L3SPI 22 Avril 2013 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques : contrôle semestre 2
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints. Les documents sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée.
Barème indicatif : 4+4+4+3+5
Exercice 1 : Courbes et surfaces
SoientΣ1etΣ2deux surfaces d’équation respectivex2+y2−5z2 = 0etx3+y3+z3= 8etAle point(1; 2;−1).
1. Montrer queAappartient àΣ1∩Σ2.
2. Déterminer une équation du plan tangentΠ1àΣ1enA, et une équation du plan tangentΠ2àΣ2enA.
3. Déterminer un vecteur directeur−→u à la tangente à la courbeΣ1∩Σ2enA.
Exercice 2 : Circulation d’un champ de vecteurs et intégrale double
SoientΓle chemin constitué du demi cercle de centre 0 et de rayon 1 allant du pointA= (1,0)au pointB = (−1,0), dans le sens trigonométrique, suivi du segment[B, A], etC= (2; 3).
1. Représenter le triangleT = (ABC), puis déterminer l’intégrale doubleI =∫∫
T ydxdy.
2. ReprésenterΓ, puis déterminer la circulation du champ de vecteur défini parA(x, y) =( y2;x2)
le long deΓ.
Exercice 3 : Équations différentielles
Résoudre les trois équations différentielles suivantes : (E1) : 2y0(x)−3y(x) +xe2x= 0
(E2) : y(4)(x)−y000(x)−y0(x) +y(x) =e−x
Exercice 4 : Équations aux dérivées partielles Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
(E) : 2∂f
∂x(x, y) + 5∂f
∂y(x, y) =xyf(x, y)
Exercice 5 : Équations aux dérivées partielles
1. SoientA, B, C, D, E, F, gdes fonctions de deux variablesxety,(E)et(E0) les équations aux dérivées partielles suivantes :
(E) :A∂2f
∂x2 +B∂2f
∂y2 +C ∂2f
∂x∂y +D∂f
∂x +E∂f
∂y +F f =g(x, y) (E0) :A∂2f
∂x2 +B∂2f
∂y2 +C ∂2f
∂x∂y+D∂f
∂x+E∂f
∂y +F f = 0
etf1une solution de(E), montrer quef est une solution de(E)si et seulement sif−f1est une solution de(E0).
2. Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
(E) : ∂2f
∂x2(x, y) +∂f
∂x(x, y) +f(x, y) =y
3. Parmi les solutions de l’exemple précédent déterminer celles qui vérifient les conditions
{ f(0, y) = 0 f(x, x) =x
