Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 04/03/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
DM n
o14 : Structures algébriques appliquées à l’arithmétique
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, via l’assistant Tigroesch sur Discord ou par mail à l’adresse suivante : alain.troesch.pro+dm@gmail.com. Merci de respecter la consigne suivante pour le nom du fichier : dm14-nom.pdf (par exempledm14-troesch.pdfsi c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans espace.
Suggestion de travail supplémentaire (à ne pas me rendre) :Vous pouvez regarder le deuxième problème du DM 13 (théorèmes de Sylow) ainsi que le problème de DS 6 de l’année dernière, qui se place dans la continuité des théorèmes de Sylow. Vous pouvez aussi regarder le problème 14 de la sélection, qui admet également les théorèmes de Sylow.
Suggestion de révisions :
‚ Comme d’habitude, profitez des vacances pour bien vous mettre à jour dans le cours, et revoir les chapitres de la dernière période. Comme vous avez pu le constater, l’algèbre utilise de façon assez systématique toutes les notions ensemblistes vues en début d’année. Une révision de ce chapitre peut être utile (ensembles, applications, relations).
‚ Reprenez vos DM et DS pour en faire un petit bilan, voir et comprendre vos erreurs, réfléchir avec le corrigé sur les questions que vous n’aviez pas su faire.
‚ Liste des exercices classiques de la dernière période, qu’il peut être judicieux de reprendre. Si vous révisez des chapitres antérieurs, il peut aussi être intéressant de reprendre quelques exercices, suivant les listes données lors des vacances précédentes.
˚ chapitre 12 : 1, 2, 6, 7, 8, 11, 14, 17, 18, 19(a,d,e), 20, 24, 25, 27, 31, 36, 39, 40, 41, 45
˚ chapitre 13 : 1, 3, 12, 13 autant que possible, 14, 18
˚ chapitre 18 : 1, 4, 5
˚ chapitre 19 : 3, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 24, 25, 27, 38
‚ Avancez autant que possible dans la préparation des exercices qu’on verra à la rentrée. Les plus importants sont :
˚ chapitre 19 : 22, 41, 45, 46, 47, 49, 50
˚ chapitre 21 : 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 18, 19, 20, (le 21 a été fait en cours), 22, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 35, 37, 38, 39
Mais les autres sont à préparer aussi.
‚ Je vais vous mettre à disposition aussi le DM suivant (DM 15), pour la semaine d’après, afin que vous puissiez prendre de l’avance. Il portera aussi sur l’arithmétique.
‚ Comme d’habitude, reposez-vous, ressourcez-vous, revenez en forme et sans covid.
Problème 1– Nombres de Carmichael
Le but de ce problème est d’étudier certaines propriétés des nombres de Carmichael, nombres composées qui satisfont tout de même la propriété du petit théorème de Fermat. Notre but est notamment de donner une caractérisation des nombres de Carmichael en fonction de l’indicateur de Carmichael λpGq, défini comme l’exposant du groupepZ{nZq˚ des éléments inversibles de l’anneauZ{nZ, donc comme le ppcm des ordres des éléments de ce groupe. Pour étudier cet indicateur de Carmichael, nous commençons par l’étude des groupespZ{nZq˚, éléments inversibles de l’anneauZ{nZ.
Partie I – Structure du groupe pZ{pZq˚
Soit pun nombre premier. On montre dans cette partie que le groupeppZ{pZq˚,ˆqdes éléments inversibles du corps Fp“Z{pZ est cyclique d’ordre p´1, donc isomorphe àpZ{pp´1qZ,`qou encore àpUp´1,ˆq. Un générateur de ce groupe est appelé racine primitive modulo p. On admettra dans cette partie que si P est un polynôme à coefficients dans un corpsKet sir est une racine deP, alors P est divisible par pX´rq: autrement dit, il existe un polyômeQ tel quePpXq “ pX´rqQpXq.
1
1. Soit pG,ˆq un groupe abélien fini, et x et y deux éléments de G d’ordre a et b. Montrer qu’il existe deux élémentsx1 et y1 d’ordrea1 etb1 tels quea1^b1“1et a1b1“a_b.
2. En considérantx1y1, en déduire l’existence d’un élément d’ordrea_b.
3. Soit ωpGqle ppcm des ordres de tous les éléments deG. Montrer qu’il existe un élémentgPGd’ordreωpGq.
En déduire que
ωpGq “mintkPN˚| @gPG, gk“1,u où1 désigne le neutre deG.
4. SoitG“ ppZ{pZq˚,ˆq. Justifier que l’ordre deGestp´1. 5. SoitP PFprXsle polynôme à coefficients dansFp défini par :
PpXq “XωpGq´1.
Montrer que pour toutξPG, Ppξq “0, et en déduire que PpXqest divisible parź
ξPG
pX´ξq 6. En déduire quep´1ďωpGq, puis queωpGq “p´1.
7. Montrer que Gest cyclique d’ordrep´1.
On peut remarquer que la preuve ci-dessus s’adapte sans difficulté pour montrer plus généralement que pour tout corps finiK,K˚ est un groupe cyclique, formé des racines du polynômeXn´1´1,nétant l’ordre deK.
Partie II – Stucture des groupespZ{pnZq˚
Soitpun entier premier impair etnPN˚,ně2. On généralise le résultat de la partie I en montrant dans cette partie que le groupeppZ{pnZq˚,ˆqdes éléments inversibles de l’anneau Z{pnZest cyclique.
1. SoitkPZ, etkson représentant dansZ{pnZ. Montrer quekest inversible si et seulement sikn’est pas divisible parp.
2. En déduire quepZ{pnZq˚ est d’ordrepn´1pp´1q.
3. Montrer que pour toutaPZ, et toutmPN˚, p1`pmaqp”1`pm`1arpm`2s.
4. En déduire que pour tout aPZ, et toutmPN,p1`paqpm ”1`pm`1arpm`2s.
5. Montrer que 1`pest d’ordrepn´1danspZ{pnZq˚
6. En considérant une racine primitive modulop, montrer qu’il existe un élément d’ordrep´1danspZ{pnZq˚. 7. En déduire quepZ{pnZq˚ est cyclique d’ordrepn´1pp´1q.
Partie III – Cas despZ{2nZq˚ On termine cette étude avec le casp“2.
1. On suppose n ě 3. On note G “ pZ{2nZq˚, H l’ensemble des classes modulo 2n des entiers k congrus à 1 modulo4, et etK“ pt´1,`1u,ˆq.
(a) Montrer queH est un sous-groupe deG. Quel est son ordre ? (b) Exhiber un isomorphisme deHˆKÝÑG
(c) Montrer que52n´3”1`2n´1 r2ns, et en déduire que l’ordre de5 dansH est 2n´2.
(d) En déduire que le groupe multiplicatifGest isomorphe au groupe additifpZ{2ZqˆpZ{2n´2Zq. Est-il cyclique ? 2. Décrire les groupespZ{2nZq˚ pour nP t1,2u.
Partie IV – Nombres de Carmichael et indicateur de Carmichael
On appelle nombre de Carmichael un nombre composéntel que pour tout entierapremier avecn, on aitan´1”1rns.
On rappelle que l’exposant d’un groupe abélien finiGest le ppcm de l’ordre de tous les éléments du groupeG, et que la question III-2 permet de justifer l’existence d’un élémentxPG dont l’ordre est égal à l’exposant de G. On définit l’indicateur λpnq de Carmichael d’un entier ną1 comme étant égal à l’exposant de ppZ{nZq˚,ˆq. On rappelle enfin que pour toutně1,ϕpnqest le nombre d’entiers premiers avecndans v1, nw.
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1. Justifier que pour tout ně2,λpnqdiviseϕpnq, avec égalité si et seulement sipZ{nZq˚ est cyclique.
2. Justifier quenest un nombre de Carmichael si et seulement siλpnqdivise strictementn´1. 3. Montrer que pour toutn“
k
ź
i“1
pαii avecαiě1 etkě1, on a
λpnq “λppα11q _λppα22q _ ¨ ¨ ¨ _λppαkkq.
4. En déduire une expression explicite deλpnqen fonction des facteurs premiers den, en distinguant suivant que 8divisenou non (on ne cherchera pas à expliciter les ppcm intervenant dans cette formule)
5. À l’aide des questions précédentes, montrer quenest un nombre de Carmichael si et seulement sinest composé, sans facteur multiple ( i.e. vppnq “ 0 ou 1 pour tout ppremier), et pour tout facteur premier p de n, p´1 divisen´1.
6. Montrer que 561est un nombre de Carmichael.
7. Montrer que nest de Carmichael si et seulement sinest composé, et pour toutaPZ,an”arns.
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