Une généralisation au cas vectoriel du procédé <span class="mathjax-formula">$\Delta ^2$</span> d’Aitken et les suites à comportement linéaire

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M2AN - MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET ANALYSE NUMÉRIQUE

H ERVÉ L E F ERRAND

Une généralisation au cas vectoriel du procédé ∆

²

d’Aitken et les suites à comportement linéaire

M2AN - Modélisation mathématique et analyse numérique, tome 29, n^o1 (1995), p. 53-62

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MATHEMATfCAL MODELLIKG AND NUMERICAL ANALYSIS ME ET ANALYSE NUMÉRIQUE (Vol 29, n° 1, 1995, p 53 à 62)

UNE GÉNÉRALISATION AU CAS VECTORIEL DU PROCÉDÉ A2 Df AITKEN ET LES SUITES À COMPORTEMENT LINÉAIRE {*)

par Hervé L E FERRAND C1).

Communiqué par P -J LAURENT

Abstract — We deal with vector séquences which behave linearly m the Nievergelt's sensé.

We prove thaï a generaltzation of the À Aitken's process to the vector case accélérâtes the convergence of the séquences which converge XI linearly

Résumé -—Après des considérations sur les suites à comportement linéaire au sens de hevergelt, on montre qu'une généralisation au cas vécu

convergence des suites qui convergent A/ linéairement

Ntevergelt, on montre qu'une généralisation au cas vectoriel du procédé A d'Aitken accélère la

INTRODUCTION

Dans cet article, nous nous intéressons à une généralisation au cas multi- dimensionnel du procédé À¹ d'Aitken. Plus précisément, il s'agit de la transformation correspondant à la deuxième colonne de l'epsilon algorithme vectoriel. Cette transformation est notée er Nous rappelons sa définition au début du paragraphe 2. L'epsilon algorithme vectoriel a été introduit par Wynn [10] dans les années soixante. Si l'epsilon algorithme vectoriel admet dans la pratique de nombreuses applications [2, 3], il existe encore peu de résultats théoriques sur ce procédé. On peut mentionner toutefois le travail récent de Salam [9] qui a montré que cet algorithme peut s'écrire comme le rapport de deux désignants.

Par ailleurs» Nievergelt a introduit dans [7] la notion de comportement linéaire pour des suites vectorielles» notion qui généralise naturellement celle des suites scalaires. Nous allons appliquer la transformation

£2' (Sn) ^-^ (e^) à de telles suites. Nous ferons au préalable quelques remarques sur cette notion. Nous démontrerons ensuite un résultat nouveau

(*) Manuscnt reçu le 12 décembre 1993 et sous forme révisée le 13 avril 1994

C) Laboratoire d'Analyse appliquée et d'Optimisation UFR des Sciences et Techniques, Université de Bourgogne, BP 138, 21004 Dijon Cedex, France

M² AN Modélisation mathématique et Analyse numérique 0764-583X/95/01/$ 4.00 Mathematical Modelling and Numencal Analysis (0) AFCET Gauthier-Villars

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54 H LEFERRAND

d'accélération de convergence pour une large classe de suites qui contient des suites vectorielles générées linéairement et des suites issues de la méthode des approximations successives pour la recherche de points fixes

Dans ce papier on travaille dans Up Le produit scalaire canonique est noté ( , ) et la norme associée || ||

1. SUITES VECTORIELLES AU COMPORTEMENT LINEAIRE

1.1. Brezmski a montré dans [1] p 142-143, que la transformation e2 accélère la convergence des suites ( Sn ) ( Sn e [Rp ) vérifiant les hypothèses suivantes

(

• il existe une suite ( en ) dans Rp qui converge vers zéro . il existe y G Rp, y =* 0, et k e U tel que 0 < X < 1

• Sn — S = ln(y + en ) pour tout n à partir d'un certain rang Les vecteurs Sn — S ne sont pas nécessairement colméaires Remarquons alors que Ton a

(Sn+l~S)-À(S-S) k(e + 1 + O lim — — = Iim — = u

« - » - l | Sn- S | | n ^ ~ \\y + ej On a aussi

S -S h m

La suite ( Sn ) converge donc kl-linéairement au sens de Niervergelt, à savoir (S -S)-k(S -S)

h m Sn-S\\

Cependant, une suite (X ) de Up peut très bien converger linéairement vers un Xn - X

vecteur X de Rr sans que hm existe II suffit de considérer la suite q

**- — I I * . - * »**

/ cos y n sin y n

'n + 1 - sin y n)

n + 1 + \fn \/n -h 1 - \fn

cos

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GÉNÉRALISATION VECTORIELLE DU PROCÈDE A1 D'AITKEN 55

Or comme

sin

n + 1 2 "

on en déduit que lim = 0. Cependant

""" II ^ „ 1 1**

(cos v « , sin \ A 0 n'a pas de limite.

Pour généraliser le résultat d'accélération donné au début du paragraphe, on va considérer la définition suivante

1.2, Définition [7]

On dira que la suite ( Sn ) de Rp (ou Cp ) se comporte linéairement vers un point S de Up (ou C) si .

a) il existe ^ e M tel que \/n & K Sn * S

b) il existe une matrice carrée A, p x p, telle que ƒ - A soit inversible et , (Sn+l-S)-A(Sa-S)

^ ^

Remarques .

a) La suite (Sn) n'est pas nécessairement convergente.

b) Soit A une matrice carrée p x p telle que / - A soit inversible.

Considérons la suite générée de la façon suivante :

Si S est la solution du système X = AX + b, on a : (Sn+l-S)-A(Sn-S) = 0.

La suite ( Sn ) se comporte donc A linéairement.

D'autre part, notons Àv , À les valeurs propres de A Supposons que Ton ait j/1,1 > \À2\ & .. 5= |Ap|. On a alors [1] p. 143 : Sn-S = Ànl(yl + en) (yx ^ 0 vecteur propre associé à A, ) avec en -> 0 quand n —» », Ceci vient de la décomposition spectrale de A [5], On en déduit :

l|55||

vol 29, n° 1, 1995

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56 H LE FERRAND

Sur cet exemple, on voit que la matrice A de la définition n'est pas néces- sairement unique d'une part, et d'autre part (Sn) ne converge pas nécessai- rement vers S (il faudrait ( \ÀX\ < 1 ).

c) Considérons une suite ( Sn ) vérifiant la relation suivante :

(*)Sn+l-S=(A+An)(Sn-S) avec nlim^An=0 (An étant une matrice p x p). On a

S) A Sn-S

11$,-S II "II S . - S ||

(donc) lim ^ Ü ^-= - = 0 .

- - » - II S . - 5 1 | Ainsi la suite ( Sn ) se comporte A-linéairement.

Réciproquement, supposons que la suite ( Sn ) se comporte A-linéairement vers S. Notons M„ le vecteur

+ l-S)-A(Sn-S)

Soit (e^v ..., e ) la base canonique de R^p. Posons

a ^ • I Î ^ ^ I J ^ - ' V ^ Ï ^

^Sⁿ^{-S \ / 5}ⁿ^-

/ s

ⁿ

-s \

la matrice dont le Même vecteur colonne est ( e, 1 u . La suite (Aⁿ) tend vers 0. Calculons Aⁿ( 5ⁿ- 5^r) :

^ . ( ^ - s) = S

^{

]\s

^H

s\\

^u

« ^{= l|5} » " ^5|1 ^M " '

Or comme 5n + ! - S = A( SM - S ) + || Sn - S || MB, on obtient Sn + 1— S = ( A + An) ( Sn- S ) . On a donc équivalence entre les deux notions. Dans la suite nous conserverons la présentation de Nievergelt.

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GÉNÉRALISATION VECTORIELLE DU PROCÉDÉ â1 D'AITKEN 57

Nous allons à présent nous intéresser à une généralisation au cas vectoriel du procédé A² d'Aitken et montrer un résultat d'accélération de convergence pour certaines suites à comportement linéaire.

2. ACCÉLÉRATION DE LA CONVERGENCE

2.1. Dans Rp, si y est un vecteur non nul, on note y~ le vecteur . (y>y) Soit (Sn) une suite d'éléments de Rp, on considère la transformation suivante [ 1 , 9 ] :

(où) Ae

Un calcul simple donne :

II As[

n)

II

2

= \\ASJ-

2

H AS

n + l

H"

2 \\A2 Sn

||

2

(le symbole ^d a ici la signification habituelle). On obtient ainsi l'égalité :

4 "

)

= 5„

+ 1 +

M

2

5 j r

2

( M 5 J |

2

^ „

+ 1

- | | / J 5 „

+ 1

| |

2

J 5 „ ) .

On a le résultat suivant.

LEMME : Soit (S^k} une suite se comportant A-Hnéairement vers S, on a

-S\\ [ | | ( ) ^

\\A(A-I)vk +o(

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5 8 H LE FERRAND

S^k~S

Preuve : On a = A h o( 1 ) Remarquons alors que

il $k ~ $ IJ II ^i ~ $ II

( \ \L + l \ \ \

est borné $ \\A\\ + 1 . est borné

115,-511 V 115,-511

Par ailleurs,on a :

L2 ~ S Sk+i ~ S 1 - 2

«5,-511

+ M SJ

V'

J l

II5

A

-5||

<solt)

li^sî^"-''!^^*

¹

De plus

\\s

L

-s\\ \\s

L

-s\\ \\s

L

-s\\ \ \ s

k + l

- s \ \ \ \ s

k

- s \ \

$L+ 2~ S ^ + , - 5

et comme =A h o ( l ) , on obtient- A S^{k + l} _ \ \ S ^{k + x} - S ^k \ \ ^ / S ^{k + l} - S _ _^{/ t} \ ^ 5 , - 5

Puisque est borné, il vient

W$k ~ s

II

ASk + i SL + i " 5 S\ - S

A. + 1 J A . 4 - 1 JI A .

^5, + , 5 , - 5

soit = A ( / 1 - / ) — + o ( l ) .

| | 5 5 | | ||5 5||

On déduit de ces différentes égalités :

^S^k AS^k+,-AS^k S^k-S

l / 1 l)

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GÉNÉRALISATION VECTORIELLE DU PROCÉDÉ A2 D'AITKEN 59

d'où

\ \ A Sk\ \ \ \ A Sk\ \ / \ \ Sk- S \ \ \ \ ( A ~ I ) vk + o ( l ) | |2

~ — 0 — 0 0 ( 1 )

\ \ A2Sk\ \ \ \ / t2SL\ \ / \ \ SL- S \ \ \ \ ( A - I )2vk + o ( l ) \ \2

e t

\\ASk+1\\ \\A(A-I)vk +o(l)\\2 / SL-S

\\A2Sk\\ \\(A-I)2vk + o ( l ) | |2

On peut remarquer que toutes ces quantités sont bien définies. De plus les quantités (1) et (2) sont bornées car :

II (A-I)vk + o( 1 ) II =£ II A - ƒ II + 1 , II A(A - I ) vk + o{ 1 ) II

^ | | A ( A - / ) | | + 1 et

(si B est inversible ||ftc|| ^ ||^:|| -s- ||B 11|.

4

^k)

-s

En replaçant tout cela dans l'expression de d o n n é e au début de la il *^i — *^ II

preuve et on obtient le résultat du lemme. •

2.2. Le cas A = A/(Ae U) avec À ^ 1.

On peut donner le résultat suivant.

THÉORÈME 1 : Soit X G IR, A ^ 1 et soit Sk une suite de Up vérifiant :

• Sk ^ S pour k assez grand , ( ^+ 1 -S)-1(SL-S)

• hm = 0 .

^ ~ 11^-511

Alors on a :

cw -S

^t ⁰

Preuve : On a

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(9)

60 H LE FERRAND E n e f f e t

\\(X-l)vk\\ - o ( l ) ^ || ( A - l ) t ? , + o ( l

s o i t

| A - 1 | - o ( l ) ^ \\(A-l)vk + o(l

On montre de même que

et

Comme A = AI, on en déduit que r y (A — i) vk + <?( i ) y2

ï I II / A r \ 2 . . . / -t \ II 2 ^

-If> -I 1

Ainsi on obtient :

Conséquences :

a) Si de plus la suite ( ||Sf c-S|| ) est bornée on a hm e^ = S.

b) Soit A une matrice carrée p x p telle que ƒ — A soit inversible Considérons la suite générée de la façon suivante *

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GÉNÉRALISATION VECTORIELLE DU PROCÉDÉ A2 D'AITKEN 6 1

S est la solution du système X = AX + b. Notons Xv .-., Ap les valeurs propres de A Supposons que l'on ait |A11 > |A2| ^ • • • ^ |A |. La suite (Sn) vérifie les conditions du théorème et donc si \At\ < 1, ( 5n) converge vers 5 et (s^) converge vers S plus rapidement que (Sn).

Remarque : Plaçons-nous dans R², On suppose que la suite

$ⁿ = (xⁿ,yⁿ) tend vers le point S=(x⁹y) de la façon suivante:

i) xⁿ ^ x pour n assez grand

ii) lim X(X ^ 1 )

X **~n X

iii) lim ^ - ^ A ' C A ' ^ O ) .

n - ^ - Xn - X

La suite ( Sn ) converge alors vers S ^/-linéairement. Géométriquement, cela signifie que la droite (SniS) tend vers une direction donnée ( A ), où ( A ) est la droite passant par S de pente A' On peut noter que l'hypothèse

Xn + 1 "" X

<K \[^{m =} i çx -£ i^^y> p^{e u t} ^^{t r e} remplacée par

« lim -²-^ ^— = A (A =£ 1 ) » d'après [4], Donnons l'exemple suivant - —^ — v — x

dû à OrtlofT+[8] :

avec (xo,yo) = ( 6 , 4 ) et (x, j ) = ( 0 , 0 ) . On peut voir que lim

« -^ « X

la suite.

lim = -z et que lim —^- = — 1 . Ainsi e^ accélère la convergence de

2.3, Donnons pour terminer, sans démonstration, un résultat d'accélération où la matrice A n'est pas une homothétie.

THÉORÈME 2 : Dans M2> si une suite (Sn) vérifie

\\Sⁿ-S\\

lim n + l „ / — ^ n1- ^ = 0 avec A - (

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62 H. LE FERRAND

alors

lim — — = 0 .

* - » - \\Sk -S\\

CONCLUSION

La transformation e2, généralisation au cas vectoriel du procédé A1 d'Ait- ken, fournit un excellent moyen pour accélérer la convergence des suites à comportement 17-linéaire au sens de Nievergelt. Pour une suite qui converge linéairement sans autre précision, on perçoit que l'accélération va dépendre des degrés des polynômes minimaux des matrices pour lesquelles la suite se comporte linéairement. La notion de degré d'une telle suite a été introduite dans [6].

Nous remercions le référé pour ses précieuses remarques.

RÉFÉRENCES

[1] C. BREZINSKI, 1977, Accélération de la convergence en analyse numérique, LNM 584, Springer Verlag, Heideïberg.

[2] C. BREZINSKI» 1978, Algorithmes d'accélération de la convergence. Etude numé- rique, Editions Technip, Paris.

[3] C. BREZINSKI et M. REDIVO-ZAGLIA, 1991, Extrapolation Methods, Theory and Practise, North-Hoîland, Amsterdam.

[4] J.-P. DELAHAYE» 1988, Séquence Transformations, Springer Verlag, Berlin.

[5] F. R. GANTMACHER, 1966, Théorie des Matrices, Dunod, Paris.

[6] H. LE FERRAND, 1992, Convergence et applications d'approximations rationnel- les vectorielles, Thèse, Lille L

[7] Y. NIEVERGELT, 1991, Aitken's and Steffensen's accélération in several variables, Numer. Math. 59, 295-310.

[8] H. ORTLOFF, 1986, Asymptotic behaviour and accélération of itérative séquences, Numer. Math. 49, 545-559.

[9] A. SALAM, 1993» Thèse, Lille 1.

[10] P. WYNN, 1962, Accélération techniques for iterated vector and matrix problems, Math. Comput. 16, 301-322.

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