l’origine de l’oscillation
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Texte intégral
(2) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. (a) Déterminer la valeur de la vitesse de M2 à l’instant de la séparation. Vérifier cette valeur par lecture sur la courbe. Décrire la suite de son mouvement. (b) On place un mur à une distance D sur l’axe Ox sur lequel vient rebondir la masse M2 . On admet que la norme de sa vitesse est conservée au cours du rebond. Proposer une détermination graphique de l’instant tc où les deux masses se rencontrent de nouveau. (c) On admet que les deux masses restent solidaires si elles sont animées du même vecteur vitesse lors de leur rencontre. On observe que cela se produit en particulier quand la distance D vaut D = 1,5 m. Proposer des valeurs pour m1 et m2 compatibles avec cette observation. II.3. Pour cette valeur de D montrer que le mouvement de l’ensemble est périodique et donner la valeur de sa période.. samedi 6 octobre. I.2. En situation réelle, la longueur L est bien plus importante. On prend L = 20 cm dans cette question. Les longueurs d’onde émises par le gaz sont comprises dans un intervalle λ0 ± 2 pm. Déterminer le nombre de modes d’onde stationnaire différents pouvant être observés.. II Superposition d’excitations On étudie la superposition de perturbations quelconques effectuant des allers et retours dans une cavité. Cette partie est indépendante des deux autres : on s’inspirera de ses conclusions pour interpréter les phénomènes de la section suivante. II.1.. (a) La perturbation a la forme représentée à la figure 4 à l’instant t = 0. Représenter la perturbation L à l’instant t = 2c dans le cas où l’onde progresse dans la direction de + #» e x. Fig. 4. Problème 2 : Ondes dans une cavité laser. y. On étudie la propagation d’une onde unidimensionnelle se propageant à la vitesse c selon un axe Ox et susceptible de se réfléchir sur deux parois orthogonales à Ox et distantes d’une longueur L. On note ξ(x , t) la perturbation associée à l’onde (il s’agit par exemple du champ électrique ou magnétique pour l’onde électromagnétique d’un laser, les parois étant alors des miroirs partiellement réfléchissants). On note t le temps et x l’abscisse selon Ox, l’origine étant prise sur l’une des parois. On nomme « cavité » l’espace entre les deux parois (voir la figure 3).. 0 x. Fig. 3. (b) Après avoir atteint la paroi en x = D, l’onde se réfléchit pour donner naissance à une onde régressive se propageant selon − #» e x . Tracer l’allure de la perturbation après la réflexion si elle conserve la même forme mais en étant multipliée par −1. Tracer de même l’allure après une réflexion sur l’autre paroi, qui s’effectue dans les mêmes conditions.. x. O. Dans toute la suite, la perturbation est désormais sinusoïdale, de pulsation ω. On note λ sa longueur d’onde.. L. II.2. On considère une onde dont la perturbation s’écrit sous la forme :. Données : vitesse de la lumière : c = 299 792 458 m · s−1 ; 1 nm = 1 · 10−9 m ; 1 pm = 1 · 10−12 m.. ξ(t, x) = X cos (ωt − kx + ϕ) ,. I Accord de la cavité On considère un laser He Ne. Il utilise un gaz d’atomes de He et Ne placés dans une cavité de longueur L. Leur excitation par une décharge électrique provoque l’émission d’un rayonnement d’une longueur d’onde très précise λ0 = 632,816 nm dans le vide. Pour que le dispositif réalise un laser, l’onde électromagnétique doit être stationnaire dans la cavité.. avec k et ω des constantes positives. Déterminer, en le justifiant, le sens de propagation de l’onde ainsi que sa vitesse de propagation. II.3. Du fait des réflexions successives sur les parois, on est amené à considérer les interférences entre différentes ondes sinusoïdales.. I.1. On imagine dans un premier temps une cavité dont la longueur L vaut très précisément Li = 1,000 µm. Peut-on y observer une onde stationnaire de longueur d’onde λ0 ? On fait croître la longueur L à partir de Li . Pour quelle valeur de L peut-on observer pour la première fois une onde stationnaire ? Préciser le nombre de fuseaux qu’elle comporte. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. L 4. 2/8. (a) Déterminer, par une construction de Fresnel, la somme de 5 perturbations sinusoïdales synchrones de même amplitude et de phases respectives : π π π π π ; 6π + ; 12π + ; 18π + ; 24π + . 4 4 4 4 4 2018–2019.
(3) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. (b) Déterminer la somme des mêmes perturbations sinusoïdales pour les phases : 0;. samedi 6 octobre. III.2. Pour t suffisamment grand devant L/c, on considère qu’on a interférence dans la cavité entre une infinités d’ondes progressives et régressives.. 2π 4π 6π 8π ; ; ; . 5 5 5 5. (a) Les interférences entre les différentes ondes progressives dans la cavité sont elles constructives ou destructives si 2L = λ ? 5. II.4. On considère la superposition d’un nombre N d’ondes de même amplitude mais déphasées, données par : ξn (x, t) = X cos(ωt − kx + nϕ0 ) pour n ∈ [1; N ].. (b) À quelle condition sur λ et L les ondes progressives interféreront-elles constructivement ? Qu’en sera-t-il des ondes régressives ? Interpréter en termes de modes propres. Aura-t-on une onde stationnaire ?. Dans cette expression ϕ0 est une phase constante, avec ϕ0 π.. (c) On considère qu’on a L = λ/2 et on donne l’égalité mathématique suivante, pour tout 0 < u < 1 :. Ne pas passer trop de temps sur cette partie, dont les conclusions ne sont utiles qu’à la fin du problème.. lim. (a) On suppose dans cette question que π/ϕ0 est un entier. Montrer qu’il existe une valeur de N , notée N0 pour laquelle les N ondes interfèrent destructivement.. N →∞. (b) Proposer une détermination graphique de la valeur maximale de l’amplitude de la superposition des N ondes, quand N 6= N0 . On en donnera une approximation en fonction de X et ϕ0 en utilisant le fait que ϕ0 π.. N X i=0. ui =. 1 . 1−u. Déterminer les amplitudes de l’onde progressive et de l’onde régressive dans la cavité. (d) En déduire les amplitudes : • de l’onde transmise à l’extérieur de la cavité pour x > L, • de l’onde réfléchie à l’extérieur de la cavité pour x < 0.. (c) En déduire un ordre de grandeur de la résolution en phase ϕ0 d’un dispositif utilisant cette superposition de N ondes.. Commenter le cas α = β. On se placera dans ce cas dans toute la suite.. III Miroirs non parfaits. (e) Décrire qualitativement ce qu’on obtient si la condition d’interférences constructives n’est pas exactement réalisée, avec des coefficients α et β proches de 1.. Partie assez calculatoire, qu’on peut n’aborder qu’à la fin de l’épreuve. III.1. Les parois ne sont pas totalement réfléchissantes. Une onde progressive (dénommée « onde incidente » III.3. Ce type de cavité est utilisé pour des ondes lumineuses dans la réalisation d’un laser. Que manque-t-il au dispositif précédent pour produire un laser ? par la suite) d’amplitude X tombant sur la paroi à x = 0 en provenant de la zone x < 0 à l’extérieur de la cavité est : • partiellement réfléchie pour donner une onde régressive synchrone (se propageant dans la zone x < 0), en phase, et dont l’amplitude est multipliée par un coefficient 0 < α < 1, • partiellement transmise pour donner une onde √ progressive synchrone (se propageant dans la zone x > 0) dont l’amplitude est multipliée par 1 − α2 , et est déphasée de π/2. On choisit l’origine des temps de telle sorte que la phase de l’onde incidente soit nulle à t = 0 en x = 0. Une onde régressive se propageant entre les parois est réfléchie et transmise de la même manière quand elle atteint la paroi en x = 0. Les mêmes phénomènes ont lieu sur p la deuxième paroi avec des coefficients de réflexion et de transmission respectivement notés β et 1 − β 2 , et toujours un déphasage de π/2 à la transmission. L’onde incidente est nulle pour t < 0 et sinusoïdale de pulsation ω pour t > 0. (a) Montrer que pour t ∈] L ; 2L [ l’excitation dans la cavité est la somme d’une onde progressive et c c d’une onde régressive dont on donnera le champ des perturbations ξ(t , x). (b) Donner de même le champ des perturbations pour t ∈] 2L ; c. 3L [. c. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. Exercice 1 : Brouillage d’une onde. On étudie la possibilité de brouiller l’émission de l’onde électromagnétique émise par un système de deux sources en rajoutant une troisième source. On utilisera dans tout le problème des simulations de figures d’interférences : les zones sombres correspondent à une excitation positive et maximale, les zones claires à une excitation négative et minimale. On pourra être amené à dessiner sur les figures d’interférences. On considère deux sources ponctuelles S1 et S2 émettant des ondes sinusoïdales synchrones de fréquence f et de célérité c dont on étudie la propagation dans le plan Oxy. On désigne respectivement par x1 et x2 les abscisses des sources S1 et S2 , avec x1 < x2 . Les deux sources ont même amplitude notée X et sont en phase. On note ξ(x , y , t) la perturbation en un point de coordonnées x , y à l’instant t et on justifiera, sauf mention explicite du contraire, les réponses en se basant sur les expressions déterminées de la perturbation ξ. Données : vitesse de la lumière c = 299 792 458 m · s−1 .. 3/8. 2018–2019.
(4) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. samedi 6 octobre. 1. On représente sur la figure l’allure de la perturbation ξ à l’instant t = 0. 6. • y = 0 , x < x1 ,. 2 y(m). (a) Déterminer la valeur de la fréquence f des ondes. (b) Préciser les positions x1 et x2 et donner, en les justifiant, les expressions de ξ dans les 3 zones :. α = 30°. 4. 0 −2. • y = 0 , x1 < x < x 2 ,. −4. • y = 0 , x2 < x. (c) Représenter schématiquement, en les justifiant, la perturbation dans ces 3 zones pour t = 1/(2f ).. −6. −6. −4. −2. 0. 2. 4. 6. x(m). Fig. 5 2. Pour tout point M , on désigne par δ la différence S1 M − S2 M entre les distances de M à chacune des sources. On repère la position du point M par la distance r et l’angle α définis ci-dessous.. M δ = a sin(α),. r. (a) Montrer que pour r a on peut approximer δ par : (2). α. en orientant α dans le sens horaire. (b) Justifier alors que la perturbation est nulle dans la direction α = 30° de la figure 5.. O S1. a. S2. 3. On souhaite annuler la perturbation dans une direction particulière αa sans modifier les sources S1 et S2 . Pour cela, on rajoute une source au milieu du segment [S1 S2 ]. (a) Déterminer le retard ou l’avance ainsi que l’amplitude de cette source permettant d’annuler la perturbation dans la direction α = 45°. On pourra utiliser une construction de Fresnel. (b) Dans quelles autres zones la perturbation sera-t-elle également nulle ?. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 4/8. 2018–2019.
(5) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. Correction du problème 1. (c) a La séparation des deux masses ne change pas la vitesse commune des deux masses. Les nouvelles conditions initiales sont donc :. I Oscillation d’une masse I.1.. samedi 6 octobre. x1 = l0. (a) Le poids est compensé par la réaction du support. (b) L’élongation est xM − l0 , on a immédiatement : m. v10 = ω 0 ∆`soit une amplitude: ∆l0 =. v10 = ω0. r. m1 ∆`. m. La nouvelle expression est, comme on a une élongation nulle et croissante à t = ts :. d2 x = −k(xM − l0 ). dt2. x1 = x01 +. r. m1 ∆l sin ω 0 (t − ts ) . m. (c) Les conditions initiales sont xM (t = 0) = l0 − ∆l et xM ˙ (t = 0) = 0, la solution est donc : (d) On obtient la courbe représentée en trait gras sur la figure ci-contre, dans le cas m1 = 60 g : on vérifie que la nouvelle période et l’amplitude sont plus faibles. (e) La séparation se produit désormais quand :. (d) On a maintenant xM (0) = l0 et xM ˙ (t = 0) = v0 , de solution : xM = l 0 +. v0 sin(ωt). ω. • le ressort est allongé, ie l > l0 et donc t > ts. • ∆l < l0 dans le premier cas, • v0 / ω < l0 dans le deuxième. (a). (b) On peut donc l’écrire :. II Décollement d’une masse (a) Au début du mouvement les deux masses se dirigent vers le point O en comprimant le ressort jusqu’à sa compression maximale puis il se détend jusqu’à xM = l0 . Dans toute cette phase, les deux masses restent solidaires car le ressort repousse la masse M1 qui repousse à son tour la masse M2 . Dès que xM > l0 en revanche, le ressort exerce une traction sur la masse M1 . Comme celle-ci ne peut que repousser la masse M2 , le contact entre les deux est rompu. Sur la courbe, ceci se produit en ts = 0,16 s. p p (b) On a désormais une oscillation à la pulsation ω 0 = k/m1 > k/m. Juste avant la séparation, la vitesse commune des deux masses est, en notant ∆` l’amplitude : vmax = ω∆`. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. T /2. 0, 2. 0, 4. 0, 6. 0, 8. 1. 1, 2. t(s). Fig. 6. (a) Comme établi à la questionII.1b, la vitesse à la séparation vaut vmax = ω∆`. On calcule vmax = 3,8 m · s−1 , qu’on peut aussi lire comme la pente de la courbe de xM (t) à l’instant de la séparation. (b) La masse M2 est animée d’un mouvement rectiligne uniforme à l’issue de la séparation ; sa vitesse reste constante jusqu’au rebond où elle est immédiatement changée en son opposé. On représente donc son mouvement comme une droite de pente vmax sur la courbe de x1 (t) puis de pente −vmax une fois que x1 a cru de D (voir la figure6).. xM = 30 + 20 × cos (18,9 × t + 1,75) .. (c) On calcule : k = m ω 2 = 4pi2 m/T 2 = 35 N · m−1 .. II.1.. 0. k∆l cos(2πf t + π) = Tmax ≡→ t = 0,24 s. II.2.. 5T 0 /2. 0. On a donc :. • La masse oscille autour de la position d’équilibre l0 = 30 cm, avec une amplitude (50 − 10)/2 = 20 cm. • La période est T = (1 − 0,16)/2,5 = 0,33 s. • L’oscillation présente une avance de 0,09 s soit une phase de ϕ = 100° = 1,8 rad.. D. 100. 50. • la longueur du ressort est telle que k(l − l0 ) = Tmax .. (e) Le point O n’est jamais atteint si xM ne s’annule jamais, soit si :. I.2.. 150 xM (cm). xM = l0 − ∆ cos (ωt) , p avec ω = k/m.. 5/8. (c) Pour qu’elles se rejoignent sans s’entrechoquer, elles doivent avoir le même vecteur vitesse : la vitesse de M1 doit au point de rencontre doit donc être égale à celle de M2 , ie −vmax . Les propriétés des fonctions sinusoïdales assurent que cela se produira au plus tôt au bout d’une durée qui est multiple impair de T 0 /2 avec T 0 la nouvelle période des oscillations de M1 seule. Notons (2n + 1)T 0 /2 cette durée. Elle correspond au double de celle nécessaire pour que M2 parcoure D à la vitesse Dmax . On a donc : 2D D (2n + 1)T 0 2n + 1 = = = vmax πf ∆l 2 2f. r. 2 m1 2D → m1 = m . m (2n + 1)π∆l. La première valeur de n pour laquelle la valeur de m1 est inférieure à m = 100 g est n = 5 pour laquelle m1 = 92 g. Pour n = 3, on aurait : m1 = 46 g. 2018–2019.
(6) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. Correction du problème 2. I Accord de la cavité. II.4.. I.1. Le champ électrique d’une onde stationnaire devra être de la forme : ξ(x, t) = cos(ωt + ϕ) sin(kn x) avec: kn L = pπ → p =. 2L . λ0. Cependant 2L = 3,16 n’est pas entier, on ne peut pas y observer une onde stationnaire. On doit faire λ0 croître L jusqu’à atteindre 2L/λ0 = 4 soit L = 1,266 µm. Cette onde comportera 4 fuseaux.. (c) Dans le cas général π/ϕ0 n’a aucune raison d’être entier. Néanmoins, si π/ϕ0 est petit, il est toujours relativement proche d’un grand entier. Un système d’interférences à N ondes produisant le même déphasage relatif ϕ0 entre 2 ondes successives aura une amplitude maximale de N X pour ϕ0 = 0 qui s’annulera pour ϕ0 ' π/(2N ). Il est donc capable de distinguer des phases ϕ0 distinctes d’environ π/(2N ) en ordre de grandeur.. I.2. Pour des longueurs d’ondes comprises entre λ0 ± 2 pm, les modes observables vérifieront de nouveau p = 2L/(λ ± 2pm), soit : 1 1 2L∆λ ∆p = 2L − ' ' 4. λ0 + 2 pm λ0 − 2 pm λ20. III Miroirs non parfaits. II Superposition d’excitations. III.1. y. (a) On a le profil donné ci-contre.. 0. L/2. 3L 4. (b) On a les profils suivant : x L. y. y. L/2. √ (a) L’onde transmise dans la cavité pour t > 0 a une amplitude 1 − α2 et une phase π/2 d’expression : p 1 − α2 X cos(ωt − kx + π/2). Elle met un temps Lc pour traverser la cavité. Pour t ∈]L/c ; 2L/c[, son front a déjà atteint le fond de la cavité en ayant acquis la phase kL et s’est réfléchi pour donner une onde régressive d’amplitude multipliée par β. Au point d’abscisse L, l’onde a parcouru la distance 2L − x, la phase due à sa propagation est donc −k(2L − x) et on peut l’écrire :. L. x. 0. (a) En considérant les déphasages par rapport à la première onde (ie n = 1), on est ramené au problème de la question II.3b. Posons p = π/ϕ0 ∈ N? . La construction de Fresnel de la question II.3b assure que la somme des N0 = 2p ondes de phase à l’origine πn = nπ0 avec ν ∈ [0 : N0 − 1] sera nulle. (b) La construction de Fresnel de la questionII.3b assure que la somme des N ondes sera toujours sur un des sommets du polygone correspondant, que N soit inférieur ou supérieur à N0 . De plus quand ϕ0 π le polygone possède un grand nombre de côtés et on peut l’approximer par un cercle de périmètre 2N X, ie de diamètre 2N X/π. Ce diamètre représente l’amplitude maximale de la somme de N ondes, notée Xmax sur la figure de la question II.3b.. pour satisfaire aux conditions aux limites ξ(0 , t) = ξ(L , t) = 0 pour tout t.. II.1.. m ax. On a cette fois-ci la figure ci-contre. La (b) somme est un signal d’amplitude nulle. On aurait pu établir ce résultat en utilisant les racines n-e de l’unité.. X. II.3. Une fois les pmasses au contact, le ressort freine l’ensemble des deux masses qui oscille de nouveau à la pulsation k/m. Elles se séparent de nouveau quand la longueur du ressort redevient égale à l0 , au bout d’une durée T /2. Le mouvement est donc, pour m1 = 90 g par exemple, périodique, de période 5T 0 /2 + T /2 = 0,97 s.. samedi 6 octobre. '. MPSI2, Louis le Grand. β. x 0. L/2. L. II.2. À un instant t0 , la phase en x0 est ψ0 = ωt0 − kx0 + ϕ. À un instant ultérieur t, le point où la phase vaut ϕ0 est en x(ψ0 , t) = (ϕ + ωt − ϕ0 )/k : on a donc x(ψ˙0 , t) = ω/k > 0. L’onde se propage dans le sens des x croissants, à la vitesse ω/k.. II.3.. 1 − α2 X cos(ωt + k(x − 2L) + π/2).. Cette expression n’est valable que dans la zone atteinte par l’onde régressive, ie telle que 2L − x 6 ct. Dans cette zone, on a donc l’onde totale : p 1 − α2 X (cos(ωt − kx + π/2) + β cos(ωt + k(x − 2L) + π/2)) . (b) Le front d’onde a atteint le premier miroir et s’y est réfléchi. Dans la zone où 2L + x 6 ct, on a donc le champ des perturbations :. On effectue la construction ci-contre. L’amplitude est 5 fois l’amplitude (a) d’une seule onde et la phase est toujours π/4.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. p. p 1 − α2 X (cos(ωt − kx + π/2) + β cos(ωt + k(x − 2L) + π/2) + αβ cos(ωt − k(x + 2L) + π/2)) .. 6/8. 2018–2019.
(7) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand. III.2.. (a) Pour 2L = λ/5, le déphasage entre deux ondes progressives consécutives est −2kL = −2π/5. La construction de Fresnel du II.3b assure que l’interférence entre ces deux ondes sera destructive.. Correction de l’exercice 1. (b) On aura des interférences constructives si 2L = pλ : on retrouve les modes propres d’une onde stationnaire. La condition est la même pour les ondes régressives entre elles. On n’aura cependant pas rigoureusement une onde stationnaire car les amplitudes des ondes sont légèrement différentes si α < 1 et β < 1. (c) Sommons les ondes progressives. On a 2kL = 2π (interférences constructives), soit : p. 1 − α2 X. ∞ X. β i αi cos (ωt − 2iπ − kx + π/2) =. i=0. ∞ p X 1 − α2 X cos (ωt − kx + π/2) β i αi. √ =. 1− 1 − αβ. 1.. (a) On lit la longueur λ = 1,0 m comme la distance entre deux crêtes noires ou deux creux blancs. On en compte en effet 12 intervalles sur une distance de 12 m. On a f = c/λ ; on calcule donc f = 3,0 · 102 MHz. (b) Les sources sont situées en (x = (−1 .5 ; 0)) et x = (1 .5 ; 0). À l’instant initial, l’excitation y est minimale : la phase à l’origine est donc égale à π. Pour chaque source Si on a donc en tout point M (x , y) : ξi = X cos( ωt − kSi M + π) = −X cos( ωt − kSi M + π) avec Si M la distance entre la source Si et le point considéré. Pour la source S1 par exemple, on a : • S1 M = x − x1 pour x > x1 ; y = 0,. i=0. α2 X. • S1 M = x1 − x pour x 6 x1 ; y = 0.. cos (ωt − kx + π/2) .. On en déduit :. On calcule de la même manière la somme pour les ondes régressives. On obtient : ∞ p X 1 − α2 Xβ β i αi cos (ωt + kx + π/2) = i=0. √. α2 βX. 1− 1 − αβ. x 6 x1. cos (ωt + kx + π/2) . x1 6 x 6 x2. (d). • L’onde transmise pour x > L est l’onde progressive dans la cavité multipliée par déphasée d’un π/2 supplémentaire, soit : √. p 1 − β 2 et. p p √ 1 − α2 1 − β 2 X 1 − α2 1 − β 2 X cos (ωt − kx + π) = − cos (ωt − kx) 1 − αβ 1 − αβ. x > x2. • De la même manière, on détermine celle pour x < 0, somme de la réflexion de l’onde incidente et la transmission en x < 0 de l’onde régressive de la cavité : 1 − α2 βX α cos (ωt + kx) − cos (ωt + kx) 1 − αβ. ξ = −X (cos(ωt + k(x − x1 )) + cos(ωt + k(x − x2 ))) k(x1 + x2 ) k(x2 − x1 ) = −2X cos ωt + kx − cos 2 2 ξ = −X (cos(ωt + k(x − x1 )) + cos(ωt − k(x − x2 ))) k(x2 − x1 ) x1 + x2 = −2X cos ωt + cos kx − k 2 2 ξ = −X (cos(ωt − k(x − x1 )) + cos(ωt − k(x − x2 ))) k(x1 + x2 ) k(x2 − x1 ) = −2X cos ωt − kx + cos . 2 2. (c) L’onde est : x < x1 : régressive d’amplitude 2X cos(k(x2 − x1 )/2) ; x1 < x < x2 : stationnaire avec des ventres d’amplitude 2X ; x > x2 : progressive d’amplitude 2X cos(k(x2 − x1 )/2).. Dans le cas α = β, on obtient finalement : x<0:0. samedi 6 octobre. 6. x > L : −X cos (ωt − kx) .. L’onde incidente est entièrement transmise et on n’observe aucune réflexion.. III.3. Pour réaliser un laser, il faut un milieu dit actif amplifiant l’onde au cours de son passage dans la cavité pour au moins compenser les pertes dans la cavité et celles des réflexions. On peut ainsi obtenir pour x > L une onde d’amplitude supérieure à X. 7/8. (d) Au bout d’une durée 1/(2f ), égale à une demipériode, les ondes progressive et régressive ont vu leurs crêtes et leurs creux se remplacer. De même les crêtes et les creux se sont inversés dans les ventres de l’onde stationnaire. La figure a donc l’allure de la figure ci-contre.. 2 y(m). (e) Si α est proche de 1, et si la condition d’interférences constructives n’est pas réalisée, les interférences seront globalement destructives car il existera toujours des entiers n et p tels que 2nL ' λ/2 + pλ assurant une interférence destructive entre deux ondes progressives distantes de n aller et retour. Autrement dit : plus les coefficients de réflexion sont proches de 1, plus la condition assurant les interférences constructives sera stricte et une très faible déviation conduira très rapidement à des interférences destructives.. Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. α = 30°. 4. 0 −2 −4 −6. −6. −4. −2. 0. 2. 4. 6. x(m). 2018–2019.
(8) Devoir en temps limité o 1 : Ressorts et ondes. MPSI2, Louis le Grand (a) On calcule :. 6. # » # » # » # » S1 M 2 − S2 M 2 S1 M · S1 M − S2 M · S2 M δ = S1 M − S2 M = = S1 M + S2 M S1 M + S2 M # » # » # » # » # » # » # » # » S1 O + OM · S1 O + OM − S2 O + OM · S2 O + OM = S1 M + S2 M a2 /4 + r2 + ar sin(α) − a2 4 + r2 − ar sin(α) ar sin(α) = = S1 M + S2 M S1 M + S2 M 2ar sin(α) ' = ar sin(α), 2r. • α → π − α car alors δ est inchangé,. 4. • ϕ45 est changé en son opposé, soit si α → −α.. 2. On le vérifie sur la figure ci-contre représentant la superposition des ondes issues des trois sources dans les conditions déterminées à la question précédente.. y(m). 2.. samedi 6 octobre. α = 45°. 0 −2 −4 −6. −6. −4. −2. 0. 2. 4. 6. x(m). en approximant S1 M + S2 M ' 2r. (b) On lit sur la courbe a = 3λ. Dans la direction α = 30°, on calcule : δ = a sin(30°) =. 3λ . 2. Cette différence étant congrue à λ/2[λ], les interférences dans cette direction seront destructives : on y observe donc une perturbation nulle. 3.. (a) On adapte le résultat précédent au cas de 3 sources distantes deux à deux de a/2. L’inclinaison est responsable d’un déphasage : a sin(α). 2π 6π = √ = 763,7° λ 2. mod 2π = 43,7°. mod [2π] ≡ ϕ45. entre les ondes issues de S1 et S2 . La construction de Fresnel ci-contre permet de déterminer l’amplitude et la phase de l’onde issue d’une troisième source pour que l’interférence des 3 sources soit destructive. On constate dans le triangle isocèle qui intervient que l’amplitude doit être 2X cos(ϕ45 /2) = 1,86.. /2) ϕ 45 ( s co. 2X ϕ45 /2. X ϕ45. X. Le déphasage entre S1 et la source qu’on rajoute doit être la moitié de celui entre S1 et S2 auquel on rajoute π soit a sin(α)/2 + π. Il suffit donc d’ajouter un déphasage de π par rapport au déphasage déjà introduit par l’inclinaison puisque S1 et cette nouvelle source sont distants de a/2. (b) Cette construction reste valable si : Julien Cubizolles, sous licence http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.. 8/8. 2018–2019.
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