Colles
semaine 13 : 06 décembre - 11 décembre
I. Questions de cours
Exercice 1
Stabilité de lois usuelles. Énoncé et démonstration (pour la loi de Poisson).
Exercice 2
a) Formule de Cauchy-Schwarz. Énoncé.
b) Système complet d’événements associé à un couple de v.a.r. discrètes. Énoncé et démonstration.
Exercice 3
Stabilité par somme des lois usuelles. Énoncé (pour les lois binomiales et de Poisson) et démonstration (seulement pour les lois de Poisson).
Exercice 4
Loi du min/ loi du max de deux v.a.r. (discrètes) indépendantes. Énoncé et démonstration.
II. Autres exercices
Exercice 5
SoientN etX deux variables aléatoires discrètes définies sur le même universΩ, telles queN(Ω)⊂N, et pour tout k∈N(Ω), la loi conditionnelle de X sachant [N =k]est la loi uniforme sur{0,1, ..., k}.
On note, pourk∈N ,pk=P([N =k]).
1) a. Déterminer la loi du couple(X, N)en fonction de la loi de N.
b. Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les pk, la probabilité P([X=i]), pour i∈N.
c. Montrer que(N −X)(Ω)⊂Net que N−X suit la même loi queX.
2) On suppose dans cette question qu’il existen>2 tel que :
× ∀k>n+ 1, pk= 0,
× ∀k6n, pk >0.
a. Justifier l’existence des variances deN et de X et de la covariance deN etX.
b. Trouver une relation entreE(N) etE(X), puis entreV(N) etCov(N, X).
c. CalculerCov(N, N−2X). Les variables N etN −2X sont-elles indépendantes ? 3) On suppose dans cette question quep0=p1= 0 et :∀k>2, pk= 1
.
Exercice 6
Soit n un entier naturel tel que n >2. On dispose d’un paquet de n cartesC1, C2,. . .,Cn que l’on distribue intégralement, les unes après les autres entre n joueurs J1, J2, . . ., Jn selon le protocole suivant :
× la première carteC1 est donnée à J1;
× la deuxième carteC2 est donnée de façon équiprobable entre J1 etJ2;
× la troisième carteC3 est donnée de façon équiprobable entre J1,J2 etJ3;
× et ainsi de suite, jusqu’à la dernière carteCn qui est donc distribuée de façon équiprobable entre les joueursJ1,. . .,Jn.
On suppose l’expérience modélisée sur un espace probabilisé (Ω,A,P).
On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de joueurs qui n’ont reçu aucune carte à la fin de la distribution.
1. Déterminer Xn(Ω)et calculer P([Xn= 0]) etP([Xn=n−1]).
2. Pour tout i de J1, nK, on note Bi la v.a.r. qui vaut 1 si Ji n’a reçu aucune carte à la fin de la distribution et vaut 0sinon.
Déterminer la loi de Bi. Exprimer la v.a.r. Xn en fonction des v.a.r. Bi et en déduire l’espérance de Xn.
3. En faisant le moins de calculs possibles, donner la loi de X4. 4. a) Montrer que pourietj dansJ1, nKtels quei < j, on a :
P([Bi = 1]∩[Bj = 1]) = (i−1)(j−2) n(n−1) En déduire la covariance des v.a.r.Bj etBj.
b) Montrer que :V(Xn) = n+ 1 12 . Exercice 7
On considère une urne contenant n+ 1boules numérotées de0 à n.
On y effectue une suite de tirages d’une boule à la fois avec remise.
On définit la suite de variables aléatoires(Xk)k∈N∗ de la manière suivante :
× X1 est la variable aléatoire certaine égale à1;
× pourp>2,Xp prend la valeur1si le numéro obtenu aupèmetirage n’a pas déjà été obtenu au cours des tirages précédents etXp prend la valeur 0 dans le cas contraire.
1) Déterminer la loi deX2.
2) Montrer que Xp suit la loi de Bernoulli de paramètre n n+ 1
p−1
. 3) a. Montrer que :
∀i < j, P([Xi= 1]∩[Xj = 1]) = (n−1)i−1nj−i (n+ 1)j−1 b. En déduire la loi du produitXiXj.
4) Soit N > 2. On note ZN la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des N premiers tirages. ExprimerZN en fonction deXk et en déduire son espérance.
Exercice 8
Soit n > 1 un entier naturel. Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur (Ω,A, P) telles queX(Ω) =J1, n+ 1KetY(Ω) =J1, n+ 1K.
Pour tout (i, j)∈J1, n+ 1K
2, on pose :
ai,j =P [X =j]∩[Y =i]
et bi,j =P[X=j] [Y =i]
1) On suppose qu’il existe un réel λtel que :
∀(i, j)∈J1, n+ 1K
2, ai,j =λ n
i−1 n
j−1
a. Calculer la valeur deλ.
b. Déterminer les lois marginales deX et de Y.
c. Montrer que les variablesX etY sont indépendantes.
d. SoitZ =X−1. Reconnaître dans la loi deZ une loi usuelle.
En déduire l’espérance et la variance deX.
2) On suppose à présent que :
∀(i, j)∈J1, n+ 1K
2, ai,j =
α si |i+j−n−2|= 1 0 sinon
a. Déterminerα.
b. Déterminer les lois marginales deX et de Y. Les variablesX etY sont-elles indépendantes ? Exercice 9
Un sac contientnjetons numérotés de1 àn. On tire successivement et sans remise2jetons de ce sac.
On noteX le numéro du premier jeton tiré, etY le numéro du second jeton tiré.
a. Déterminer la loi du couple (X, Y).
b. Les variables X etY sont elles indépendantes ? c. Déterminer la covariance de X etY.
d. On note Z =|X−Y|.
Déterminer la loi de Z, puis calculer l’espérance deZ.
Exercice 10
Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher. La proportion de boules vertes est p(avec0< p <1) ; la proportion de boules blanches est1−p.
On effectue une suite de tirages successifs d’une boule avec remise.
On définit le couple de v.a.r.(X, Y) à valeurs dans(N∗)2 par :
∀(i, j)∈(N∗)2, [X=i]∩[Y =j] :
« lesipremières boules tirées sont blanches, les j suivantes sont vertes et la (i+j+ 1)ème est blanche
ou les ipremières boules tirées sont vertes, lesj suivantes sont blanches et la (i+j+ 1)ème est verte »
1. a) Déterminer la loi de la v.a.r.X.
b) Montrer que la v.a.r.X admet une espérance et la calculer.
2. Déterminer la loi du couple (X, Y) 3. En déduire la loi de la v.a.r. Y.
4. a) Établir que sip6= 12, les v.a.r.X etY ne sont pas indépendantes.
b) Démontrer que sip= 12, les v.a.r.X etY sont indépendantes.
Exercice 11
Toutes les v.a.r. considérées dans cet exercice sont définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P).
Soientλetp deux réels tels que λ >0 et0< p <1.
On considère le couple de variables aléatoires(X, Y) à valeurs dansN2, de loi définie par :
∀ (k, n)∈N2, P([X=n]∩[Y =k]) =
e−λλnpk(1−p)n−k
k! (n−k)! si06k6n
0 sinon
1. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi de probabilité sur N2.
2. Déterminer la loi marginale de la variable aléatoire X, puis celle de la variable aléatoire Y. Les variables aléatoires X etY sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi conditionnelle de la variable aléatoireY, sachant que[X =n]est réalisé.
4. Soit Z la variable aléatoire définie parZ =X−Y. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z.
5. Les variables aléatoiresY etZ sont-elles indépendantes ? Exercice 12
SoientX etY deux variables de Bernoulli de même paramètrep (0< p <1) et indépendantes.
a. On considère les variables aléatoires S=X+Y etD=X−Y. Déterminer la loi du couple (S, D).
b. Déterminer les lois marginales du couple (S, D).
c. Calculer les espérancesE(S)etE(D).
d. Les variables S etDsont-elles indépendantes ? e. Calculer la covariance de S etD.
Exercice 13
On considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire et on procède à l’expérience suivante : on effectue des tirages successifs d’une boule de cette urne et à chaque pas du tirage on replace dans l’urne la boule tirée en ajoutant une boule supplémentaire de la même couleur que la boule obtenue. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours desn premiers tirages.
a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par Xn? b. Déterminer la loi de X1, de X2.
c. Soit n∈N∗. Déterminer, pour toutk∈Xn(Ω), la loi deXn+1 conditionnelle à[Xn=k].
d. Démontrer, en raisonnant par récurrence, que Xn suit la loi uniforme sur J0, nK. Exercice 14
Une urne contientn boules numérotées de1 àn.
On effectue deux tirages d’une boule avec remise.
On noteX (respectivementY) le plus grand (respectivement le plus petit) des numéros tirés.
a. Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y).
b. Déterminer les lois mariginales deX etY. c. Calculer E(X) etE(Y).
d. Calculer la covariance de X etY.
Les variables X etY sont-elles indépendantes ? e. Calculer la variance de X+Y.
Exercice 15
Une urne contientn boules noires (avecn∈N∗) et deux boules blanches. On effectue dans cette urne des tirages successifs d’une boule, sans remise. On note :
× X la v.a.r. égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche.
× Y la v.a.r. égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la seconde boule blanche.
× Pour tout i ∈ J1, n+ 2K, Ni (resp. Bi) l’événement « le ième tirage amène une boule noire (resp.
blanche) ».
1. a) PréciserX(Ω). Décrire, pour tout k∈X(Ω), l’événement[X=k]à l’aide des événementsNi et Bi.
b) Montrer que pour toutk∈X(Ω),P([X=k]) = 2(n+ 2−k) (n+ 1)(n+ 2). c) CalculerE(X).
2. a) DéterminerY(Ω).
b) Déterminer la loi jointe du couple(X, Y).
c) En déduire la loi deY. d) CalculerE(Y).
3. Calculer Cov(X, Y). Commenter son signe.
Exercice 16
Soient (Tn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètrep∈]0,1[.
Pour tout n∈N∗, on poseSn=T1+T2+. . .+Tn. a. Déterminer Sn(Ω).
b. Déterminer la loi de la variable aléatoire S2.
c. Montrer par récurrence sur n, que pour tout n∈N∗, la loi deSn est donnée par :
∀k>n, P [Sn=k]
=
k−1 n−1
pn(1−p)k−n
d. Montrer que, pour tout n ∈ N∗, la série P
k−1 n−1
k (1−p)k est convergente et a pour somme
+∞
P
k=n
k−1 n−1
k (1−p)k= n(1−p)n pn+1
Exercice 17
Toutes les v.a.r. de cet exercice sont définies sur un même espace probabilisé(Ω,A,P).
1. Soit Z une variable aléatoire à valeurs dansN.
Montrer que la variable aléatoire 2−Z admet une espérance. On la noter(Z).
On suppose dans la suite de l’exercice que pour toutn∈N: P [Z =n]
= 1
2 n+1
2. a) Montrer que l’on définit ainsi une loi de probabilité et calculerr(Z).
b) Montrer que pour tout(n, q)∈N2,
n
P
k=0
k+q q
=
n+q+ 1 q+ 1
.
c) Soit (Xi)i∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que Z et pour tout entierq >1, on poseSq =
q
P
i=1
Xi. Montrer que la loi deSq est définie par :
∀n∈N, P [Sq =n]
=
n+q−1 q−1
1 2
n+q
d) Calculerr(Sq). En déduire :
+∞
P
n=0
n+q−1 q−1
1 4
n
= 4
3 q
3. On suppose dans cette question queZreprésente le nombre de lionceaux devant naître en 2014 d’un couple de lions. Chaque lionceau a la probabilité 1/2 d’être mâle ou femelle, indépendamment des autres. On note F la variable aléatoire représentant le nombre de femelles devant naître en 2014.
Déterminer la loi deF.
Exercice 18
On considère trois boîtes et une infinité de jetons. On place successivement chacun des jetons, au hasard, dans l’une des trois boîtes.
On suppose que chaque boîte est vide au départ et a une capacité illimitée. On suppose également que la probabilité pour qu’un jeton soit placé dans une boîte donnée est 13.
SoitY le nombre aléatoire de jetons placés lorsque, pour la première fois, deux boîtes exactement sont occupées par au moins un jeton.
SoitZle nombre de jetons placés lorsque, pour la première fois, les trois boîtes sont occupées, chacune, par au moins un jeton.
1. Déterminer P [Y =k]
, pour toutk∈N∗. 2. Déterminer l’espérance de Y.
3. Déterminer, pour tout (k, `)∈N\ {0; 1} ×N\ {0; 1}la probabilité conditionnelleP[Y=k] [Z=`]
. 4. Donner la loi de la variable aléatoireZ.
5. Écrire en langage Scilabun programme qui simule cette expérience, et qui affiche la valeur de la variableY.
Exercice 19
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher.
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d’être tirée, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. On répète cette épreuvenfois (oùnest un entier plus grand que2). On réalise ainsi une succession de ntirages.
On noteX la v.a.r. réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des ntirages et Y la v.a.r. réelle définie par :
× Y prend la valeur ksi l’on obtient une boule blanche pour la première fois au kème tirage,
× Y prend la valeur 0si lesnboules tirées sont noires.
a. Déterminer la loi de X. Donner la valeur de E(X) et de V(X).
b. Pour k∈J1, nK, déterminer la probabilitéP [Y =k]
, puis déterminerP [Y = 0]
. c. Vérifier :
n
P
k=0
P [Y =k]
= 1.
d. Calculer E(Y).
Oraux HEC
Exercice avec préparation 1
1. Question de cours : Définition de l’indépendance de deux variables aléatoires discrètes.
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On jette n fois de suite un dé pipé dont les 6 faces ne comportent que les nombres 1, 2 et 3, et on suppose que les résultats des lancers sont indépendants.
À chaque lancer, la probabilité d’obtenir 1 est p, celle d’obtenir 2 est q, et celle d’obtenir 3 est 1−p−q, oùp etq sont deux paramètres réels strictement positifs vérifiantp+q <1.
SoitX(resp.Y) la variable aléatoire égale au nombre de 1 (resp. 2) obtenus ennlancers consécutifs.
a) Quelles sont les lois respectives deX etY ? b) Déterminer la loi du couple(X, Y).
c) Les variables aléatoiresX etY sont-elles indépendantes ?
d) Déterminer le biais et le risque quadratique de l’estimateurTn= X
n+ 1 du paramètrep.
3. On suppose dans cette question que le nombre de lancers effectués avec ce dé est une variable aléa- toireN suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0.
SoitX(resp.Y) la variable aléatoire égale au nombre de 1 (resp. 2) obtenus enN lancers consécutifs.
a) Déterminer les lois deX etY respectivement.
b) Vérifier queX etY sont indépendantes.
c) T = X
N + 1 est-il un estimateur sans biais du paramètre p? Exercice avec préparation 2
1. Question de cours : Définition de l’indépendance de deux variables aléatoires discrètes. Lien entre indépendance et covariance.
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes finies à valeurs dans N, définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P). On suppose que X(Ω) ⊂ J0, nK et Y(Ω) ⊂ J0, mK, où n et m sont deux entiers de N∗.
Pour tout couple (i, j)∈J0, nK×J0, mK, on pose :pi,j =P([X =i]∩[Y =j]).
Soit FX etFY les deux fonctions de RdansRdéfinies par : FX(x) =
n
P
i=0
P([X =i])xi et FY(x) =
m
P
j=0
P([Y =j])xj.
Soit Z = (X, Y)etGZ la fonction de R2 dansRdéfinie par : GZ(x, y) =
n
P
i=0 m
P
j=0
pi,jxiyj.
2. Donner la valeur de GZ(1,1) et exprimer les espérances de X, Y et XY, puis la covariance de (X, Y) à l’aide des dérivées partielles premières et secondes deGZ au point(1,1).
3. Soit f une fonction polynomiale de deux variables définies sur R2 par : f(x, y) =
n
P
i=0 m
P
j=0
ai,jxiyj avec ai,j ∈R.
On suppose que pour tout couple (x, y)∈R2, on af(x, y) = 0.
a) Montrer que pour tout(i, j)∈J0, nK×J0, mK, on aai,j = 0.
b) En déduire queX etY sont indépendantes, si et seulement si, pour tout (x, y)∈R2, GZ(x, y) =FX(x)FY(y). (on pourra poser : ai,j =pi,j−P([X =i])P([Y =j])).
4. Une urne contient des jetons portant chacun une des lettres A,B ou C. La proportion des jetons portant la lettreAestp, celle des jetons portant la lettreB estq et celle des jetons portant la lettre C estr, oùp,q etr sont trois réels strictement positifs vérifiant p+q+r= 1.
Soit n∈N∗. On effectue n tirages d’un jeton avec remise dans cette urne. On noteX (resp.Y) la variable aléatoire égale au nombre de jetons tirés portant la lettre A (resp. B) à l’issue de ces n tirages.
a) Quelles sont les lois deX etY respectivement ? DéterminerFX etFY. b) Déterminer la loi deZ. En déduireGZ.
c) Les variables aléatoiresX etY sont-elles indépendantes ?
d) Calculer la covariance de(X, Y). Le signe de cette covariance était-il prévisible ? Exercice avec préparation 3
1. Question de cours :
Loi d’un couple de variables aléatoires discrètes. Lois marginales. Lois conditionnelles.
Soitc un réel strictement positif et soitX etY deux variables aléatoires à valeurs dansNdéfinies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), telles que :
∀(i, j)∈N2, P([X =i]∩[Y =j]) =ci+j i!j!
2. a) Montrer que pour touti∈N, on a :P([X =i]) =c(i+ 1) i! e.
En déduire la valeur dec.
b) Montrer queX admet une espérance et une variance et les calculer.
c) Les variables aléatoiresX etY sont-elles indépendantes ? 3. a) Déterminer la loi deX+Y −1.
b) En déduire la variance deX+Y.
c) Calculer la covariance deX et de X+ 5Y.
Les variables aléatoiresX etX+ 5Y sont-elles indépendantes ? 4. On pose : Z = 1
X+ 1.
a) Montrer queZ admet une espérance et la calculer.
b) Déterminer pouri∈N, la loi conditionnelle deY sachant [X =i].
c) PourA∈A, on pose :gA(Y) =
+∞
P
k=0
kPA([Y =k]).
Établir l’existence d’une fonction affinef telle que, pour tout ω∈Ω, on a : g (Y) =f(Z(ω))
Exercice avec préparation 4 1. Question de cours
a) Définition et propriétés de la loi géométrique.
b) Compléter la ligne de codeScilabcontenant des points d’interrogation pour que la fonctiongeo suivante fournisse une simulation de la loi géométrique dont le paramètre est égal à l’argument pde la fonction.
1 function x = geo(p)
2 x = 1;
3 while rand() ???
4 x = x + 1;
5 end;
6 endfunction
Une urne contient trois jetons numérotés 1, 2 et 3. On effectue dans cette urne, une suite de tirages d’un jeton avec remise.
2. On noteY la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux numéros successifs distincts.
a) Reconnaître la loi de la variable aléatoireY −1.
b) Déterminer l’espéranceE(Y) et la variance V(Y) de la variable aléatoire Y.
3. On noteZ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir, pour la première fois, les trois numéros.
a) Soit deux entiersk>2 et`>3.
CalculerP([Y =k]∩[Z =`])selon les valeurs de k et`.
b) En déduire que, pour tout entier`>3, on a :P([Z =`]) = 2 3
2`−2−1 3`−2
. c) CalculerE(Z).
4. D’une manière plus générale, calculer l’espérance de la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir, pour la première fois, tous les numéros, dans l’hypothèse où l’urne contient au départn jetons, numérotés de1à n.
Exercice avec préparation 5
Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont p1 pour les blanches,p2 pour les noires etp3 pour les rouges (p1+p2+p3= 1).
On effectue dans cette urne des tirages successifs indépendants avec remise. Les proportions de boules restent ainsi les mêmes au cours de l’expérience.
On modélise l’expérience par un espace probabilisé (Ω,A,P).
1. Question de cours : Loi d’un couple de variables aléatoires discrètes. Lois marginales.
2. Pourk∈N∗, on note Zk la variable aléatoire qui prend la valeur1si une boule blanche est tirée au kème tirage,−1 si une boule noire est tirée aukème tirage et 0 si une boule rouge est tirée au kème tirage. On note Sk =Z1+· · ·+Zk.
a) Trouver la loi de probabilité deS1. Calculer son espérance et sa variance.
En déduire l’espérance et la variance deSk.
b) Pour tout réeltstrictement positif et pour toutk de N∗, on posegk(t) =E tSk . Explicitergk(t) en fonction detet de k.
c) Montrer quegk0(1) =E(Sk) et retrouver le résultat de la question(a).
3. a) On noteX1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la première fois. Trouver la loi de probabilité deX1. Calculer son espérance et sa variance.
b) Sachant que l’événement[X1 =k]est réalisé, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge à chacun desk−1 premiers tirages ?
c) On noteW la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées avant l’obtention de la première boule blanche. Quelle est la loi conditionnelle deW sachant [X1 =k]?
d) En déduire la loi deW (sous forme d’une somme qu’on ne cherchera pas à calculer).
4. On noteY1la variable représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.
a) Trouver, pour tout couple d’entiers strictement positifs(k, l), la probabilité de l’évènement : [X1=k]∩[Y1 =l]
(on pourra distinguer selon quek > l, k =l ouk < l) Les variables aléatoiresX1 etY1 sont-elles indépendantes ?
b) On se place, pour cette question, dans le cas particulier où p3 = 0(c’est-à-dire qu’il n’y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance deX1 etY1.
Exercice avec préparation 6
1. Question de cours : Loi d’un couple de variables aléatoires discrètes ; lois marginales et lois condi- tionnelles.
Soit X etY deux variables aléatoires définies sur un espace probabilisé(Ω,A,P).
Soit pun réel de]0,1[. On pose : q= 1−p.
On suppose que :
× X suit une loi de Poisson de paramètre λ >0;
× Y(Ω) =N;
× pour tout n∈N, la loi conditionnelle deY sachant [X =n]est une loi binomiale de paramètres netp.
2. Déterminer la loi du couple (X, Y).
3. Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre λp.
4. Déterminer la loi deX−Y.
5. a) Établir l’indépendance des variables aléatoiresY etX−Y. b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire deX etY.
Exercice avec préparation 7
La loi du couple(X, Y) est donnée par :
∀j∈J0, nK,∀k∈J1, nK, P [X=j]∩[Y =k]
=
n
k
pkqn−k sik=j etj 6= 0 qn
n sij = 0
0 sik6=j etj 6= 0
1. Question de cours : Loi d’un couple de variables aléatoires discrètes. Lois marginales, lois condi- tionnelles.
2. a) Déterminer les lois marginales deX etY respectivement.
b) CalculerE(Y).
3. Soit j un entier tel que06j6n.
a) Déterminer la loi conditionnelle deY sachant [X=j].
b) SiA est un événement de probabilité non nulle, on note EA(Y) l’espérance de Y, si elle existe, pour la probabilité conditionnellePA.
DéterminerE[X=j](Y).
4. a) Montrer que, pour toutq ∈]0; 1[, on a : P [X = 1]∩[Y = 1]
6=P [X= 1]
×P [Y = 1]
Conclure.
b) CalculerCov(X, Y). Montrer qu’il existe une valeur de q pour laquelle Cov(X, Y) = 0.
c) Conclure.
