HAL Id: jpa-00233763
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233763
Submitted on 1 Jan 1940
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Les changements de réferentiel et la cinematique des
ensembles de points problèmes qui en dépendent
Ruy Luis Gomes
To cite this version:
LES CHANGEMENTS DE
RÉFERENTIEL
ET LACINEMATIQUE
DES ENSEMBLES DE POINTSPROBLÈMES QUI
ENDÉPENDENT
Par M. RUY LUIS GOMES.Sommaire. 2014
Si l’on compare les formules de changement de référentiel de la Cinématique classique
avec celles de la Relativité, on s’aperçoit tout de suite d’une différence essentielle. Dans les formules classiques fondées sur une simultanéité absolue il figure une équation exclusivement temporelle t’ = t;
par contre, dans les formules de la Cinématique d’Einstein, la relativité essentielle de la simultanéité
oblige à la substitution de t’ = t par t’ = 03B8 (t, x, y, z), une équation où intervient l’espace et le temps. Et le fait d’introduire dans cette équation l’espace et le temps ensemble entraîne une série de problèmes
qui nous permettent de bien saisir la relativité de la simultanéité en relation avec les changements de référentiel.
Figurons-nous, par exemple, un problème où les configurations d’un même corps par rapport à deux référentiels R et R’ interviennent.
Puisque la configuration d’un corps est, par définition, l’ensemble des positions contemporaines de ses
différents points (points matériels), il s’ensuit que le système (spatial) des formules de changement R = R’
ne nous donnent pas une relation immédiate entre les deux configurations, en R et en R’.
Donc, les deux formes, en R et en R’, ne se correspondent pas, comme dans le cas de la Cinématique classique.
M. Esclangon, dans son remarquable travail, La Notion de Temps, pages 45-48, s’est trouvé devant
un problème à configurations (configurations d’un fil) qui l’a amené à énoncer un théorème très intéressant.
Nous nous proposons dans cette note de reprendre ce même problème, mais au point de vue plus général des problèmes à configurations (1).
Ce faisant, nous en donnons quelques applications.
1. Soit
(E)
un ensemble depoints
en mouvementpar
rapport
au référentiel R.,
Les
positions
despoints
de(E)
à une même date t nous donnent laconfiguration générale
de(E)
parrapport
à R. Et le mouvement de(E),
c’est-à-dire la succession continue de leursconfigurations,
serareprésenté
par unsystème
comme(Po) =
[Po,
(xo,
YO, étant laconfiguration
à la date 1 = o.Cela
posé,
nous nous proposons de déterminerle mouvement du même ensemble
(E)
parrapport
au nouveau référentiel R’ dont les coordonnées x’,
yB
, t,x, y. z, t
se déduisent des coordonnées
correspondantes
de R au moyen des formules
spéciales
de Lorentz(1) A ce sujet je renvoie le lecteur au travail particuliè-rement intéressant de M. Levi-Civita : Nuova impostazione elementare della Relativilà, nommément au n- 16, page 85,
Generalità sul moto di un corpo nella concezione relativistica.
Il
s’agit
donc de déterminer la succession continuedes
configurations
de(E)
enR’,
c’est-à-dire unsystème
commeun
système
caractérisé par une même date 1’ pour tous lespoints
de l’ensemble.Or,
les formules de Lorentz nous donnentimmédia-tement des
positions générales
en RI :Mais étant donné que cette
position
P’ serapporte
à la date
une date
qui
dépend
dePo,
il s’ensuit quel’en-semble
(P’)
de cespositions, positions
nonsimul-tanées,
ne coïncide pas avec laconfiguration
générale
de
(E)
parrapport
au référentiel R’.Pour arriver à cette
configuration,
il nous faut donc choisir convenablement lespositions
P enR,
vu que notre but final est la simultanéité despositions
correspondantes
P’ dans le référentiel R’.Analytiquement,
nous sommes arrivés aupro-blème suivant :
336
Déterminer la
fonction m (t, Po)
telle quesoit
indépendante
dupoint Po.
En
effet,
le choix despositions
étant subordonné à la loi
temporelle
sy,d’après
lesystème
nous aurons en
(P’),
avec. r 1
la
configuration
de(E)
à la datet’ - F(t).
Or,
enexprimant que 4J
ne contient pas lescoordonnées xo, yo, z, de
Po,
il vientune
équation
vectoriellequi
sert à déterminer lafonction -ml. donc,
à faire le choix despoints-posi-tions [P].
Dans le cas
particulier
oùgrade
= o,la fonction (p ne
dépendant
pas dePa,
on a aussi o,ou
plus simplement
la simultanéité se transmet de R en R’.
C’est un résultat bien connu : pour des
points
dans un mêmeplan
normal à la direction de la translation v(q indépendante
dePo), la
simultanéité se maintientdans .R -~ R’.
Dans le cas
général,
aucontraire,
il faut s’attendre à une fonction -m de t etP~, d’après l’équation
decondition
(a).
2.
Application géométriques Supposons
main-tenant que l’ensemble
(P,)
se réduit à une surfaceio.
Dans ce cas, nous avons deux
surfaces-configu-rations
générales,
ii f et1),
respectivement pour R
et R’.
Or,
nous nous proposons d’établir une relationtrès
simple
entre leurs normalesEn
prenant
les variations des coordonnéesx’,
y’, z’
de
P’,
il vientvu que
Mais en
ajoutant
ces troiséquations
après
les avoirmultipliées respectivement
paron a
en
posant
-
-et
,~P = ,~P
(ac,
ôx)
=déplacement
sur leplan
tangentà £t au
point
P.Dans cette
déduction,
qui
se termine parl’équation
fondamentale
(I),
iln’y
a aucunehypothèse spéciale
sur le vecteurn (p,
q,r); il s’agit
d’un lecteurquel-conque.
Mais si l’on suppose, au
contraire,
qu’il
coïncideavec la normale à la surface
configuration
iv
aupoint [PJ,
il vientet,
parconséquent,
Donc,
les deux vecteursEt 6P’ étant sur le
plan tangent
à 1), aupoint
P’,
puisque
f nedépend
quede t,
on aCes formules nous donnent la relation entre les
deux normales :
3.
Application.
L’aberration de la lumiére.-En identifiant 1:t avec la surface de l’onde -- front d’onde à la date 1 - les normales n et n’ coïncideront
avec les rayons en R et en R’. Et les formules que l’on
vient d’obtenir contiennent le
problème
de l’aber-ration pour deux observateurs en translation relativecomme R et R’.
Mais dans le vide on a
Donc
ou encore
4.
Application
géométrique.
Problème deM.
Esclangon. - Supposons
maintenant que lasurface-configuration li
se réduit à unplan
IIqui
se
déplace
parparallélisme
dans le référentiel R.Dans ce cas la normale
n (p,
q,r)
nedépend
pasdu
point
[P],
p, q, r étant donc des constantes.Et si
se maintient aussi constant, il s’ensuit que la surface
1~
se réduit à unplan
Il’qui
sedéplace
aussipar
parallélisme
dans le référentiel R’.Or,
leproduit
scalaire
n[V
représente la
projection
de la vitesse V sur la normale nà la
surface
.1t.Donc,
la condition nécessaire et suffisante pour que les surfaces 1 et 1:’ sedéplacent
parparallé-lisme dans les référentiels
respectifs
c’est que la vitesse V ait uneprojection
constante sur la normale nde 1.
Ce
résultat,
dans le cas d’une droite(un fil),
a étéétudié et résolu par M.
Esclangon
dansl’ouvrage déjà
cité. Et ce fut enprenant
connaissance de ceproblème
que m’est venue l’idée de la
généralisation précédente.
Centres de
gravité
en R et R’. - Lepoint
général
P de laconfiguration
de l’ensemble(E)
en R étant donné par le
système
on aura en
le centre de
gravité
de(E)
pour la densitéPour le référentiel R’ nous aurons de même
lll’ étant donc le centre de
gravité
pour R’.Mais
(P’)
=[P’ (x’, y’,
z’)]
devant être uneconfi-guration générale
de(E)
pourR’,
il s’ensuit que l’on doitprendre
1 - ori
; M se
rapportant
ainsi à la dateNous avons donc deux centres :
Mais d’un autre
point
de vueM,
caractérisent un événement
qui
parrapport
auréfé-rentiel R’
possède
les coordonnées .338
En
général
et 91’ ne coïncident pasMais il n’est pas sans intérêt de connaître les
conditions dans
lesquelles
se vérifie cette coïnci-denceD’abord il faut
exiger
la coïncidence des dates fde Dt’ et F
(t)
dePour
cela,
on doit déterminer une nouvellefonc-tion
f (t)
de manière quec’est-à-dire
Et les
équations
de conditions(pour
~~’)
serontEn
explicitant
lapremière,
il vientMais de
(1),
parintégration,
il vientreprésentant
parle centre de
[Pl
pour la même densité p. Les deux autreséquations
donnent aussiDans une seule
équation,
nous écrirons doncLa condition nécessaire et
suffisante
pour la coïnci dence des deux centres et 1à la même date
c’est que le centre )IZ de
[P]
à la datecoïncide avec le centre J11 de
[Pl
à la date 1.Le mouvement des centres et
Quelques
résultats fondamentaux. - En dérivant par
rapport
autemps
t les formules fondamentalesil vient
Mais nous avons aussi .
’
Donc
Ce sont des formules
analogues
à celles de lacinématique
dupoint.
Mais nous ne devons pasoublier
qu’ici,
cinématique
dessystèmes,
la vitessese
rapporte
à une datequi
varie avec lepoint P,.
C’est-à-dire,
pour avoir des vitesses V’contem-poraines,
référentielR’,
il nous faut considérer desvitesses
(V)
noncontemporaines,
référentiel R.Cela
posé,
prenons lesintégrales
dusystème (2).
Il viendra
Mais de
par
intégration
aussi,
on aPour les deux autres
équations,
il viendraOn
peut
écrireaussi,
après
une nouvelledérivation,
Ce
système
nouspermet
de déterminer le mou-vement du centredans le référentiel
R’,
une fois que soit donné le mouvementcorrespondant
du centredans le référentiel R.
Mais le terme
caractéristique
estqui dépend
de la fonction F et de la vitesse du centre 31é de l’ensemble associé((PJ).
Dans le cas
particulier
oùon a
et le mouvement du centre s1L’ est donc
rectiligne
et
uni f orrne.
Or,
d’où
le centre aussi un mouvement
rectiligne.
Maissa vitesse n’est pas constante : elle est
pro
portion-nelle à la dérivée de la
f onction
F.Nous avons par
conséquent
le résultat :La condition nécessaire et
suffisante
pour que le mouvement de a2’référentiel
R’ soitrectiligne
etuniforme,
esf que la vitesse vectorielle depropor-tionnelle à la dérivée de la
fonction
F.Pour un seul
point,
on sait que lacaractéristique
rectiligne
etuniforme
se transmet intacte dans lechangement R -+
.R’.Ici,
dans lecinématique
desensembles,
excepté
le cas où F est une fonction linéaire dutemps t,
cettecaractéristique-là
n’est pas transmise dans lechangement R -
R’.Une relation différentielle entre les
quatre
centres
t>1/,
Partant deon a
En éliminant
entre le
système (3)
et(4),
il vient.- ,
Mais de
(4)
on déduit encore, parintégration,
340
Pour ce
qui
serapporte
au termefractionnaire,
remarquons d’abord
qu’en
étantil vient
Donc,
pouron a
Nous avons
donc,
en dernierrésultat,
Les deux autres
équations
prendront
la formeCe sont des
équations
différentiellesqui
renferment lesquatre
centres_._ , _
d’un ensemble
général
(P) = (q, ~, T).
Dans le cas où
on a
ou
Mais nous avons
déjà
démontré queDonc,
la constante estégale
à zéro(dans
cecas).
On doit remarquer que les centres
sont
rapportés
à des dates diff érentes :Finalement,
lepoint
qui correspond
àse
rapporte
aussi à la date t’ = F(t)
centre ,)11’.En résumé :
quand
on passe de lacinématique
classique
à lacinématique
relativiste,
maistoujours
dansl’hypothèse
d’unsystème (E)
depoints,
on estobligé
dedistinguer
lesquatre
centresEn
outre,
cespoints
ne coïncident pas engénéral
pendant
le mouvement de l’ensemble(E).
Mais ce
qui
ne laisse pas de mériter uneréférence
spéciale
c’est lefait
que lesquatre points
restent
toujours
solidaires les uns desautres,
cellesolidarité
ayant
sonexpression
analytique
dans lesystème
différentiel (5).
Dans la
