PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE
I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles
I.1.b. Diagrammes (dits de Venn) I.1.c. Cardinal d’un ensemble fini I.1.d. Opérations booléennes I.1.e. Suites de sous-ensembles I.1.f. Ensemble produit cartésien
I.1.g. Propriétés élémentaires du complémentaire et des opérations booléennes
I.2. Notions de combinatoire I.2.a. La règle de multiplication I.2.b. Permutations et arrangements I.2.c. Combinaisons (sans répétition) I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux I.2.e. Coefficients multinomiaux
I.2.f. Combinaisons (avec répétition)
I.3. Notions de combinatoire I.3.a. Bridge
I.3.b. Poker
CHAPITRE II - NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker
II.2. La définition du modèle probabiliste II.2.a. L’ensemble fondamental
II.2.b. La notion d’événement II.2.c. La notion de probabilité
II.3. Propriétés d’une distribution de probabilité II.3.a. Propriétés élémentaires
II.3.b. Probabilités de réunions d’ensembles : Règle d’inclusion-exclusion II.3.c. * Suites infinies d’événements et lemme de Borel-Cantelli
II.4. Evénements indépendants
II.4.a. Indépendance de deux événements II.4.b. Indépendance de plusieurs événements
II.4.c. Probabilité de réunions d’événements indépendants
II.5. Probabilités conditionnelles II.5.a. Définition
II.5.b. Conditionnement multiple II.5.c. Formule des probabilités totales II.5.d. Formule de Bayes
II.5.e. Exemples
CHAPITRE III - SUITES D’EXPERIENCES ALEATOIRES
III.1. Le modèle
III.1.a. Le modèle abstrait – le processus de Bernoulli III.1.b. Exemples
III.2. La loi binomiale III.2.a. Le nombre de succès III.2.b. Stabilité
III.3. La loi géométrique et loi binomiale négative III.3.a. Loi du temps du 1er succès
III.3.b. Propriété caractéristique de la loi géométrique : perte de mémoire III.3.c. Loi binomiale négative
III.3.d. Stabilité
III.4. Extensions du modèle III.4.a. Le modèle multinomial III.4.b. Modèle hypergéométrique
III.5. Théorèmes limites
III.5.a. Convergence du modèle hypergéométrique vers le modèle binomial III.5.b. Convergence du modèle binomial vers la loi de Poisson
III.5.c. Convergence de la loi géométrique vers la loi exponentielle III.5.d. Loi des grands nombres
III.5.e. Convergence vers la loi gaussienne ou normale
III.6. Marche aléatoire et fortune du joueur III.6.a. Définition
III.6.b. La loi de ZN
III.6.c. Application au problème de la ruine de joueur III.6.d. Marche aléatoire et théorèmes limites
CHAPITRE IV - VARIABLES ALEATOIRES
IV.1. Définitions et exemples IV.1.a. Variables aléatoires
IV.1.b. Distribution de probabilités : densité de probabilités et fonction de répartition
IV.2. Couples des variables aléatoires IV.2.a. Fonction de répartition conjointe IV.2.b. Fonction de répartition marginale
IV.2.c. Propriétés de la fonction de répartition conjointe IV.2.d. Loi discrète conjointe
IV.2.e. Loi continue conjointe
IV.3. Espérance IV.3.a. Définition IV.3.b. Exemples
IV.3.c. Propriétés élémentaires de l’espérance
IV.3.d. Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire IV.3.e. Espérance : Inégalités
IV.4. Variance et Covariance IV.4.a. Définitions
IV.4.b. Exemples (Variance) IV.4.c. Propriétés élémentaires
IV.5. Moments et transformée de Laplace IV.5.a. Moments
IV.5.b. Définition de la transformée de Laplace IV.5.c. Relation avec les moments
IV.5.d. Exemples
IV.5.e. Convergence vers la loi gaussienne ou normale
IV.6. Loi d’une fonction des variables aléatoires IV.6.a. Changement de variables à une dimension IV.6.b. Changement de variables multidimensionnelles
CHAPITRE V - VARIABLES INDEPENDANTES ET THEOREMES LIMITES
V.1. Définition de l’indépendance des variables aléatoires V.1.a. Définition : Indépendance des deux variables aléatoires V.1.b. Indépendance et covariance
V.1.c. Indépendance de plusieurs variables aléatoires
V.1.d. Distribution conjointe de variables aléatoires indépendantes
V.2. Variables aléatoires indépendantes et ordre
V.2.a. Maximum ou minimum de variables aléatoires indépendantes V.2.b. Théorème limite pour les valeurs extrêmes de variables iid V.2.c. Statistique d’ordre et vecteur des rangs
V.3. Sommes des variables indépendantes
V.3.a. Somme de deux variables indépendantes discrètes V.3.b. Somme de N variables indépendantes discrètes V.3.c. Somme de deux variables indépendantes continues V.3.d. Somme de N variables indépendantes continues V.3.e. Rôle de la transformation de Laplace
V.3.f. Théorèmes de stabilité
V.4. Lois des grands nombres V.4.a. Loi faible des grands nombres V.4.b. Loi forte des grands nombres V.4.c. Propriétés élémentaires V.5. Le Théorème central limite
V.6. Pratique du Théorème central limite V.6.a. Approcher des variables continues
V.6.b. Approcher des variables discrètes : Correction d’histogramme
CHAPITRE VI - INTRODUCTION AUX STATISTIQUES VI.1. Le problème de l'estimation
VI.2. Qualité d'un estimateur VI.2.a. Biais
VI.2.b. Risque quadratique
VI.2.c. Efficacité et optimalité d'estimateurs VI.2.d. Estimateurs consistants
VI.3. Le maximum de vraisemblance
VI.3.a. Le maximum de vraisemblance : variables aléatoires discrètes VI.3.b. Le maximum de vraisemblance : variables aléatoires continues
VI.4. Estimation de la moyenne et de la variance pour un échantillon quelconque
VI.5. Echantillons gaussiens VI.5.a. Loi des estimateurs naturels VI.5.b. Intervalles de confiance
VI.5.c. Cas où la variance est inconnue VI.5.d. Comparaison de deux moyennes VI.6. Le problème des tests
VI.7. Test sur la moyenne d'un échantillon gaussien VI.8. Le cas binomial
VI.9. Test du Chi-deux
