur initiale dela ouhe solide.La fontion

U

0

vérie bien l'hypo-thèse deroissane(3.11).Pour simplier,nousprenonsuntermesourelinéaireen

Z

S(t, Z) =b

^⋆

(t)−Z

pour tout

t∈[0, T],

ettout

Z ∈]0, h[.

(3.38) La ondition (3.10) est trivialement satisfaite,etonformément auxhypothèses i-dessus, noussupposons que

b

⋆

(t)

estroissant ave

b

⁰

< b

⋆

(0)

.Dansesonditions, laproposition3.8donneuneunique solution,ave

b(t)

roissant.Enutilisant(3.37) et (3.38),lavitesseanalytique estdonnéepar

U(t, Z) =Z(1 +t)−b

⁰

−

Z

t

0

b

^⋆

(τ)dτ

pour tout

Z ∈]b(t), h[.

(3.39)

Il reste à nous donner un

b

⋆

(t)

, ainsique

b

0

, pour obtenir l'expression expliite de la vitesse. De même, pour l'épaisseur de la ouhe solide, noussommes en mesure de aluler sonexpressionanalytique. Par l'équation

U(t, b(t)) = 0

,ilvient

b(t) =

b

⁰

+

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ

1 +t

pourtout

t∈[0, T].

(3.40) Remarquons qu'en ombinant ette expressionave (3.39),nousen déduisons

U(t, Z) = (1 +t)(Z−b(t))

pour tout

Z ∈]b(t), h[.

(3.41) De plus,nouspouvonsvérierque

b

dénipar (3.40) estbienroissant.Eneet,il sut de voir queladérivée en temps de(3.40),

∂

t

b(t) =

b

^⋆

(t)(1 +t)−b

⁰

−

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ

(1 +t)

2 (3.42)

est positive. Nousavons

b

^⋆

(t)(1 +t)−b

⁰

−

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ > b

^⋆

(t)(1 +t)−b

^⋆

(0)−

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ,

(3.43)

ar nousavonssupposé

b

⁰

< b

^⋆

(0)

.Ensuite,puisque

b

^⋆

(t)

estroissant,

b

^⋆

(t)(1 +t)−b

^⋆

(0)−

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ ≥b

^⋆

(t)t−

Z

t 0

b

^⋆

(τ)dτ ≥0.

(3.44)

À titred'illustration, nousonsidérons un domaine de hauteur

h= 6

, etnous xons l'épaisseur initiale de ouhe solide à

b

⁰

= 3.5

. Nous prenons une fontion

b

^⋆

(t)

onstante,

b

^⋆

(t) =b

^⋆ pour tout

t∈ R

⁺, et vériant

b

⁰

< b

^⋆

< h

. La formule (3.39)donnant lavitesse devient

et laformule(3.40)donnant l'épaisseur de laouhe solidedevient

b(t) = ^b

0

+tb

⋆

1 +t

pour tout

t∈[0, T].

(3.46) Nous observons que

b(t) > b

⁰ pour tout

t ∈ [0, T]

et que

lim

t→+∞

b(t) =b

^⋆. Pour illustrer graphiquement et exemple, nous présentons à la gure 3.4, pour

b

⋆

= 5

, les prols de vitesse à diérents instants et l'évolution de laposition de l'interfae jusqu'au temps nal

T = 6

.

0 1 2 3 4 5 6 3.5 4 4.5 5 5.5 6 U Z t=0 t=2 t=4 t=6 0 1 2 3 4 5 6 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

t

b

bstar b

Figure3.4Prolsdevitesseetépaisseurdelaouhesolide.

Nous observons une roissane progressive de l'épaisseur de la ouhe solide sansatteindrel'arrêtompletdel'éoulementpuisquelavaleurlimitedel'épaisseur delaouhesolideest

b

⋆

,ave

b

⋆

< h

.Deplus,nousremarquonsquetouslesprols de vitesse s'intersetent en

Z = b

^⋆. Cei vient de la formule (3.45) évaluée en

b

^⋆, qui donne

U(t, b

^⋆

) =U

⁰

(b

^⋆

)

pour tout

t∈R

⁺

.

3.3.2 Cas

b

^⋆

(t)

stritement déroissant ave

b

⁰

=b

^⋆

(0)

Nousommençons par unrésultat préliminairequin'utilise pasleshypothèses i-dessus sur

b

^⋆.

Lemme 3.10. Soit

(U, b)

une solution de (3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27). Sup-posons qu'il existe

t

₀

>0

tel que

_b˙_(t

₀

₎≤0

. Alors,

b(t

₀

) =b

^⋆

(t

₀

).

(3.47) Démonstration. Nousdérivonsl'égalité

U(t, b(t)) = 0

,e quidonne

Comme

U

vérie l'équation (3.21), nous avons

∂

t

U(t, b(t)) = −S(t, b(t)) ≤ 0

par (3.27).Maintenant,soit

t

₀

>0

telque

_b˙_(t

₀

₎≤0

.Comme

∂

Z

U(t, b(t))≥0

(limitede (3.26) quand

Z →b(t)

), lesdeux termes del'équation (3.48) sont négatifs ounuls. Ils sont don tous les deux nuls. D'où

S(t

₀

, b(t

₀

)) = 0

et

∂

Z

U(t

₀

, b(t

₀

))˙b(t

₀

) = 0

. L'égalité

S(t

₀

, b(t

₀

)) = 0

implique que

b(t

₀

) =b

⋆

(t

₀

)

, ar

S

n'a qu'un seul zéro en

Z

.

Nousallons maintenant onstruire la solutionanalytique sous l'hypothèse que

b

⋆

(t)

eststritement déroissantetque

b

0

=b

⋆

(0)

.

Lemme 3.11. Si

(U, b)

est solution de (3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27). Suppo-sons que

b

⋆

(t)

est stritement déroissantet que

b

⁰

=b

⋆

(0)

. Alors,

b(t) =b

^⋆

(t)

pour tout

t∈[0, T],

(3.49)

et

U(t, Z) =−

Z

t

(b⋆)−1(Z)

S(τ, Z)dτ

pour tout

Z∈]b(t), b

^⋆

(0)],

(3.50a)

U(t, Z) =U

⁰

(Z)−

Z

t

0

S(τ, Z)dτ

pour tout

Z∈[b

^⋆

(0), h[.

(3.50b)

Démonstration. Montrons toutd'abord (3.49).Pour ela,nousposons

∆ =b−b

⋆

. Nousavonsalors,par l'hypothèse

b

⁰

=b

^⋆

(0)

etlapropriété

b(0) =b

⁰,

∆(0) = 0

.De plus, par le lemme 3.5, nousavons

∆≤0

.Raisonnons par l'absurde pour montrer que

∆(t) = 0

pour tout

t∈ [0, T]

. Supposons qu'il existe un temps

t

₁

>0

tel que

∆(t

₁

)<0

.Par lethéorème desaroissement nis, ilexisteuntemps

t

₀

∈]0, t

₁

[

tel que

∆(t

₀

) <0

et

∆

′

(t

₀

)<0

. Ceiimplique que

_b˙_(t

₀

_{) <b}˙

⋆

(t

₀

)≤0

, d'où

∆(t

₀

) = 0

par le lemme3.10,e quiontredit

∆(t

₀

)<0

.

Montrons maintenant (3.50). Nous avons

b(t) < b

⋆

(0)

ar

b = b

⋆

stritement déroissant. Pour

Z

xé dans

]b

⋆

(t), b

⋆

(0)[

, nous intégrons l'équation (3.21) entre

t∈[0, T]

et

t

′

∈]0, t[

,où

t

′

Z

t

b

⋆

(0)

b

^⋆

(t) =b(t)

•

Z

t

b

⋆

(t)

t

^′

= (b

⋆

)

⁻¹

(Z) •

Figure3.5Domained'intégrationdelavitesseave

b

déroissant.

Nous obtenons

U(t, Z) =U(t

^′

, Z)−

Z

t

t′

S(τ, Z)dτ.

De plus, nousavons

U(t

^′

, Z) =U(t

^′

, b(t

^′

)) = 0

ar

t

^′

= (b

⋆

)

⁻¹

(Z) =b

⁻¹

(Z)

,e qui nous donne (3.50a). Pour

Z

xé dans

]b

^⋆

(0), h[

, nouspouvonsintégrer (3.21) entre

t∈[0, T]

et

0

,d'où (3.50b).

Nous vérionsmaintenant que laonstrution i-dessusfournit bien une solu-tion etnousen déduisonsune onditionauxlimites supplémentaire en

Z =b(t)

,

∂

Z

U(t, b(t)) = 0.

(3.51)

Proposition 3.12. Soit

(U, b)

dénie par (3.49),(3.50).Nous supposons que

b

⋆

(t)

est stritement déroissant,et que

b

0

=b

⋆

(0)

. Si

∂

_Z

S <0

, alors

(U, b)

est solution de (3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27)etvérie (3.51).

Démonstration. Si

Z=b

⋆

(0)

,lesdeuxformules(3.50a)et(3.50b)donnent lamême valeur,ar

U

⁰

(b

^⋆

(0)) =U

⁰

(b(0)) =U

⁰

(b

⁰

) = 0

,equiimpliqueque

U

estontinuen

Z

.Vérionsquelesonditions(3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27) sontbiensatisfaites. Toutd'abord,(3.21)estvériéedefaçonévidenteendérivant(3.50)parrapportà

t

. Ensuite, (3.22) estimmédiatepar (3.50a) et(3.25)par (3.50b).La ondition(3.27) est évidemment satisfaitepuisque

S(t, b(t)) = S(t, b

⋆

(t)) = 0

.Ensuite, montrons la ondition (3.26). Pour

Z ∈]b

⋆

(0), h[

,'est immédiatar

S

est supposé stritement déroissant en

Z

et

U

⁰ stritementroissant en

Z

.Pour tout

Z ∈]b(t), b

^⋆

(0)[

,nous avons

∂

Z

U =−

Z

t

(b⋆)−1(Z)

Ilexisteuntemps

t

′

∈]0, t[

telque

t

′

= (b

⋆

)

−1

(Z)

,d'où

S((b

⋆

)

−1

(Z), Z) =S(t

′

, b

⋆

(t

′

)) =

0

.Ainsi,

∂

Z

U =−

Z

t t′

∂

Z

S(τ, Z)dτ >0.

(3.53) D'où lerésultat.Deettedernièreégaliténousendéduisonségalement laondition aux limitessupplémentaire (3.51) puisque

t

^′

= (b

⋆

)

⁻¹

(Z) =t

en

Z =b(t)

.

3.3.3 Cas

b

⋆

(t)

déroissant ave

b

⁰

< b

⋆

(0)

Nous allons maintenant nous plaer dans la situation où

b

⁰

< b

⋆

(0)

, et nous onsidérons omme préédemment des fontions

b(t)

ontinues. D'après le lemme

3.10, si

b(t) < b

⋆

(t)

sur un intervalle, alors

b(t)

est stritement roissant sur et intervalle (par ontraposée). Nous avons don deux situations qui peuvent se pré-senter:

1)

lim

t→+∞

b(t) =l

(par valeursroissantes) et

lim

t→+∞

b

^⋆

(t) =l

^′ (parvaleursdéroissantes) ave

l≤l

^′,

2)ilexisteuntemps

t

⋆

>0

telque

b(t

⋆

) =b

⋆

(t

⋆

)

,etpourtout

t < t

⋆

,

b(t)< b

⋆

(t)

.

La situation 1) signiequ'il n'ya pasd'intersetionentreles graphes desfontions

b

et

b

⋆

.Dansla situation 2),il ya une intersetionen

t=t

⋆

,età partirdu temps

t

⋆

, noussommes dansleasde lasous-setion 3.3.2.Dans lereste deette setion, nous allonsdétaillerleas 2).Ainsi,nous avons

(

b(t)< b

⋆

(t)

pourtout

t < t

⋆

,

b(t) =b

^⋆

(t)

pourtout

t≥t

^⋆

.

(3.54)

Ce qui donne une épaisseur de ouhe solideroissantepour

0≤t≤t

⋆

et dérois-santepour

t > t

^⋆.Ce hangement de variationinue surlaformuledéterminant la vitesse.

Lemme 3.13. Soit

(U, b)

une solution de (3.21),(3.22),(3.25),(3.26),(3.27), ave

b(t)

satisfaisant(3.54).Noussupposonsque

b

⋆

(t)

est stritementdéroissant,etque

b

⁰

< b

⋆

(0)

. Alors, pour tout

t≥t

⋆

, la vitesse est donnée par

U(t, Z) =−

Z

t

(b⋆)−1(Z)

S(τ, Z)dτ

pour tout

Z ∈]b

^⋆

(t), b

^⋆

(t

^⋆

)[,

(3.55a)

U(t, Z) =U

⁰

(Z)−

Z

t

0

S(τ, Z)dτ

pour tout

Z ∈]b

^⋆

(t

^⋆

), h[.

(3.55b)

Pour

0< t < t

⋆

, la vitesse est donnée par

U(t, Z) =U

⁰

(Z)−

Z

t

0

Démonstration. Nousraisonnonssurlagure3.6.Lorsque

t≥t

⋆

,noussommesdans lamême ongurationquedanslasous-setion préédente,etlesmêmesarguments donnent laformule(3.55). Lorsque

0< t < t

^⋆,noussommes dansleas où

b(t)

est roissant, donla vitesseestdonnéepar lelemme 3.7,d'où(3.56).

(3.56) (3.55b) (3.55a)

b

⋆

(0)

b

0

b(t

⋆

) =b

⋆

(t

⋆

)

t

⋆

Z

t

•

•

Z

b(t)

t

t

^′

b

⋆

(t)

Figure 3.6Domained'intégrationdelavitesse.

Pouraheverlaonstrutiondelasolution, ilnousreste àmontrerque

b(t)

est déterminé omme zéro de (3.56), et que

t

⋆

est le premier temps

t

à partir duquel

b(t) =b

^⋆

(t)

.Nousrappelonslavitesseétendue

˜

U

déniepour

Z ∈[b

⁰

, h]

et

t∈[0, T]

, qui est donnéepar (3.32).

Proposition 3.14. Il existe un temps maximal

t

^⋆

>0

tel que pour tout

t < t

^⋆, il existe un unique zéro en

Z

de

_U˜

, que nous appelons

b(t)

, tel que

b

0

< b(t)< b

⋆

(t)

. Deplus,

b(t)

eststritement roissantsur

]0, t

⋆

[

,etsi

t

⋆

<+∞

,alors

b(t

⋆

) =b

⋆

(t

⋆

)

. Démonstration. Notons

P rop(t)

la proposition suivante : il existe un unique zéro de

Z 7→U^˜(t, Z)

,appelé

b(t)

,telque

b

⁰

< b(t)< b

⋆

(t)

.Soit

I

l'ensemble

I =

t

⁺

>0

∀t∈]0, t

⁺

[, P rop(t)

est vraie

.

Cet ensemble

I

est onvexe puisque si

t

⁺₁

∈ I

, alors

t

⁺₂

∈ ]0, t

⁺₁

[

implique

t

⁺₂

∈ I

. L'ensemble

I

estdonun intervalle de

R

.Deplus, de ladénitionde

I

nous dédui-sons quenousavonsl'un destroisassuivants:

1)

I =∅

, 2)

I =]0, t

⋆

]

, 3)

I =]0,+∞[

.

Nous allons montrer que

I 6=∅

.Reprenons la démonstration du lemme 3.8. Nous onsidérons

F

lafontion dénieen (3.33) telleque

_U˜_{(t, b) =F(t, b)}

,'estàdire

F(t, b) =U

⁰

(b)−

Z

t

0

S(τ, b)dτ.

Montrons que ette fontion admet un unique zéro

b(t)

dans l'intervalle

[b

⁰

, b

⋆

(t)]

. L'uniité résulte du fait que

∂

_b

F > 0

(f. démonstration du lemme 3.8). Reste à prouver l'existene. Pour ela, nous allons montrer que pour

t

⁺

> 0

(assez pe-tit),

P rop(t)

est vraie pour tout

t < t

⁺. Pour

t

⁺

>0

(assez petit), montrons que

F(t, b

0

)<0

, etque

F(t, b

⋆

(t))>0

,pour tout

t < t

+

.À ette n,nousremarquons qu'il existe

ǫ >0

et

¯_{t >0}

tels que

b

⁰

+ǫ < b

^⋆

(t)

pour tout

t≤^¯t,

(3.57) puisque

b

⁰

< b

⋆

(0)

etque

b

⋆

(t)

estdéroissantetontinu.Commençonsparmontrer

F(t, b

⁰

) < 0

. Nous avons

F(t, b

⁰

) = −R

t

0

S(τ, b

⁰

)dτ

, il sut don de montrer que

S(τ, b

0

) > 0

pour tout

τ ∈ ]0, t[

. Par (3.57) nous avons,

b

0

< b

⋆

(τ)

pour tout

τ ∈]0, t[

.Ainsi, par (3.28), nousen déduisonsque

S(τ, b

⁰

)>0

pour tout

τ ∈]0, t[

, d'où

F(t, b

⁰

)<0

. Ensuite, montrons que

F(t, b

^⋆

(t))>0

.Comme

S

est ontinu en ses deux variables, ilexiste une onstante

C

₁

≥0

telle que

S(τ, Z)≤C

₁ pour tout

τ ∈ [0,t^¯[

et tout

Z ∈ [0, h]

. De plus,

U

⁰

(Z)

est ontinu sur

[b

⁰

+ǫ, h]

, et ne s'y annule pas, don il existe une onstante

C2 > 0

telle que

U

⁰

(Z) ≥ C2

pour tout

Z ∈ [b

⁰

+ǫ, h]

. Ainsi, pour tout

t ≤ ^¯t

, il vient

F(t, b

⋆

(t)) ≥ C

₂

−C

₁

t

. Nous en déduisons que, pour tout

t ≤ ^¯t

tel que

t < ^C

²

C

₁, nous avons

F(t, b

⋆

(t)) > 0

. D'où l'existene d'unzéro

b(t)

dansl'intervalle

[b

⁰

, b

⋆

(t)]

.Ainsi,

I 6=∅

.

La démonstration de la roissane de

b(t)

est identique à elle de la démons-tration du lemme 3.8, en utilisant (3.35). Il reste à montrer que si

t

⋆

< +∞

, alors

b(t

^⋆

) = b

^⋆

(t

^⋆

)

. Pour ela, nous allons démontrer que si

t

^⋆

< +∞

, alors

˜

U(t

⋆

, b

⋆

(t

⋆

)) = 0

. Si

t

⋆

< +∞

,par e qui préède, nousavons

I = ]0, t

⋆

]

, et pour tout

t

⁺

> t

⋆

,

t

⁺

∈/ I

. Par onséquent, il existe

t ∈ [t

⋆

, t

⁺

[

tel que

P rop(t)

est fausse.Commeeiestvalablepour tout

t

⁺

> t

^⋆,ilexisteunesuitederéelspositifs

(t

_n

)

_n∈N vériant, pour tout

n ∈ N

,

t

_n

≥ t

⋆

et

t

_nn

−→

→+∞

t

^⋆, telle que

P rop(t

_n

)

est fausse. Puisque

∂

b

F >0

,l'uniitédansl'énonéde laproposition estaquise.Nous allonsommener parmontrer que

F(t

n

, b

⁰

)<0

.Pour ela,ilsut demontrer que

b

0

< b

⋆

(τ)

pour tout

τ ∈]0, t

n[.Nous savonsque

b(t)

est stritement roissant sur

]0, t

⋆

[

, don pour tout

t ∈ ]0, t

⋆

[

, nous avons

b

⁰

< b(t)

et

b

⁰

< lim

t→t⋆

b(t)

. De plus, omme

b(t)< b

⋆

(t)

pourtout

t∈]0, t

⋆

[

,ilvient

lim

t→t⋆

b(t)≤b

^⋆

(t

^⋆

)

.D'où,en passant àlalimite

t→t

⋆

,

b

⁰

< b

⋆

(t

⋆

)

.Deplus,laontinuitéde

b

⋆

en

t

⋆

impliquequ'ilexiste un temps

˜_t∈]t

⋆

,+∞[

telque

b

^⋆

(t)≥ ^b

⋆

(t

⋆

) +b

0

puisque

b

0

< b

⋆

(t

⋆

)

.Deplus, omme

t

n_n

−→

→+∞

t

⋆

en déroissant, ilexiste

n˜ ∈N

^∗ tel que

t

_n

≤˜_t

pour tout

n≥˜n

.Ainsi, par (3.58), ilvient

b

^⋆

(t

n)

≥ ^b

⋆

(t

^⋆

) +b

⁰

2 ^{> b}

0

pour tout

n≥˜n.

Par stritedéroissane de

b

^⋆,nousendéduisonsque

b

^⋆

(τ)> b

^⋆

(t

n)

> b

⁰ pour tout

τ ∈]0, t

_n

[

.

Comme

P rop(t

n)estfausse,ei signiequ'iln'existepasde zérode

_U˜

quiest inférieurà

b

⋆

(t

_n

)

,etommenousavonsmontréque

b

⋆

(τ)> b

0

pourtout

Z ∈]0, t

_n

[

, nousen déduisonsque

F(t

n

, b

⋆

(t

n))

≤0

.Faisant tendre

n

vers

+∞

,nousobtenons

F(t

⋆

, b

⋆

(t

⋆

))≤0

.Deplus,ilexisteunesuitederéelspositifs

(t

^′_n

)n

_∈Nvériant

t

^′_n

< t

⋆

et

t

^′_nn

−→

→+∞

t

^⋆,telleque

P rop(t

′

n

)

estvraie. Nousen déduisonsen partiulierque

F(t

^′_n

, b

^⋆

(t

^′_n

))≥0.

En faisant tendre

n

vers

+∞

,ilvient

F(t

^⋆

, b

^⋆

(t

^⋆

))≥0.

En ombinant etteinégalitéave

F(t

⋆

, b

⋆

(t

⋆

))≤0

,ilvient

F(t

⋆

, b

⋆

(t

⋆

)) = 0

,equi onlut lepreuve.

Illustration

Pour illustrer la onstrution i-dessus, nous nous plaçons à nouveau dans le as d'une vitesse initiale linéaire donnée par (3.37) et d'un terme soure linéaire

en

Z

donné par (3.38). Nous prenons

b

⋆

(t) = ^h+b

Dans le document Modélisation numérique des écoulements gravitaires viscoplastiques avec transition fluide/solide (Page 44-98)