Sopra i problemi variazionali in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine superiore

A NNALI DELLA

S ^CUOLA N ^ORMALE S UPERIORE DI P ^ISA Classe di Scienze

S ^ILVIO C ^INQUINI

Sopra i problemi variazionali in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine superiore

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 2

^e

série, tome 13, n

^o

1-4 (1948), p. 19-49

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IN FORMA PARAMETRICA DIPENDENTI DALLE DERIVATE

DI

ORDINE SUPERIORE

di SILVIO

CINQUINI (Pavia).

Il

presente

lavoro si propone di ^arrecare

qualche

^nuovo contributo alla teoria

degli integrali

^{del Calcolo delle}

Variazioni,

^{in forma}

parametrica, dipendenti

^dalle

derivate di ordine

superiore

A tale

argomento,

alcuni anni

fa,

^N. BOGOLIOUBOFF ha dedicato un’

ampia

Memoria

(1)

contenente numerosi e notevoli risultati : _per

quanto riguarda

^il

problema

dell’esistenza

dell’estremo,

^{tale A.} ha considerato un caso in cui 1’ inte-

grale SJ$

^{non è} semicontinuo e,

ispirandosi

^{ad un}

procedimento seguito

^dal

TONELLI _per

gli integrali ge incompletamente regolari,

^{ha stabilito una condi-}

zione necessaria e

sufficiente, perchè,

^{nel caso}

considerato,

^{esista l’estremo.}

La nostra

ricerca, invece,

si attiene al metodo delle successioni

minimizzanti,

che è basato sul concetto di semicontinuità e che il TONELLI ha

sviluppato

^nella

sua opera fondamentale

(2)

^e in successivi

lavori,

^e si propone di indicare in

qual

^{modo si} possa

costruire,

per i

problemi

ⁱⁿ

questione,

^una

teoria, che,

pur essendo

organica quanto quelle sviluppate

per altri

tipi

^di

problemi variazionali, presenta alcune proprie originalità

che la Memoria del BOGOLIOUBOFF non lasciava

prevedere,

^e che meritano di essere

poste

in rilievo.

È

ben noto che la teoria dei

problemi

^del

primo

^ordine

(3)

in forma para- metrica ha come

punto

^di

partenza

^{il fatto}

che,

^al variare della

rappresentazione

(1) N. BOGOLIOUBOFF : Sur l’application des méthodes directes à quelques problèmes ^du Calcul des Variations. Annali di Matematica pura ^e applicata, ^S. Iv, ^{T. ~x} (1931~,

pp. 195-241.

(2) L. TONELLI : Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. Due volumi. N. Zanichelli, Bologna, ^1921-1923.

(3) ^{Come è} noto, si intende per problema ^{di ordine r} quello in cui la funzione inte-

granda dipende, ^{in modo} effettivo, ^{dalle derivate di ordine non} superiore all’r-simo.

parametrica

^della

curva e,

il valore del relativo

integrale ae

^non

^vari,

^e

^quindi

lo studio dei

problemi

^{di ordine}

superiore

^{in forma}

parametrica

^va

impostato

in modo che’ sussista

un’ analoga

invarianza: a tal fine

preferiamo

^modificare

lievemente

l’impostazione

^del BOGOLIOUBOFF. Limitandoci ^a

considerare,

per

semplicità

^{e come fa il}

BOGOLIOUBOFF,

ⁱ

problemi

del secondo

ordine,

^noi sup- porremo

(vedi

^n.

2)

^che la funzione .~ che compare sotto il segno ^di

integrale dipenda

^{soltanto dalle}

coordinate x, y

^del

punto

corrente sulla curva, dalle loro derivate del

primo

^ordine

~ ~ ^rispetto

^al

parametro

^{e dalla}

curvatura,

^{e che}

inoltre sia

positivamente

omogenea ^di

grado

^uno

rispetto

^{alle variabili x’ e}

y’.

Ciò premesso, scelto come

parametro s

^la

lunghezza

dell’ arco

rettificato,

^noi

consideriamo

(vedi

^n.

3)

^{le curve}

: ¹

per le

quali

le funzioni

x(s), y(s)

^sono assolutamente continue insieme con le loro derivate del

primo

ordine ed esiste finito

l’integrale (nel

^{senso del}

LEBESGUE)

ove

O(s)

^è

1’a,ngolo

di direzione della _curva, e

quindi d0(8)

_ds

rappresenta

^{la cur-}

.vatura. La classe di ^curve cos fissata coincide con

quella

considerata dal BOGOLIOUBOFF _e, come tale A. ha

rilevato,

^{non è}

praticamente ampliabile, perchè

se si supponesse che le derivate

x’(s), y’(s) (od

^anche fossero soltanto a

variazione

limitata,

l’esistenza dell’estremo verrebbe in

generale

esclusa « a

priori

^».

Sempre

per

quanto riguarda

^le

generalità (che

^nelle

questioni

esistenziali hanno la massima

importanza

^{e a cui è dedicato}

il § 1)

^{va fatto}

presente

^che

la nostra trattazione tiene conto anche ^{delle curve di}

lunghezza nulla,

^{che il}

.BOGOLIOUBOFF non aveva considerate : è stato

quindi

necessario

precisare

^che

cosa si deve intendere come intorno del secondo ordine di una curva costituita

da

^{un solo}

^punto.

Il §

^{2 è dedicato} alla teoria della semicontinuità

degli integrali C7 (2)(2)

^{@ la}

quale,

almeno per

quanto riguarda

^le condizioni

sufficienti, presenta

^{una certa}

analogia

^con

quella degli integrali

in forma ordinaria.

,Nel §

^{3 vengono stabiliti} alcuni teoremi di esistenza dell’estremo in

campi

limitati. Lo

sviluppo

della materia offre

particolare interesse, perchè

^{si devono}

superare talvolta sia difficoltà

proprie

^{della forma}

parameirica,

^sia

difficoltà

^che

si. trovano nella forma

ordinaria,

^e

quindi

^{occorre far}

appello

^a

procedimenti

svariati. Viene dato un

primo

teorema esistenziale valevole soltanto per classi di curve di

lunghezza

inferiore ad un numero

fisso,

^{ma da esso e da una sua}

estensione ^si deducono alcuni

espressivi

teoremi per

gli integrali quasi-regolari

seminormali.

Un secondo teorema

esistenziale,

^dedicato

agli integrali

^soltanto

quasi-regolari, presenta maggiore originalità,

^{e la sua} dimostrazione

appare particolarmente

^{delicata e laboriosa.}

Il lavoro termina con

il §

^{4 nel}

quale

vengono indicati alcuni ^criteri che _per mettono di estendere i teoremi esistenziali

del §

^{3 al caso di}

campi

illimitati : il

primo fornisce,

^anche per i

problemi

^del

primo ordine,

un’ estensione di un

criterio

già noto,

mentre il terzo si

presenta

^{del tutto nuovo.}

§

^{1. -}

Generalità.

1. - _{Il campo} A. _

Ricordiamo

(4)

^che dicesi campo A ^un insieme di

punti

^del

piano (x, y)

contenente tutti i suoi

punti

^di accumulazione

posti

^{al finito.}

2. - La funzione y,

x’, y’, B~).

c~) ^È

^noto

(5) ^{che, quando}

^{si abbia una curva}

e: ^o

affinchè ~

integrale

sia

indipendente

^dal

parametro t,

^{occorre e basta che}

4Y(z, y, x’, y’, x",

^sia

una funzione

positivamente

omogenea ^di

grado

^{uno nel}

complesso

^delle

quantità

3

x’, y’, t~~"~~

^{vale a}

dire,

^per

ogni valga l’uguaglianza

A

questa

condizione

possiamo

sostituire

quella

^{che la funzione}

~(~ ~ ~ ~ 0’),

ove si è

posto 0’== sia positivamente

omogenea di

grado

^uno

rispetto

- ’

alle variabili

x’, y’, cioè,

per

ogni k &#x3E; o,

^sia

(.~.) ^{Vedi L.} TONELLI, opera ^{cit. in} (2}, ^Voi. I, Cap. V, ^n. 72, p. 201.

(5) Vedi, p. ^es. G. VIVANTI : Elementz del Calcolo delle Variazioni. Principato, Messina1 T

1923, Cap. VI, p. 110 ^e segg., ^{e in} particolare, ^n. 40, pp. 115-117.

’

’ ’

Ciò è evidente :

infatti, posto

è

ovviamente,

per

ogni k &#x3E; o,

Se è verificata la

(a),

sostituendo nei suoi due membri le

espressioni

^fornite

dalle

(d)

^e

(c),

^risulta

eioè a dire la

(b) ;

^{e in modo}

analogo

^dalla

(b)

segue la

(a).

b)

^Ciò premesso, supporremo sempre, salvo avviso

contrario,

^che

x’, y’, 0’)

^{sia una} funzione :

1°)

^{definita e} continua insieme con la sua derivata

parziale Fg,

ⁱⁿ

ogni punto (x, y)

del campo

A,

per

ogni cóppia

^di

numeri x’, y’

non entrambi nulli e per

ogni

^{valore finito}

di 0’ ; 2°) positivamente

omogenea di

grado

¹

^rispetto

^{alle variabili}

x’, y’,

^{tale cioè}

che,

per

ogni

&#x3E;

0, valga

1’

uguaglianza

Poniamo

poi F(x, y, 0, 0, 0’) ~O,

^{in modo che} la funzione ~’ risulta continua anche in

ogni punto (x, y, 0, 0, 0’)

^con

(x, y) appartenente

^{ad A}

(6).

, Diremo

coppia

normalizzata

ogni coppia x’, y’,

per la

quale

^è

x’2 + y’~=1.

3. - Le curve ordinarie e (2). - L’

integrale ~~~~~ .

a)

^{Sia e} una curva

rettificabile,

^{e sia}

e: o

una sua

rappresentazione parametrica prendendo

^come

parametro

l’arco retti- ficato.

(~) ^Il BocoLiouBOFF (luogo ^{cit. in} (1), ~ ¹ p. 197), ^{assunto come} parametro l’arco s, indicato con 0 1’ angolo ^{di direzione e} posto

~’ = ~-e ,

considera la funzione f(x, y, 8, 0’) ^e suppone

ds

che sia periodica ^di periodo ²ⁿ rispetto ^{a 8 : in tal caso 1’} integrale ^risulta indipendente ^dal parametro scelto, ^{se si} assume come funzione integranda ^il prodotto f(x, y, 0, 8’)

t’~+y~’

^·

Diremo

angolo

di direzione 8 della curva

e,

^{in un suo}

punto

^{in cui} esista la

tangente, l’ angolo,

determinato a meno di

multipli

^{di di cui deve}

ruotare,

nel senso delle rotazioni

positive,

^{1’ asse} delle x per divenire

parallelo

^{a tale}

tangente

^{e avere} lo stesso verso. Intenderemo inoltre

che, quando

^{la curva}

considerata sia dotata in

ogni punto

^di

tangente

la cui direzione e il cui verso varino in modo continuo ^{al variare}

di s,

l’arbitrarietà di 03B8 sia subordinata al fatto che

O(s)

risulti funzione continua di s

lungo

^tutta la curva, ^se

questa

^è

aperta,

^o possa al

più presentare

^{una sola} discontinuità nel

punto

^{che si assume}

come

punto

^{iniziale e}

punto

^{terminale della curva se}

questa

^{è chiusa.}

b)

Osserviamo ^ora che se le funzioni

x(s)

^e

y(s)

di cui al capoverso

a)

sono assolutamente continue ^{insieme con} le loro derivate del

primo

^ordine

x’(s), y’(s),

^anche

l’angolo

di direzione

O(s)

risulta funzione assolutamente continua.

Infatti,

per

quanto

^{si è detto in}

a), possiamo

determinare un in modo

.che,

per

ogni coppia

^{si, s2} di valori di~ s soddisfacenti alla

disuguaglianza

~o,

^risulti

M,

^se lpi ^{e sono} due numeri reali tali che

I CP2 - CPi ~ 4 ,

^abbiamo

⁽⁷⁾

Ora,

^essendo per

ogni s

^di

(0, L) x’(s)

^{= cos}

0(.g), y’(s)

^{= sen}

0(8),

preso

~

&#x3E;0

^ad

arbitrio,

^{in virtù dell’ assoluta} continuità delle

x’(s), y’(s) possiamo

^deter-

minare

un ~ &#x3E; 0

^{in modo} che se

(ai, bi), (i ~ 1, 2,..., n)

^{è un} gruppo di intervalli di

(0, L),

^{a due a} due distinti e di

lunghezza complessiva

^minore di ò risulti

e

quindi

^ne segue, se è

anche 03B403B40,

Il nostro asserto è cos

provato.

Viceversa,

^se

O(s)

^è assolutamente

continua,

^ne segue immediatamente l’ as-

(") Basta rilevare che è

ove 0,0

^{1 e / sono} rispettivamente ^{il minimo} valore assoluto del coseno e del seno, quando 1’ argomento varia nell’ intervallo (~fi, 992).

4

soluta continuità delle

x’(s), y’(s),

^{in virtù del fatto che le funzioni seno} "e coseno

- sono a

rapporto

incrementale limitato.

c)

Ciò premesso, ^{diremo curva} ordinaria e (2)

ogni

^curva rettificabile

e (2) :

^{o o}

essendo s la

lunghezza

dell’ arco

rettificato,

per la

quale

^{le funzioni}

x(s), y(s)

sono assolutamente continue insieme con le loro derivate del

primo

^ordine

x’(s), y’(s), ogni punto (x(s), y(s» appartiene

al campo A ed esiste finito

l’integrale

(del LEBESGUE)

ove

0’(s)

^{è la curvatura della curva C(2) e}

quindi 6’(s) _ - x’’(s) y,(8).

Converremo inoltre che

ogni

^curva costituita di un solo

punto

^{sia una curva} ordinaria ~~2~ _{per la}

quale

^risulta

~~~2) =o.

OSSERVAZIONE. - Per

quanto

^{abbiamo detto in}

b)

^la classe delle curve

ordinarie e(2) coincide con

quella

considerata dal

BOGOLIOUBOFF, quando,

^natu-

ralmente,

^si

scelga

la stessa funzione F.

4. - Varie

speci

^di

integrali C1~(2) .

Diremo che

l’integrale ~~~tz~

^è

^{quasi - regolare positivo,}

^{se per tutti i}

^punti

(x, y)

^del campo

A,

per tutte le

coppie x’, y’

di numeri reali non ambedue nulli e per tutti i valori reali di 0’ la derivata

parziale

y,

x’, y’, 0’) è,

come funzione della sola

0’,

sempre ^non decrescente.

Se

inoltre,

per ^nessuna delle

quaterne (x, y, x’, y’)

^sopra

indicate,

^la

Fj,

^è

costante per tutti i valori di

0’,

^{diremo che}

1’ integrale ~~~~z)

^è

quasi - regolare positivo

seminormale. Se per

ogni quaterna

sopra

indicata,

^la

Fj,

^{è funzione}

sempre crescente della 03B8’ diremo che

l’ integrale

^è

quasi-regolare posi-

tivo normale.

Se

poi,

oltre alle

ipotesi

^{fatte al n.}

2, b), supponiamo

che la funzione F

ammetta,

^{finita e}

continua,

anche la derivata

parziale Fe-~-,

^{diremo che 1’ inte-}

grale e(2)

^è

regolare positivo,

^se per tutte le

quaterne (x,

y,

x’, y’)

sopra indi- cate e per

ogni

^{valore di 0’ è} verificata la

disuguaglianza F6,,,9,

&#x3E; 0.

Diremo infine che

l’ integrale ~~~z)

^{è definito}

positivo [semi-

^definito

posi- tivo]

^se in tutti i

punti (x, y)

del campo

A,

per

tutte’le _{coppie x’, y’}

di numeri reali non ambedue nulli e per tutti i valori di 0’ è

F &#x3E; 0 [F &#x3E; 0] .

OSSERVAZIONE. - Come è noto le definizioni di

integrale quasi-regolare

quasi-regolare

semi-normale e

quasi-regolare

normale si possono dare in modo

indipendente

dall’ esistenza e continuità della derivata

parziale

5. - Intorno

(e)2

^{di una curva ordinaria e(2).}

a)

^{Data una}

^curva

^ordinaria

e(2)

^di

lunghezza L,, &#x3E;0,

diremo che un’altra

curva ordinaria

~~~~

di

lunghezza

^L

appartiene

all’intorno

(e)2,

^con

0é 1,

della

G~4 ~, quando,

^{indicate con s e a le}

lunghezze degli

^{archi delle e}

contate a

partire

^{dai loro}

primi estremi,

^{se le curve sono}

aperte

^{o da}

punti

~

convenientemente

scelti,

^{se le} curve sono

chiuse,

^è

possibile

determinare una

funzione o(s), (0 s L,,),

^con

a(O) =0, o(L,,) =--- L,

^la

quale

^sia continua insieme,

con la

propria

derivata del

primo

^ordine

6’(s),

^{e per la}

quale valga

^la

doppia disuguaglianza

in modo

che,

^essendo

eÒ2): (0 s ‘Lo) ~

^e(2):

(0o L),

^{si abbia} per

ogni s

^di

(0, Lo)

~b)

^{Se la curva ordinaria è} costituita da un solo

punto (xo, yo),

^diremo

che una curva ordinaria di

lunghezza

L&#x3E;0 e(2):

appartiene

all’ intorno

(Q)2

^della

Co2~,

^se è per

ogni

^{a di}

(0, L)

e se per

ogni coppia

di valori distinti oi ^e 62 di

(0, L)

^sono verificate le

disu-;

guaglianze

Inoltre

ogni

^{curva ordinaria}

e(2),

costituita di un solo

punto (x, y),

appar- tiene all’intorno

(é)2

^della

Go2~, quando

^sono verificate le

disuguaglianze

c)

OSSERVAZIONE I. -

È

bene

rilevare,

per il

seguito, che,

^{se il} numero (t-

è V2

^dalle

⁽²⁾

segue che ^è

possibile

^usufruire dell’ arbitrarietà

degli angoli

(8) Questa definizione non differisce da quella data dal TONELLI al n. 54, ^p. 171, ^del V,61. ^II dell’opera ^{cit. in} (~).

Ai direzione

00(s)

^e

O(o)

^{delle curve}

e¿2)

^{e e (2) in modo che in tutto}

(O, Z$)

^sia

verificata la

disuguaglianza

A tal uopo basta ^osservare che dalle

(2),

^{cioè a} dire dalle

,segue

immediatamente,

per

we k è un intero

positivo,

^{nullo o}

negativo

^{che non cambia al variare di s}

in

(O, Lo). Infatti,

siccome la differenza è funzione continua di s, ^non è

possibile

che per s=si

valga

^la

(4’)

^con

k-k,,

^e per

S=S2 =t=

^s,

valga

^la

(4’)

^con

k=k2 * k~, perchè

la differenza

A(s) passerebbe

^{dal valore}

4(si)

^{al valore}

A(s,)

^{senza assumere} tutti i valori intermedi.

Quindi, giovandosi

dell’arbitrarietà di

00(s)

^e

O(o),

^dalla

(4’)

segue la

(4).

Viceversa,

^se

è ;

^ne seguono immediatamente le

(2).

Inoltre,

^dalla

(1)

segue che

ogni

^{curva che}

appartiene

alI’ intorno

(0)2

^della

ha

lunghezza

^non

superiore

^a

(1+L» ^Lo.

OSSERVAZIONE II. - Se _per

ogni coppia

ai, 02 di

(O, L)

^{sono verificate}

le

(3),

^{e se}

è 9 - ,

^{è sempre} verificata anche la

disuguaglianza

~2

Ne segue, tenendo ^{conto di un caso}

particolare

^{di un} risultato del TONELLI

(9), che,

sempre per

O C I , ogni

^{curva ordinaria e(2)} di cui al capoverso

b)

^del

~2

^-

presente

^{num. ha}

lunghezza

^non

^superiore

^{a 4}

₂

^é.

presente

^{num. ha}

lunghezza

^non

superiore

^{a 4}

3

^0.

6. - Semicontinuità ^e continuità dell’

integrale JC(2).

Si dice che

l’ integrale

^{è una} funzione semicontinua

inferiormente,

se, preso ad arbitrio un numero e &#x3E;

0,

^è

possibile

determinare un e&#x3E;

0,

^{in modo}

-che,

^{se è una}

qualunque

^{curva ordinaria}

e(2),

sia verificata la

disuguaglianza

per tutte le ^curve C (2) che

appartengono

all’intorno

(e) 2della e¿2).

---- --

Vedi L. TONELLI, opera ^{cit. in}

(2),

^Voi. II, ^n. 9. ^{pp 17-18.}

Dalla definizione

precedente

^{si deducono}

rispettivamente quelle

^di

linuità

superiore

^{e di} continuità sostituendo alla

disuguaglianza (6) rispet-

tivamente le

seguenti

7. - Classe

completa

^{di curve} di ordine 2.

Considerato un insieme J di infinite curve ordinarie

e(2&#x3E;,

diremo che la

curva

e¿2)

^è una sua curva di accumulazione di ordine

2,

^{se ad}

ogni

^intorno

(g)2 della e¿2) appartengono

sempre infinite ^curve dell’ insieme.

Ciò premesso diremo che ^un insieme J di curve ordinarie e(2) costituisce

una classe

completa

di ordine

2, quando ogni

sua curva di accumulazione di ordine

2,

^{se è una curva ordinaria}

e(2), appartiene

alI’ insieme J.

§

^{2. -}

La semicontinuità.

8. - Un lemma del Tonelli.

Se

j (2)

^{è un un}

integrale quasi-regolare positivo seminormale,

preso ad arbitrio un E &#x3E;

0,

^per

ogni punto yo)

^{di A e per}

ogni

^terna

xo’, yo’, 80’

con

XO’2 +Yo’2= 1

^è

possibile

determinare almeno una terna di numeri p, q, e, ^con modo

che,

in tutti i

punti (x, y)

^{d A con}

e per ^tutte le

coppie x’, y’

normalizzate ^e tali che sia

risulti

per tutti i

0’,

^e

per tutti i 0’ tali

che 1 o, - 00’ 1 e.

Questa

lieve estensione del lemma del TONELLI si dimostra in modo per- fettamente identico

all’ originale (~°).

(10) Vedi L. TON ELLI : Su gli integrali ^del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria.

Annali Scuola Normale Superiore ^di Pisa, ^{Vol. 111} (1934), pp. 401-450 ; ^n. 2, p. 406.

9. - Teorema di semicontinuità

(integrali quasi - regolari seminormali).

Se

JC(2) è

^un

integrale quasi - regolare positivo seminormale,

semicontinuo inferiormente.

Considerata ^una

qualsiasi

^{curva ordinaria}

e¿2),

si tratta di dimostrare che

l’ integrale ~~~2~

^è semicontinuo inferiormente su tale curva.

Cominciamo a

considerare

^{il caso} in cui la curva

e¿2)

è costituita da un solo

punto (xfl, yo).

^{Se la} funzione F è non

negativa

il nostro asserto è evidente. In

caso contrario in virtù del lemma del n. 8 e con note considerazioni

possiamo decomporre

^la circonferenza x’2

+ y’2

^{=1 in un numero finito di archi}

Ti, r2

,...,

r m,

e determinare m terne di numeri p~, qr, (!r,

(~*===~ 2,..., m)

^{con in modo}

che risulti ^.

per tutti i valori di

()’,

per

ogni (x, y)

^{con e per}

ogni coppia

normalizzata

x’, y’,

^la

quale

^{disti di non}

più

di (!r da un

punto

di rr.

^-

Indicati con p0 , qo, (lo

rispettivamente

i minori dei

numeri pr, (r =1,2,..., m),

qr,

(r=1, 2,..., m),

o,,,

(r=1, 2,..., m),

consideriamo una curva ordinaria C ~~’~ :

x =x(s), y=y(s), (0 s L) appartenente

all’ intorno

(p) 2

^della

G~z~,

^con

O ~2

minore di (lo ^e dell’ unità. Allora se è

L=0,

^risulta

c ~(2)==0;

altrimenti

lungo

tutta la curva risulta

F&#x3E;~~ ~ qj 8’, ove ,j

^{è uno} dei valori

1, 2,..., m,

^e

quindi

tenuto conto dell’ osservazione II fatta al capoverso

c)

^{del n.}

5,

^abbiamo

e ciò basta per concludere che

l’integrale ’,1(2)

^è semicontinuo inferiormente

su

.ogni

^curva

e¿2)

costituita da ^un solo

punto.

Sia ora

L° &#x3E; 0

^la

lunghezza

^{della curva}

Co‘~~ :

per provare, anche in

questa ipotesi,

la semicontinuità inferiore

dell’integrale JC(2)(2)

^sulla

curva C(2) basta ripe-

tere con

qualche complemento

^una dimostrazione del TONELLI

(ii)

tenendo conto della

seguente

osservazione :

La curva sia suddivisa in m archi

e(-),

^{- 8 :}

81’]’ (r=1, 2,...,

m ; so ^-

0),

^{e siano fissate m}

coppie

^{di numeri} Pr, q7,,

(r =1, 2,..., m) ; allora,

preso ad arbitrio un numero

e&#x3E; 0,

^è

possibile

determinare un

é &#x3E;0,

^{in modo}

che,

considerata una

qualunque

^{curva ordinaria}

e(2), appartenente

all’intorno

(e)2

(ii) ^{Vedi L.} TONELLI, luogo ^{cit. in}

(1°),

^n. 3, p. 407 e segg.

della

C0(2), indicato

^con

Q(S7._1 C Q(sr)]

^{l’arco di e(2)}

corrispondente

’a

~~)1. (ove 6(s)

^{è la} funzione che

figura

^nella definizione nel n.

5, a)) e ^posto

risulti

Infatti è evidentemente

Osserviamo che

integrando

tutti i membri della

(1)

^{del n. 5 fra e sr}

risulta ^’

cioè

Pertanto,

^{indicato con P il}

maggiore

dei moduli dei numeri Pr ^e qr

(r= 1, 2,...,1n)

^e tenendo conto della

(4)

risulta per

1

~2

da cui immediatamente il nostro asserto se è anche

_

j &#x3E;

10. - Corollario.

Ogni integrale quasi-regolare positivo

^è semicontinuo infei-iorntente in

ogni

^{classe di curve ordinarie G ~‘y~ :}

x =-- x(s), y === y(s), (0 s L),

per le

quali

^{le curve}

{ x’ ~ x’(s~, y‘ = y’(s~,

^abbiano

lunghezza

^inferiore

a un numero fisso A.

Infatti,

^{fissata una curva}

qualunque eÒ2)

^{di K (2) di}

lunghezza Lo,

preso

e &#x3E; 0

ad

arbitrio, e posto z = ~-2~~ -~ ,

^{se è}

Lo &#x3E; o, e ~_ ~ 3 ~ ~ ,

^se

^{è, Lo =U,}

^con-

sideriamo 1’ integrale

il

quale

^risulta

regolare.

^Si

proceda poi

^{in modo}

analogo

al TONELLI

(i2)

^tenendo

conto del teorema del n. 9 e rilevando

che,

^{in virtù delle} osservazioni fatte al

n.

5, c)

’ ^{e per}

g 1 ,

risulta secondochè è

Lo &#x3E; o,

^o

rispettivamente f2

11. - Teorema di continuità.

Se

P(x,

y,

x’, y’), Q(x,

^y,

x’, y’)

^sono due funzioni :

1°)

^{definite e continue}

insieme con le derivate

parziali Qy

ⁱⁿ

^{ogni punto (x, y)}

del campo A

e per

ogni coppia

di numeri

x’, y’

^{non ambedue}

nulli ; 2°) positivamente

omogenee di

grado

¹

rispetto

^alle variabili x’ ^e

y’ ; 3°)

tali che sia

P(x,

y,

0, 0) _ Q(x,

y,

0, 0) =0 ;

^allora

l’ integrale

è una funzione continua.

Infatti,

considerata una curva ordinaria /~(6).

lo ^.

sia :

una curva ordinaria e(2)

appartenente

all’intorno

(e)2

^della

C~2~.

Supponiamo, dapprima, Zo&#x3E;0.

Allora basta

ripetere,

^{in forma}

semplificata,

un

procedimento

^di dimostrazione del TONELLI che noi

già

^{abbiamo esteso}

agli integrali

^{in forma ordinaria}

dipendenti

dalle derivate di ordine

superiore (13)

tenendo

presenti

^le

seguenti

avvertenze :

----

(12) ^{Vedi L.} TONELLI, luogo ^{cit. in} (1°), ^n. 4, pp. 410-411.

(13) ^{Vedi S.} CINQUINI : Sopra ^una condizione sufficiente per la semicontinuità degli integrali ^dei problemi variazionali di ordine n. Annali di Matematica pura ^e applicata, S. IV, ^{T. XV} (1936-37), ^n. 2, a). ^{- A} differenza da quanto avviene per la forma ordinaria,

nel caso in questione ^{non c’ è} bisogno di supporre che le funzioni P e Q siano definite in

un campo contenente A nel ^suo interno.

Nella differenza

all’ espressione

^di

~~(2) può sostituirsi,

in virtù del teorema di

integrazione

pe "

sostituzione,

^la

seguente

ove è la funzione che

figura

^nella definizione del n.

5, a).

Lo

sviluppo

^della dimostrazione è basato sulla considerazione

della

funzione

la cui assoluta continuità si stabilisce osservando

che,

^essendo

o(s)

^{funzione non:}

decrescente,

^{le funzioni}

y(o(s», (oltrechè

^la

8o(s))

^{sono assolu--}

tamente continue.

Infine si terrà conto della

(4)

^{del n.}

5, c).

Se

poi

^è

Lo=0,

^onde

JC(2)=0

^basta

^ripetere

^una

^parte

^del

ragionamento

0

che si

sviluppa’

per

Lo

&#x3E;

0,

considerando la funzione

e usufruendo della

(5)

^{del n.}

5, c)..

OSSERVAZIONE. - Si

può

^ora porre in rilievo

l’ importanza

che ha la defi- nizione di intorno

(e)2

che abbiamo data al n.

5, ~)

^e

b).

Consideriamo la curva

e(2) .₀ ^°

e la classe K(2) di curve ordinarie

e(2) .

^{n ·}

~

1’ integrale

Risulta

I/integrale

^non risulta funzione continua sulla curva

~2),

^{ma le}

urve

~;i~

considerate ^non

appartengono

all’ intorno

(é)2

^della

12. - Teorema di semicontinuità

(integrali

^soltanto

quasi-regolari).

Supponiamo,

^nel

presente

num., oltre alle

ipotesi

^{fatte al n.}

2, b),

^{che la}

funzione F

ammetta,

per ^{tutte le}

quintuple

^{indicate al}

luogo citato,

^{finite e}

continue anche le derivate

parziali Fs,y .

Sotto

positivo é seyni-

,continuo inferiormente.

Infatti,

^{si consideri} la funzione

la

quale

^{è non}

negativa.

Allora,

^se

eó2)

^{è una}

qualunque

^{curva ordinaria e(2) di}

lunghezza Lo

&#x3E;

0,

basta

ripetere

^una dimostrazione del

(14)

^tenendo

presente

le varianti

già

da noi introdotte

(~5)

^e usufruendo dei risultati dei nn. 9 e 11 del

presente

lavoro.

Se

poi

^è

0,

^la semicontinuità inferiore

dell’ _integrale

sulla

e(2)

curva

G

^è

evidente,

^e 1’ asserto scenc:e immediatamente dal risultato del 11. 11.

13. - Estensione deha semicontinuità.

a)

^{Sia la curva} rettificabile

ro : x = xo (s), y = yo (s), (0 -- s Lo),

^con

Lo &#x3E; o, appartenente

al campo A ^e tale che le funzioni

xo(s), yo(s)

^siano

assolutamente continue insieme con le derivate del

primo

^ordine.

Allora ^se

l’integrale

^è

quasi-regolare positivo seminormalc,

^se

la funzione

F(xo(s), yo(s), xó (s), yó(s), oó(s))

^{non è}

integrabile

sull’inter- vallo

(0, Lo),

preso ad arbitrio un numero H &#x3E;

0,

^si

può

determinare un

(14) ^{Vedi L.} TONELLI, opera

cit.

ⁱⁿ

(2),

^Vol. I, ^n. 98, pp. 272-274.

(15) ^{Vedi S.} CINQUINI, luogo ^{cit. in} (i3), ^{n. 4.}

&#x3E;

0,

^{in modo}

che,

per

ogni

^curva ordinaria e (2)

appartenente

all’ intorno

(Q)2

^della

ro,

^sia verificata la

disuguaglianza

Basta

ripetere

^una dimostrazione del TONELLI

(16),

^tenendo

presente quanto

abbiamo osservato al n. 9.

b)

Il teorema dato in

a)

^è valido anche nel caso in cui

l’integrale

~ ~t2~

^{non sia}

seminormale, purchè

^{si consideri una classe di curve ordi-}

narie e(2):

x=x(s), y=y(s), (0

^s

L),

per le

quali

^le

corrispondenti

^curve

x’ =x’(s), y’=y’(s), (0

^s

L)

abbiano tutte

lunghezza

^{inferiore ad un}

numero fisso.

c)

^{Sotto le}

ipotesi

^fatte all’inizio del n.

12,

il teorema dato

nell’ a)

del

presente

^n. si estende a tutti

gli integrali quasi - regolari positivi.

S

^{3. -}

^Esistenza dell’ estremo in campi ^limitati.

14. - Il cainpo

Ao .

In tutto il

presente paragrafo

supporremo che _{il campo} A di cui al n. 1 sia

limitato,

^{e lo} indicheremo con

Ao .

^Rileviamo che il campo

A o

risulta chiuso.

15. - Primo teorema di esistenza.

Sia supponga che :

1°) l’ integrale

^sia

quasi - regolare positivo, 2°)

^{esista 1tna ficnzione}

15(u), (0

u +

(0)

inferiormente

limitata,

^{tale che}

per sia

~(u) :

in modo che in tutto il campo

Ao

^e per

ogni coppia

normalizzata

x’, y’

^sia

A’llora

in

ogni

^classe

I~~2~, completa

di ordine

2,

^{di curve ordinarie}

e(2),

^di

lunghezza

inferiore ad un numero fisso

L’,

^esiste il minimo as-

soluto di

cl(’) e (2) -

Infatti,

^tenuto

presente

che il limite inferiore i di

êJ~(2)

nella classe è

finito,

consideriamo ^una successione

minimizzante,

^{estratta da}

l~~z~,

^{di curve}

ordinarie e(2) e(2) .n :

Vedi L. TONELLI, luogo ^{cit. in} (iO), ^n. 6, p. 412.

Annali della Scuola Norm. Sup. - ^{P sa.}

tali cioè che

sia e!’(2)

_n

^{c i + 1 ,}

_n intendendosi

che, qualora

^{sia i}

O,

^{si consi-}

derino soltanto ^{le curve} con n &#x3E;

1ï,

^{ove n è} il minimo numero intero per

_ 2

cui è n &#x3E; -2

i

Osserviamo,

^innanzi

tutto,

^{che se è i = O e se fra le curve della succes-}

sione minimizzante ce n’ è almeno una di

lunghezza nulla,

^essa

fornisce,

^eviden-

temente,

^{il minimo di}

8J~(2)

nella classe K(2).

Altrimenti

possiamo

^{ritenere che} per

ogni n

sia sempre

Ln

&#x3E;

O, perchè,

^se

è

~4=0,

^{le curve di}

lunghezza

^{nulla non} interessano. Tenuto conto che è

C 1~ ^1,

^{le risultano}

equiassolutamente

continue,

^{ed anche}

ugualmente limitate, perchè

il campo

A o

^è limitato ed è

Ln

^L’.

Inoltre,

^{in modo}

perfettamente

^identico al TONELLI

(17)

ed essendo

Ln ~ L’,

si prova che le funzioni

( 0,1(s) ),

^e

quindi

^anche

sono in

(O, Ln) equiassolutamente

^continue.

Ciò premesso

distinguiamo

^{due casi.}

Se il limite inferiore delle

lunghezze Ly~

è zero, dalla successione pos- siamo estrarre una successione

parziale

con lim

O, convergente

uniformemente verso una curva costituita da

~

un solo

punto,

^la

quale

^risulta una curva di accumulazione di ordine 2 della classe

K~~~.

Infatti _per

l’equiassoluta

continuità delle

( x~n(s) ^{}, {} ~ (~) }~

^preso

ad arbitrio ^un

g’

&#x3E;

O, possiamo

determinare un ~’ &#x3E; O in modo

che,

per

ogni coppia

s1, s% di valori di

(O,

^con

~’,

^risulti

Quindi, determinato‘ n’ in

^modo

che,

per

ogni

ⁿ &#x3E;

n’,

^sia

L~~ ^ó’,

^le

⁽⁷⁾

^risul-

tano verificate _per

ogni coppia

SI, 82 di

(0,

^{con n} &#x3E; n’.

Perciò,

^siccome

la classe

I~~~~

è

completa

^{di ordine}

2,

^{la curva}

appartiene

^{a tale}

classe,,

e fornisce il minimo di

~~2)

^{se è i = 0. Se}

^poi

^è

^i#0,

il limite inferiore delle

L11,

^non

può

^{essere lo zero. Infatti o è i} &#x3E;

0,

^{e allora saremmo}

giunti

^ad

un

assurdo, perchè

alla classe

apparterrebbe

^{la curva}

eó2),

^{per la}

quale

risulterebbe

JC(2)

^{= 0. Se}

^poi

^{è i}

^{0, onde,}

^per

^quanto

^{abbiamo sopra conve-}

2

e o

i

’

nuto,

i

+ 1 Z ,

^{indicato con}

^{4Su ( 0)}

il limite inferiore di

Ø(u),

n ~z 2 ,

esisterebbe

qualche

n, per cui risulterebbe

Wo Ln &#x3E; ~ ,

^e

^quindi,

^essendo.

JCp (2) ^{ae L}

si arriverebbe all’ assurdo &#x3E;

a (2)

^·

Cl

C(2) &#x3E;

^{’:L’o n,} si arriverebbe e a assurdo o CJ

e e (.2)

n n n

(’í1) ^{Vedi L.} TONELLI, luogo ^{cito in} (iO), ^n. 9, pp. 414-416.

Ci rimane

quindi

da esaminare soltanto il caso in cui

sia,

per

ogni n, Ln ~

^L* &#x3E; 0. In tale

ipotesi possiamo

^estrarre

(18)

^dalla successione

C ~2~

^una

successione

parziale

in modo che le successioni

(s) ), { yv n (s) }, ~ xv n (s) ), ~ yv n ^{(s) )}

^convergano

uniformemente verso

quattro

^funzioni

xoo(s), x~(s) , Y’oo(s),

^definite

in

(O,

^{con L*}

L. ^L’,

assolutamente

continue,

^e tali che sia

x’~(s) ==

=

x°°s ) - a, y°s? ^z’2(s)

⁺

^y’2(s)

^{=1 per}

^{ogni s}

^di

^{(0, L ). Quindi,}

=

,

ds

^X’2(8)

⁰⁰ ds

s o )

^{00 +}

)

^{00 = 1 per} per

^ogni ogni

^{s s di di}

^Quindi,, (0,

00

siccome,

^{in virtù}

dell’ ipotési 2)

del nostro

enunciato, l’ integrale CJ(2)

^risulta

seminormale,

tenuto conto dei n.

13, cc)

^e

9,

^{la curva}

G~~ : x

⁼

(0

^s

Lo) appartiene

alla classe

K (2)

^e fornisce il minimo di

~~~~~

^nella

classe stessa.

" 16. - t;orollario I.

Se

L’ integrale g~ (2) @)

^{è definito}

^positivo,

^{nel del n. 15}

^l’ipotesi

che le curve della classe K(2) abbiano

lunghezza

inferiore ad un nume -a

fisso

può

^essere soppressa.

Infatti,

premesso ^{che è}

certamente i &#x3E;

^{0 e} considerata una successione mini- mizzante di curve ordinarie

e(2)

estratta dalla classe dimostriamo che le loro

lunghezze

^sono

ugualmente

limitate. Determinato _ui &#x3E; 0 in modo

che,

per sia

~(u) ~ ~,

per

ogni

^e per

ogni coppia

normalizzata

x’, y’

risulta « a fortiori » in tutto il campo

A a

D’ altra

parte,

il minimo di F _per

ogni (x, y)

^di

Ao,

per

ogni coppia

^norma-

lizzata

~ y’

^e per

ogni 0’

^con

8’ ;

^{U~ risulta un numero} ,u &#x3E; 0. Pertanto indicato con Al il minore dei due

numeri ui

^e ,u, per

ogni

^curva

t9§?&#x3E;

appar- tenente alla successione minimizzante considerata e avente

lunghezza ^L,,,

&#x3E;

0,

abbiamo

e quindi

(18) ^{Cfr. il} procedimento seguito dal ToNELLI nell’opera. ^{cit. in}

(2),

I, ^n. 25, pp. 87-89,

e~e va completato ^{secondo le} presenti esigenae.

17. - Corollario 11.

Se esiste una costante A &#x3E;

0,

in modo che per

ogni

u &#x3E; 0 risulti

allora,

ferme restando le altre

ipotesi

del teorema del n.

15,

la condizione che le curve della classe abbiano

lunghezza

^{inferiore ad un numero}

fisso essere soppressa.

Infatti,

premesso che risulta certamente i &#x3E; ⁰ ed estratta dalla classe

una successione minimizzante ^{di curve} ordinarie ⁼

xn(s),

y ⁼

Yu(s), (0

^s

L~~),

^{se è}

L1l

&#x3E; 0 risulta

cioè a dire le variazioni totali delle funzioni

0n(s)

relative alle curve della successione minimizzante considerata risultano

ugualmente

^limitate.

Sia 9 il lato d un

quadrato

^del

piano (x, y)

^{a lati}

paralleli agli

^{assi coor-}

dinati nel

quale

^è contenuto il campo

Ao,

^{e si indichi}

con ~

il minimo numero

intero

positivo

^{tale che}

i+1

^In base ad ^un risultato del TONELLI

(19),

,2 ^/

quando l’angolo

^di direzione di una curva, soddisfacente alle condizioni del

n.

3, c)

^e contenuta in un

quadrato

^{di lato}

Q,

^{varia in un} intervallo di

ampiezza

non

superiore

^a

2 , la lunghezza

^del

corrispondente

^{arcó di curva non}

può

^essere

superiore a il ~2 :

^{= 2 Q. Ne} segue evidentemente

25~~, (n =1, 2, ...);

vale a’ dire le

lunghezze

^{delle curve della} successione minimizzante considerata risultano

ugualmente

^limitate.

1,8. - Osservazione.

-

È importante

mettere in rilievo

che, quando

^{si considera una classe di curve}

le cui

lunghezze

^{non sono}

ugualmente limitate,

il teorema del n. 15

può

^cadere

in difetto. Ciò risulta dal

seguente esempio

^nel

quale

^{si considera un}

integrale regolare

semidefinito

positivo.

Sia

(19) ^{Vedi L.} TONELLI, opera ^{cit. in}

(2),

^Vol. II, ^n. 9, pp. 17-18.

si consideri la classe di curve

Sono verificate le

ipotesi 1)

^e

2)

^{del n.}

15,

^{ma non la} condizione

~~~c) ~

^Au

di cui al corollario del n.

17,

^e la classe considerata è

completa

^{di ordine 2.}

Essendo

il limite inferiore di

~~~2~

nella classe considerata _{è zero,} ma nella classe non

esiste alcuna curva che fornisca il minimo.

19. - Un’ estensione del teorema del n. 15.

Il del n. 15 continua ad valido anche

quando le lunghezze

delle curve della classe considerata ^non siano

ugualmente limitate, purchè

tutte le curve ordinarie e(2)

per le quali

^è

gr~(2)

O abbiano

lunghezza

inferiore ad 2cn fisso L

(2°).

Infatti,

^{indicato con uo} il limite inferiore di

4Y(u),

^risulta sempre

- L . Pertanto il limite inferiore i di

JC:)

nella classe

K2)

considerata è

finito,

^e per provare il nostro asserto basta dimostrare

che,

^{estratta da K(2)}

una successione

minimizzante,

^{tutte le curve di tale} successione hanno

lunghezza

inferiore a un numero fisso. A tal uopo,

posto i

^{+ 1 =}

M, riprendiamo

^con

opportuni complementi

^un

procedimento

del TONELLI

(2i).

Se il nostro asserto non fosse vero,

potremmo

^estrarre dalla successione minimizzante considerata ^una successione

parziale

^{di archi di curve ordinarie}

che indicheremo con

per i

quali

siano verificate entrambe le

disuguaglianze

^.

(~ò) ^{È ovvio} (cfr. l’esempio ^{dato al n.}

18),

^{che non basta supporre} che abbiano lun-

ghezza ^{inferiore ad un numero} fisso le curve della classe considerata per ^le quali ^è

~~Q) ~

^0.

Vedi L. TONELLI : Sull’ esistenza del minimo in problemi di ^{Calcolo delle Varia-}

zioni. Annali Scuola Normale Superiore ^di Pisa, ^{Voi. I} (1932), pp. 89-99, ^n. 6, p. 95. ^,