FICHE DE RÉVISION DU BAC
Série S – Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Introduction
Pré-requis : Ensemble de nombresPlan du cours
1. Divisibilité dans Z 2. Congruence3. Plus grand commun diviseur
1. Divisibilité dans
ZDans tout ce qui suit, on se place dans l’ensemble des entiers relatifs Z.
A. Diviseur
Définitions :Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, s’il existe un entier relatif k tel que . On dit que b est un multiple de a, s’il existe un entier relatif k tel que .
On note .
Ex : 3 est un diviseur de 18. 18 est un multiple de 3. 5 est un diviseur de -25. -25 est un multiple de 5. Propriétés :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
- Si a divise b alors a divise kb pour tout . - Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
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B. Division euclidienne
Propriété :Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
Il existe une unique manière d’écrire b sous la forme telle que , et . Ex :
Lorsque l’on se place dans l’ensemble des entiers naturels N, on retrouve la division euclidienne vu auparavant, q étant le quotient, et r le reste.
Remarque :
Si a divise b, alors avec .
C. Nombres premiers
Définition :Un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Ex : 1, 2, 3, 17 sont des nombres premiers.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Propriété :
Soit n un entier naturel.
Si n n’est pas un nombre premier, alors il admet pour diviseur au moins un nombre premier p tel que . Décomposition en produit de facteurs premiers :
Soit n un entier naturel.
Il existe une unique manière d’écrire n sous la forme d’une décomposition de facteurs premiers :
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Ex : Corollaire :
Tout produit partiel de ces facteurs divise n. Ex : divise 120.
2. Congruence
A. Nombres congrus
Définition :Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
On dit que b est congru à a modulo n, si la différence est un multiple de n (si n divise ). Il existe donc un entier relatif k tel que : .
On note : ou Ex : (on a en effet
Remarque : la notion de congruence se retrouve également dans l’ensemble des réels. Ainsi pour les angles :
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. avec , et .
On peut alors écrire : . Corollaire :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. Il existe un entier naturel tel que .
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Nombres pairs et impairs : Soit k un entier relatif. On a : et
B. Propriétés
Transitivité :Soient a, b et c trois entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
Si a est congru à b modulo n et b est congru à c modulo n, alors a est congru à c modulo n. Ex : et donc
Opérations :
Soient a, b, a’, b’ quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul tels que : et . On a alors : pour tout pour tout
3. Plus grand commun diviseur
A. Diviseurs communs
Définition :FICHE DE RÉVISION DU BAC
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Soient a et b deux entiers relatifs.
L’ensemble des diviseurs communs est l’ensemble des nombres qui divisent à la fois a et b. Ex : -28 a pour diviseurs -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
42 a pour diviseurs -42, -21, -14, -7, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
L’ensemble des diviseurs communs à -28 et 42 est : PGCD :
Le plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs a et b est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs.
On le note : PGCD (a,b).
Le PGCD de deux nombres est un entier naturel (positif). Ex : PGCD(- 28, 42) = 14.
Propriétés :
Si a divise b, alors PGCD (a,b) = . Si b divise a, alors PGCD (a,b) = . PGCD (a,0) =
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. avec , et .
On a : PGCD PGCD .
B. Nombres premiers entre eux
Définition :Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont premiers entre eux si PGCD (a,b) = 1.
Deux nombres premiers entre eux n’ont pas de diviseur commun.
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Propriété :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, avec PGCD (a, b) = k. et ( a’ et b’ sont des entiers relatifs).
a’ et b’ sont premiers entre eux. PGCD (a’, b’) = 1.
Théorème de Gauss :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a divise et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
Remarque : divise alors .
Ex : 14 divise 630.
Or 14 et 9 sont premiers entre eux, donc 14 divise 70. divise également 630.
Théorème de Bézout :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
Ex : 12 et 25.
