ist entscheidbar
von
Nicolas Schiller
FachbereichMathematik
JohannWolfgangGoethe-UniversitatFrankfurt amMain
August1999
Zusammenfassung
Petri-NetzewerdenzurModellierungundAnalyseverschiedensterSystemeverwendet.SeiteinigenJah-
renbeschaftigensichmehrereForschungsgruppenmitErweiterungenvonPetri-Netzen,diedieModellierung
kontinuierlicher Ablaufeerleichtern. Markiertman ineinemPetri-Netz dieStellen mitrellenZahlen statt
"
tokens\oder
"
Marken\,lassensichstetigeGroenwiez.B. Flussigkeitenmodellieren.
InmeinerDiplomarbeitwerdensolchestetigenPetri-NetzeimRahmeneinesgruppentheoretischenAnsatzes
furPetri-NetzevorgestelltundihreEigenschaftenuntersucht.ReprasentativwirdhierdasErreichbarkeits-
problembetrachtetundeinAlgorithmusvorgestellt,deresentscheidet.
1 Denition des stetigen Petri-Netzes
AusgangspunktfurdieDenition istdiegruppentheoretischeBetrachtungsweisefur Petri-Netze,wiesiein der
ArbeitsgruppevonProf. BrunoBrosowskianderJohann-Wolfgang-Goethe-Universitatin Frankfurtam Main
imLaufe derletztenJahreentwickeltwurde.Eine guteDarstellungdiesesAnsatzesndetmanin derDiplom-
arbeit[5]vonFrauPetraTixsowiein denAusarbeitungen[1],[2] und[3]vonProf. Brosowski.Die Stellendes
Netzessinddanach mit ElementenhalbgeordneterGruppen markiert(fur gewohnliche S-T-Netzedie Gruppe
ZZ). Das Schalten vonaktivierten Transitionen oder Schaltfolgen ist eine Operation in der Netzgruppe, dem
kartesischenProduktderStellengruppen.
In[9]denierenReneDavidundHassaneAllaPetri-Netze,derenStellenmitreellenZahlenmarkiertsind.Um
dieseNetzeuntersuchenzu konnen,wahlenwir fur jedeStelleunseresPetri-Netzes diehalbgeordneteGruppe
(IR ;+;0;)alsStellengruppe.
EineweitereBesonderheitdieserreellmarkiertenPetri-Netzeist,dajedemSchalteneinerTransitioneineViel-
fachheitr2IR
+
zugeordnetwird,die angibt,wieoftbzw.
"
wieviel\ dieTransitionschaltet.DieseVielfachheit
wirdmitdemKantengewichtderPre-undPostkantenderTransitionmultipliziertundbeeinutentsprechend
dieMarkierungsanderungdurch den Schaltvorgang(Schaltenmit Vielfachheit1 entspricht dem gewohnlichen
Schalten).Mochteman diesesPrinzipin dasgruppentheoretischeKonzept einordnen,so bietet essich an,die
Vielfachheiten,mit deneneineTransitionschaltenkann, alsverschiedeneModiderTransitionzubetrachten:
Denition1.1 (StetigesPetri-Netz) Ein stetigesPetri-Netz isteinPetri-Netz mitSchaltmodi
P =(S;T;M;Pre;Post)
wobei
S := (s
1
;:::;s
L
) endlicheStellenmenge
T := (t
1
;:::;t
N
) endlicheTransitionenmenge
S\T = ;
M := IR
+
Menge derSchaltmodi
Pre : T M!IR L
0
Vorkantenabbildung
Post : T M!IR L
0
Nachkantenabbildung
Fur dieAbbildungen PreundPostgilt:
Pre
t;
= Pre
t;1
Post
t;
= Post
t;1
EineTransitiont2T istimModus2M bzgl.derMarkierungm
0 2IR
0
aktiviert,wenngilt:
Pre
t;
m
0 :
Schalteteinebzgl.m
0
imModusakvierteTransitiont imModus, sogehtdieMarkierungm
0
uberin
m:=m
0
+Post
t;
Pre
t;
:
EinSchaltmodus2IR
+
gibtdie
"
Vielfachheit\an,mitderdieTransitiontschaltensoll.WenneineTransition
timModusschaltet,sagenwirauch:tschaltet
"
-fach\.WennesModigibt,indeneneineTransitionaktiviert
istsagenwir:dieTransitionistaktiviert.
DieDenitionen vonSchaltabbildungÆ,derMengederbeieinerMarkierungm aktiviertenSchaltfolgen S(m)
sowiederErreichbarkeitsmengeE(m)folgenden Denitionenfur gewohnlichePetri-Netzemit Schaltmodi.
Setztman
(C
1 )
i;j
:=Post
t
j
;1 (s
i
) Pre
t
j
;1 (s
i );
soerhaltmanfureinebzgl.m aktivierteSchaltfolge! die
Ubergangsgleichung
Æ(m;!)=m+C
1 V(!);
wobeianstelledesParikhvektorsderVielfachheitenvektorV(!)verwendetwird:
V
t (!):=
X
(t;)enthaltenin! :
2 Das Erreichbarkeitsproblem
"
KanneinegegebeneMarkierungmimstetigenPetri-NetzPvonderStartmarkierungm
0
auserreichtwerden?\
In gewohnlichen Petri-Netzen ist die Beantwortung dieser Frage | des
"
Erreichbarkeitsproblems\ | zwar
schwierig aberdoch moglich. Die Schwierigkeiten, denen man bei der Losung desErreichbarkeitsproblemsin
diskretenNetzenbegegnet,resultierenoftdaraus,daganzzahligeLosungenvonGleichungssystemenzunden
sind.InAnbetrachtdieserTatsacheliegt dieVermutung nahe,da in stetigenPetri-Netzendie Losungdieses
Problemsleichterfallenkonnte.
DieErreichbarkeitsmengehangtvonderStartmarkierungm
0
undden t2T ab,diebeim
0
nichttotsind.
InstetigenNetzennennen wireineTransitiontot,wennsieinallenModi totist:
Denition2.1 (Tote Transitionen) Eine Transition t 2 T heit tot bei der Markierungm, wenn fur alle
Markierungen m 0
2E(m)und fur alleModi 2IR
+
(t;)bei m 0
nicht aktiviertist.
Umzuprufen,obeineTransitiontotist,brauchenwireinentsprechendesVerfahren,dennmeistenskannman
einemPetri-Netznichtohneweiteresansehen,obeineseinerTransitionenirgendwanneinmal aktiviertwerden
kann,odernicht.InstetigenNetzen istdiesePrufungwesentlicheinfacheralsingewohnlichenNetzen:
Verfahren zur Bestimmungder nicht-toten Transitionen:
FurdieAktiviertheiteinerTransitiontmussenihreVorstellenlediglichnicht-leer(positivmarkiert)sein.(Dann
gibteseinenModus,in demtaktiviertist.)ManschaltealsoallebeimaktiviertenTransitionenineinemsehr
kleinenModus,sodaalleVorstellendieserTransitionenweiterhinpositivmarkiertbleiben.DurchdasSchalten
konnenbisher leereStellen einepositiveMarkierungerhalten und somitweitere Transitionenaktivieren. Nun
wiederholtmandasVerfahrenmitdiesenneuaktiviertenTransitionensooft,biskeinebisherleerenStellenmehr
markiertwerdenundsomitkeinebishernichtaktivierteTransitionenmehr aktiviertwerden.Die Transitionen
ausT,die dannimmernochnichtaktiviertsind,sindtotbeim,denn keinedernicht-totenTransitionenkann
zueinerMarkierungfuhren,beidersieaktiviertsind.
2.1 Gestalt der Erreichbarkeitsmenge
Im folgenden gehen wir davon aus, da alle Transitionen t 2 T bei der Startmarkierung m
0
nicht tot sind.
SollteeineTransitionbeiderStartmarkierungtotsein,sobetrachtenwirstattdessendasPetri-Netzohnediese
Transition.
WiesiehtdieErreichbarkeitsmengealsTeilmengedesIR L
ausundwelcheRollespielendie nicht-totenTransi-
1 N t
1
;1 t
1
;1
(Post
t
N
;1 Pre
t
N
;1
)aufspannen, bezeichnen wirmitC.
C := conef(Post
t1;1 Pre
t1;1
);:::;(Post
tN;1 Pre
tN;1 )g
= (
m2IR L
j9
1
;:::;
N 0:
N
X
i=1
i (Post
t
i
;1 Pre
t
i
;1 )=m
)
ImwesentlichenstimmtdieErreichbarkeitsmengeE(m
0
)mit folgenderkonvexerTeilmengedesIR L
uberein:
E(m
0 ):=(m
0
+C)\IR L
0 :
Mansiehtleicht, da alle m 2 E(m
0
) auch in der Menge E(m
0
) enthalten sind, denn alleMarkierungen des
Petri-NetzessindausdempositivenQuadrantenIR L
0
(esgibtkeinenegativenStellenmarkierungen)undesgibt
eineSchaltfolge!,diem
0 inm
uberfuhrt. DamithatmeineDarstellung
m=Æ(m
0
;!)=m
0 +
N
X
i=1 V(!)
i (Post
ti;1 Pre
ti;1 ) 2 (m
0
+C)\IR L
0
=E(m
0 ):
Die ErreichbarkeitsmengeE(m)ist also eineTeilmengeder Menge E(m).Aber sindalle Elemente von E(m)
aucherreichbareMarkierungen?
Satz 2.3 Dasrelative InnerevonE(m
0
)istenthalteninE(m
0
). Kurz:
relintE(m
0
)E(m
0 ):
DerBeweisdiesesSatzeskannwegenseinerLangehiernichterbrachtwerden,istjedoch in[6]nachzulesen.
Zusammenmit dervorausgehenden
Uberlegungistgezeigt,da
relintE(m
0
)E(m
0
)E(m
0 ):
Tatsachlich konnen sich die beiden Mengen also nur auf dem relativen Rand voneinanderunterscheiden. Die
Frageistalso: WelchePunktevonrel@E(m
0
)sinderreichbarundwelchenicht?
FurdenAlgorithmus,derunsdieseFragenbeantwortet,brauchenwirdenBegrideszuP dualenNetzesP dual
.
Das dualeNetz P dual
erhalten wir aus dem Netz P, indem wir samtlicheKantenrichtungendes zugehorigen
Petri-Netz-Graphenumkehren.(Pre dual
t;
=Post
t;
undPost dual
t;
=Pre
t;
.)AlleabgeleitetenGroenwieÆ dual
,
S dual
(m),E dual
(m),E dual
(m)etc. denierenwirwieimnicht-dualenNetz. Mansiehtdannleicht:
E dual
(m)=(m C)\IR L
0 :
2.2 Ein Algorithmus zur Erreichbarkeitsprufung
DerimfolgendenprasentierteAlgorithmusentscheidet,obeinebeliebigeMarkierungminE(m
0
)enthaltenist.
DasVerfahrenberuhtdarauf, dafolgendeBedingungenerfulltsind, wenn eineMarkierung mvonderStart-
markierungm
0
ausdurchdie Schaltfolge!:=(
1
;
1 )(
n
;
n
)erreichbarist:
1. AlleTransitionen,die in! vorkommen,sindnichttotbeim
0
imNetz P.(Dies giltauch, wenn manalle
Transitionen,diein !nichtvorkommen,ausT herausnimmt.)
2. Alle Transitionen,die in ! vorkommen,sind nichttot bei m imNetz P dual
. (Diesgilt auch, wenn man
alleTransitionen,diein ! nichtvorkommen,ausT herausnimmt.)
3. DerVielfachheitenvektorV(!)lostdie Gleichung C
1
x=m m
0
undfur alleTransitionent
i
,die in !
vorkommen,gibtespositiveKomponentenV(!)
i vonV.
0
beliebigeMarkierungmdesNetzes.IstmausE(m
0 )?
BetrachtenwirdiestetigenPetri-Netze P
n
,n2IN
0
[fendg:
P
n
:=(S;T
n
;G;Pre n
;Post n
;M)
wobei
T
0
:= T
Pre n
: Prej
TnM
Post n
: Postj
T
n M
(C n
1 )
(i;j)
:= (Post n
t 0
j
;1 (s
i ) Pre
n
t 0
j
;1 (s
i
)); mit T
n
=ft 0
1
;:::;t 0
k g
DieWerte,dieT
n
furn6=0annimmt,ergebensichgemademuntenstehendenAlgorithmus.Alleabgeleiteten
BegrieerhaltenentsprechendderTransitionenmengeihresNetzesden Indexnbzw.end:
Erreichbarkeitstest
1. START|Iterationsbeginn
n:=0
2. StreicheTransitionen,diebeim
0
tot sind.
fur allet2T
n :
wenn ttotistbeim
0
imNetzP
n
: Verfahren Seite2
T
n+1 :=T
n
nftg streichet
n:=n+1 erhohe n
gehezu2.
3. StreicheTransitionen,diebeimdual-totsind.
fur allet2T
n :
wenn ttotistbeimimNetzP dual
n
: Verfahren Seite2
T
n+1 :=T
n
nftg streichet
n:=n+1 erhohe n
gehezu2.
4. StreicheTransitionen,dienichtimTragereinerpositivenLosungsind.
fur allet2T
n :
wenn keinepos.Losungxmit x
t
>0des
GleichungssystemsC n
1
x=m m
0
existiert: Max.Prob.S. 5
T
n+1 :=T
n
nftg streichet
n:=n+1 erhohe n
gehezu2.
5. ENDE|WennT
end
6=;,dannkonnendie
ubriggebliebenenTransitionenm
0 inm
uberfuhren.
T
end :=T
n
Bemerkungen(ohneBeweis):
Furallet2T
end gilt:
tistnichttotbeim
0 inP
end ,
tistnichttotbeimin P dual
end ,
EsexistierteinepositiveLosungxvonC n
1
x=m m
0 mitx
t
>0.
Maximierex
j
(j-teTransition) unterdenNebenbedingungen
x0; C
n
1
x=m m
0 :
WirerhaltendreimoglicheFalle:
1. EsgibteineLosungx
j
>0,dannsindwirfertig.
2. DieLosungistx
j
=0,danngibteskeineLosungxmit x
j
>0.
3. EsgibtkeineLosung.
Hat dasMaximierungsproblem keine Losung,so mussen wir prufen, obdie zulassige MengeZ
max
leer ist. In
diesemFallgibt eskeineLosungx mit x
j
>0.Ist die zulassigeMenge jedoch nichtleer, so kann x
j
beliebig
growerdenundesexistierteineLosungxmit x
j
>0.
WelcherdieserbeidenFalleeingetretenist,konnenwirmitHilfeeineslinearenMinimierungsproblemsentschei-
den(naheresdazuin Skript[4]).
DerAlgorithmus mualsoschlimmstenfalls N 2
+N lineareOptimierungsproblemelosen (diemit kleinerwer-
dender Transitionenmenge T
n
in Ihrer Komplexitat abnehmen), um zu einem Ergebnis zu kommen. (2N im
erstenDurchgang,dann2(N 1) usw.)
UnterAnwendungdiesesAlgorithmuskonnenwirdenfolgendenSatzbeweisen:
Satz 2.4 Das Erreichbarkeitsproblem furstetige Petri-Netze ist entscheidbar.
Fur denBeweiswerdenwirnachstehendenHilfssatzbenotigen(Beweisin [6]):
Lemma2.5(Kegelinneres) Sei C dervon den Vektoren v
1
;:::;v
k
aufgespannte Kegel im IR n
.Dann istm
genaudannausdemrelativen InnerenvonC,wennesKoeÆzienten
1
;:::;
k mit
i
>0,i=1;:::;k gibt,so
da
m= k
X
i=1
i v
i :
BeweisdesSatzes2.4:
SeienP,m
0
undmgegeben.Istm2E(m
0 )?
Wirwendenden obigenAlgorithmusan:
Behauptung: IstT
end
=;, so ist m62E(m
0
), sonstist m2E(m
0 ).
Beweisskizze:
0.DerAlgorithmushaltimmer:
Fur T
n
=;istT
end
=;undderAlgorithmushalt.
Esgilt:T
0
istendlich undT
n+1
isteineechteTeilmengevonT
n .
AlsohaltderAlgorithmusimmernachendlichvielenSchritten.
Esistzuzeigen:m2E(m
0
) () T
end 6=;
1."=)"
Seim2E(m
0
),m6=m
0
Dann existiert eine Schaltfolge !, die m
0 in m
uberfuhrt. Alle Transitionen, die in ! vorkommen,
sindnicht tot bei m
0
, nichttot bei m im dualen Netz und der VielfachheitenvektorV(!) lost die
GleichungC
1
x=m m
0
.AlsosindalledieseTransitionenin allenT
n
(inklusiveT
end
)enthalten.
SeiT
end
=ft 0
1
;:::;t 0
k gT.
Zuzeigenist:EsexistierteineSchaltfolge!2S(m
0
)mitÆ(m
0
;!)=m.
Durch denAlgorithmus istgewahrleistet,daesein2IR k
gibt,
i
>0;i=1;:::;k,soda
m=m
0 +C
end
1
und m
0
=m C
end
1 :
DaalleKoeÆzienten
i
positivsind,folgtnachLemma2.5:
m2relint(m
0 +C
end
) und m
0
2relint(m C
end ):
Dam
0
imrelativenInnerenvonm C
end
liegt,gibteseinerelativeUmgebungvonm
0
,diekomplett
inm C
end
liegt.DajedeUmgebungvonm
0
dasrelativeInnerevonE
end (m
0
)trit,gibteseinm 0
0 ,
dasimSchnitt dieserbeidenMengenliegt.DaE
end (m
0
)impositivenQuadrantenliegt, ergibtsich:
m 0
0
2relintE
end (m
0 )\E
dual
end (m):
Genausondet manein
m 0
2relintE dual
end
(m)\E
end (m
0 ):
DaE
end (m
0
)undE dual
end
(m)konvexsindfolgt:
relintm 0
0 m
0
relintE
end (m
0
)\relintE dual
end (m):
Die Punkte aus dem relativen Inneren der Verbindungsstrecke von m 0
0
und m sind nach Satz 2.3
sowohlin E(m
0
)alsauchin E dual
(m).Ist dieMengeder relativinneren Punkteleer,so mu m 0
0
=
m 0
sein.
Aufjeden FallgibtesMarkierungen,dievonm
0
auserreichtwerdenkonnenundgleichzeitigin der
ErreichbarkeitsmengevonmimdualenNetzliegen.Dasheit,esgibtSchaltfolgen!
1 und!
2 ,soda
Æ(m
0
;!
1 )=Æ
dual
(m;!
2 ):
DiedarauszusammengesetzteSchaltfolge! uberf uhrtm
0 in m:
!:=!
1 (!
2 )
dual
Æ(m
0
;!)=m:
2
Bemerkung:
Dawirentscheidenkonnen,obeinegegebeneMarkierungvoneinerStartmarkierungauser-
reichtwerdenkann,istesnichtmoglich,miteinemstetigenPetri-NetzeineTuring-Maschine
zu konstruieren, denn dannkonntenwir das Halteproblemfurdiese Maschine entscheiden.
Literatur
[1] BrunoBrosowski, Petri-NetzeI+II,Vorlesungsskripten,Johann-Wolfgang-Goethe-Universitat,FrankfurtamMain
(D),1998/99
[2] Bruno Brosowski, Theorie abelscher Petri-Netze, Vorlesungsausarbeitung, Johann-Wolfgang-Goethe-Universitat,
FrankfurtamMain(D),1999
[3] BrunoBrosowski,AGroup-theoreticalApproachtoPetriNets,Ausarbeitung,Johann-Wolfgang-Goethe-Universitat,
FrankfurtamMain(D),1999
[4] BrunoBrosowski,LineareOptimierung,Vorlesungsskript,Johann-Wolfgang-Goethe-Universitat,FrankfurtamMain
(D),1991
[5] PetraTix,EinallgemeinesPetri-Netz,DiplomarbeitimFachbereichMathematikanderJohann-Wolfgang-Goethe-
Universitat,Frankfurt/Main(D),April1992
[6] Nicolas Schiller, Stetige Petri-Netze, Diplomarbeit im Fachbereich Mathematik, Johann-Wolfgang-Goethe-
Universitat,FrankfurtamMain(D),1999
[7] ReneDavid,HassaneAlla,ContinuousPetriNets,Proceedingsofthe8thEuropeanWorkshoponApplicationand
TheoryofPetriNets,Zaragoza (E),June1987,pp.275-294
[8] ReneDavid,HassaneAlla,AutonomousandTimed ContinuousPetriNets,Proceedings ofthe11thInternational
ConferenceonApplicationandTheoryofPetriNets,Paris(F),June1990,pp.367-386
[9] ReneDavid,HassaneAlla,Petri-Nets&Grafcet: Toolsfor ModellingDiscreteEvent Systems,Prentice HallInt.,
London(GB),1992
[10] HassaneAlla,ReneDavid,ContinuousandHybridPetriNets,JournalofCircuits,SystemsandComputers,Vol.8,
No.1,April1998
