2 Traversée d’une rivière

DM 9 diarrhéique ; traversée d’une rivière

Corrigé

1 Titrage des ions chlorure présents dans un anti-diarrhéique

(d’après baccalauréat 2005)

1.1 L’argent et le chlorure précipite en chlorure d’argent selon la réaction de précipitation Ag⁺_(aq)+Cl−_(aq)=AgCl_(s) de constante d’équilibreK=6, 4 · 10⁹ 1.2 Par définition du quotient de la réaction de précipitation

Qr= C^◦2 [Ag⁺][Cl⁻]

1.3 À l’état initial, les solutions ont été dilué d’un facteur 2 par le mélange. Donc [Ag⁺]i=C

2 et [Cl⁻]i=C₁ 2 D’où

Qr,i=4C^◦2

CC1 =1, 88 · 10³ 1.4 On constante queQr,i<K. La réaction a lieu dans lesens direct.

1.5 La constanteK est très grande devant 1, la réaction estquantitative. Le réactif limitant est l’argent I (ici, coefficients stoechiométriques de 1 etC<C1). Donc l’avancement volumique final vaut environ^C₂.

Ag⁺_(aq) + Cl⁻_(aq) = AgCl_(s)

État initial ^C₂V₁ ^C₂¹V₁ 0

État d’équilibre

¡_C

2−xf¢ V1

³_C

1

2 −xf

´

V1 xfV1

=ε ≈^C1₂^−CV₁ ≈^C₂V₁

Déterminons la concentration résiduelle de chlorure

Qr,f =K ⇔ 2C^◦2 ε(C1−C)=K

⇔ ε= 2C^◦2 (C1−C)K A.N. ε=4, 2 · 10⁻⁷mol.L⁻¹

On a formé une quantitén_AgCl=CV₁de précipité de chlorure d’argent. À l’état final [Cl−]=7, 5 · 10⁻³mol.L⁻¹

[Ag⁺]=4, 2 · 10⁻⁷mol.L⁻¹ n_AgCl=8, 5 · 10⁻⁵mol

On se propose de vérifier la masse d’ions chlorure dans un sachet. Pour cela on décide de réaliser un titrage par conductimétrie. On dissout un sachet d’Adiaril® dansV =200 mL d’eau. On prélèveV2=20, 0 mL de cette solution (S) que l’on place dans un bécher et on ajoute 200 mL d’eau distillée. On plonge dans le milieu une cellule de conductimétrie et on mesure la conductivité du mélange après chaque ajout de solution de nitrate d’argent de concentrationC=4, 25 · 10⁻²mol.L⁻¹. On obtient le graphe donné en fin d’exercice.

1.5 A propos du protocole :

1.5.1 L’énoncé donne trois chiffres significatif pour le volumeV₁. Inutile de descendre au 1/10 de mL, car on sera limité par la précision à trois chiffre du volumeV2. On se contentera donc d’une éprouvette de 200 mL pour prélevé le volumeV1d’eau.

1.5.2 Pour descendre au 1/10 mL, on utilisera une pipette jaugée de 20, 0 mL.

1.6 Dressons le tableau d’avancement de cette réaction

Ag⁺_(aq) + Cl⁻_(aq) = AgCl_(s) État initial

n_Ag⁺=CV n₂=[Cl⁻]V₂ 0 fictif

Avant l’équivalence 0 n₂−CV CV

À l’équivalence 0 0 n₂=CV_eq

Après l’équivalence CV−n₂ 0 n₂=CV_eq

Avant l’équivalence, d’après la loi de Kohlrausch σ1= σC

|{z}

B

+λCl⁻[Cl⁻]+λNO⁻₃[NO⁻₃]

| {z }

D₁

ou σC=λNa⁺[Na⁺]+λK⁺[K⁺]+λci⁻[ci⁻]+λglu⁻[glu⁻] constant

Or la quantité de chlorure diminue avec l’avancement, alors que celle du nitrate, spectateur mais ajouté, augmente.D₁peut alors s’écrire

D₁=λCl⁻[Cl⁻]+λNO⁻₃[NO⁻₃]=λCl⁻

n_Cl⁻_,0−CV

V2+V +λNO⁻₃

CV

V2+V = CV

V2+V(λNO⁻₃ −λCl⁻

| {z }

.0

)+λCl⁻

n_Cl⁻_,0−CV V2+V

La différence de conductivité ionique molaire entre le nitrate et le chlorure étant légèrement négative, la conductivité diminue légèrement avant l’équivalence.

1.7 Après l’équivalence : Avant l’équivalence, d’après la loi de Kohlrausch σ1= σC

|{z}

B

+λAg⁺[Ag⁺]+λNO⁻₃[NO⁻₃]

| {z }

D₂

ou σC=λNa⁺[Na⁺]+λK⁺[K⁺]+λci⁻[ci⁻]+λglu⁻[glu⁻] constant

Or les quantités d’argent et de nitrate augmente avec le volume ajouté.D2peut alors s’écrire

D1=λAg⁺[Ag⁺]+λNO⁻₃[NO⁻₃]=λCl⁻

nCV−Cl⁻,0

V₂+V +λNO⁻₃

CV

V₂+V = CV

V₂+V(λNO⁻₃ +λAg⁺

| {z }

≥0

)+λCl⁻

n_Cl⁻_,0−CV V₂+V

La conductivité augmente, car la sommeλNO⁻₃+λAg⁺est positive.

1.8 Exploitation :

1.8.1 À l’intersection des deux droites, on lit le volume à l’équivalenceVeq=13, 5 mL.

À l’équivalence, les réactifs sont introduits dans les proportions stoechiométriques

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nCl⁻,0=nAg⁺=CVeq

Par définition de la concentration de la solution prélevée, donc de (S) [C l⁻]=n_Cl⁻_,0

V₂ =CVeq

V₂ Par définition de la quantité de matière présente dans (S)

n1=[C l⁻]V1=CVeqV1

V₂ Par définition de la masse introduite

m=n1MCl=CVeqV1LCl

V2 =0, 204 g

Il y ae=^m_m^etiquette_etiquette^−m =2, 8% moins de chlorure dans la boite qu’indiqué sur l’étiquette. Pour un médica- ment, c’est beaucoup tout de même (quand on compare à la """précision""" de 10⁻⁴⁰⁰de l’homéopathie ,^).

2 Traversée d’une rivière

~ u_r

~ u_θ

θ<0 2.1 D’après la loi de composition des vitesses

~

v(M)rive=~v+Ve~ux= −(v+Vecosθ)~ur−Vesinθ~u_θ

# les projections se feront sur un dessin avec θ >0 pour éviter les erreurs de signes

O y

x

~ ur

~ u_θ

θ<0 V~e

~ v

2.2 On rappelle, qu’en coordonnées polaires, la vitesse s’écrit

~v(M)rive=r˙~ur+rθ˙~u_θ.

En projetant sur les deux axes, on obtient un système d’équations différentielles couplées :





 d r

d t = −v+Vecosθ dθ

d t = −^Vesinθ_r On remarque que

d r d t =d r

dθ×dθ

d t = −Vesinθ r ×d r

dθ donc

−Vesinθ r ×d r

dθ= −v+Vecosθ soit, en séparant les variables

−dr

r =−α+cosθ

sinθ dθ avec α= v Ve

En intègre entreθ= −^π₂ etθquelconque.

wr(θ) D −dr

r =w_θ

−^pi₂

−α+cosθ

sinθ dθ ⇔ −[lnr]^r(_D^θ)=

· αln

¯

¯

¯

¯

1+cosθ sinθ

¯

¯

¯

¯

¸_θ

−^π₂

+[ln|sinθ|]^θ₋π 2

⇔ ln µD

r

¶

=αln

µ1+cosθ

−sinθ

¶

+ln (−sinθ)

⇔ r= D

(1+cosθ)^α(−sinθ)^1−α

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2.3 Commençons par faire un développement limité à l’ordre 1 autour de 0

r = D

(1+cosθ)^α(−sinθ)^1−α

≈ D

−2^αθ^α−1

• Casα<1

θ→0limr= +∞

Le bateau, entraîné par le courant, n’atteint jamaisOni la rive opposée.

• Casα=1

θ→0limr=D 2 Le bateau atteint la rive opposée en^D₂.

• Casα>1

θ→0limr=0 Le bateau, plus rapide que le courant, atteint le pointO.