14 : Structures algébriques appliquées à l’arithmétique

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Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 04/03/2021 MPSI 4– Mathématiques

A. Troesch

DM n

^o

14 : Structures algébriques appliquées à l’arithmétique

Correction du problème 1– Nombres de Carmichael Partie I – Structure du groupe pZ{pZq^˚

1. Soit pour toutpPP,

αp“

$

&

%

vppaq sivppaq ěvppbq

0 sinon et βp“

$

&

%

vppbq sivppaq ăvppbq

0 sinon

On posea¹“ź

pPP

p^α^p etb¹“ź

pPP

p^β^p. On a alors a¹^b¹“1,a¹|aetb¹ |b. De plus :

a¹b¹“ź

pPP

p^max^pv^p^paq,v^p^pbqq soit: a¹b¹“a_b .

On considère alors x¹“x^a{a¹ et y¹“y^b{b¹ , qui sont bien d’ordrea¹ etb¹respectivement.

2. CommeGest abélien, on apx¹y¹qâ¹^b¹ “ px¹â¹q^b¹py¹^b¹qâ¹“1. Ainsi, en notantc l’ordre dex¹y¹, on ac|a¹b¹. Par ailleurs,px¹y¹q^c“1, doncpx¹q^c“ py¹q^ćP xxy X xyy. NotonsH “ xx¹y X xy¹y. CommeH est un sous-groupe dexxyet dexyy, l’ordre deH divisea¹ etb¹. Puisquea¹ etb¹ sont premiers entre eux,H “ t1u; Ainsi,px¹q^c“1 etpy¹q^c“1, de quoi on déduit quea¹|cet b¹|c. Commea¹ etb¹ sont premiers entre eux,a¹b¹|c.

Ainsi, x¹y¹ est d’ordrea¹b¹“a_b.

3. Soit ωpGqle ppcm des ordres de tous les éléments deG. En notant x1, . . . , xn les éléments deG eta1, . . . , an

leurs ordres, on montre sans problème par une récurrence immédiate basée sur la question précédente, que pour toutkP v1, nw, il existe un élément d’ordrea1_ ¨ ¨ ¨ _ak.

En particulier, pourk“n, il existe un élémentgPGd’ordreωpGq.

Par définition, pour tout g P G, l’ordre de g divise ωpGq, donc g^ωpGq “ 1. Donc ωpGq ě mintk P N^˚ | @g P G, g^k“1,u.

De plus, l’existence deg d’ordreωpGq, assure que pour toutkP v1, ωpGq ´1w,g^k ‰1, donc ωpGq ď mintkP N^˚ | @gPG, g^k “1,u.

Les deux inégalités amènent : ωpGq “mintkPN^˚| @gPG, g^k “1,u.

4. Tout élément non nul deZ{pZest inversible (carF_pest un corps). On rappelle que cela provient d’une relation de Bézout entreknon divisible parpetp: on trouve un inverse deken réduisant l’égalitéuk`bp“1 modulo p.

Ainsi,pZ{pZq^˚“Z{pZzt0u, donc son ordre estp´1.

5. SoitP PF_prXsle polynôme à coefficients dansF_p défini par : PpXq “X^ωpGq´1.

Pour toutξPG,x^ξ “1, par définition de l’exposant. Donc Ppξq “0. D’après le point admis plus hautPpXq est divisible parX´ξq. ÉcrivonsPpXq “ pX´ξqQpXq.

Soitξ¹ ‰ ξ. On a alorsPpξ¹q “ 0, donc pξ´ξ¹qQpξ¹q “ 0. Comme ξ´ξ¹ “0 et que F_p est un corps (donc intègre), on en déduit queQpξ¹q “0, et donc qu’on peut factoriserQparpX´ξ¹q.

En continuant de la sorte (par une récurrence immédiate), on en déduit que P est divisible par ź

ξPG

pX´ξq

(2)

6. L’examen des degrés nous assure alors, puisque P n’est pas le polynôme nul, que ź

ξPG

pX´ξq ďdegpPq, donc que p´1ďωpGq.

Comme par ailleurs, pour toutxPG, x^p´¹ “1 (d’après Lagrange), on en déduit, d’après la question 3, que ωpGq ďp´1.

Ainsi, p´1“ωpGq.

7. On déduit alors de la question 3 qu’il existe un élément gd’ordrep´1, ce qui équivaut à dire queG“ xxy.

Ainsi, Gest cyclique d’ordrep´1.

Partie II – Stucture des groupespZ{pⁿZq^˚

1. Il s’agit encore d’une relation de Bézout : k est inversible modulopⁿ ssi il existe uPZ tel queku”1 rpⁿs, ssi il existeuet v dansZtels que ku`pⁿv“1, ssiaet pⁿ sont premiers entre eux, ssi pne divise pask . 2. Le nomrbe de diviseurs depdansv1, pⁿwest p^n´¹, donc, d’après la question précédente, le nombre d’éléments

inversibles deZ{pⁿZestpⁿ´p^n´¹, soit :

|pZ{pⁿZq^˚| “ϕppⁿq “p^n´¹pp´1q.

3. SoitaPZ, etmPN^˚. D’après la formule du binôme, p1`p^maq^p“

p

ÿ

k“0

ˆp k

˙ p^mka^k.

Pour toutkě2,mkě3měm`2(carmě1). De plus, pourk“2, ˆp

k

˙

est divisible parp(carkP v1, p´1w puisquepě3 par hypothèse ; plus simplement

ˆp k

˙

“ ppp´1q

2 , etp´1est pair), et2měm`1. Ainsi, pour k“2,

ˆp k

˙

p^mk est divisible parp^m`². On en déduit que

p1`p^maq^p”1` ˆp

1

˙

p^ma”1`ap^m`¹rp^m`²s.

4. On raisonne par récurrence, en notant pour mPN^˚,Ppmqla propriété :

@aPZ, p1`paq^p^m ”1`p^m`¹arp^m`²s.

‚ Initialisation : pourm“0, c’est une évidence, puisquep1`pq^p⁰ “1`p.

‚ Hérédité : SoitmPN. SupposonsPpmq. Nous avons alors :

p1`paq^p^m`¹“ pp1`paq^p^mq^p.

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, il existebPZtel quep1`paq^p^m “1`p^m`¹a`p^m`²b.On a donc p1`paq^p^m`1“ p1`p^m`¹pa`pbqq^p.

On applique la question précédente au rangm`1ě1:

p1`p^m`¹pa`pbqq^p”1`p^m`²pa`pbq rp^m`³s, puis :

p1`paq^p^m`¹ ”1`p^m`²arp^m`³s.

Il s’agit là dePpm`1q.

‚ Ainsi, d’après le principe de récurrence, on peut conclure que :

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5. On a, d’après la question précédente (qu’on peut appliquer pour n´1carně2), p1`pq^p^n´1 ”1`pⁿ rp^n`¹s donc: p1`pq^p^n´1 ”1 rpⁿs.

On en déduit que l’ordreade1`pdivisep^n´¹. Il existe doncαP v1, n´1wtel quea“p^α(αne peut pas être nul car1`p‰1dansZ{pⁿZ). Or, la question précédente amène aussi (au rangn´2ě0) :

p1`pq^p^n´² ”1`p^n´¹ rpⁿs donc: p1`pq^p^n´¹ ı1 rpⁿs.

Ainsi,ane divise pasp^n´², doncαąn´2. On a doncα“n´1, et a“p^n´¹. Ainsi, 1`pest d’ordrep^n´¹danspZ{pⁿZq^˚ .

6. Soit x P Z tel que sa classe xmodulo psoit une racine primitive modulo p. Ainsi, xest d’ordre p´1 dans pZ{pZq^˚. Considéronsx˜la classe de xmodulopⁿ. Commexest premier avecp(carxest inversible),xest de même premier avecpⁿ. Doncx˜P pZ{pⁿZq^˚. L’ordre de ce groupe étantpⁿpp´1q, l’ordre dex˜ divisepⁿpp´1q, d’après le théorème de Lagrange. Soit a l’ordre de x. Il existe donc˜ α P v0, nw et m divisant p´1 tel que a“p^αm. On a alors

x^p^α^m”1 rpⁿs donc: x^p^α^m”1rps.

Puisque x est d’ordre p´1, on en déduit que p´1 divise p^αm, et étant premiers avec p^α, il divise m. Par conséquentm“p´1.

Ainsi,x˜ est d’ordrep^αpp´1q, donctildex^p^α est d’ordrep´1. Il existe donc un élément d’ordrep´1danspZ{pⁿZq^˚ .

7. pZ{pⁿZq^˚ contient un élément d’ordrep´1, et un élément d’ordrep^n´¹. Par conséquent p´1 et p^n´¹ étant premiers entre eux, il découle de la question I-2 quepZ{pⁿZq^˚contient un élémentyd’ordrep^n´¹pp´1q. Comme il s’agit là de l’ordre du groupepZ{pⁿZq^˚, on en déduit quey engendrepZ{pⁿZq^˚.

Ainsi,pZ{pⁿZq^˚ est cyclique d’ordrep^n´¹pp´1q.

Partie III – Cas despZ{2ⁿZq^˚

1. On suppose n ě 3. On note G “ pZ{2ⁿZq^˚, H l’ensemble des classes modulo 2ⁿ des entiers k congrus à 1 modulo4, et etK“ pt´1,`1u,ˆq.

(a) On aH ĂGcar les éléments deH sont représentés par des entierskimpairs, donc premiers avec2ⁿ, donc inversibles modulo 2ⁿ. De plus :

‚ 1”1r4s, donc 1PH :H contient le neutre depZ{2ⁿZq^˚.

‚ Soit het k dansH, représentés par des entiers xet y de Z. On a doncx”1 rHset y ”1 r4s, donc xy”1r4s, donchkPH.

‚ Soit hP H représenté par x. Commex est impair, donc premier avec 2ⁿ, x est inversible modulo2ⁿ. Soity PZ un inverse modulo2ⁿ de x. On a alorsxy ”1r2ⁿset commeně3,xy ”1 r4s. Or, comme x”1r4s, on a xy”y r4s, doncy”1r4s. Ainsi,yPH.H est donc stable par inversion.

On en déduit que H est un sous-groupe deG. Son ordre est clairement 2^n´² . (b) Il n’est pas dur de vérifier queK est un groupe (version multiplicative deZ{2Z).

On définitϕdeHˆK dansGpar :

ϕph, kq “hk.

‚ Comme hest inversible modulo2ⁿ ainsi que k(égal à 1 ou´1), il en est de même de hk. Ainsi, ϕest bien à valeurs dansG.

‚ Soitph, kqet ph¹, k¹qdes éléments deHˆK. On a alors

ϕpph, kq ¨ ph¹, k¹qq “ϕphh¹, kk¹q “hh¹kk¹ “hkh¹k¹“ϕph, kqϕph¹, k¹q, puisque Gest abélien. Ainsi,ϕest un morphisme.

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‚ Soit ph, kq P Kerpϕq. On a donc hk “ 1 dans Z{2ⁿZ. Comme k “ 1 ou k “ ´1, on en déduit que h“1ou h“ ´1dansZ{2ⁿZ. Comme ně2, on peut réduire modulo 4. Commehsoit être représenté par un élément congru à 1 modulo 4, on en déduit qu’on a nécessairementh “1, puis k “ 1. Ainsi, Kerpϕq “ tp1,1qu, donc ϕest injective.

‚ Gest de cardinal2^n´¹(représenté par les entiers impaires dev2,2ⁿw, ainsi queHˆK. Ainsi, l’injectivité et l’égalité des cardinaux finis amènent le fait queϕest bijective.

‚ On en déduit que ϕest un isomorphisme . (c) On montre par récurrence surně3la propriété

Ppnq: 5²^n´3 ”1`2^n´¹r2ⁿs.

‚ Initialisation : Pour n“3, c’est trivial :5”1`4r8s.

‚ Hérédité : Soitně3 tel quePpnqsoit vrai. Il existe alors atel que 5²^n´3 “1`2^n´¹`a2ⁿ“1`2^n´¹p1`2aq.

En élevant au carré et en développant le carré de droite, il vient : 5²^n´

2

“1`2ⁿp1`2aq `2²^n´²p1`2aq².

Or,ně3, donc2n´2ěn`1. On en déduit alors que 5²^n´2 ”1`2ⁿ r2^n`¹s, ce qui est exactementPpn`1q.

‚ On déduit du principe de récurrence que

@ně3, 5²^n´3 ”1`2^n´¹ r2ⁿs .

CommeH est d’ordre2^n´², le théorème de Lagrange nous affirme que l’ordre de 5 (ou plutôt de sa classe dans H) est une puissance de 2, inférieure à2^n´². Comme5²^n´3 ı1 r2ⁿs d’après la question précédente,

l’ordre de5 ne peut alors qu’être2^n´² .

(d) On déduit de la question précédente queH est cyclique d’ordre2^n´², donc isomorphe àZ{2^n´²Z(remarquez que cet isomorphisme nous fait passer d’une notation multiplicative à une notation additive). On a déjà remarqué queK est isomorphe àZ{2Z.

Donc, d’après la question 1(b), pZ{2ⁿZq^˚ est isomorphe àpZ{2Zq ˆ pZ{2^n´²Zq

Ce groupe n’est pas cyclique . En effet, pour toutx“ py, zqdans ce produit cartésien, 2^n´²x“ p2^n´²y,2^n´²zq “ p0,0q,

donc il n’existe pas d’élément d’ordre2^n´¹(l’ordre maximal ne pouvant excéder2^n´², égal d’ailleurs à cette valeur).

2. ‚ Casn“1: le seul élément inversible de Z{2Zest 1, donc pZ{2Zq^˚ “ t1u (groupe trivial)

‚ Casn“2: les éléments inversibles deZ{4Zsont1et3. Donc pZ{4Zq^˚ est d’ordre 2, donc isomorphe àZ{2Z.

Partie IV – Nombres de Carmichael et indicateur de Carmichael

1. ‚ Soit ně 2; Commeϕpnq est l’ordre de pZ{nZq^˚ (encore Bézout comme en II-1), l’ordre des éléments de pZ{nZq^˚ diviseϕpnq(théorème d’Euler), donc leur ppcm aussi.

Ainsi pour toutně2, λpnqdiviseϕpnq.

‚ Siλpnq “ϕpnq, alors d’après le rappel en début de partie, il existe un élémentxd’ordreλpnq, donc d’ordre ϕpnqdanspZ{nZq^˚. Pour des raisons de cardinalité, on a alorspZ{nZq^˚ “ xxy, donc pZ{nZq^˚ est cyclique .

‚ Réciproquement, si pZ{nZq^˚ est cyclique, il existe un élément d’ordre ϕpnq, donc ϕpnq divise λpnq par

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‚ Ainsi,λpnq “ϕpnqsi et seulement sipZ{nZq^˚ est cyclique.

2. ‚ Si nest premier, alors λpnq “ϕpnq (carpZ{pZq^˚ est cyclique), et ϕpnq “n´1. Ainsi, λpnqne divise pas strictementn´1.

‚ Supposons alors que λpnqdivise strictement n´1. La remarque qui précède permet déjà d’affirmer quen n’est pas premier. De plus, pour tout x premier avec n, x est danspZ{nZq^˚, donc son ordre divise λpnq (définition deλpnq), donc aussin´1, par hypothèse. Ainsi,x^n´¹“1, soitx^n´¹”1rns.

On en déduit quenest un nombre de Carmichael.

‚ Réciproquement, supposons quenest un nombre de Carmichael. Alors pour toutxpremier avecn,x^n´¹“1, donc l’ordre dexdivisen´1. Ceci étant vrai pour tout élément depZ{nZq^˚, le ppcm des ordres des éléments de ce groupe divise aussin´1, soitλpnqdivisen´1.

De plus, on ne peut pas avoir égalité, car cela impliquerait queϕpnq ěn´1, puisϕpnq “n´1, donc que tout nombre dev1, n´1w est premier avecn, donc quenest premier, ce qui est exclus par définition pour un nombre de Carmichael.

‚ Ainsi, nest de Carmichael si et seulement siλpnqdivise strictementn´1. 3. Soitn“

k

ź

i“1

p^α_iⁱ, avecαiě1 etkě1.

‚ Le théorème chinois nous permet d’affirmer que

Z{nZ“Z{p^α1¹Zˆ ¨ ¨ ¨ ˆZ{p^α_k^kZ.

On montre sans difficulté qu’on a alors :

pZ{nZq^˚“ pZ{p^α1¹Zq^˚ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pZ{p^α_k^kZq^˚.

‚ Il existe danspZ{p^α_iⁱZq^˚un élément d’ordreλpp^α_iⁱq(question I-3), donc en itérant I-2, il existe danspZ{nZq^˚ un élément d’ordreµ“λpp^α1¹q _λpp^α2²q _ ¨ ¨ ¨ _λpp^α_k^kq. Doncµdiviseλpnq.

‚ Récirproquement,µest un multiple de chaquep^α_iⁱ, donc pour toutiP v1, kw, et toutxdansZ{p^α_iⁱZ, l’ordre dexdiviseµ, doncx^µ“1. Ainsi, pour toutpx1, . . . , xk danspZ{p^α1¹Zq^˚ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pZ{p^α_k^kZq^˚, on a :

px¹, . . . , xkq^µ“ px^µ1, . . . , x^µ_kq “ p1, . . . ,1q.

Donc l’ordre de tout élément depZ{nZq^˚ divise µ, doncλpnqdiviseµ.

‚ On en déduit que

λpnq “µ“λpp^α1¹q _λpp^α2²q _ ¨ ¨ ¨ _λpp^α_k^kq.

4. Les parties précédentes nous apprennent que sipest un nombre premier impair,λpp^αq “ϕpp^αq “p^α´¹pp´1q (carZ{p^αZest cyclique), et que pour p“2,λp2^αq “2^α´²siαě3,2^α´¹ siα“1ouα“2(ce qui correspond aussi à l’expression obtenue pourpą2). Ainsi :

‚ siv_pp2q ď2 (donc si8 ne divise pasn), on a :

λpnq “ pp^α1¹^´¹pp¹´1qq _ pp^α2²^´¹pp²´1q _ ¨ ¨ ¨ _ pp^α_k^k^´¹ppk´1qq.

‚ sivpp2q ě3 (donc si8 divisen), en stipulant quep1“2, on a :

λpnq “2^α¹^´²_ pp^α2²^´¹pp²´1qq _ ¨ ¨ ¨ _ pp^α_k^k^´¹ppk´1qq. 5. ‚ Si nest un nombre de Carmichael, il est composé par définition.

Par ailleurs, λpnq divise n´1, donc pour tout i P v1, pw, λipp^α_iⁱq divise n´1, et l’expression de λipp^α_iⁱq montre que siα_i ą1, alorsp_i divisen´1 (y compris pourp“2, en distinguant les cas α“2et aě3).

Or, commepidivisen, ceci n’est pas possible. Par conséquent,αiď1. Par conséquent,nn’a pas de facteur multiple.

On a donc pour tout iP v1, kw,λpp^α_iⁱq “pi´1 (y compris si pi “2), et λpp^α_iⁱqdivise n´1, donc pi´1 divisen´1.

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‚ Réciproquement, sinest composé, sans facteur multiple et si pour toutpfacteur premier den,p´1divise n, alors, en écrivantn“p1¨pk avec les pi premiers deux à deux distincts, on a

λpnq “ pp¹´1q _ ¨ _ ppk´1q.

Or chacun des pi´1 divise n´1, donc leur pgcd aussi. On en déduit que λpnq divise n´1. On a déjà montré qu’on ne peut avoir l’égalité que sinest premier, ce qui est exclus ici. Ainsi,λpnqdivise strictement n´1.

Ainsi, nest de Carmichael ssi tout facteur premier pdenest simple et vérifiep´1|n´1.

6. On a 561“3ˆ11ˆ17, donc il est composé, sans facteur multiple. De plus on vérifie facilement que2,10 et 16divisent560, doncnest de Carmichael.

7. La réciproque résulte du fait que si a est premier avecn, il est inversible modulo n, donc on peut simplifier para.

Dans le sens direct, sinest de Carmichael, l’égalité est trivialement vérifiée par définition pour lesapremiers avecn, et il faut l’obtenir pour les autres valeurs de a. C’est en fait une conséquence du théorème chinois. On écritn“p¹¨ ¨ ¨pk(lespiétant deux à deux distincts carnest de Carmichael), et on considèreaPZ, etiP v1, kw

‚ Si a^pi “1, alors a^pⁱ^´¹ ”1 rpⁱs d’après Fermat, donc, comme pi´1 divise n´1, a^n´¹ ”1 rpis, puis aⁿ”arpis.

‚ Sia^pi‰1, alorspi|a, donca”0|p1s, doncaⁿ ”a”0 rpis.

Par conséquent, pour toutiP v1, kw,aⁿ”arpis. Lespiétant des premiers 2 à 2 distincts, ils sont 2 à 2 premiers entre eux, et, sachant quen“p1¨ ¨ ¨pk, le théorème chinois permet de conclure que aⁿ”arns.