I Oscillation d’une masse

MPSI2, Louis le Grand

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1 : Ressorts

Problème 1 : Système masse-ressort de masse variable

On considère un objetMde massem, assimilé à un point, fixé à l’extrémité d’un ressort de raideurket de longueur au reposl0. L’autre extrémitéOest immobile dans le référentiel terrestre considéré galiléen.

L’objet se déplace sans frottement sur un support horizontal, selon un axe(Ox). L’objetMest assimilé à un point. On notexMl’abscisse du pointMrepérée par rapport au pointO.

I Oscillation d’une masse

x

0

O k

M

l

Fig. 1

I.1. (a) Justifier succintement que le poids de l’objet n’a pas d’influence sur le mouvement.

(b) Établir l’équation différentielle d’évolution dexM.

(c) Le ressort est initialement comprimé d’une longueur∆l >0puis lâché sans vitesse initiale. Dé- terminerxM(t).

(d) On communique à l’instant initial une vitessev#»0=v0#»exà l’objet, quand il se trouve enx=l0. Déterminerx_M(t).

(e) Dans chacun des deux cas précédents, à quelle condition l’objet n’atteint-il pas le pointOau cours de son mouvement ? On suppose cette condition vérifiée par la suite.

I.2. La courbe ci-contre présente les variations de la positionxMde la massemen fonction du temps.

(a) Déterminer la longueur à vide, l’amplitude, la période et la phase à l’origine de l’oscilla- tion.

(b) En déduire une expression numérique de xM(t)sous la forme :

xM(t) =A+Bcos(C×t+D), (1) avecxMexprimée en centimètres etten se- condes.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

10 20 30 40 50

t(s) xM(cm)

Fig. 2 (c) La masse estm=100 g, en déduire la constante de raideur du ressort.

II Décollement d’une masse

II.1. La masse M est en fait constituée de deux points matérielsM1etM2de massesm1etm2

non liés l’un à l’autre. On admet qu’ils restent solidaires tant que le ressort pousse la masse M1 versM2 mais qu’ils peuvent se séparer l’un de l’autre dès que le ressort exerce une traction surM1. Leur séparation ne change pas la vitesse des points matériels.

x

0

O k

M ₁ M ₂

l

La masseM1est toujours solidaire du ressort. Les deux masses sont toujours considérées ponctuelles.

Le mouvement des deux masses commence comme le départ de la courbe de la figure Fig. 2, jusqu’à la séparation entre les deux masses. On joindra à la copie cette courbe sur laquelle on annotera les caractéristiques exploitées.

(a) Quelle est la longueur du ressort quand se produit la séparation ? En déduire, en utilisant la courbe de la figure Fig. 2, l’instant, notétsoù elle se produit.

(b) Déterminer les nouvelles caractéristiques (amplitude, fréquence) de l’oscillation deM1quand les masses sont séparées.

(c) En déduire l’expression correspondante dex1(t)selon la forme de celle de l’équation (1).

(d) Superposer sur la courbe de la figure Fig. 2 l’allure dex1(t)pourt>ts.

(e) On considère, pour cette question seulement, que la séparation se produit quand l’intensité de la force de tension de traction du ressort surM1atteintTmax=0,75 N. Déterminer le nouvel instant de séparation.

II.2. On étudie le mouvement de la masseM2après la séparation. Pendant ce temps, la masseM1poursuit ses oscillations.

(a) Déterminer la valeur de la vitesse deM2à l’instant de la séparation. Vérifier cette valeur par lecture sur la courbe. Décrire la suite de son mouvement.

(b) On place un mur à une distanceDsur l’axeOxsur lequel vient rebondir la masseM2. On ad- met que la norme de sa vitesse est conservée au cours du rebond. Proposer une détermination graphique de l’instanttcoù les deux masses se rencontrent de nouveau.

(c) On admet que les deux masses restent solidaires si elles sont animées du même vecteur vitesse lors de leur rencontre. On observe que cela se produit en particulier quand la distanceDvaut D=1,5 m. Proposer des valeurs pourm1etm2compatibles avec cette observation.

II.3. Pour cette valeur deDmontrer que le mouvement de l’ensemble est périodique et donner la valeur de sa période.

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Correction du problème 1

I Oscillation d’une masse

I.1. (a) Le poids est compensé par la réaction du support.

(b) L’élongation estx_M−l0, on a immédiatement :

md²x

dt² =−k(x_M−l0).

(c) Les conditions initiales sontxM(t= 0) =l0−∆letxM˙ (t= 0) = 0, la solution est donc :

xM =l0−∆lcos(ωt), avecω=p

k/m.

(d) On a maintenantxM(0) =l0etxM˙ (t= 0) =v0, de solution :

xM =l0+v0

ω sin(ωt).

(e) Le pointOn’est jamais atteint sixMne s’annule jamais, soit si :

• ∆l < l0dans le premier cas,

• v0/ω < l0dans le deuxième.

I.2. (a) • La masse oscille autour de la position d’équilibrel0 = 30 cm, avec une amplitude(50− 10)/2 =20 cm.

• La période estT= (1−0,16)/2,5=0,33 s.

• L’oscillation présente une avance de 0,09 s soit une phase deϕ=100°=1,8 rad.

(b) On peut donc l’écrire :

xM = 30 + 20×cos(18,9×t+1,75). (c) On calcule :k=m ω²= 4pi²m/T²=35 N·m⁻¹.

II Décollement d’une masse

II.1. (a) Au début du mouvement les deux masses se dirigent vers le pointOen comprimant le ressort jusqu’à sa compression maximale puis il se détend jusqu’àxM =l0. Dans toute cette phase, les deux masses restent solidaires car le ressort repousse la masseM1qui repousse à son tour la masse M2. Dès quexM >l0en revanche, le ressort exerce une traction sur la masseM1. Comme celle-ci ne peut que repousser la masseM2, le contact entre les deux est rompu. Sur la courbe, ceci se produit ents=0,16 s.

(b) On a désormais une oscillation à la pulsationω⁰=p

k/m1 >p

k/m. Juste avant la séparation, la vitesse commune des deux masses est, en notant∆`l’amplitude :

vmax=ω∆`.

La séparation des deux masses ne change pas la vitesse commune des deux masses. Les nouvelles conditions initiales sont donc :

x1=l0 v₁⁰ =ω⁰∆` soit une amplitude:∆l⁰=v₁⁰ ω⁰ =

rm1

m∆`.

(c) La nouvelle expression est, comme on a initialement une élongation nulle et croissante àt=ts:

x1=x⁰₁+ rm1

m∆lsin ω⁰(t−ts) . (d) On obtient la courbe représentée en trait noir sur

la figure ci-contre, dans le casm1=46,5 g (cor- respondant àn = 3pour la question II.2c) : on vérifie que la nouvelle période et l’amplitude sont plus faibles qu’avant la séparation (courbe en trait gris).

(e) La séparation se produit désormais quand :

• le ressort est allongé,iel > l0et donct > ts

• la longueur du ressort est telle que k(l− l0) =Tmax.

On a donc :

k∆lcos(2πf t+ϕ) =Tmax≡→t=0,16 s.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 50 100 150

7T⁰/2 T/2

D

t(s) xM(cm)

Fig. 3

II.2. (a) Comme établi à la questionII.1b, la vitesse à la séparation vautv_max =ω∆`. On calculev_max = 3,8 m·s⁻¹, qu’on peut aussi lire comme la pente de la courbe dexM(t)à l’instant de la séparation.

(b) La masseM2est animée d’un mouvement rectiligne uniforme à l’issue de la séparation ; sa vitesse reste constante jusqu’au rebond où elle est immédiatement changée en son opposé. On représente donc son mouvement comme une droite de pentevmaxsur la courbe dex1(t)puis de pente−v_max une fois quex1a cru deD(voir la figure3).

(c) Pour qu’elles se rejoignent sans s’entrechoquer, elles doivent avoir le même vecteur vitesse : la vitesse deM1doit au point de rencontre doit donc être égale à celle deM2,ie−v_max. Les propriétés des fonctions sinusoïdales assurent que cela se produira au plus tôt au bout d’une durée qui est multiple impair deT⁰/2avecT⁰la nouvelle période des oscillations deM1seule. Notons(2n+ 1)T⁰/2cette durée. Elle correspond au double de celle nécessaire pour queM2parcoureDà la vitesseDmax. On a donc :

2D vmax

= D

πf∆l=(2n+ 1)T⁰

2 = 2n+ 1 2f

rm1

m →m1=m

2D (2n+ 1)π∆l

2

. La première valeur denpour laquelle la valeur dem1est inférieure àm=100 g estn= 2pour laquellem1=91 g. Pourn= 3, on aurait :m1=46,5 g.

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1 : Ressorts

II.3. Une fois les masses au contact, le ressort freine l’ensemble des deux masses qui oscille de nouveau à la pulsationp

k/m. Elles se séparent de nouveau quand la longueur du ressort redevient égale àl0, au bout d’une duréeT/2. Le mouvement est donc, pourm1=90 g par exemple, périodique, de période 5T⁰/2 +T/2 =0,97 s.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 3/3 2019–2020